1
00:00:00,750 --> 00:00:08,169
Hola chicos, hola chicas, vamos a resolver este problema donde nos piden discutir el sistema de ecuaciones que tenéis ahí

2
00:00:08,169 --> 00:00:13,009
en función del parámetro a, eso es lo que pide el apartado, luego veremos el apartado b.

3
00:00:14,230 --> 00:00:17,710
Bueno, pues para discutir el sistema de ecuaciones

4
00:00:17,710 --> 00:00:22,070
lo que tenemos que hacer es escribir la matriz de los coeficientes

5
00:00:22,070 --> 00:00:26,570
y la matriz ampliada. La matriz de los coeficientes

6
00:00:26,570 --> 00:00:43,549
Son los números que multiplican a los coeficientes, ¿vale? En este caso la matriz dependerá del parámetro A y la matriz ampliada es esta misma matriz donde añadimos la columna de los términos independientes, ¿vale?

7
00:00:43,590 --> 00:00:49,710
Se pueden escribir las dos a la vez, realmente no haría falta que las escribiréis dos veces, pero para que esté más claro lo vamos a hacer así.

8
00:00:49,710 --> 00:00:55,630
bueno y ahora tengo que estudiar el rango de esas dos matrices

9
00:00:55,630 --> 00:00:58,250
sabemos que si el rango de las dos matrices es el mismo

10
00:00:58,250 --> 00:01:01,350
según el teorema de Ruche el sistema es compatible

11
00:01:01,350 --> 00:01:04,969
bueno entonces empezamos estudiando el rango de la matriz M

12
00:01:04,969 --> 00:01:07,989
la matriz M solo tiene un menor de orden 3

13
00:01:07,989 --> 00:01:09,650
porque es una matriz cuadrada

14
00:01:09,650 --> 00:01:11,989
podríamos empezar haciendo ese determinante

15
00:01:11,989 --> 00:01:17,549
pero a mí me gusta empezar si puede ser buscando un menor de orden 2

16
00:01:17,549 --> 00:01:20,530
que no contenga al parámetro I que sea distinto de 0

17
00:01:20,530 --> 00:01:21,930
por ejemplo este de aquí

18
00:01:22,870 --> 00:01:29,730
Este menor de orden 2, que sería el 1, 1, 3, 4.

19
00:01:31,409 --> 00:01:36,069
Este vale 4 menos 3, 1, y es distinto de 0.

20
00:01:36,870 --> 00:01:38,510
¿Con esto qué podemos asegurar?

21
00:01:38,629 --> 00:01:42,769
Pues podemos ya asegurar que el rango de la matriz M va a ser mayor o igual que 2.

22
00:01:42,769 --> 00:01:51,569
Y ahora estudiamos el menor de orden 3, el determinante de la matriz M, para saber si el rango es 3 o no.

23
00:01:51,930 --> 00:01:53,349
Que eso es lo que vamos a hacer ahora.

24
00:01:54,629 --> 00:01:57,030
Estudiamos este determinante.

25
00:02:02,810 --> 00:02:13,080
Lo resolvemos y nos daría menos 4, más 9a, más 4.

26
00:02:14,740 --> 00:02:23,210
Ahora la diagonal secundaria nos da menos 8a, 3 por 2, 6, menos 6, porque hay que restarlo.

27
00:02:23,530 --> 00:02:27,030
Y nos queda menos 3 también, que como hay que restarlo nos quedaría más 3.

28
00:02:27,030 --> 00:02:36,210
Con lo cual esto nos sale 9a menos 8a, y nos queda menos 4 más 4, 0, menos 6 más 3, menos 3

29
00:02:36,210 --> 00:02:41,909
Y lo que queremos saber es cuando este determinante, este menor de orden 3, vale 0

30
00:02:41,909 --> 00:02:46,009
Por eso lo igualamos a 0, y nos queda que a es igual a 3

31
00:02:46,009 --> 00:02:50,449
Entonces cuando a vale 3, ese menor de orden 3 es 0

32
00:02:50,449 --> 00:02:56,490
Y aquí ya podemos sacar conclusiones, porque entonces, mirad, si a no vale 3

33
00:02:56,490 --> 00:03:01,949
entonces el menor de orden 3 va a ser distinto de 0

34
00:03:01,949 --> 00:03:06,509
y por tanto la matriz M va a tener rango 3

35
00:03:06,509 --> 00:03:09,370
porque hay un menor de orden 3 que no vale 0

36
00:03:09,370 --> 00:03:12,349
el rango de M va a ser 3

37
00:03:12,349 --> 00:03:15,870
y el rango de la matriz ampliada también va a ser 3

38
00:03:15,870 --> 00:03:17,590
porque ese menor también está aquí

39
00:03:17,590 --> 00:03:20,129
en la matriz ampliada, la matriz ampliada tiene 3 filas

40
00:03:20,129 --> 00:03:22,009
3 es el máximo rango que puede tener

41
00:03:22,009 --> 00:03:26,449
va a tener también, si yo sustituyo un número que no sea 3

42
00:03:26,449 --> 00:03:30,930
Ese menor también va a valer 0 porque es el mismo que tengo en la matriz anterior

43
00:03:30,930 --> 00:03:35,689
Y por tanto también puedo decir que el rango de la matriz ampliada es 3

44
00:03:35,689 --> 00:03:40,930
Es decir, el rango de M es igual que el rango de la matriz ampliada

45
00:03:40,930 --> 00:03:46,669
Y además también tengo 3 incógnitas por lo cual es igual que el número de incógnitas

46
00:03:46,669 --> 00:03:52,889
Y eso quiere decir, según el teorema de Rouchet, que el sistema es compatible determinado

47
00:03:52,889 --> 00:03:56,789
El problema de Rouchet nos dice que es compatible

48
00:03:56,789 --> 00:04:01,270
Nosotros sabemos que si además ese número es igual al número de incógnitas

49
00:04:01,270 --> 00:04:03,789
El sistema es determinado

50
00:04:03,789 --> 00:04:08,789
Bueno, y fijaros, ya hemos discutido el sistema para todos los valores de a

51
00:04:08,789 --> 00:04:10,349
Excepto para 1, ¿vale?

52
00:04:10,650 --> 00:04:13,210
Ya sabemos cómo es el sistema siempre que a no sea 3

53
00:04:13,210 --> 00:04:15,909
Vamos a ver qué ocurre si a es igual a 3

54
00:04:15,909 --> 00:04:19,449
Bueno, ¿y qué sabemos ya si a es igual a 3?

55
00:04:19,449 --> 00:04:22,129
Pues sabemos que el único menor de orden 3

56
00:04:22,129 --> 00:04:25,470
de la matriz de los coeficientes sale 0, ¿vale?

57
00:04:25,550 --> 00:04:28,509
Pero como ya sabíamos que el rango era mayor o igual que 2,

58
00:04:29,430 --> 00:04:34,050
sabiendo que el menor de orden 3 da 0, sabemos que el rango no es 3,

59
00:04:34,870 --> 00:04:38,410
luego el rango de M, con toda seguridad, va a ser 2.

60
00:04:39,089 --> 00:04:42,310
Y lo que no sabemos ahora es cómo es el rango de la matriz ampliada,

61
00:04:42,410 --> 00:04:43,350
lo tenemos que estudiar.

62
00:04:43,889 --> 00:04:46,490
Pero como tenemos ahora un valor concreto del parámetro,

63
00:04:46,490 --> 00:04:49,509
pues vamos a sustituir ese valor en la matriz ampliada

64
00:04:49,509 --> 00:05:07,069
y vamos a estudiar cómo sería el rango para ese valor, entonces sustituimos para la matriz ampliada y nos quedaría 1, 1, 3, 2, 3, 4, 2, 3 y 2, 3, menos 1, 1,

65
00:05:07,069 --> 00:05:09,230
Yo he sustituido a por 3.

66
00:05:10,269 --> 00:05:18,949
Bueno, entonces, mirad, aquí también tengo el menor de orden 2 que he cogido antes, ¿vale?

67
00:05:19,189 --> 00:05:23,250
Entonces, ahora tenemos que estudiar los menores de orden 3 de la matriz.

68
00:05:23,810 --> 00:05:31,410
No hace falta que los estudiemos todos, solo hace falta estudiar los que contienen a este menor de orden 2, que yo ya sé que es distinto de 0, ¿vale?

69
00:05:31,970 --> 00:05:35,410
¿Qué menores contienen a ese? Pues sería este de aquí, ¿vale?

70
00:05:35,410 --> 00:05:40,509
Formado por las tres primeras columnas, pero fijaros que ese es el que he calculado anteriormente.

71
00:05:40,629 --> 00:05:47,949
Yo ya sé que para a igual a 3, ese menor vale 0, con lo cual no hace falta que lo vuelva a calcular, ya se queda 0.

72
00:05:48,509 --> 00:05:53,569
Entonces, ¿cuál tengo que calcular ahora? Pues el otro que contiene al menor que tengo en amarillo,

73
00:05:53,670 --> 00:05:58,310
que sería el formado por las dos primeras columnas y la última, ¿vale?

74
00:05:58,310 --> 00:06:17,519
Calculamos ese determinante, que sería el 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 1, ¿vale?

75
00:06:17,600 --> 00:06:34,220
Y este nos da 4, 3 por 3, 9, por 2, 18, más 18, más 6, menos 2 por 2, 4, por 4, 16, menos 3 por 3, 9 y menos 3, ¿vale?

76
00:06:34,220 --> 00:06:57,339
Y esto nos daría 4 y 18, 22 y 6, 28 menos 16, 12 menos 9, 3 menos 3, 0, ¿vale? Este determinante da 0. Bueno, con lo cual, fijaros, los dos menores de orden 3 que tiene la matriz ampliada son 0, ¿vale? El que habíamos calculado antes y este que hemos calculado ahora.

77
00:06:57,339 --> 00:07:03,560
Con lo cual, no hay ningún menor de orden 3 que sea distinto de 0.

78
00:07:04,060 --> 00:07:10,540
Entonces, el rango de la matriz ampliada no va a ser 3, porque no hemos encontrado ningún menor de orden 3 distinto de 0.

79
00:07:11,279 --> 00:07:16,420
Eso quiere decir que va a ser 2, porque sí hemos encontrado un menor de orden 2 distinto de 0.

80
00:07:17,220 --> 00:07:18,620
Entonces, ¿qué ocurre en este caso?

81
00:07:18,620 --> 00:07:26,980
Fijaros, lo que tenemos es que el rango de M y el rango de la matriz ampliada son iguales, pero son menores que el número de incógnitas.

82
00:07:28,160 --> 00:07:34,339
Entonces, en este caso, tenemos que el sistema es compatible indeterminado.

83
00:07:42,129 --> 00:07:45,490
Y con eso hemos acabado el apartado A.

84
00:07:46,810 --> 00:07:49,850
Vamos a cambiar de hoja y resolvemos el apartado B.

85
00:07:51,589 --> 00:07:57,610
Bueno, vamos a resolver ahora el apartado B que nos pide resolver el sistema para A igual a menos 1.

86
00:07:57,610 --> 00:08:04,850
Bueno, yo ya sé que para a igual a menos 1, porque lo he averiguado en la anterior, el sistema es compatible determinado

87
00:08:04,850 --> 00:08:14,899
Porque del apartado anterior he llegado a la conclusión de que el sistema es compatible determinado siempre que a sea distinto de 3

88
00:08:14,899 --> 00:08:20,800
Bueno, entonces, mirad, vamos a resolver este sistema

89
00:08:20,800 --> 00:08:24,399
Bueno, primero lo voy a escribir ya sustituyendo ese valor del parámetro

90
00:08:24,399 --> 00:08:29,579
Que me quedaría x más y menos z igual a 2

91
00:08:29,579 --> 00:08:36,259
3x más 4y más 2z igual a menos 1

92
00:08:36,259 --> 00:08:41,940
y 2x más 3y menos z igual a 1

93
00:08:41,940 --> 00:08:45,639
Bueno, aquí tengo el sistema que tengo que resolver

94
00:08:45,639 --> 00:08:48,440
Entonces, se puede resolver por Gauss

95
00:08:48,440 --> 00:08:53,659
pero yo lo voy a resolver utilizando la regla de Cramer

96
00:08:53,659 --> 00:08:59,519
Entonces, en la regla de Cramer tenemos que calcular 4 determinantes

97
00:08:59,519 --> 00:09:05,620
primero voy a calcular el determinante de la matriz de los coeficientes

98
00:09:05,620 --> 00:09:10,179
que realmente ese determinante ya lo había calculado en el problema anterior

99
00:09:10,179 --> 00:09:15,559
lo tengo calculado aquí para todos los valores de a, da a menos 3

100
00:09:15,559 --> 00:09:20,419
entonces no hace falta que lo vuelva a calcular, yo ya sé que eso da a menos 3

101
00:09:20,419 --> 00:09:26,220
como en este caso a es menos 1 pues me quedará menos 1 menos 3 menos 4

102
00:09:26,220 --> 00:09:33,159
No es necesario que lo vuelva a hacer todo, ¿vale? Si calculo el determinante de la matriz de los coeficientes, con seguridad va a dar menos 4, pero trabajo que me ahorro.

103
00:09:34,080 --> 00:09:43,059
Bueno, entonces, ahora vamos a calcular el determinante que resulta de sustituir los coeficientes de las x por los términos independientes, ¿vale?

104
00:09:46,240 --> 00:09:54,480
Que nos quedaría 2 menos 1, 1, 1, 4, 3, menos 1, 2, menos 1.

105
00:09:54,480 --> 00:10:22,330
Vale, pues este determinante nos queda menos 8, la diagonal principal, más 3, menos 2, perdón, más 2, aquí nos queda menos 4, que como hay que restarlo, pues es más 4, aquí nos quedaría 2 por 2, 4, por 3, 12, menos 12, y lo que nos queda, nos queda más 1, que como hay que restarlo, menos 1.

106
00:10:22,330 --> 00:10:33,470
¿Vale? Fijaros, esto da 6 y 2, 5 y 3, 9, menos 8, 1, menos 1, 0 y nos queda entonces menos 12

107
00:10:33,470 --> 00:10:43,320
¿Vale? Bueno, sabemos que la x es este determinante entre el determinante de la matriz de los coeficientes

108
00:10:43,320 --> 00:10:48,100
Con lo cual nos quedaría menos 12 entre menos 4, la x vale 3

109
00:10:48,100 --> 00:10:59,220
Bueno, para calcular el valor de la i, ahora me voy a calcular el determinante que resulta de cambiar los coeficientes de la i por los términos independientes

110
00:10:59,220 --> 00:11:01,899
¿Vale? Entonces queda 1, 3, 2

111
00:11:01,899 --> 00:11:04,879
2, menos 1, 1

112
00:11:04,879 --> 00:11:10,820
Menos 1, 2, menos 1

113
00:11:10,820 --> 00:11:35,730
Bueno, y esto nos queda 1, la diagonal principal, menos 3, más 8, la diagonal secundaria nos queda 2, entonces es menos 2, aquí nos queda 2 también, menos 2, y el producto de estos 3 nos queda menos 6, que como hay que restarlo nos quedaría más 6.

114
00:11:35,730 --> 00:11:52,789
Bueno, y esto nos queda, queda 8. Entonces el valor de la y sería este determinante partido por el determinante de la matriz de los coeficientes, que nos queda 8 entre menos 4 menos 2.

115
00:11:52,789 --> 00:12:03,090
y por último vamos a calcular el determinante que resulta de cambiar los coeficientes de la z por los términos independientes

116
00:12:03,090 --> 00:12:10,610
entonces ponemos los coeficientes de la x, los coeficientes de la y y en lugar de la z ponemos los términos independientes

117
00:12:10,610 --> 00:12:32,250
2 menos 1, 1, y calculamos este último determinante, que nos queda 4, 3 por 3, 9 por 2, 18, más 18, 1 por menos 1 y por 2, que nos queda menos 2, la diagonal secundaria nos queda 2 por 4, 8 por 2, 16, que lo restamos,

118
00:12:32,250 --> 00:12:38,230
aquí nos queda 3 por menos 1 y por 3 menos 3 que lo restamos y da más 3

119
00:12:38,230 --> 00:12:41,990
y por último 3 por 1 y por 3, 3 que lo restamos

120
00:12:41,990 --> 00:12:51,090
y si calculamos esto, esto da 4 y 18, 22, menos 2, 20

121
00:12:51,090 --> 00:12:57,870
20 menos 16, 4 y 3 menos 3 da 0 con lo cual esto va a dar 4

122
00:12:57,870 --> 00:13:11,450
Y tenemos que la z sería este delta sub z partido por la matriz de, el determinante de la matriz de los coeficientes, que nos quedaría 4 entre menos 4 igual a menos 1.

123
00:13:11,970 --> 00:13:24,509
Y ya tendríamos resuelto el sistema. La solución del sistema sería x igual a 3 y igual a menos 2, z igual a menos 1.

124
00:13:24,509 --> 00:13:27,049
Y ya quedaría resuelto el problema.

125
00:13:27,870 --> 00:13:29,029
Un saludo a todos.