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00:00:12,400 --> 00:00:17,699
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,699 --> 00:00:22,320
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,320 --> 00:00:34,439
de la unidad AN3 dedicada a las derivadas. En la videoclase de hoy estudiaremos las derivadas,

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00:00:34,679 --> 00:00:39,060
la derivabilidad de una función y la relación entre continuidad y derivabilidad.

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00:00:40,380 --> 00:00:53,039
En esta videoclase vamos a definir la derivada de una función en un punto, vamos a estudiar

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00:00:53,039 --> 00:00:57,899
la derivabilidad de una función y la relación entre la continuidad y la derivabilidad de

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00:00:57,899 --> 00:01:03,399
una función. Vamos a comenzar con algunas definiciones. Como vemos aquí, dada una función

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00:01:03,399 --> 00:01:08,260
real de variable real f, vamos a comenzar definiendo sus derivadas laterales, por la

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00:01:08,260 --> 00:01:13,260
derecha y por la izquierda, en un cierto punto de abscisa x0 perteneciente al dominio. Estas

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00:01:13,260 --> 00:01:19,120
derivadas laterales se van a representar de esta manera, f' de x0 y este superíndice

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00:01:19,120 --> 00:01:25,799
más, indica por la derecha, y f' de x0, este superíndice menos, me indica por la izquierda.

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00:01:26,180 --> 00:01:32,840
Derivada de la función f en x0 por la derecha, derivada de la función f en x0 por la izquierda.

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00:01:33,540 --> 00:01:38,719
Pues bien, estas derivadas laterales se definen como, son dos límites laterales cuando delta de x

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00:01:38,719 --> 00:01:42,739
tiende a 0 por la derecha o por la izquierda, dependiendo de si tenemos la derivada lateral

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00:01:42,739 --> 00:01:47,980
por la derecha o por la izquierda, y son los límites cuando delta de x tiende a 0 por la

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00:01:47,980 --> 00:01:54,659
derecha o por la izquierda de la tasa de variación media en ese intervalo auxiliar x0, x0 más delta

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00:01:54,659 --> 00:02:01,299
de x que utilizábamos cuando queríamos calcular la tasa de variación instantánea utilizando el

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00:02:01,299 --> 00:02:09,479
concepto de tasa de variación media. Así pues, si ponemos juntas ambas definiciones, la derivada

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00:02:09,479 --> 00:02:15,460
lateral de la función f en x0 por la derecha o por la izquierda se define como el límite cuando

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00:02:15,460 --> 00:02:20,120
delta de x tiende a cero por la derecha o por la izquierda del cociente incremental que me daba la

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00:02:20,120 --> 00:02:25,960
tasa de variación media en este intervalo. Sería f de x cero más delta de x menos f de x cero,

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00:02:26,280 --> 00:02:31,340
las imágenes, en el extremo final menos en el extremo inicial, dividido entre delta de x la

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00:02:31,340 --> 00:02:36,960
amplitud del intervalo, lo que sería la diferencia de los orígenes x cero más delta de x menos x

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00:02:36,960 --> 00:02:43,919
cero. Podemos ver cómo esto nos recuerda a la definición de la tasa de variación instantánea.

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00:02:43,919 --> 00:02:52,479
De hecho, hay una relación muy directa y que vamos a detallar dentro de unos momentos entre la tasa de variación instantánea y estas derivadas laterales.

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00:02:52,979 --> 00:02:59,759
Recordad que la tasa de variación instantánea se define como la tasa de variación media en el límite cuando delta de x tiende a cero.

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00:03:00,219 --> 00:03:05,740
Y la gran diferencia está en que aquí estamos hablando de los límites laterales, no el límite cuando delta de x tiende a cero.

28
00:03:05,740 --> 00:03:15,659
Bien, si vamos hacia atrás y pensamos en esa tasa de variación instantánea que acabo de mencionar, aquí viene la definición de derivabilidad, el concepto de derivabilidad.

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00:03:16,180 --> 00:03:28,939
Si la tasa de variación instantánea que he mencionado antes de una función real de variable real en un cierto punto de abstisa x0 existe, en ese caso se dice que la función f es derivable en esa abstisa f de x0.

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00:03:28,939 --> 00:03:33,620
Y aquí tenemos la relación entre la derivabilidad y estas derivadas laterales.

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00:03:34,020 --> 00:03:44,120
Es condición necesaria y suficiente para que la función f sea derivable en x0, en un punto de abstisa x0, que ambas derivadas laterales existan y sean iguales.

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00:03:44,780 --> 00:03:46,479
¿Qué es lo que está ocurriendo?

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00:03:46,860 --> 00:03:51,819
Bueno, pues aquí lo que ocurre es que estamos relacionando el concepto de tasa de variación instantánea,

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00:03:51,819 --> 00:03:57,979
que se define límite cuando delta de x tiende a cero de la tasa de variación media, con todo lo

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00:03:57,979 --> 00:04:03,860
que habíamos estudiado en las unidades anteriores en relación con los límites. No es riguroso

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00:04:03,860 --> 00:04:08,319
estudiar directamente el límite cuando delta de x tiende a cero cuando estamos hablando con

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00:04:08,319 --> 00:04:14,520
funciones, funciones abstractas dentro de las matemáticas, sino que recordemos para que el

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00:04:14,520 --> 00:04:19,600
límite en un punto exista tenemos previamente que estudiar los límites laterales, comprobar

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00:04:19,600 --> 00:04:24,079
que ambos límites laterales existen y que coinciden. Recordad que en su momento, en

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00:04:24,079 --> 00:04:28,740
la unidad AN1 de límites, primero hablábamos de límites laterales y después hablábamos

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00:04:28,740 --> 00:04:32,800
del límite en un punto, en estos términos. El límite en un punto existe si los límites

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00:04:32,800 --> 00:04:37,699
laterales existen y coinciden. Pues bien, aquí vamos a hacer un uso riguroso de estos

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00:04:37,699 --> 00:04:43,139
límites hablando de derivadas. Y entonces vamos a comenzar hablando de las derivadas

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00:04:43,139 --> 00:04:47,560
laterales, en el mismo sentido en el que en su momento hablábamos de los límites laterales,

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00:04:47,560 --> 00:04:53,160
para posteriormente dar el mismo paso de forma análoga a que hacíamos en el caso de los límites

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00:04:53,160 --> 00:04:58,259
y decir que si tenemos estas derivadas laterales por la derecha y por la izquierda,

47
00:04:58,959 --> 00:05:04,240
ambas existen y ambas son iguales, en ese caso la función se dice derivable

48
00:05:04,240 --> 00:05:07,560
y no vamos a hablar de derivada por la izquierda y por la derecha,

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00:05:07,720 --> 00:05:13,459
sino que hablaremos directamente de la derivada de la función en el punto f' de x0,

50
00:05:13,759 --> 00:05:16,000
fijaos que ya no hablo por la derecha y por la izquierda,

51
00:05:16,000 --> 00:05:23,120
Y en ese caso sí, como el límite cuando delta de x tiende a cero, del mismo cociente incremental, por supuesto, la tasa de variación media.

52
00:05:24,319 --> 00:05:35,100
¿Qué es lo que está ocurriendo? Una vez más, tasa de variación media, tasa de variación instantánea, se definen siempre equivalentes a la derivada lateral por la derecha.

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00:05:35,920 --> 00:05:42,259
Cuando estamos en este momento hablando de estos límites desde el punto de vista matemático,

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00:05:42,720 --> 00:05:49,699
volviendo atrás pensando en límites, como el límite existe en un punto cuando existen ambos límites laterales y coinciden,

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00:05:50,300 --> 00:05:55,939
necesitamos definir lo que sería el equivalente a esa tasa de variación instantánea por la derecha y por la izquierda.

56
00:05:56,120 --> 00:05:58,360
Lo que ocurre es que no se utiliza esa terminología.

57
00:05:59,019 --> 00:06:03,060
Se habla de derivada lateral por la derecha y derivada lateral por la izquierda.

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00:06:03,060 --> 00:06:09,860
Así pues, para englobar todo esto, recordemos qué es lo que ocurría cuando hablábamos de límites.

59
00:06:10,459 --> 00:06:16,740
Definíamos límite de la función en un punto de abscisa x0 por la derecha por la izquierda, estaban definidos.

60
00:06:17,199 --> 00:06:26,939
Aquí tenemos definidos de esa manera límites cuando delta de x tiende a 0 por la derecha y por la izquierda de un cierto cociente incremental definido dentro de una función.

61
00:06:26,939 --> 00:06:30,439
Y a esto lo llamamos derivada lateral por la derecha y por la izquierda.

62
00:06:31,439 --> 00:06:39,660
Volviendo a los límites, cuando ambos límites existían y coincidían, decíamos que existía el límite de la función en el punto, sin discernir derecha o izquierda.

63
00:06:40,300 --> 00:06:50,860
Aquí lo mismo, si estos límites laterales existen y eso quiere decir que estas derivadas laterales existen, diremos que existe la derivada de la función en el punto de abscisa x0,

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00:06:51,259 --> 00:06:59,980
como límite cuando delta de x tiende a 0, sin distinguir por la derecha y por la izquierda del cociente incremental que se define a partir de los elementos de la función.

65
00:07:00,439 --> 00:07:12,519
Así pues, a partir de límites laterales se define el límite en un punto, y recordad que casi nunca hablábamos de límites laterales, sino que siempre nos centrábamos en el límite en el punto.

66
00:07:12,939 --> 00:07:27,120
Aquí ocurrirá lo mismo. A partir de las derivadas laterales se define la derivada de la función en un punto, y rara vez hablaremos expresamente de las derivadas laterales, casi siempre de aquí en adelante estaremos refiriéndonos a la derivada de la función.

67
00:07:27,120 --> 00:07:46,879
Ahora, hablaremos de este límite cuando delta de x tenda cero, pero tened siempre en mente que en este contexto, hablando de la derivada, este límite delta de x tendiendo a cero, no distinguimos por la derecha o por la izquierda, cosa que habríamos de hacer porque ya se supone comprobado que ambos límites laterales existen y coinciden.

68
00:07:47,620 --> 00:07:54,740
Quiero insistir en que cuando en la videoclase anterior, vuelvo para atrás, hablamos de la tasa de variación instantánea

69
00:07:54,740 --> 00:07:58,959
y hacemos este límite cuando delta de x tiende a cero de la tasa de variación media,

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00:07:59,540 --> 00:08:05,300
es equivalente a lo que en este momento estamos llamando derivada lateral por la derecha.

71
00:08:05,300 --> 00:08:12,379
Lo que ocurre es que las derivadas y las tasas de variación instantánea y media se definen en contextos ligeramente distintos

72
00:08:12,379 --> 00:08:20,540
Y este, el de la función derivada, es un contexto mucho más riguroso desde el punto de vista matemático.

73
00:08:20,600 --> 00:08:26,220
Hemos mencionado que la derivada de la función f se va a representar f' de x.

74
00:08:26,579 --> 00:08:32,820
Esta no es la única representación posible y en algunos contextos distintos se utilizan otras notaciones.

75
00:08:33,620 --> 00:08:40,340
Una muy utilizada y que veremos hacia el final de este bloque y que utilizaremos en algún momento es esta que veis aquí.

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00:08:41,240 --> 00:08:45,279
Recordando la definición de la tasa de variación instantánea y la forma en la que se denotaba,

77
00:08:45,940 --> 00:08:51,620
podemos representar la derivada como ese cociente que representaba a la tasa de variación instantánea

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00:08:51,620 --> 00:08:54,980
de f en el numerador, de x en el denominador.

79
00:08:55,559 --> 00:08:58,659
Esto a su vez, recuerdo, me recordaba al incremento.

80
00:08:59,100 --> 00:09:02,659
Diferencia de las f, de las imágenes, diferencia de las x.

81
00:09:02,659 --> 00:09:06,720
Lo único es que cuando no tenemos incrementos finitos, sino que hacemos el límite,

82
00:09:07,120 --> 00:09:08,779
cambiamos las deltas por estas d.

83
00:09:08,779 --> 00:09:15,220
En este caso, esto se leería derivada de la función f con respecto de x.

84
00:09:15,940 --> 00:09:20,340
Y una notación alternativa, que nosotros no utilizaremos, pero que en algunos contextos se utiliza,

85
00:09:20,899 --> 00:09:26,220
es que en lugar de poner aquí esta prima, lo que se hace es poner un punto más o menos grande,

86
00:09:26,320 --> 00:09:28,600
que se distinga, encima de la letra f.

87
00:09:28,799 --> 00:09:30,820
Y aquí tendríamos la derivada primera de f.

88
00:09:33,250 --> 00:09:39,149
Vamos a finalizar esta videoclase discutiendo la relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función.

89
00:09:39,809 --> 00:09:43,610
Un resultado que vamos a utilizar mucho es este que tenemos aquí, el primero.

90
00:09:44,649 --> 00:09:49,309
Para que una función real de variable real f sea derivable en una cierta abstisa x0,

91
00:09:49,710 --> 00:09:53,169
es condición necesaria que sea continua en dicha abstisa.

92
00:09:53,769 --> 00:09:59,009
Así pues, si se nos pide estudiar la derivabilidad de una cierta función, comenzaremos estudiando la continuidad,

93
00:09:59,710 --> 00:10:05,309
puesto que en aquellos puntos donde la función no sea continua, automáticamente sabremos que la función no es derivable.

94
00:10:05,929 --> 00:10:11,230
No obstante, el hecho de que la función sea continua en un cierto punto de la festiza x0

95
00:10:11,230 --> 00:10:13,970
no va a garantizar que la función sea derivable.

96
00:10:14,470 --> 00:10:16,370
Puede que lo sea, puede que no lo sea.

97
00:10:17,690 --> 00:10:23,789
Este resultado se podría haber deducido de este teorema, es la versión contrarrecíproca de él.

98
00:10:24,289 --> 00:10:28,769
Si una función real de variable real f es derivable en un cierto punto de la festiza x0,

99
00:10:28,769 --> 00:10:33,309
entonces sabemos que va a ser continua en ese punto de la festiza x0.

100
00:10:33,309 --> 00:10:41,809
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

101
00:10:42,549 --> 00:10:46,649
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

102
00:10:47,470 --> 00:10:52,230
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

103
00:10:52,230 --> 00:10:54,190
Un saludo y hasta pronto.