1 00:00:01,389 --> 00:00:07,669 Buenas tardes, esta es la clase de Matemáticas 2 del día 25 de septiembre. 2 00:00:08,810 --> 00:00:13,429 Mi nombre es Ángel Sánchez, soy vuestro profesor también de Ciencias. 3 00:00:14,789 --> 00:00:19,929 Os voy a contar un poquito, aunque ya lo he explicado en Ciencias, lo repito aquí en Matemáticas, 4 00:00:20,129 --> 00:00:25,410 por lo que tenéis solo uno de los módulos, cómo funciona la evaluación del curso 5 00:00:25,410 --> 00:00:28,690 y cómo está organizado el curso de Matemáticas 2. 6 00:00:28,690 --> 00:00:49,439 Bueno, pues la forma de evaluar en este módulo va a ser trimestral, tendréis un examen solo al trimestre, que le podéis hacer según estas dos modalidades que os voy a contar. 7 00:00:49,439 --> 00:01:18,819 Primera modalidad, pues solo hacer una prueba escrita del 100% del contenido de la evaluación, o sea, evaluar sobre 10 puntos, o realizar la modalidad de evaluación continua en la que la prueba escrita trimestral valdría 7 puntos y los otros 3 puntos, o sea, el otro 30%, consistiría en entregar las tareas y actividades que os vaya proponiendo en cada tema. 8 00:01:19,439 --> 00:01:22,939 que eso lo vais a poder ver siempre debajo de la actividad del tema, 9 00:01:23,599 --> 00:01:28,200 pues pondré cuáles son las que tienen que entregar los alumnos de distancia. 10 00:01:29,140 --> 00:01:33,140 Además de esas actividades, pues tendréis que entregar como un resumen del tema 11 00:01:33,140 --> 00:01:35,400 de los conceptos principales. 12 00:01:36,019 --> 00:01:39,900 Este resumen, pues lo quiero para que os sirva luego un poco 13 00:01:39,900 --> 00:01:43,859 para repaso de última hora antes del examen. 14 00:01:44,599 --> 00:01:48,200 Y los ejercicios, para que vayáis practicando poco a poco 15 00:01:48,200 --> 00:01:53,640 lo que vamos tratando en cada tema, no lo dejéis todo para el último día 16 00:01:53,640 --> 00:02:03,180 que si no es mucha tela y en matemáticas pues no vale el palizón de última hora 17 00:02:03,180 --> 00:02:07,959 porque hay que practicar y dejar a la cabeza que asiente los conceptos 18 00:02:07,959 --> 00:02:14,280 y que tenga soltura suficiente y agilidad suficiente para luego poderse enfrentar al examen 19 00:02:14,280 --> 00:02:29,219 Una asignatura teórica, como puede ser la misma de ciencias que yo también os doy, pues sí podría pegarme esa paliza de los dos días antes, empollármelo todo, y más en ciertos temas que son de conocimientos generales que seguro que muchas cosas las sabéis. 20 00:02:29,219 --> 00:02:41,000 Pero en matemáticas se necesita estudiar con lápiz y papel, hay que practicar, porque si no nos vienen todas las dudas del mundo y hasta una suma ya no sabemos hacerla y dudamos de su resultado. 21 00:02:41,000 --> 00:02:45,800 bueno, si optáis por esta opción de la evaluación continua 22 00:02:45,800 --> 00:02:49,180 os pido por favor que me mandéis un correo 23 00:02:49,180 --> 00:02:51,939 diciendo que os vais a acoger a esta evaluación 24 00:02:51,939 --> 00:02:55,259 aparte de que así ya os tengo contactados 25 00:02:55,259 --> 00:02:58,439 pues para cuando luego me mandéis los ejercicios y los resúmenes 26 00:02:58,439 --> 00:03:00,360 pues os tenga ya clasificados 27 00:03:00,360 --> 00:03:02,659 estos ejercicios y resúmenes 28 00:03:02,659 --> 00:03:04,740 como os he dicho antes también en ciencias 29 00:03:04,740 --> 00:03:06,680 pues me haríais una foto 30 00:03:06,680 --> 00:03:10,740 y me lo mandáis en formato JPG 31 00:03:10,740 --> 00:03:14,860 para que luego yo pueda abrirlo con la tableta que tengo 32 00:03:14,860 --> 00:03:18,560 y os pueda corregir sobre estas mismas archivos 33 00:03:18,560 --> 00:03:21,039 haceros las correcciones 34 00:03:21,039 --> 00:03:24,340 si me lo mandáis en formato GIF o cualquier otro formato 35 00:03:24,340 --> 00:03:26,360 pues no me lo reconoce la tableta 36 00:03:26,360 --> 00:03:28,159 y no os lo puedo corregir encima 37 00:03:28,159 --> 00:03:33,099 y mandaros correcciones de matemáticas escritas ahí en un correo 38 00:03:33,099 --> 00:03:34,539 pues no hay quien las entienda 39 00:03:34,539 --> 00:03:38,099 es mejor que yo os pueda marcar encima de lo que habéis hecho 40 00:03:38,099 --> 00:03:42,319 lo que está mal y escribiros al lado de la corrección, porque lo vais a entender 41 00:03:42,319 --> 00:03:46,379 mucho mejor. Entonces, por favor, como os estoy 42 00:03:46,379 --> 00:03:49,599 diciendo, aseguraos de 43 00:03:49,599 --> 00:03:53,599 que el formato sea el correcto, ¿vale? 44 00:03:57,830 --> 00:04:01,870 Bueno, ¿qué tendríamos que hacer 45 00:04:01,870 --> 00:04:05,810 para que se puedan sumar estas dos notas de la evaluación continua? 46 00:04:07,009 --> 00:04:09,710 Pues, como os he dicho antes, JPG o 47 00:04:09,710 --> 00:04:14,030 PDF también, nos valdría para los dos lados, los PDF también los deja aquí, los deja corregir 48 00:04:14,030 --> 00:04:15,669 ¿vale? o sea que como queráis 49 00:04:15,669 --> 00:04:21,509 pues tendríamos que sacar mínimo un 3 50 00:04:21,509 --> 00:04:26,110 en el examen para poder sumar los puntos 51 00:04:26,110 --> 00:04:29,870 de la parte de evaluación continua, si yo tengo un 3 en el examen 52 00:04:29,870 --> 00:04:33,550 y he conseguido dos puntos en la parte de evaluación continua, pues ya tengo mi 5 53 00:04:33,550 --> 00:04:37,850 para aprobar ese trimestre ¿vale? 54 00:04:37,850 --> 00:04:49,769 Si no llego a ese 5, pues me puedo quedar en un 4 y hacer media con el módulo de 100 medias. 55 00:04:50,470 --> 00:04:56,029 Pero ojo, que ese 4 sea del 3 del examen más un punto de las actividades. 56 00:04:56,290 --> 00:05:02,189 No me vale que haya sacado un 2 en el examen y un 2 en las actividades y digo, ah, pues es que ya tengo un 4 para hacer media. 57 00:05:02,189 --> 00:05:13,029 No, el examen siempre, para poder sumar los puntos de las actividades, tiene que haber tenido mínimo un 3, que sería el equivalente a haber sacado un 4 sobre 10, ¿vale? 58 00:05:15,939 --> 00:05:20,500 La nota de final de curso, pues sería la media de las notas de las tres evaluaciones. 59 00:05:21,060 --> 00:05:33,379 Que alguna de las evaluaciones no la haya aprobado, pues tendré una recuperación en la evaluación siguiente, en la que ya tendré que hacer el examen ese de 10 puntos, ¿vale? 60 00:05:34,399 --> 00:05:51,060 ¿Que no apruebo la evaluación en esa recuperación? Pues en junio, a principio de junio, tenemos las pruebas ordinarias en las que se volverían a hacer recuperaciones por evaluaciones independientes, a no ser que tenga las tres suspensas, que entonces tendría que hacer un examen global de todo el curso. 61 00:05:51,060 --> 00:05:56,139 que aún así no consigo aprobar y llegar a esa media de 5 62 00:05:56,139 --> 00:05:59,759 pues tendríamos que hacer un examen extraordinario 63 00:05:59,759 --> 00:06:04,300 que ese sería directamente sobre 10 puntos y para el que ya no valen las notas de clase 64 00:06:04,300 --> 00:06:11,319 y sacar un 5 o mínimo un 4 para poder hacer media con la nota de ciencias. 65 00:06:11,319 --> 00:06:19,160 Lo tenéis explicado en este documento que le tenéis justo a continuación de los vídeos que vamos a ir colgando. 66 00:06:19,160 --> 00:06:24,459 lo he explicado también en la clase de ciencias 67 00:06:24,459 --> 00:06:28,259 si hay alguna duda pues me escribís y me preguntáis 68 00:06:28,259 --> 00:06:32,040 lo que queráis, vamos a ver ahora como 69 00:06:32,040 --> 00:06:36,279 organizaría los temas y sus ejercicios de esta parte de 70 00:06:36,279 --> 00:06:39,399 matemáticas y a comenzar con el primer tema 71 00:06:39,399 --> 00:06:43,819 como no he podido hacer con vosotros porque no os conozco 72 00:06:43,819 --> 00:06:46,620 pues una evaluación inicial para ver como venimos 73 00:06:46,620 --> 00:06:51,360 pues no vamos a empezar por el tema primero de números racionales 74 00:06:51,360 --> 00:06:53,899 he preparado un tema de repaso de números enteros 75 00:06:53,899 --> 00:06:57,540 que os pueda ayudar a recordar y refrescar 76 00:06:57,540 --> 00:07:00,259 pues esos conceptos que a lo mejor tengáis un poco olvidados 77 00:07:00,259 --> 00:07:02,879 de la parte de aritmética 78 00:07:02,879 --> 00:07:07,000 para que luego en las fracciones, que es el primer tema 79 00:07:07,000 --> 00:07:10,060 el tema de números racionales, pues no nos cueste tanto 80 00:07:10,060 --> 00:07:11,879 bueno 81 00:07:11,879 --> 00:07:15,759 este sería la unidad 0, como os digo 82 00:07:15,759 --> 00:07:20,759 que vamos a trabajarlo sobre números enteros, aunque os hablaré 83 00:07:20,759 --> 00:07:24,720 también de cositas de números naturales. Yo os presentaré siempre 84 00:07:24,720 --> 00:07:28,360 el tema con teoría 85 00:07:28,360 --> 00:07:31,560 lo mínimo posible para no liaros mucho y siempre 86 00:07:31,560 --> 00:07:36,420 acompañada de ejemplos a continuación. Pues teoría, un ejemplo. Teoría, un ejemplo 87 00:07:36,420 --> 00:07:40,399 para que os sirva para fijar esos conceptos teóricos y poderos fijar 88 00:07:40,399 --> 00:07:44,600 en el ejemplo. ¿Vale? Los temas no van a ser 89 00:07:44,600 --> 00:07:51,060 muy largo, ya estáis viendo este tema de repaso, pues son seis páginas, porque como 90 00:07:51,060 --> 00:07:56,759 os decía antes, pues en matemáticas lo que hay que hacer es practicar, conceptos se pueden 91 00:07:56,759 --> 00:08:03,959 comprimir mucho, pero luego hay que practicar y ahí sí que nos extenderemos un poco más 92 00:08:03,959 --> 00:08:10,439 y las hojas de ejercicio serán un poquito más largas, como son bastante largas en algunos 93 00:08:10,439 --> 00:08:15,899 casos, por eso no os mando que me entreguéis todos los ejercicios, sino que hago una selección 94 00:08:15,899 --> 00:08:24,420 de los mínimos que me ayuden a ver cómo vais y a que me podáis preguntar las dudas 95 00:08:24,420 --> 00:08:30,980 que os vayan surgiendo. ¿De acuerdo? Bueno, pues vamos a empezar con ese primer tema de 96 00:08:30,980 --> 00:08:38,799 repaso o digamos de recordatorio de las operaciones con números enteros que nos sirvan luego 97 00:08:38,799 --> 00:08:42,740 de base para poder hacer lo mismo con números 98 00:08:42,740 --> 00:08:47,220 racionales. Lo primero que quiero que recordemos 99 00:08:47,220 --> 00:08:50,840 es los tipos de números que teníamos 100 00:08:50,840 --> 00:08:54,399 y los tipos de números que tenemos son los siguientes 101 00:08:54,399 --> 00:08:58,759 los primeros, los números naturales, que es 102 00:08:58,759 --> 00:09:02,720 el cero y todos los números positivos y que 103 00:09:02,720 --> 00:09:06,100 los utilizamos para contar, ¿vale? 104 00:09:06,100 --> 00:09:10,620 aparecieron, de hecho, con esa necesidad de tener que contar 105 00:09:10,620 --> 00:09:13,360 los primitivos 106 00:09:13,360 --> 00:09:18,159 lo que hacían cuando querían contar algo era hacerlo por asociación 107 00:09:18,159 --> 00:09:22,679 cogían y si iban a cazar animales 108 00:09:22,679 --> 00:09:27,120 lo que hacían era coger tantas piedrecitas como animales habían visto 109 00:09:27,120 --> 00:09:30,080 habían visto cinco 110 00:09:30,080 --> 00:09:33,720 gacelas, vamos a poner 111 00:09:33,720 --> 00:09:45,480 y hacían pues cinco rayitas o cogían cinco piedrecitas, o sea que iban asociando con algo que fuese más gráfico 112 00:09:45,480 --> 00:09:48,000 lo que habían visto para contárselo a sus compañeros. 113 00:09:48,899 --> 00:09:55,840 Realmente nuestro sistema de numeración que tiene también la base en esto, 114 00:09:56,379 --> 00:10:02,460 porque lo que hacemos nosotros con las grafías de los números que tenemos es contar ángulos. 115 00:10:02,460 --> 00:10:26,320 El 1 es un ángulo, el 2 original era dos ángulos, el 3 era tres ángulos, luego se han ido volviendo un poquillo más redonditos estos números más bonitos, pero se basaba en ese mismo criterio de semejanzas al principio, ¿de acuerdo? 116 00:10:26,320 --> 00:10:28,700 entonces, números naturales 117 00:10:28,700 --> 00:10:31,220 cero y los números positivos 118 00:10:31,220 --> 00:10:33,279 el cero no tiene 119 00:10:33,279 --> 00:10:35,220 ángulos entonces como se representaba 120 00:10:35,220 --> 00:10:37,259 pues originalmente no se representaba 121 00:10:37,259 --> 00:10:39,379 de hecho, pues podéis encontrar que en muchos 122 00:10:39,379 --> 00:10:41,320 libros el cero no le toma como 123 00:10:41,320 --> 00:10:42,139 un número natural 124 00:10:42,139 --> 00:10:45,220 el cero cuando se 125 00:10:45,220 --> 00:10:46,820 expresaban números de más de 126 00:10:46,820 --> 00:10:49,440 una cifra y había 127 00:10:49,440 --> 00:10:51,279 que incluir ese cero lo que hacían era dejar un 128 00:10:51,279 --> 00:10:52,940 espacio, pero claro 129 00:10:52,940 --> 00:10:55,120 el espacio es un poco relativo 130 00:10:55,120 --> 00:10:58,460 depende de lo grande que escriba yo, de lo separado que escriba 131 00:10:58,460 --> 00:11:02,860 entonces no se entendía bien cuando se quería reflejar ese 0 132 00:11:02,860 --> 00:11:06,639 pues que hicieron, representar 133 00:11:06,639 --> 00:11:11,159 ese 0 marcando ese huequito que querían dejar 134 00:11:11,159 --> 00:11:14,159 nuestro sistema de numeración 135 00:11:14,159 --> 00:11:18,720 se llama decimal posicional, decimal 136 00:11:18,720 --> 00:11:22,740 porque trabaja con 8 dígitos distintos 137 00:11:22,740 --> 00:11:29,460 del 0 al 9 y posicional 138 00:11:29,460 --> 00:11:33,100 porque dependiendo de qué posición ocupe 139 00:11:33,100 --> 00:11:36,840 ese dígito tendrá un valor u otro 140 00:11:36,840 --> 00:11:40,279 este primer 1 es una unidad 141 00:11:40,279 --> 00:11:47,659 pero este segundo 1 no es una unidad, son 10 unidades 142 00:11:47,659 --> 00:11:54,500 y este tercer 1 ya son 100 unidades 143 00:11:54,500 --> 00:12:02,370 ¿vale? entonces 100 más 10 más 1 144 00:12:02,370 --> 00:12:07,330 el 101 que nosotros reconocemos. Entonces, como dígito independiente 145 00:12:07,330 --> 00:12:12,409 estoy utilizando la misma grafía, pero al ocupar una posición concreta 146 00:12:12,409 --> 00:12:17,389 su valor cambia. Bueno, pues como he dicho 147 00:12:17,389 --> 00:12:21,509 solo un poco por recordarlo, nuestro sistema es 148 00:12:21,509 --> 00:12:31,519 decimal posicional. Diez dígitos distintos 149 00:12:31,519 --> 00:12:35,860 valor de esos dígitos dependiendo siempre 150 00:12:35,860 --> 00:12:39,980 de la posición que ocupan. Vale, ya 151 00:12:39,980 --> 00:12:43,960 tenemos nuestros números naturales, los empezamos a 152 00:12:43,960 --> 00:12:46,419 utilizar porque necesitábamos contar cosas 153 00:12:46,419 --> 00:12:51,840 empezamos a hacer operaciones, quiero sumar dos números 154 00:12:51,840 --> 00:12:55,480 naturales, ningún problema, porque el resultado va a ser otro número natural 155 00:12:55,480 --> 00:13:00,019 quiero multiplicar dos números naturales, ningún problema, el resultado va a ser 156 00:13:00,019 --> 00:13:03,399 otro número a natural, puesto que la multiplicación es 157 00:13:03,399 --> 00:13:07,159 una agrupación de sumas del mismo número. Ahora 158 00:13:07,159 --> 00:13:11,779 cuando quiero restar ya puedo tener problemas 159 00:13:11,779 --> 00:13:15,899 porque si yo quiero restar 5 a 4 160 00:13:15,899 --> 00:13:19,139 ya no hay un número que lo represente 161 00:13:19,139 --> 00:13:24,059 si quiero restar 4 a 5 ningún problema 162 00:13:24,059 --> 00:13:27,559 porque me sobra 1 y el 1 es un número natural, un número positivo 163 00:13:27,559 --> 00:13:33,700 pero cuando quiero hacer al revés, restar 5 a 4, lo que quiero indicar es que me falta uno 164 00:13:33,700 --> 00:13:40,240 y había que cambiar esa grafía original. ¿Cómo la cambiamos? Pues poniéndole un menor delante. 165 00:13:40,980 --> 00:13:46,240 Si el número es positivo, significa que tengo, digamos, si es negativo, es que me falta. 166 00:13:47,399 --> 00:13:54,940 Entonces, a ese conjunto de los números naturales que teníamos, le añadimos los números negativos. 167 00:13:54,940 --> 00:14:00,860 unos con otros conforman el conjunto de los números enteros 168 00:14:00,860 --> 00:14:04,500 además, esos números enteros, esos signos 169 00:14:04,500 --> 00:14:06,659 me ayudan a referirme en más cosas 170 00:14:06,659 --> 00:14:08,940 por ejemplo, a la temperatura 171 00:14:08,940 --> 00:14:12,740 puedo expresar con los mismos dígitos 172 00:14:12,740 --> 00:14:14,620 y añadiendoles el signo 173 00:14:14,620 --> 00:14:17,960 si estoy con una temperatura por encima de cero 174 00:14:17,960 --> 00:14:19,139 o por debajo de cero 175 00:14:19,139 --> 00:14:22,759 me vale también para indicar en un ascensor 176 00:14:22,759 --> 00:14:25,879 si voy al sótano o voy a los pisos superiores 177 00:14:25,879 --> 00:14:29,759 me vale para indicar a qué altura estoy respecto al nivel del mar 178 00:14:29,759 --> 00:14:32,539 si estoy por debajo del nivel del mar porque voy en un submarino 179 00:14:32,539 --> 00:14:34,360 o estoy volando en un avión 180 00:14:34,360 --> 00:14:39,080 o sea que luego los físicos le sacaron más partido 181 00:14:39,080 --> 00:14:40,879 a esto del signo de los números 182 00:14:40,879 --> 00:14:46,100 que originalmente apareció con la necesidad de hacer esas restas 183 00:14:46,100 --> 00:14:49,820 que no éramos capaces de hacer solo con los números naturales 184 00:14:49,820 --> 00:14:57,419 Entonces, números enteros son los naturales, que son los positivos, y les añadimos los negativos. 185 00:14:58,559 --> 00:15:06,240 Después de los números enteros, pues resulta que con los números enteros podía hacer esas restas, ya sin problema. 186 00:15:06,860 --> 00:15:13,220 Pero quiero seguir haciendo operaciones y me voy a hacer divisiones, que son las fracciones, que vamos a ver este año. 187 00:15:13,220 --> 00:15:18,679 Cuando yo quiero dividir 6 entre 3, ningún problema. 188 00:15:19,100 --> 00:15:25,320 Pero si quiero dividir 3 entre 6, ya no hay números para reflejar esos decimales que me salen. 189 00:15:26,539 --> 00:15:30,019 Me hace falta añadir más números. 190 00:15:31,159 --> 00:15:32,820 Son los números decimales. 191 00:15:34,960 --> 00:15:36,720 ¿Qué son números decimales? 192 00:15:36,720 --> 00:15:42,259 Pues veremos que pueden ser exactos o pueden ser periódicos, que es que se repitan indefinidamente 193 00:15:42,259 --> 00:15:45,879 y no se acaben nunca, pero el caso es que tienen decimales 194 00:15:45,879 --> 00:15:51,980 y para representar esos números necesito añadir a mi grupo de los números enteros 195 00:15:51,980 --> 00:15:57,480 todos esos números decimales que veremos en el tema de números racionales 196 00:15:57,480 --> 00:16:01,759 que muchos de ellos los puedo escribir como una fracción 197 00:16:01,759 --> 00:16:06,879 y le llamaré entonces números racionales porque se pueden poner en forma de ración 198 00:16:06,879 --> 00:16:13,240 y otros será imposible escribirlos como fracción y serán los que llamemos números irracionales, 199 00:16:13,720 --> 00:16:18,039 que serán aquellos que tienen infinitos decimales y que no se repiten. 200 00:16:18,559 --> 00:16:25,200 Por ejemplo, el número pi, la razón áurea, pi en transarios decimales, decimales, decimales, decimales y eso no se acaba nunca. 201 00:16:25,480 --> 00:16:34,480 Y por último, que eso no lo veremos nunca, a no ser que hagáis bachillato y de ciencias alguno, 202 00:16:34,480 --> 00:16:57,840 Pues aparecen los números reales, que es la combinación de racionales más irracionales y nos faltaría un grupo aquí que serían los números complejos, que eso ya sigue de ninguna manera, porque esos números hay que trabajar con ellos de forma geométrica, ya no vale la forma aritmética para tratarlos. 203 00:16:58,559 --> 00:17:01,620 Hay que tratarlos como si fuesen vectores en un plano. 204 00:17:02,340 --> 00:17:08,640 Esos ni siquiera los he puesto porque no ven una cuenta ni vamos a verlos por ningún sitio. 205 00:17:09,240 --> 00:17:14,579 Hasta los irracionales sí, porque eso sí que, aunque no haremos operaciones con ellos, sí que tenemos que identificarlos 206 00:17:14,579 --> 00:17:22,220 y saber que todos estos juntos, racionales e irracionales, conforman los números reales. 207 00:17:22,220 --> 00:17:27,460 Voy a hacer un gráfico de esto en un momentito. 208 00:17:27,839 --> 00:17:46,140 Tendríamos los primeros, los números naturales, con una n sola o una n de dos palitos. 209 00:17:46,140 --> 00:17:52,519 Estos están dentro de los números enteros. 210 00:17:53,640 --> 00:18:01,980 Los números enteros estarían dentro de los números racionales, que se representan con una q. 211 00:18:01,980 --> 00:18:07,819 aparte habría otro conjunto distinto que son los irracionales 212 00:18:07,819 --> 00:18:14,819 y si juntamos estos números racionales 213 00:18:14,819 --> 00:18:17,420 más los números irracionales 214 00:18:17,420 --> 00:18:24,079 tenemos el conjunto de los números reales 215 00:18:24,079 --> 00:18:26,960 por si lo veis en algún libro este gráfico 216 00:18:26,960 --> 00:18:33,839 nosotros vamos a estar tratando solo con estos tres primeros 217 00:18:33,839 --> 00:18:42,660 que son los naturales y enteros 218 00:18:42,660 --> 00:18:45,240 que se supone que ya sabríamos manejarlos 219 00:18:45,240 --> 00:18:47,680 pero como están dentro de los racionales 220 00:18:47,680 --> 00:18:51,859 pues los vamos a tener todo el rato por ahí dando vueltas 221 00:18:51,859 --> 00:18:55,579 deberíamos empezar nuestro curso aquí 222 00:18:55,579 --> 00:18:57,079 con esos números racionales 223 00:18:57,079 --> 00:19:00,000 pero vamos a empezar aquí 224 00:19:00,000 --> 00:19:04,740 recordando los conceptos que nos van a hacer falta 225 00:19:04,740 --> 00:19:09,720 para tratar mejor esos números racionales, por si alguien 226 00:19:09,720 --> 00:19:12,579 los tiene un poco olvidados o hasta 227 00:19:12,579 --> 00:19:17,500 no lo he visto nunca, por decirlo de alguna manera 228 00:19:17,500 --> 00:19:20,619 bueno, pues vamos a ver que hacemos 229 00:19:20,619 --> 00:19:25,759 que hacemos con esos números naturales 230 00:19:25,759 --> 00:19:30,500 que estaban dentro del 1% de los números enteros 231 00:19:30,500 --> 00:19:32,960 que nos pueda ser útil luego más adelante 232 00:19:32,960 --> 00:19:36,799 hemos dicho que los utilizamos para contar 233 00:19:36,799 --> 00:19:40,940 y son el 0 más los positivos 234 00:19:40,940 --> 00:19:42,660 muy bien, está ahí todo de acuerdo 235 00:19:42,660 --> 00:19:45,039 ahora, que me interesa 236 00:19:45,039 --> 00:19:48,319 recordar aquí lo primero 237 00:19:48,319 --> 00:19:50,359 que luego me va a ayudar mucho 238 00:19:50,359 --> 00:19:53,240 y que muchas veces nos presenta un dolor de cabeza grande 239 00:19:53,240 --> 00:19:55,240 porque confundo los conceptos 240 00:19:55,240 --> 00:19:58,579 pues quiero distinguir lo que es un múltiplo 241 00:19:58,579 --> 00:19:59,839 de lo que es un divisor 242 00:19:59,839 --> 00:20:04,940 diremos que si tengo dos números cualquiera 243 00:20:04,940 --> 00:20:09,680 los vamos a llamar con letras, en mate nos gustan mucho las letras aunque no somos de lengua 244 00:20:09,680 --> 00:20:14,640 si los llamo a y b digo que el número a es múltiplo del número b 245 00:20:14,640 --> 00:20:20,019 si yo consigo poner ese número a como el número b multiplicado por algo 246 00:20:20,019 --> 00:20:24,460 o sea que a es un múltiplo de b 247 00:20:24,460 --> 00:20:28,359 si está en la tabla de multiplicar del número b por decirlo de alguna manera 248 00:20:29,059 --> 00:20:35,759 Ejemplo, el 12 es un múltiplo de 3 porque puedo escribir 12 como 4 por 3. 249 00:20:36,740 --> 00:20:37,559 Ya está, sin más. 250 00:20:38,339 --> 00:20:42,799 He podido generar la tabla de multiplicar del 3 y me he encontrado en ella al 12. 251 00:20:44,160 --> 00:20:52,549 Pues nada, siempre que quiera generar múltiplos de un número, lo que hago es su tabla de multiplicar. 252 00:20:52,849 --> 00:20:56,069 Ejemplo, como os pongo aquí, pues múltiplos del 4, ¿quién van a ser? 253 00:20:56,069 --> 00:21:01,849 4 por 1 es 4, 4 por 2 es 8, 4 por 3 es 12, su tabla de multiplicar. 254 00:21:02,509 --> 00:21:04,130 Vamos a ver el concepto al revés. 255 00:21:04,710 --> 00:21:13,509 Tengo esos dos mismos números A y B y quiero ver qué significa que el número B sea divisor del número A. 256 00:21:14,470 --> 00:21:21,450 Pues yo digo que un número es divisor de otro si al hacer la división me sale exacta, o sea, no me sale nada de resto. 257 00:21:21,450 --> 00:21:25,289 ejemplo, el 8 es un divisor del 40 258 00:21:25,289 --> 00:21:29,269 porque puedo escribir, hacer la división 259 00:21:29,269 --> 00:21:32,309 de 40 entre 8 y me sale 5 260 00:21:32,309 --> 00:21:37,349 entonces cuando yo quiero calcular todos los divisores de un número 261 00:21:37,349 --> 00:21:41,069 lo primero que hago es 262 00:21:41,069 --> 00:21:45,430 tener en cuenta que siempre el 1 263 00:21:45,430 --> 00:21:48,990 y el propio número son divisores 264 00:21:48,990 --> 00:21:51,549 O sea, ya tengo dos divisores mínimos. 265 00:21:52,390 --> 00:21:57,250 Y después lo que voy haciendo es lo que vamos a llamar y recordar que es factorizarle. 266 00:21:58,049 --> 00:22:04,849 Empiezo a dividir entre los números naturales el 2, a ver si me sale exacta, entre el 3, entre el 5. 267 00:22:06,029 --> 00:22:09,750 Veo que entre el 4 no hace falta que divida porque si no he podido dividir entre 2, 268 00:22:10,349 --> 00:22:14,130 ya no voy a poder dividir entre 4, que es un número par, ni entre 6, ni entre 8. 269 00:22:14,289 --> 00:22:18,369 Entonces, cuando yo quiero calcular los divisores de un número, 270 00:22:18,369 --> 00:22:24,809 por ejemplo el 45 que teníamos antes, lo que hago es ver qué divisores naturales tiene 271 00:22:24,809 --> 00:22:32,690 mirando sólo hasta la mitad de él, más o menos, porque cuando pase esa mitad, 272 00:22:33,049 --> 00:22:39,390 cuando pase en este caso por encima del 22, ya no voy a poder volver a dividir al 45 sin que me salga resto. 273 00:22:40,509 --> 00:22:47,150 Entonces, cuando yo he encontrado esos divisores primeros y hago combinaciones de ellos, 274 00:22:47,150 --> 00:22:51,269 por ejemplo dije que se podía dividir entre 1 y entre 45 275 00:22:51,269 --> 00:22:55,109 esos estaban fijos, también le puedo dividir entre 3, que ahora vamos a ver 276 00:22:55,109 --> 00:22:59,210 unos criterios en los que esto lo veo más rápido, le podría dividir entre 5 277 00:22:59,210 --> 00:23:03,029 le puedo dividir entre 9, yo anda, pues si he podido dividir 278 00:23:03,029 --> 00:23:06,829 entre 3 y entre 5, seguro que entre 3 por 5 también puedo dividir, que sería el 15 279 00:23:06,829 --> 00:23:11,049 si he podido dividir entre 5 y entre 9, entre 5 por 9 también lo puedo dividir 280 00:23:11,049 --> 00:23:15,150 que es el 45, o sea que se me van a generar combinaciones 281 00:23:15,150 --> 00:23:18,009 de los iniciales que vuelven a ser también divisores 282 00:23:18,009 --> 00:23:22,190 yo no voy haciendo todas las divisiones de todos los números uno por uno 283 00:23:22,190 --> 00:23:27,049 sino que voy buscando lo que se llaman números primos y luego hago combinaciones 284 00:23:27,049 --> 00:23:30,910 de esos números primos, lo vamos a ver más adelante a recordar también 285 00:23:30,910 --> 00:23:35,069 que era un número primo, ahora antes de recordar eso quiero recordar 286 00:23:35,069 --> 00:23:38,869 esto que nos va a ser muy útil, que son los criterios 287 00:23:38,869 --> 00:23:43,230 de divisibilidad, que es la forma de ver sin hacer 288 00:23:43,230 --> 00:23:47,710 la cuenta de la división, si un número va a poder ser dividido entre otro o no. 289 00:23:49,250 --> 00:23:51,390 Vamos a ver los más importantes. 290 00:23:52,910 --> 00:23:54,630 El 2, el 3 y el 5. 291 00:23:56,309 --> 00:23:59,549 Luego tendríamos también criterio para el 7 y para el 11, pero no os lo voy a contar 292 00:23:59,549 --> 00:24:03,730 porque es un poco más enrevesado y a lo mejor os liáis. Si nos sale en algún 293 00:24:03,730 --> 00:24:07,759 ejercicio, os lo cuento directamente en el ejercicio. 294 00:24:07,759 --> 00:24:10,720 Digo, un número va a ser divisible entre 2 295 00:24:10,720 --> 00:24:14,640 si termina en 0 o en cifra par. Siempre. 296 00:24:15,619 --> 00:24:19,279 Sea lo grande que sea, lo único que tengo que fijarme es en la última cifra. 297 00:24:19,839 --> 00:24:25,460 Si la última cifra del número es un 0 o un número par, que será el 2, el 4, el 6 o el 8, 298 00:24:26,259 --> 00:24:30,400 ya sé que el número entero se va a poder dividir por 2, que la división me va a salir exacta. 299 00:24:32,019 --> 00:24:38,339 Voy a saber que un número es divisible entre 3 si al sumar sus cifras me sale un múltiplo de 3. 300 00:24:38,759 --> 00:24:42,140 Como este es un poco más complicado, pues vamos a ver un ejemplo. 301 00:24:42,140 --> 00:25:02,079 Digo, tengo el 325. Sumo sus cifras. 3 más 2 y más 5, que me va a dar 10. 302 00:25:02,079 --> 00:25:04,640 Podría volver a hacer otra vez el mismo criterio 303 00:25:04,640 --> 00:25:07,839 1 más 0, que me da 1 304 00:25:07,839 --> 00:25:11,240 ¿El 1 es múltiplo de 3? ¿El 1 se puede dividir entre 3? 305 00:25:11,460 --> 00:25:15,779 No, pues entonces no es divisible 306 00:25:15,779 --> 00:25:21,549 Entre 3 307 00:25:21,549 --> 00:25:25,069 Pues entonces este original tampoco 308 00:25:25,069 --> 00:25:32,079 Ahora, imaginaos que pongo el 321 309 00:25:32,079 --> 00:25:38,440 Y bueno, pues 3 más 2 y más 1, ¿qué me va a dar? 310 00:25:38,740 --> 00:25:43,000 6 y este si es divisible entre 3 311 00:25:43,000 --> 00:25:58,569 pues vamos a ver que el original también se va a poder dividir 312 00:25:58,569 --> 00:25:59,109 entre 3 313 00:25:59,109 --> 00:26:05,670 si yo hiciese la división, lo divido entre 3 314 00:26:05,670 --> 00:26:09,690 3 entre 3 a 1, resto 0, bajo el 2 315 00:26:09,690 --> 00:26:14,029 2 entre 3 a 0, bajo el 1 316 00:26:14,029 --> 00:26:17,049 21 entre 3 a 7, resto 0 317 00:26:17,049 --> 00:26:32,509 O sea que, habiendo visto que la suma era divisible entre 3, ya sé, sin hacer la división, aquí la he hecho para comprobar que era cierto, sé que si hago la división del número grande, también va a ser divisible entre 3. 318 00:26:33,130 --> 00:26:38,390 Luego, este criterio es muy útil y me va a ahorrar mucho tiempo al hacer las cuentas. 319 00:26:38,390 --> 00:26:47,670 Para el 4, que le vamos a usar menos, pero lo pongo aquí, nosotros como he dicho vamos a utilizar los números primos, el 2, el 3, el 5, el 7, el 11. 320 00:26:48,349 --> 00:26:53,069 El 4, ¿cómo sé si es un número múltiplo de 4? Pues fijándome en sus dos últimas cifras. 321 00:26:53,670 --> 00:27:05,509 Si las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4, por ejemplo, 0, 4, 0, 8, 12, 16, 20, el número entero sería múltiplo de 4. 322 00:27:05,509 --> 00:27:11,150 números divisibles entre 5, todos aquellos que acaben en 0 o en 5 323 00:27:11,150 --> 00:27:15,329 y ahora, si quisiese ver alguno que es combinación de los anteriores 324 00:27:15,329 --> 00:27:19,190 por ejemplo el 6, que es 2 por 3, pues lo que tengo que hacer es 325 00:27:19,190 --> 00:27:23,890 juntar las dos condiciones del 2 y el de 3 326 00:27:23,890 --> 00:27:26,970 que eran, que fuesen divisibles entre 2 327 00:27:26,970 --> 00:27:30,509 siendo número par, y que la suma de sus cifras fuese 328 00:27:30,509 --> 00:27:35,289 múltiplo de 3, ¿vale? si queréis, vemos un ejemplo 329 00:27:35,289 --> 00:27:40,069 para que os quede esto claro, que no es un criterio nuevo 330 00:27:40,069 --> 00:27:42,910 sino que es la mezcla de dos que ya teníamos 331 00:27:42,910 --> 00:27:45,990 digo, por ejemplo, el 332 00:27:45,990 --> 00:27:48,509 200 333 00:27:48,509 --> 00:27:58,490 222 334 00:27:58,490 --> 00:28:02,609 ¿vale? SPAR 335 00:28:02,609 --> 00:28:05,970 entonces múltiplo de 2 336 00:28:05,970 --> 00:28:19,329 o divisible entre 2 y por otro lado 337 00:28:19,329 --> 00:28:23,849 como si sumo sus cifras me da 338 00:28:23,849 --> 00:28:27,589 6 pues también es divisible 339 00:28:27,589 --> 00:28:32,170 entre 3 pues como es divisible entre 2 y entre 3 340 00:28:32,170 --> 00:28:38,140 también es divisible entre 6 341 00:28:38,140 --> 00:28:42,880 vamos a ver que es verdad 222 342 00:28:42,880 --> 00:28:53,700 si lo divido entre 6, 3 por 6, 18, a 22, 4, bajo el 2, 42, 7 por 6, 42, resto 0. 343 00:28:54,539 --> 00:29:00,539 No tendría que haber hecho la división si me sé la regla del criterio de divisibilidad, 344 00:29:00,920 --> 00:29:05,000 que es lo que pretendemos recordar aquí en este momento. 345 00:29:06,700 --> 00:29:12,819 ¿Divisibles entre 10? Pues si acaban en 0, que sería lo mismo que decir que es par, 346 00:29:12,880 --> 00:29:16,940 y múltiplo de 5, como el criterio del 5 es que 347 00:29:16,940 --> 00:29:21,259 acabe en 0 o en 5, pues estoy restringiendo 348 00:29:21,259 --> 00:29:24,460 a que cumpla las dos condiciones a la vez 349 00:29:24,460 --> 00:29:28,960 y el que fuese divisible entre 2 era que terminase 350 00:29:28,960 --> 00:29:33,039 en 0 o número par. Pues la condición que se repite en los dos sitios 351 00:29:33,039 --> 00:29:37,339 es que termine en 0, ¿vale? En la del 5 352 00:29:37,339 --> 00:29:41,220 y en el 2. Pues esa es con la que me quedo. Que termine en 0 353 00:29:41,220 --> 00:29:46,019 y ya sé que es múltiplo de 10 o que se puede dividir entre 10, como quiera llamar. 354 00:29:47,079 --> 00:29:52,319 Pues como siempre, un ejemplo de esos criterios de divisibilidad. 355 00:29:54,400 --> 00:29:56,900 ¿Para qué utilizaré esto? 356 00:29:57,640 --> 00:30:00,279 Pues para factorizar números compuestos. 357 00:30:00,940 --> 00:30:01,960 Ahora vamos a ver qué es. 358 00:30:02,640 --> 00:30:09,160 Pero antes de llegar a eso, lo que quiero ver es que en los ejercicios os he puesto ya ejercicios 359 00:30:09,160 --> 00:30:12,460 para que repaséis esto y veáis si lo habéis entendido o no. 360 00:30:12,660 --> 00:30:35,509 Pues este primero que me dice que clasifique dentro de qué conjuntos está cada uno de esos números, el siguiente trocito que me dice que busque múltiplos y divisores, primero digamos un poco a ojo y segundo ya buscando los criterios de divisibilidad, utilizando los criterios de divisibilidad. 361 00:30:35,509 --> 00:30:38,490 o sea que, os vuelvo a repetir 362 00:30:38,490 --> 00:30:41,789 en matemáticas hay que ponerse con lápiz y papel 363 00:30:41,789 --> 00:30:44,089 y ver qué pasa 364 00:30:44,089 --> 00:30:46,450 no me puedo mirar solo la teoría 365 00:30:46,450 --> 00:30:48,730 y fiarme de que el día del examen 366 00:30:48,730 --> 00:30:50,509 no solo me voy a acordar de esa teoría 367 00:30:50,509 --> 00:30:53,150 sino que voy a ser capaz de hacer las cuentas a la primera 368 00:30:53,150 --> 00:30:54,910 sin haber practicado antes 369 00:30:54,910 --> 00:30:58,009 esto es como verse todos los días a Arguiñano 370 00:30:58,009 --> 00:31:00,910 y pretender luego hacer una paella 371 00:31:00,910 --> 00:31:02,730 sin haber practicado nunca a la primera 372 00:31:02,730 --> 00:31:04,190 pues mejor no invites a nadie 373 00:31:04,190 --> 00:31:06,549 porque los mismos no te vuelven a hablar, ¿vale? 374 00:31:06,990 --> 00:31:08,690 Entonces, hay que practicar. 375 00:31:09,309 --> 00:31:12,390 No hagáis pereza, que son pocos ejercicios, 376 00:31:12,529 --> 00:31:14,430 pues pedís más o buscáis en Internet. 377 00:31:14,829 --> 00:31:16,529 En Internet los puedo buscar resueltos, 378 00:31:16,690 --> 00:31:19,450 puedo hacer, pues a los que estáis trabajando, 379 00:31:19,569 --> 00:31:22,730 pues a lo mejor a la que vais y venís en el transporte público, 380 00:31:22,730 --> 00:31:27,089 pues buscaros de esos interactivos que vais haciéndolos con el móvil 381 00:31:27,089 --> 00:31:28,890 sin tener que escribirlos, solo pensándolo, 382 00:31:28,930 --> 00:31:31,250 a ver que os salen, que os vayan fijando los conceptos, 383 00:31:32,029 --> 00:31:34,170 pero hay que practicar antes o después. 384 00:31:34,190 --> 00:31:35,910 Si no, pues mal vamos. 385 00:31:37,109 --> 00:31:40,690 Bueno, vamos a recordar qué era esto de factorizar un número, 386 00:31:42,069 --> 00:31:46,710 pero para primero saber qué es factorizar, primero quiero saber qué es un número compuesto. 387 00:31:46,710 --> 00:31:49,650 Hay dos tipos de números. 388 00:31:50,289 --> 00:31:54,809 Los números primos, ¿qué les ocurre a los números primos? 389 00:31:55,430 --> 00:32:01,369 Pues que solo tienen dos divisores, al 1 y a ellos mismos. 390 00:32:02,049 --> 00:32:03,410 ¿Quiénes son los números primos? 391 00:32:03,410 --> 00:32:16,930 Pues el 2, que solo se puede dividir entre 1 y entre 2, el 3, que solo se puede dividir entre 1 y entre 3, el 5, que solo se puede dividir entre 1 y entre 5, iríamos poniendo toda la cadena de números primos. 392 00:32:17,710 --> 00:32:30,329 ¿El 1 sería un número primo? Pues no, porque el 1 solo tiene un divisor, que es el 1, y para que sea número primo tengo que tener 2, el 1 y otro más, distinto. 393 00:32:30,329 --> 00:32:34,210 ¿Vale? Y ahora diremos que un número es compuesto 394 00:32:34,210 --> 00:32:38,650 si no es primo, si tiene más de dos divisores 395 00:32:38,650 --> 00:32:42,650 por ejemplo, el 20 sería compuesto porque lo puedo 396 00:32:42,650 --> 00:32:46,690 dividir entre 1, entre 2, entre 4, entre 397 00:32:46,690 --> 00:32:50,170 5, entre 10, entre 20, o sea que 398 00:32:50,170 --> 00:32:54,329 tiene más de dos divisores, los números primos 399 00:32:54,329 --> 00:32:58,390 solo tienen dos divisores exactamente, que es lo que se llaman divisores 400 00:32:58,390 --> 00:33:02,589 propios. ¿Vale? ¿En qué consistía 401 00:33:02,589 --> 00:33:06,549 esto de factorizar un número compuesto? Pues consiste 402 00:33:06,549 --> 00:33:10,430 en escribirle como un producto de 403 00:33:10,430 --> 00:33:14,190 números primos. Lo de la rayita, que todos a lo mejor 404 00:33:14,190 --> 00:33:18,230 tenemos la imagen en la cabeza. Vamos a ver con el ejemplo qué es lo que 405 00:33:18,230 --> 00:33:22,150 hacemos. Lo pongo el número 72 y 406 00:33:22,150 --> 00:33:25,950 empiezo, os aconsejo que empecéis siempre de 407 00:33:25,950 --> 00:33:30,650 de abajo hacia arriba, de números más pequeños a números más altos. 408 00:33:31,369 --> 00:33:35,049 ¿Por qué? Porque la cabeza hace las cuentas mejor 409 00:33:35,049 --> 00:33:39,970 cuando estoy repartiendo entre poca gente que cuando tengo que repartir entre muchos. 410 00:33:40,470 --> 00:33:44,250 Entonces digo, bueno, voy a ver si el 72 le podría dividir entre 2. 411 00:33:45,109 --> 00:33:48,829 Si pienso en los criterios de divisibilidad, digo, pues sí que voy a poder, 412 00:33:48,829 --> 00:33:53,849 porque como acaba en 2, que es un número par, pues voy a poderle dividir seguro. 413 00:33:53,849 --> 00:34:02,170 Bueno, pues el 72 lo divido entre 2, el divisor le voy a ir poniendo siempre a la derecha de la rayita y el resultado de la división le pongo debajo. 414 00:34:02,509 --> 00:34:12,530 72 entre 2 me da 36. ¿Podría seguir dividiendo en 36 entre 2? Pues sí, porque sigue siendo un número par. 415 00:34:13,050 --> 00:34:19,969 Pues hago la división, 36 entre 2 me va a dar 18. ¿Puedo seguir dividiendo 18 entre 2? 416 00:34:19,969 --> 00:34:22,030 sí, pues vuelvo a hacer otra la división 417 00:34:22,030 --> 00:34:24,110 18 entre 2 me da 9 418 00:34:24,110 --> 00:34:26,190 ¿podría seguir 419 00:34:26,190 --> 00:34:27,869 dividiendo 9 entre 2? no 420 00:34:27,869 --> 00:34:29,710 porque el 9 es un número impar, entonces 421 00:34:29,710 --> 00:34:31,510 el 2 ya le he agotado 422 00:34:31,510 --> 00:34:34,349 voy al siguiente número primo que era el 3 423 00:34:34,349 --> 00:34:36,010 digo, ¿voy a poder 424 00:34:36,010 --> 00:34:37,969 dividir el 9 entre 3? sí 425 00:34:37,969 --> 00:34:40,449 porque era múltiplo directo, está en la tabla 426 00:34:40,449 --> 00:34:42,469 hago la división, 9 entre 3 427 00:34:42,469 --> 00:34:43,610 a 3 428 00:34:43,610 --> 00:34:46,090 ¿puedo seguir dividiendo 429 00:34:46,090 --> 00:34:48,050 el 3 entre 3? o sea, ya no vuelvo a 430 00:34:48,050 --> 00:34:49,929 probar en los números que hay por debajo, el 2 431 00:34:49,929 --> 00:34:53,750 lo vuelvo a probar nunca más, pero el 3 tengo que mirar si sigue repetido 432 00:34:53,750 --> 00:34:58,010 ¿puedo dividir 3 entre 3? Sí, y me da 1, cuando llego a este 433 00:34:58,010 --> 00:35:02,070 1 final, es cuando considero que he acabado 434 00:35:02,070 --> 00:35:06,150 la factorización, si no llego a ese 1 final no he terminado 435 00:35:06,150 --> 00:35:08,929 faltan términos, tengo que ponerlos todos 436 00:35:08,929 --> 00:35:13,510 porque ahora quiero escribir ese 72 437 00:35:13,510 --> 00:35:18,050 como un producto de números entre los que ha sido 438 00:35:18,050 --> 00:35:24,210 posible dividirle. Pues, ¿qué números han sido? El 2, pero el 2 resulta que se ha repetido. 439 00:35:24,849 --> 00:35:31,469 Pues en vez de ponerle 2 por 2 por 2, lo que hago es utilizar la nomenclatura de las potencias 440 00:35:31,469 --> 00:35:41,250 y digo, el 72 es 2 tres veces, o sea, la base, que se llama este número grande, la elevo 441 00:35:41,250 --> 00:35:47,030 a otro número chiquitito que se llama exponente, que me está diciendo que el 2 de abajo, el 442 00:35:47,030 --> 00:35:52,369 número grande se está repitiendo tres veces como veíamos aquí y eso lo tendría que multiplicar 443 00:35:52,369 --> 00:35:58,050 por el 3, pero como se repetía dos veces, pues por 3 al cuadrado. Luego digo que la 444 00:35:58,050 --> 00:36:05,610 factorización o la descomposición del 72 en números primos es esta, 2 elevado a 3 445 00:36:05,610 --> 00:36:15,150 o 2 al cubo, que se llama también, por 3 elevado a 2, ¿vale? Si yo quisiese ver cuántos 446 00:36:15,150 --> 00:36:19,150 divisores tienen 72, pues lo que haría sería hacer combinaciones 447 00:36:19,150 --> 00:36:23,210 de estos números, y lo hago mejor desde aquí, diría, se puede dividir 448 00:36:23,210 --> 00:36:26,070 entre 1, se puede dividir entre 2, 449 00:36:27,050 --> 00:36:30,130 entre 2 por 2 que es 4, entre 2 por 2 450 00:36:30,130 --> 00:36:35,170 que es 8, entre 2 por 3 que es 6, entre 4 451 00:36:35,170 --> 00:36:39,210 por 3 que es 12, entre 8 por 3 que es 24, 452 00:36:39,969 --> 00:36:43,150 entre 8 por 9 que es 72, o sea, hasta que 453 00:36:43,150 --> 00:36:47,389 llevo al número, al valor real 454 00:36:47,389 --> 00:36:51,090 voy haciendo todas las combinaciones posibles de los factores 455 00:36:51,090 --> 00:36:55,150 que me han salido. Esa es la forma de encontrar todos los divisores de un 456 00:36:55,150 --> 00:36:59,309 número. Un poquillo a lo mejor farragosa, pero solo es ir con cuidado 457 00:36:59,309 --> 00:37:03,230 y en orden, poquito a poquito, asegurándome que no me 458 00:37:03,230 --> 00:37:07,309 dejo ninguna combinación sin poner. ¿Vale? Bueno, pues 459 00:37:07,309 --> 00:37:09,989 espero que esto lo hayáis recordado un poco 460 00:37:09,989 --> 00:37:13,550 porque lo vamos a utilizar mucho en el tema de fracciones 461 00:37:13,550 --> 00:37:17,409 porque me va a hacer falta utilizarlo para poder calcular 462 00:37:17,409 --> 00:37:21,550 el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 463 00:37:21,550 --> 00:37:26,329 de varios números. De hecho, pues el mínimo común múltiplo 464 00:37:26,329 --> 00:37:33,539 lo vamos a utilizar muchísimo. Recordamos que era esto 465 00:37:33,539 --> 00:37:37,699 y paramos por hoy. Bueno, pues 466 00:37:37,699 --> 00:37:41,639 el mínimo común múltiplo de dos números 467 00:37:41,639 --> 00:37:45,099 o demás, es 468 00:37:45,099 --> 00:37:48,960 aquel número que es múltiplo común de todos 469 00:37:48,960 --> 00:37:53,579 y es el menor de esos múltiplos comunes. A lo mejor en el cole 470 00:37:53,579 --> 00:37:57,320 algunos hacíais este truco, que era el, quiero hacer 471 00:37:57,320 --> 00:38:01,699 el mínimo común múltiplo del 4 y el 6. Me escribía la tabla del 4, 472 00:38:02,420 --> 00:38:05,960 me escribía la tabla del 6 y buscaba ver cuáles coincidían. 473 00:38:07,099 --> 00:38:09,420 Pues coincide el 12, coincide el 24, 474 00:38:09,420 --> 00:38:11,599 coincide el 36 y ahora decíamos 475 00:38:11,599 --> 00:38:15,820 ¿y cuál es el más pequeño de esos números que coinciden? 476 00:38:16,659 --> 00:38:18,099 pues el más pequeño es el 12 477 00:38:18,099 --> 00:38:21,940 pues entonces digo que el mínimo común múltiplo 478 00:38:21,940 --> 00:38:25,179 o sea, el menor de los múltiplos que tienen en común 479 00:38:25,179 --> 00:38:27,639 el 4 y el 6 es ese 12 480 00:38:27,639 --> 00:38:30,980 ¿vale? muy bien, si los números son pequeñitos 481 00:38:30,980 --> 00:38:33,440 genial, me puedo hacer la tabla 482 00:38:33,440 --> 00:38:35,179 pero si los números son muy grandes 483 00:38:35,179 --> 00:38:38,440 si me dicen que haga el mínimo común múltiplo de 1232 484 00:38:38,440 --> 00:38:43,460 y de 424, pues a ver quién es el guapo que hace la tabla 485 00:38:43,460 --> 00:38:47,000 hasta que coincidan los dos, me puedo tirar los días 486 00:38:47,000 --> 00:38:50,219 ¿vale? pues hacíamos otra cosa 487 00:38:50,219 --> 00:38:54,380 más apropiada, que era lo siguiente 488 00:38:54,380 --> 00:38:59,159 factorizo los dos números, ¿vale? en este caso 489 00:38:59,159 --> 00:39:03,159 el 60 y el 40, o el 60, si hacemos lo de la rayita 490 00:39:03,159 --> 00:39:06,300 me va a salir, ¿qué es? lo vemos en un segundo 491 00:39:06,300 --> 00:39:12,900 la factorización del 60 me va a salir 492 00:39:12,900 --> 00:39:16,800 puedo dividir entre 2, 60 entre 2 me da 30 493 00:39:16,800 --> 00:39:21,079 sigo dividiendo entre 2 porque acabo en 0, 30 entre 2 494 00:39:21,079 --> 00:39:24,539 me da 15, ya no puedo seguir dividiendo entre 2 porque 495 00:39:24,539 --> 00:39:29,260 el 5 es un número impar, voy a ver si pudiese dividir 15 entre 3 496 00:39:29,260 --> 00:39:32,940 pues como 15 es 5 más 1 es 6 497 00:39:32,940 --> 00:39:36,559 que es múltiplo de 3, sí que puedo dividir entre 3, pues divido entre 3 498 00:39:36,559 --> 00:39:41,139 y me da 5, el 5 no le puedo seguir dividiendo entre 3 499 00:39:41,139 --> 00:39:44,659 voy al siguiente número primo que era el 5, lo divido entre 5 500 00:39:44,659 --> 00:39:48,559 y he llegado al 1 que quería, entonces escribo que el 60 501 00:39:48,559 --> 00:39:52,940 es 2 elevado a 2, porque el 2 salió 502 00:39:52,940 --> 00:39:57,400 dos veces, por un 3 y por un 5 503 00:39:57,400 --> 00:40:00,880 el otro número que quería era el 40 504 00:40:00,880 --> 00:40:03,699 voy a ver cuál es la factorización del 40 505 00:40:03,699 --> 00:40:06,840 vuelvo a hacer lo mismo, ay, perdón 506 00:40:06,840 --> 00:40:14,539 vuelvo a hacer lo mismo la rayita, digo como acaba en 0 507 00:40:14,539 --> 00:40:19,119 pues le puedo dividir entre 2 y me da 20, como sigue acabando en 0 508 00:40:19,119 --> 00:40:23,059 puedo seguir dividiendo entre 2 y me da 10, como sigue acabando en 0 509 00:40:23,059 --> 00:40:27,440 lo puedo dividir entre 2 y me da 5, el 5 ya sé que es un número primo 510 00:40:27,440 --> 00:40:30,780 pues he terminado, entonces digo que el 40 es 511 00:40:30,780 --> 00:40:35,320 2 elevado a 3, porque el 2 se repetía 512 00:40:35,320 --> 00:40:39,340 tres veces y por un cinco, ya tengo 513 00:40:39,340 --> 00:40:43,559 las factorizaciones de los dos números compuestos. ¿Qué me dice 514 00:40:43,559 --> 00:40:47,300 ahora la teoría que haga? Pues me dice que 515 00:40:47,300 --> 00:40:50,940 coja los factores comunes y no comunes 516 00:40:50,940 --> 00:40:55,219 con los exponentes más grandes, los factores primos. ¿Qué es eso 517 00:40:55,219 --> 00:40:58,860 de los factores primos? Pues estos que nos han salido aquí. 518 00:40:59,159 --> 00:41:03,320 El dos al cuadrado, el tres, el cinco, el dos al cubo y el tres, el cinco. 519 00:41:03,320 --> 00:41:16,960 Y me dice, ¿comunes y no comunes? Pues comunes y no comunes es que estén repetidos o no. El 2 está repetido en los dos sitios. El 5 está repetido en los dos sitios, pero el 3 no. 520 00:41:16,960 --> 00:41:40,820 Entonces, ese mínimo común múltiplo que yo quiero, ese mínimo común múltiplo de 60 y 40 va a salir de coger el 2 al cubo, que es el repetido con el exponente más grande, por el 3, que era el factor que no estaba repetido, 521 00:41:40,820 --> 00:41:44,920 y por el 5, que es otro factor que está repetido 522 00:41:44,920 --> 00:41:48,880 en los dos sitios. Pues el número que yo estaba buscando 523 00:41:48,880 --> 00:41:52,440 es 8 por 3 y por 5 524 00:41:52,440 --> 00:41:57,280 y 8 por 3 y por 5 sería el 120. 525 00:41:58,239 --> 00:42:00,820 El número más bajito que es 526 00:42:00,820 --> 00:42:04,340 múltiplo de 60 y de 40 a la vez es el 120. 527 00:42:05,480 --> 00:42:08,840 Si yo hiciese la tabla de multiplicar del 60 me saldría 60 528 00:42:08,840 --> 00:42:12,340 por 1, 60. 60 por 2, 120. 529 00:42:13,139 --> 00:42:14,320 60 por 3, 530 00:42:16,119 --> 00:42:20,940 180, perdón. Si hago la del 40, tendría 531 00:42:20,940 --> 00:42:25,039 40 por 1, 40. 40 por 2, 80. 40 por 3, 120. 532 00:42:25,679 --> 00:42:28,780 O sea, ya se habría repetido el 120 en las dos tablas de multiplicar. 533 00:42:29,820 --> 00:42:32,019 Aquí no habría sido tampoco muy difícil, pero 534 00:42:32,019 --> 00:42:36,280 ya que os decía antes, con números muy grandes sí se complicaría mucho. 535 00:42:36,280 --> 00:42:39,940 entonces hago esto, factorizo los números 536 00:42:39,940 --> 00:42:44,730 busco los factores repetidos y no repetidos 537 00:42:44,730 --> 00:42:47,929 y cojo los que tengan los exponentes más grandes 538 00:42:47,929 --> 00:42:53,559 para calcular el máximo común divisor 539 00:42:53,559 --> 00:42:56,519 el máximo común divisor sería lo contrario 540 00:42:56,519 --> 00:42:59,659 el mayor de los divisores comunes a los dos números 541 00:42:59,659 --> 00:43:03,239 pues podría hacer la tabla de los divisores 542 00:43:03,239 --> 00:43:04,880 que ya es mucho más complicado 543 00:43:04,880 --> 00:43:09,000 y luego buscar cuál es el más grande de los que me han salido repetidos 544 00:43:09,000 --> 00:43:12,639 los divisores del 12 eran el 1, el 2, el 3, el 4, el 6 y el 12 545 00:43:12,639 --> 00:43:16,159 los del 28, el 1, el 2, el 4, el 7, el 14, el 28 546 00:43:16,159 --> 00:43:17,579 ya es más difícil buscarlos 547 00:43:17,579 --> 00:43:18,739 y ahora tendría que ver 548 00:43:18,739 --> 00:43:20,340 de todos los que se han repetido 549 00:43:20,340 --> 00:43:21,800 cuál es el más grande, que es el 4 550 00:43:21,800 --> 00:43:23,420 así es un lío 551 00:43:23,420 --> 00:43:24,940 mientras que si lo hago 552 00:43:24,940 --> 00:43:27,760 utilizando las factorizaciones 553 00:43:27,760 --> 00:43:28,800 lo que tengo que hacer es 554 00:43:28,800 --> 00:43:30,719 factorizar los números 555 00:43:30,719 --> 00:43:32,599 o sea, hacerlo de la rayita como antes 556 00:43:32,599 --> 00:43:35,719 y coger los factores primos 557 00:43:35,719 --> 00:43:37,059 sólo los comunes 558 00:43:37,059 --> 00:43:38,820 sólo los que se repitan 559 00:43:38,820 --> 00:43:41,699 y con el menor exponente 560 00:43:41,699 --> 00:43:45,340 pues si yo llego aquí y quiero hacer 561 00:43:45,340 --> 00:43:52,860 el máximo común divisor del 60 562 00:43:52,860 --> 00:43:56,460 y el 40, ya solo puedo coger los repetidos 563 00:43:56,460 --> 00:44:00,599 que eran el 2 y el 2 y el 5 564 00:44:00,599 --> 00:44:03,800 y el 5, yo la digo de entre ese 2 565 00:44:03,800 --> 00:44:08,519 elevado a 2 y ese 2 elevado a 3, ¿con cuál me tengo que quedar? 566 00:44:08,519 --> 00:44:11,219 pues me dice que el que tenga menor exponente 567 00:44:11,219 --> 00:44:13,920 o sea que me tengo que quedar con el 2 elevado a 2 568 00:44:13,920 --> 00:44:17,059 entre ese 5 y ese 5 como son iguales 569 00:44:17,059 --> 00:44:18,400 pues da igual con el que me quede 570 00:44:18,400 --> 00:44:22,239 pues 5, pues resulta que el divisor que estaba buscando yo es 571 00:44:22,239 --> 00:44:25,340 4 por 5, 20 572 00:44:25,340 --> 00:44:27,920 el 20 es el divisor más grande 573 00:44:27,920 --> 00:44:30,300 de 60 y de 40 a la vez 574 00:44:30,300 --> 00:44:33,119 el 20 es el divisor más grande 575 00:44:33,119 --> 00:44:35,340 de 40 y 60 a la vez 576 00:44:35,340 --> 00:44:51,199 Bueno, pues hasta aquí hemos llegado y hasta aquí quien quiera puede ir haciendo estos primeros ejercicios, los que correspondan con los que os he mandado para entregar y seguir recordando cosas. 577 00:44:51,559 --> 00:45:06,500 Aquí tenemos ejercicios de aplicaciones del máximo común divisor y mínimo común múltiplo a problemas que os contaré el próximo día que haremos alguno de ellos. 578 00:45:06,840 --> 00:45:10,260 ¿Vale? Pues por ahí lo dejamos aquí 579 00:45:10,260 --> 00:45:14,199 cualquier duda que tengáis o cualquier consulta pues me escribís 580 00:45:14,199 --> 00:45:17,579 un correo y me decís. Venga, buena tarde.