1
00:00:00,000 --> 00:00:14,400
Venga, comenzamos la grabación de la clase. Hoy tenemos que ver si o si el teorema de Rochefrobenio. No sé si nos dará tiempo a ver Kramer, pero lo que sí me interesa mucho es dejar claro este tipo de ejercicio porque lo vamos a utilizar en bastantes cosas.

2
00:00:14,400 --> 00:00:33,000
Aquí lo que tenemos es una matriz 4x3. Eso lo vemos todo. Tenemos 4 filas y 4 columnas. Entonces, el rango máximo de esta matriz, ¿cuál va a ser? 3. Siempre el rango máximo va a ser como el mínimo entre las filas y las columnas. Esto lo que se hace es obteniendo menores.

3
00:00:33,000 --> 00:00:55,100
¿Vale? ¿Es la matriz nula? Evidentemente no, por lo tanto el rango no va a ser 0. El rango va a ser o 1 o 2 o 3. Si yo, por ejemplo, cojo este menor, veis aquí este menor de aquí que es el elemento a 1, 1. Si yo hago el determinante de 3, es 3. ¿Y eso qué significa? Pues que ya el rango de A va a ser mayor o igual que 1. ¿De acuerdo?

4
00:00:55,100 --> 00:01:05,319
Por haber un menor de orden 1 y si es su determinante distinto de 0, ya el rango de esta matriz va a ser como mínimo 1.

5
00:01:05,579 --> 00:01:16,980
Si yo ahora cojo un menor de orden 2, por ejemplo este de aquí, si os fijáis yo cojo el 5, 6, 10, pues resulta que como son proporcionales, el determinante es 0.

6
00:01:16,980 --> 00:01:40,579
¿Eso significa que el rango no va a ser 2? No, significa que tengo que seguir probando determinantes de orden 2, ¿vale? Entonces, fijaros, yo ahora me voy al 3, 6, 1 menos 2, igual, ¿no? Esto es, no, esto es, esto es menos 6 menos 6 es igual a menos 12, distinto de 0.

7
00:01:40,579 --> 00:01:45,379
ya tengo un determinante de orden 2 distinto de 0.

8
00:01:45,480 --> 00:01:46,620
Entonces, ¿eso qué significa?

9
00:01:47,180 --> 00:01:50,959
El rango de A ya va a ser mayor o igual que 2.

10
00:01:51,359 --> 00:01:52,799
Todo eso lo entendéis, chavales.

11
00:01:53,579 --> 00:01:58,079
Yo voy haciendo de orden 1, de orden 2, de orden 3,

12
00:01:58,280 --> 00:02:00,599
así sucesivamente hasta el máximo.

13
00:02:00,840 --> 00:02:02,040
Entonces, ¿qué ocurre ahora?

14
00:02:02,159 --> 00:02:08,659
Pues que yo tendría que hacer el determinante de 3, 5, 1, 6, 10, menos 2, 1, 0, 1,

15
00:02:08,659 --> 00:02:10,259
que no sé cuánto vale.

16
00:02:10,259 --> 00:02:30,219
Pero si este me saliese distinto de 0, yo ya puedo decir que el rango es 3. Pero si me sale 0, que no lo sé y esto lo dejo como tarea, yo ahora tendría que probar 3, 5, 1, 6, 10, menos 2 y 4, 5, 0, que es menor de orden 3.

17
00:02:30,219 --> 00:02:32,379
igual, es distinto de 0

18
00:02:32,379 --> 00:02:34,560
si yo ya sé que es distinto de 0

19
00:02:34,560 --> 00:02:36,819
yo aquí ya me paro y puedo decir que el rango

20
00:02:36,819 --> 00:02:38,659
es 3, pero como me salga

21
00:02:38,659 --> 00:02:40,199
0, yo todavía

22
00:02:40,199 --> 00:02:42,020
tengo que seguir probando

23
00:02:42,020 --> 00:02:44,599
por ejemplo, el 6, 10

24
00:02:44,599 --> 00:02:46,620
menos 2, el 1, 0

25
00:02:46,620 --> 00:02:48,879
1, el 4, 5, 0

26
00:02:48,879 --> 00:02:50,560
y me hago la misma

27
00:02:50,560 --> 00:02:52,639
pregunta, yo hago el determinante, es igual que

28
00:02:52,639 --> 00:02:54,639
0, si es igual que 0

29
00:02:54,639 --> 00:02:56,680
si los 3 son 0, me tengo que ir a otro

30
00:02:56,680 --> 00:02:58,080
nuevo caso, que ya

31
00:02:58,080 --> 00:03:15,319
Ahí es el último. O si alguno de ellos me sale distinto de 0, yo ya puedo afirmar que el rango, ¿de acuerdo? El rango es, lo diré, el rango es 3, ¿vale? Y la última opción es esta de aquí igualmente, ¿vale?

32
00:03:15,319 --> 00:03:16,759
hago el determinante

33
00:03:16,759 --> 00:03:19,419
y si uno de los cuatro

34
00:03:19,419 --> 00:03:21,639
si con que alguno de los cuatro

35
00:03:21,639 --> 00:03:23,500
determinantes me salga distinto

36
00:03:23,500 --> 00:03:25,680
de cero, yo ya puedo afirmar que el rango

37
00:03:25,680 --> 00:03:27,699
de esta matriz es

38
00:03:27,699 --> 00:03:29,300
tres, pero si los tres

39
00:03:29,300 --> 00:03:31,219
determinantes me saliesen cero

40
00:03:31,219 --> 00:03:33,300
el rango de esta matriz es dos

41
00:03:33,300 --> 00:03:35,379
eso lo tenemos, dime

42
00:03:35,379 --> 00:03:37,479
claro

43
00:03:37,479 --> 00:03:39,000
en el momento que una de ellas

44
00:03:39,000 --> 00:03:40,740
bueno chavales

45
00:03:40,740 --> 00:03:45,439
vamos a ver como canta Manuel

46
00:03:45,439 --> 00:03:46,819
aquí

47
00:03:46,819 --> 00:03:48,280
vale

48
00:03:48,280 --> 00:03:51,379
silencio, entramos chavales

49
00:03:51,379 --> 00:03:52,860
en el tema 4, vale

50
00:03:52,860 --> 00:03:55,740
entonces el tema 4

51
00:03:55,740 --> 00:03:56,800
venga

52
00:03:56,800 --> 00:03:59,439
es la resolución

53
00:03:59,439 --> 00:04:01,960
de sistemas de ecuaciones

54
00:04:01,960 --> 00:04:03,360
como lo hemos visto antes

55
00:04:03,360 --> 00:04:05,699
que lo hemos visto por el método de Gauss y demás

56
00:04:05,699 --> 00:04:07,439
pero ahora con determinantes

57
00:04:07,439 --> 00:04:08,900
entonces, para resolverlo

58
00:04:08,900 --> 00:04:26,180
Nos vamos a basar en el tema de Roche-Frobenius. Ahora solamente se llama Roche, pero vamos a Roche-Frobenius. ¿Vale? Entonces, nosotros, ¿qué es lo que tenemos? Por ejemplo, si yo cojo este elemento de aquí, bueno, lo tenéis bien explicado aquí en el libro, ¿vale?

59
00:04:26,180 --> 00:04:44,899
Si yo cojo, chavales, venga, por favor, silencio. Tengo este ejemplo. Yo tengo aquí un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas, por ejemplo, ¿vale? Entonces, yo tengo una matriz, la matriz de los coeficientes, ¿de acuerdo? Es una matriz de los coeficientes.

60
00:04:44,899 --> 00:04:58,639
Entonces, mi matriz A es, veo que la X es un 1, el 1 es un 1, un 2, como lo hemos hecho, que a veces me habéis dicho, ¿lo puedo hacer el sistema de ecuaciones con matrices en vez de con arrastrar siempre las ecuaciones?

61
00:04:58,720 --> 00:05:06,139
Pues aquí igual, tenemos una matriz de coeficiente y luego lo que se llama la matriz ampliada, ¿vale? La matriz ampliada.

62
00:05:06,620 --> 00:05:12,480
Entonces, normalmente yo la matriz ampliada siempre la separo aquí con unos puntitos, con una raya.

63
00:05:12,480 --> 00:05:38,000
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que yo tengo mi matriz ampliada que ya algunos de ustedes en algún ejercicio me la habéis puesto. Entonces, nosotros lo que tenemos que hacer únicamente, el teorema de Roche-Frobenius, ¿vale? Es cuando yo tengo teorema de Roche-Frobenius, ¿vale?

64
00:05:38,000 --> 00:06:01,199
Entonces, si yo tengo, por ejemplo, imaginaros, vamos a hacer x más 2y más 3z igual a 4, ¿vale? Y yo qué sé, menos x menos 20y más, no, más, yo qué sé, 10z igual a menos 1.

65
00:06:01,199 --> 00:06:10,120
Y yo qué sé, 2x menos 5y más 8z igual a menos 3, ¿vale?

66
00:06:10,439 --> 00:06:16,600
Yo este sistema, resulta que tengo una matriz A, que es la matriz de los coeficientes,

67
00:06:16,759 --> 00:06:25,459
aquí sería 1, 2, 3, menos 1, menos 20, 10, aquí sería 2, menos 5, 8, ¿vale?

68
00:06:25,459 --> 00:06:52,120
Y luego tendría una matriz ampliada, ¿vale? Yo puedo, se suele poner una prima o se pone un asterisco en la ampliada donde, además de mi matriz que es la A, le añado los términos independientes, ¿vale? Los términos independientes. Esto es un menos 20, esto es 2, menos 5 y 8.

69
00:06:52,120 --> 00:07:04,620
Vale, chavales, y entonces, ¿qué ocurre? Este sistema, como me lo acabo de inventar, no sé lo que ocurre. No sé si es sistema compatible determinado, un sistema compatible indeterminado o un sistema incompatible.

70
00:07:04,620 --> 00:07:24,319
El teorema de Rochefrobenius, ¿qué es lo que me dice? Yo tengo que comparar el rango de la matriz ampliada y el rango de la matriz ampliada. Yo tengo que comparar los dos y además tengo que hacer referencia al número de incógnitas.

71
00:07:24,319 --> 00:07:27,750
¿vale? ¿sí o no?

72
00:07:28,709 --> 00:07:29,189
¿sí o no?

73
00:07:30,550 --> 00:07:31,069
no

74
00:07:31,069 --> 00:07:34,310
no, porque todavía no lo hemos hecho

75
00:07:34,310 --> 00:07:36,230
¿vale? si lo has

76
00:07:36,230 --> 00:07:37,810
hecho así, en principio

77
00:07:37,810 --> 00:07:40,050
este se puede hacer

78
00:07:40,050 --> 00:07:40,930
por

79
00:07:40,930 --> 00:07:44,050
se puede hacer por

80
00:07:44,050 --> 00:07:44,509
varias

81
00:07:44,509 --> 00:07:48,290
escalonando

82
00:07:48,290 --> 00:07:50,329
se puede hacer por determinantes

83
00:07:50,329 --> 00:07:51,689
y demás, entonces ¿qué ocurre?

84
00:07:52,750 --> 00:07:53,529
¿qué chavales?

85
00:07:56,269 --> 00:08:07,660
hay tres posibilidades. Si el rango de A es igual al rango de la ampliada y además igual

86
00:08:07,660 --> 00:08:22,160
al número de incógnitas, ¿vale? Entonces estamos ante un sistema compatible determinado

87
00:08:22,160 --> 00:08:28,259
donde la solución es única

88
00:08:28,259 --> 00:08:30,139
os acordáis de esto, ¿verdad?

89
00:08:32,340 --> 00:08:34,279
y aquí se puede resolver

90
00:08:34,279 --> 00:08:36,220
por determinante por k-mes

91
00:08:36,220 --> 00:08:37,480
que ya lo veremos, ¿vale?

92
00:08:37,980 --> 00:08:39,179
hoy no creo que nos dé tiempo

93
00:08:39,179 --> 00:08:41,220
entonces, chavales, si

94
00:08:41,220 --> 00:08:44,519
el rango de A

95
00:08:44,519 --> 00:08:47,580
es igual al rango de la ampliada

96
00:08:47,580 --> 00:08:49,620
y es igual al número de incógnita

97
00:08:49,620 --> 00:08:51,700
entonces un sistema compatible

98
00:08:51,700 --> 00:08:53,620
es determinado y tenemos

99
00:08:53,620 --> 00:08:54,679
solución única

100
00:08:54,679 --> 00:08:55,879
¿vale?

101
00:08:56,960 --> 00:09:11,440
El otro caso, si el rango de A es igual al rango de la A ampliada, ¿vale?,