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00:00:02,540 --> 00:00:12,419
En este vídeo vamos a estudiar las distintas ecuaciones de un plano en el espacio tridimensional.

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00:00:13,140 --> 00:00:18,239
Los datos que determinan un plano pueden ser un punto posición y dos vectores directores.

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00:00:18,839 --> 00:00:26,079
Para que un punto genérico P, X y Z esté en el plano, es necesario que el vector que lo une con el punto posición,

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00:00:26,079 --> 00:00:29,280
es decir, el vector AP, esté en el plano

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00:00:29,280 --> 00:00:32,939
y para ello es necesario que se pueda escribir como combinación lineal

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00:00:32,939 --> 00:00:35,359
de los vectores generadores del plano U y V.

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00:00:36,259 --> 00:00:38,899
Este hecho se traduce en la ecuación vectorial.

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00:00:39,740 --> 00:00:43,539
Si sustituimos ahora las coordenadas de los vectores y del punto

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00:00:43,539 --> 00:00:47,039
obtenemos un sistema de tres ecuaciones que depende de dos parámetros.

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00:00:47,719 --> 00:00:49,539
Estas son las ecuaciones paramétricas.

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00:00:50,020 --> 00:00:52,719
Pero el hecho de que haya dos parámetros hace que estas ecuaciones

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00:00:52,719 --> 00:00:55,600
sean mucho más incómodas que las paramétricas de la recta.

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00:00:56,079 --> 00:01:02,000
conviene eliminar la lambda y la no. Obtendremos así la ecuación implícita o cartesiana.

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00:01:02,659 --> 00:01:08,939
Pero para poder obtener esta ecuación conviene proceder de otra forma completamente distinta, será más sencilla.

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00:01:09,640 --> 00:01:14,480
Como tenemos tres vectores linealmente dependientes, los dos vectores u y v y el vector ap,

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00:01:15,060 --> 00:01:18,480
resulta que el rango de la matriz formada por sus coordenadas será 2

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00:01:18,480 --> 00:01:22,900
y eso implica que el determinante de la matriz 3x3 ha de ser 0.

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00:01:22,900 --> 00:01:29,620
calculando y simplificando esta determinante igualado a 0 obtendremos la ecuación cartesiana

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00:01:29,620 --> 00:01:36,299
puede que los datos que nos den no sean dos vectores independientes y un punto

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00:01:36,299 --> 00:01:38,120
sino tres puntos no alineados

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00:01:38,120 --> 00:01:44,079
en ese caso primero deberemos calcular dos vectores directores con los tres puntos

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00:01:44,079 --> 00:01:50,569
bueno pues vamos a ver un ejemplo de plano que pasa por tres puntos

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00:01:50,569 --> 00:02:00,849
tenemos aquí tres puntos, a, 1, 0, menos 1, b, 0, 1, 1 y c, 2, 1, menos 1 y tenemos que calcular la ecuación del plano que pasa por ellos tres.

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00:02:01,469 --> 00:02:09,810
Recuerdo que la ecuación del plano que pasa por tres puntos es esta, donde a, 1, b, 1, c, 1, a, 2, b, 2, c, 2 serán los vectores directores.

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00:02:10,389 --> 00:02:18,129
Como no tenemos vectores directores, lo primero es calcular estos vectores directores. ¿Cómo? Pues calculando los vectores que pasan por dos puntos.

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00:02:18,129 --> 00:02:22,530
Recuerdo que hay que calcular las coordenadas del final menos las del principio

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00:02:22,530 --> 00:02:34,050
Es decir, sería, este es el vector u

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00:02:34,050 --> 00:02:38,449
Calculamos ahora el vector ac de la misma forma

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00:02:38,449 --> 00:02:52,050
Y este es el segundo vector director

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00:02:52,050 --> 00:02:54,270
Ahora solo hace falta sustituir en la ecuación

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00:02:54,270 --> 00:02:58,449
Primera fila, x menos las coordenadas del punto posición

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00:02:58,449 --> 00:03:00,629
Segunda fila, primer vector director

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00:03:00,629 --> 00:03:03,250
Tercera fila, segundo vector director

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00:03:03,250 --> 00:03:04,569
Determinante igualado a cero

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00:03:04,569 --> 00:03:05,349
Sustituimos

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00:03:05,349 --> 00:03:52,759
Y ahora solo hace falta simplificar. Y ahora simplificando, dividiendo entre menos 2, terminamos con el plano que pasa por ABC. Y esta es la ecuación pedida, x menos y más z igual a 0.

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00:03:52,759 --> 00:03:59,900
vamos a interpretar ahora geométricamente los coeficientes de la ecuación cartesiana de nuestro

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00:03:59,900 --> 00:04:05,979
plano fijaos que la ecuación se puede escribir como el producto escalar igualado a cero del

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00:04:05,979 --> 00:04:13,219
vector abc por el vector genérico del plano x menos x 0 y menos y 0 z menos z 0 cuando introduzcamos

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00:04:13,219 --> 00:04:18,339
el producto escalar veremos que dos vectores cuyo producto escalar es cero son perpendiculares por

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00:04:18,339 --> 00:04:24,579
tanto, el vector ABC es perpendicular a todos los vectores del plano, es decir, ABC es el

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00:04:24,579 --> 00:04:31,160
vector normal al plano. Por ejemplo, el plano X más Y menos 2Z igual a 0 tiene por vector

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00:04:31,160 --> 00:04:37,819
normal el 1, 1 menos 2. La ecuación cartesiana de un plano se calcula muy bien si tenemos

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00:04:37,819 --> 00:04:42,839
como datos la dirección perpendicular del mismo y un punto posición. Veamos un ejemplo.

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00:04:43,240 --> 00:04:48,319
En este ejercicio nos piden calcular la ecuación de un plano que pasa por este punto y que

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00:04:48,319 --> 00:04:49,740
que es perpendicular a esta recta.

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00:04:50,620 --> 00:04:53,439
Recuerdo que cuando nos dan la dirección perpendicular a un plano,

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00:04:54,199 --> 00:04:57,459
debemos utilizar esta ecuación, la ecuación cartesiana,

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00:04:57,660 --> 00:05:01,879
porque las coeficientes a, b y c son el vector normal a la recta.

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00:05:02,240 --> 00:05:04,139
Entonces va a ser muy sencillo. ¿Por qué?

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00:05:04,139 --> 00:05:10,199
Porque vamos a tener que el vector normal va a ser abc

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00:05:10,199 --> 00:05:17,779
y ese vector va a coincidir con el vector director de la recta,

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00:05:17,779 --> 00:05:34,680
que es el 2, 1, 3. Ahora solo hace falta sustituir x0, y0, z0 por a, a, b, c, por las coordenadas del vector m, que es 2, 1, 3. Y ya está.

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00:05:44,310 --> 00:05:58,329
Cuidado con los dobles signos. Ahora solo hay que simplificar esta ecuación y se acabó. Y esta es la ecuación del plano buscado.

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00:05:58,329 --> 00:06:04,569
para concluir vamos a introducir una última ecuación que se usa cuando los datos de partida

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00:06:04,569 --> 00:06:10,610
son los puntos de intersección del plano con los ejes si el plano corta los ejes en unos segmentos

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00:06:10,610 --> 00:06:15,829
de longitudes a b y c la ecuación del plano se puede escribir como x partido por a más y partido

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00:06:15,829 --> 00:06:23,009
por b más z partido por c igual a 1 a esta ecuación se le llama ecuación segmental y esto

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00:06:23,009 --> 00:06:27,089
ha sido todo nos vemos en futuros vídeos un saludo hasta luego