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00:00:12,400 --> 00:00:17,440
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,440 --> 00:00:21,899
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,899 --> 00:00:25,820
de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones.

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00:00:31,100 --> 00:00:36,420
En la videoclase de hoy estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

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00:00:47,609 --> 00:00:52,490
En esta videoclase vamos a estudiar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con tres

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00:00:52,490 --> 00:00:59,390
incógnitas utilizando el método de Gauss. Los sistemas de ecuaciones, tres ecuaciones

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00:00:59,390 --> 00:01:03,810
generalmente lineales con tres incógnitas, toman la forma canónica, la forma más habitual

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00:01:03,810 --> 00:01:08,469
que vemos aquí. Un coeficiente por x más un coeficiente por y más un coeficiente por

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00:01:08,469 --> 00:01:12,390
z igual al término independiente, esto tres veces, puesto que tenemos tres ecuaciones.

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00:01:12,790 --> 00:01:17,030
A la izquierda limitaremos con una llave para indicar que estas tres ecuaciones se deben

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00:01:17,030 --> 00:01:21,709
resolver simultáneamente. En este caso las soluciones de existir van a ser pernas de

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00:01:21,709 --> 00:01:28,250
números en forma de punto x, y, z, valores que van a cumplir simultáneamente las tres ecuaciones.

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00:01:29,450 --> 00:01:33,469
Nosotros lo que vamos a hacer es utilizar el método de Gauss en forma matricial. Estamos

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00:01:33,469 --> 00:01:39,989
adelantando aquí en primero de bachillerato algo que ya utilizaremos en segundo de bachillerato.

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00:01:40,269 --> 00:01:46,269
Lo que vamos a hacer es transcribir el sistema de ecuaciones así dado, imaginémonos, 2x más 3y más

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00:01:46,269 --> 00:01:51,049
5 es igual a 7 a una forma de matriz si comparamos lo que hay a la derecha con

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00:01:51,049 --> 00:01:56,469
lo que a la izquierda vemos que tenemos los mismos coeficientes y lo que ocurre

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00:01:56,469 --> 00:02:01,269
es que habéis han desaparecido las incógnitas es una forma más limpia de

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00:02:01,269 --> 00:02:05,590
representar la información contenida dentro de las ecuaciones así pues lo que

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00:02:05,590 --> 00:02:09,650
vamos a hacer es transcribir los sistemas de ecuaciones en forma

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00:02:09,650 --> 00:02:14,610
matricial de esta manera entre paréntesis vamos a escribir ordenados

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00:02:14,610 --> 00:02:22,389
los coeficientes de x, y, z y término independiente en cada una de las líneas. Para la primera

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00:02:22,389 --> 00:02:28,750
ecuación tenemos a11 el coeficiente de x, aquí estaría, a12 el coeficiente de y, aquí

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00:02:28,750 --> 00:02:34,610
estaría, a13 el coeficiente de z, aquí estaría y a continuación el término independiente.

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00:02:35,289 --> 00:02:40,430
Esta línea vertical es estética, no es obligatoria, no forma parte de la matriz y nos ayuda a

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00:02:40,430 --> 00:02:44,729
distinguir el miembro de la izquierda con los coeficientes de la parte literal y el

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00:02:44,729 --> 00:02:49,430
miembro de la derecha con los términos independientes. Si os fijáis, he hecho lo mismo en las tres

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00:02:49,430 --> 00:02:56,270
líneas. A21 por x, aquí tengo A21, A22 por y, aquí tengo A22, A23 por z, aquí tengo

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00:02:56,270 --> 00:03:02,310
A2z y el término independiente B2. Lo mismo en la tercera ecuación. A la parte de la

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00:03:02,310 --> 00:03:08,229
izquierda, esta matriz que tiene tres filas y tres columnas, se le llama matriz de coeficientes

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00:03:08,229 --> 00:03:10,569
y se representa con la letra M mayúscula.

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00:03:11,669 --> 00:03:16,689
A todo completo, la matriz de coeficientes junto con los términos independientes a la derecha

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00:03:16,689 --> 00:03:22,069
se le llama matriz de coeficientes ampliada, puesto que le hemos añadido los términos independientes

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00:03:22,069 --> 00:03:26,229
y se representa por M con un asterisco en la parte de arriba a la derecha.

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00:03:27,030 --> 00:03:30,610
Como veis, esta línea vertical no es más que una ayuda visual.

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00:03:31,750 --> 00:03:37,090
Cuando nosotros tengamos un sistema de ecuaciones expresado en forma canónica de esta manera,

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00:03:37,090 --> 00:03:40,889
lo primero que vamos a hacer siempre va a ser transcribirlo en forma de matriz.

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00:03:41,030 --> 00:03:46,650
Una matriz, en última instancia, no es más que un conjunto de números organizados por filas y columnas.

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00:03:47,229 --> 00:03:49,990
Y aquí tengo tres filas que se corresponden con las tres ecuaciones

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00:03:49,990 --> 00:03:56,250
y cuatro columnas que se corresponden con las tres incógnitas más una extra con los términos independientes.

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00:03:59,169 --> 00:04:03,689
Nosotros resolveremos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas con carácter general

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00:04:03,689 --> 00:04:05,490
utilizando el método de Gauss.

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00:04:06,210 --> 00:04:11,789
Como veis aquí, el método de Gauss no es más que una sistematización, una sistematización

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00:04:11,789 --> 00:04:15,990
algorítmica del método de reducción que ya habíamos discutido al hablar de sistemas

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00:04:15,990 --> 00:04:20,649
de dos ecuaciones con dos incógnitas, con carácter general para sistemas de n ecuaciones

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00:04:20,649 --> 00:04:26,470
con n incógnitas, arbitrario n, aunque nosotros lo vamos a ver en este momento restringiéndonos

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00:04:26,470 --> 00:04:30,410
en principio a sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, puesto que queremos

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00:04:30,410 --> 00:04:34,889
determinar tres incógnitas y para eso necesitamos de tres ecuaciones independientes.

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00:04:35,490 --> 00:04:50,589
Como decía, el método de Gauss sistematiza de forma algorítmica el método de reducción y para ello lo que vamos a hacer es utilizar una serie de transformaciones elementales, fundamentalmente estas cuatro y que por su importancia voy a volver a insistir sobre ellas.

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00:04:50,589 --> 00:04:54,529
En primer lugar, en cualquier momento podremos cambiar el orden de las ecuaciones.

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00:04:54,709 --> 00:04:58,110
Según nos convenga, nos parezca más adecuado, más cómodo, lo que corresponda.

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00:04:58,889 --> 00:05:03,029
En cualquier momento podremos multiplicar por un número real distinto de cero una ecuación,

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00:05:03,250 --> 00:05:06,269
no cero porque entonces las estaremos borrando, las estaremos haciendo desaparecer,

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00:05:06,990 --> 00:05:10,189
y también podemos dividir por un número real distinto de cero,

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00:05:10,290 --> 00:05:13,129
no entre cero porque la división entre cero no está bien definida.

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00:05:13,750 --> 00:05:16,569
Esto nos va a ser muy útil cuando, por ejemplo, nos encontremos con una ecuación

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00:05:16,569 --> 00:05:19,709
en la que todos los coeficientes del término independiente son pares.

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00:05:19,709 --> 00:05:21,310
Bueno, pues podremos dividir todo entre 2.

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00:05:21,910 --> 00:05:25,550
O bien nos encontramos que todos los coeficientes y el término independiente son negativos.

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00:05:25,689 --> 00:05:27,290
Bueno, pues podremos multiplicar por menos 1.

61
00:05:28,050 --> 00:05:35,649
O en un momento dado nos podremos encontrar con que todos los coeficientes están divididos entre 2

62
00:05:35,649 --> 00:05:39,550
o querremos en un momento dado eliminar denominadores, aunque sean distintos.

63
00:05:39,709 --> 00:05:44,910
Bueno, pues lo que haremos será multiplicar por el mínimo como múltiplo de los denominadores para eliminarlos.

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00:05:45,350 --> 00:05:46,750
Algo en este estilo.

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00:05:47,470 --> 00:05:50,649
Siempre en la idea de simplificar las ecuaciones lo más posible.

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00:05:52,370 --> 00:05:56,509
El núcleo del método de Gauss es esta transformación que digo aquí.

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00:05:57,050 --> 00:06:03,290
Sustituir una ecuación por una combinación lineal formada por dicha ecuación sin anular y un número arbitrario de las restantes.

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00:06:03,290 --> 00:06:11,949
Y nosotros habitualmente lo que haremos serán sustituciones del estilo de sustituyo la ecuación 2 por 3 veces la ecuación 2 menos 2 veces la ecuación 1.

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00:06:12,430 --> 00:06:16,449
O sustituyo la ecuación 3 por la ecuación 3 más la ecuación 2.

70
00:06:16,449 --> 00:06:19,509
Siempre será en el método de Gauss algo de este estilo.

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00:06:19,649 --> 00:06:22,889
Sustituyo una ecuación por ella misma y utilizo otra ecuación más.

72
00:06:23,750 --> 00:06:30,509
Por último, siempre podremos eliminar una ecuación que sea combinación lineal de las otras ecuaciones del sistema, ya sin incluirla.

73
00:06:31,310 --> 00:06:35,970
Nosotros más fácilmente veremos dos ecuaciones que sean iguales, eliminaremos una de ellas.

74
00:06:36,470 --> 00:06:41,750
Una ecuación que sea múltiplo de otra, eliminaremos una de ellas.

75
00:06:42,170 --> 00:06:47,490
Si en un momento dado nos damos cuenta de que la ecuación 3 es la ecuación 1 más dos veces la ecuación 2,

76
00:06:47,730 --> 00:06:52,509
que no siempre es fácil de ver este tipo de combinaciones, argumentando de esa manera podremos eliminar la ecuación.

77
00:06:53,589 --> 00:06:56,589
El método de Gauss es muy sencillo de entender.

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00:06:56,829 --> 00:07:00,910
Insisto en que no es más que una sistematización algorítmica del método de reducción.

79
00:07:01,509 --> 00:07:04,709
Y lo que voy a hacer es explicarlo utilizando un ejemplo.

80
00:07:04,970 --> 00:07:10,930
Y entonces os invito a que veáis la siguiente videoclase en la cual voy a resolver como ejemplo este ejercicio 15

81
00:07:10,930 --> 00:07:12,889
utilizando el método de Gauss.

82
00:07:15,829 --> 00:07:21,550
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

83
00:07:22,290 --> 00:07:26,389
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:07:27,209 --> 00:07:31,949
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

85
00:07:32,509 --> 00:07:33,910
Un saludo y hasta pronto.