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00:00:12,460 --> 00:00:18,120
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,120 --> 00:00:22,820
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,820 --> 00:00:34,469
de la unidad AL1 dedicada a las matrices. En la videoclase de hoy estudiaremos el producto

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00:00:34,469 --> 00:00:53,310
de matrices. En esta videoclase vamos a estudiar el producto de dos matrices. Dadas dos matrices

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00:00:53,310 --> 00:01:01,890
A y B. A de dimensiones n por Q y B de dimensiones Q por M. Se define la matriz producto A por B

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00:01:01,890 --> 00:01:07,489
como aquella que, veamos, en primer lugar, para que el producto de matrices esté bien definido,

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00:01:07,870 --> 00:01:12,609
el número de columnas de la primera matriz, en este caso vemos que es Q, debe necesariamente

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00:01:12,609 --> 00:01:18,530
coincidir con el número de filas de la segunda. Por eso vemos aquí también Q. Así que, número de

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00:01:18,530 --> 00:01:23,890
columnas en la primera matriz debe necesariamente coincidir con el número de filas en la segunda

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00:01:23,890 --> 00:01:29,590
matriz. La matriz producto A por B va a tener el mismo número de filas que la primera matriz,

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00:01:29,790 --> 00:01:35,689
sea cual sea, y el mismo número de columnas de la segunda matriz, sea cual sea. Así que si estamos

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00:01:35,689 --> 00:01:42,230
multiplicando AN por Q por B, Q por M, este número y este número, número de columnas de A,

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00:01:42,230 --> 00:01:48,349
número de filas de B coincide, correcto, la matriz A por B va a tener dimensiones N por M,

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00:01:48,849 --> 00:01:55,530
mismo número de filas de A, mismo número de columnas de B, como vemos aquí. ¿Cómo se determinan los

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00:01:55,530 --> 00:02:01,650
elementos de esa matriz A por B? Bueno, pues aquí en el texto leemos que se obtienen multiplicando

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00:02:01,650 --> 00:02:07,890
escalarmente las filas de la primera matriz A por las columnas de la segunda matriz B. Y aquí vemos

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00:02:07,890 --> 00:02:11,870
a qué me refiero con eso del producto escalar de filas por columnas.

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00:02:11,969 --> 00:02:13,610
Esta es la definición algebraica.

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00:02:14,409 --> 00:02:16,550
Vamos a verlo mejor con un ejemplo.

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00:02:16,710 --> 00:02:19,669
Voy a avanzar y voy a utilizar como ejemplo este ejercicio 7,

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00:02:19,969 --> 00:02:22,050
donde tenemos dos matrices A y B.

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00:02:22,650 --> 00:02:25,449
A, 2x2, es una matriz cuadrada de orden 2,

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00:02:25,550 --> 00:02:28,770
y B, también 2x2, también una matriz cuadrada de orden 2.

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00:02:29,870 --> 00:02:33,650
Lo que es relevante aquí es que A es 2x2, B es 2x2,

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00:02:33,949 --> 00:02:36,189
el número de columnas de A es 2,

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00:02:36,710 --> 00:02:39,409
Coincide con el número de filas de B, que también es 2.

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00:02:39,990 --> 00:02:46,210
La matriz A por B, cuando la calculemos, va a tener el mismo número de filas que la matriz A, o sea 2,

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00:02:46,490 --> 00:02:50,310
y el mismo número de columnas que la matriz B, o sea 2.

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00:02:50,830 --> 00:02:55,590
Veremos más adelante, cuando hablemos de las propiedades, que en el caso de las matrices cuadradas,

30
00:02:55,650 --> 00:03:01,370
cuando se multiplican, van a tener que ser del mismo orden y obtendremos una matriz del mismo orden que las anteriores.

31
00:03:01,909 --> 00:03:06,490
Aquí hemos visto que A2x2 por B2x2 producirá una matriz 2x2.

32
00:03:07,229 --> 00:03:09,949
Pero a donde yo quería llegar con este ejemplo es,

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00:03:10,229 --> 00:03:15,370
¿qué quiere decir eso del producto escalar de las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda?

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00:03:15,969 --> 00:03:20,090
Bien, veamos, lo que vamos a hacer con la primera matriz va a ser siempre considerar sus filas.

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00:03:20,610 --> 00:03:22,969
Y en el caso de la segunda, siempre sus columnas.

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00:03:23,150 --> 00:03:28,650
Y lo que tenemos que hacer es ir tomando en orden la primera y la segunda fila de A,

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00:03:28,650 --> 00:03:31,710
la primera en la segunda columna de B, tantas como haya.

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00:03:32,569 --> 00:03:36,750
En este caso, en la primera fila de A vemos los elementos 2 y menos 3.

39
00:03:37,169 --> 00:03:41,969
Y en la primera columna de B, vamos a empezar por orden, vemos los elementos 4 y menos 1.

40
00:03:43,169 --> 00:03:48,909
Para que el producto de matrices esté bien definido, el número de columnas en la primera matriz

41
00:03:48,909 --> 00:03:52,009
debe coincidir con el número de filas en la segunda.

42
00:03:52,389 --> 00:03:58,129
Así que cuando me fijo en la primera fila o las sucesivas de A y en la primera columna o las sucesivas de B,

43
00:03:58,129 --> 00:04:03,770
cada fila de A y cada columna de B tiene el mismo número de elementos y esto es importante porque

44
00:04:03,770 --> 00:04:11,090
los elementos de A por B se van a determinar multiplicando sucesivamente los elementos de

45
00:04:11,090 --> 00:04:20,269
las filas y las columnas de A y de B y sumando. Me explico. En la matriz A por B el elemento que

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00:04:20,269 --> 00:04:26,509
ocupa la posición 1,1 se determina multiplicando escalarmente la primera fila de A, la primera

47
00:04:26,509 --> 00:04:33,410
columna de B. Y la operación que vamos a hacer es la siguiente. Fijaos, 2 por 4, multiplico los dos

48
00:04:33,410 --> 00:04:42,750
primeros elementos, más menos 3 por menos 1, multiplico los siguientes elementos. 2 por 4 va a

49
00:04:42,750 --> 00:04:51,290
ser 8, menos 3 por menos 1 va a ser 3, 8 más 3 igual a 11. El elemento 1, 1 de la matriz A por B, el que

50
00:04:51,290 --> 00:04:57,569
está en la primera fila primera columna va a ser 11. El resultado de multiplicar escalarmente la

51
00:04:57,569 --> 00:05:04,089
primera fila de A por la primera columna de B. Lo voy a repetir con otro caso. ¿Cuál va a ser el

52
00:05:04,089 --> 00:05:10,410
elemento 1, 2 de la matriz A por B? El elemento que está en la primera fila segunda columna. Va a ser

53
00:05:10,410 --> 00:05:16,889
el resultado de multiplicar escalarmente la primera fila de A por la segunda columna de B. Así que

54
00:05:16,889 --> 00:05:23,209
recogeremos 2 por 2. Multiplico los dos primeros elementos de esta fila y de esta columna. Resultado

55
00:05:23,209 --> 00:05:30,069
4. Ahora multiplicaré menos 3 por 5. Multiplico los segundos elementos en esta primera fila y en

56
00:05:30,069 --> 00:05:36,209
esta segunda columna. Ese resultado es menos 15. Ahora tengo que sumar 4 más menos 15 es igual a

57
00:05:36,209 --> 00:05:43,050
menos 11. Pues bien, el elemento 1, 2 de la matriz A por B, primera fila, segunda columna, va a ser

58
00:05:43,050 --> 00:05:49,029
menos 11, el resultado de multiplicar escalarmente la primera fila de A por la segunda columna de B.

59
00:05:49,930 --> 00:05:54,790
Haciendo esta operación, agotando todas las combinaciones de todas las filas de A y todas

60
00:05:54,790 --> 00:06:01,350
las columnas de B, completaré la matriz A por B, como podremos ver más adelante cuando

61
00:06:01,350 --> 00:06:08,709
resolvamos estos ejercicios. Vuelvo atrás para ver cuáles son las propiedades, antes de resolver

62
00:06:08,709 --> 00:06:13,310
ver estos productos cuáles son las propiedades del producto de matrices nos

63
00:06:13,310 --> 00:06:18,250
van a recordar algunas de ellas las correspondientes a las operaciones con

64
00:06:18,250 --> 00:06:22,990
los números reales por ejemplo la propiedad asociativa si tengo que

65
00:06:22,990 --> 00:06:28,509
multiplicar tres matrices a por b por c en primer lugar necesito que las

66
00:06:28,509 --> 00:06:33,310
dimensiones sean las adecuadas cuando multiplico a por b necesito que el

67
00:06:33,310 --> 00:06:37,689
número de columnas de a coincida con el número de filas de b y cuando más

68
00:06:37,689 --> 00:06:45,110
adelante vaya a multiplicar b por c necesitaré que el número de columnas de b a su vez coincida

69
00:06:45,110 --> 00:06:51,589
con el número de filas de c. Bueno pues si las dimensiones coinciden y son las adecuadas de

70
00:06:51,589 --> 00:06:56,709
esta manera va a ser lo mismo multiplicar en primer lugar las dos primeras matrices y a

71
00:06:56,709 --> 00:07:01,949
continuación multiplicar por la tercera que multiplicarle a la primera matriz el resultado

72
00:07:01,949 --> 00:07:08,449
de multiplicar las dos siguientes. Hemos de tener mucho cuidado porque en general el producto de

73
00:07:08,449 --> 00:07:15,990
matrices es no conmutativo. Ojo, esto no quiere decir que el resultado de multiplicar A por B y

74
00:07:15,990 --> 00:07:23,189
B por A no coincida nunca. Quiere decir que no tenemos garantizado que A por B y B por A coincidan.

75
00:07:23,790 --> 00:07:30,670
Podrá ser que fruto del azar A por B y B por A coincidan, sean iguales, pero no tiene por qué. De

76
00:07:30,670 --> 00:07:42,410
De hecho, en un momento dado, lo veremos más adelante con alguno de los ejemplos, es posible que A por B exista porque las dimensiones sean las adecuadas, pero B por A no, porque las dimensiones no vayan a coincidir.

77
00:07:42,410 --> 00:07:44,509
Hemos de tener mucho cuidado con esto.

78
00:07:45,310 --> 00:07:58,250
Como podemos ver aquí, es condición necesaria, aunque no va a ser suficiente, para que las matrices se comuten, para que el producto de matrices sea comutativo, que las matrices sean cuadradas del mismo orden.

79
00:07:58,250 --> 00:08:05,649
En el ejemplo que veíamos un poco más adelante, este ejemplo 7, A es una matriz cuadrada de orden 2, B es una matriz cuadrada de orden 2.

80
00:08:06,009 --> 00:08:11,050
Tanto A por B como B por A van a estar bien definidas por ser matrices cuadradas del mismo orden.

81
00:08:11,490 --> 00:08:18,129
Ahora, ¿coincidirán A por B y B por A o no? Dependiendo de cómo sean las matrices. En este caso habría que hacer las operaciones.

82
00:08:18,930 --> 00:08:27,550
En este otro ejemplo 6, con estas matrices A, perdón, 1 por 3 y B, 3 por 1, no son matrices cuadradas, desde luego no son del mismo orden.

83
00:08:27,550 --> 00:08:34,110
A por B y B por A no van a coincidir, seguro. Seguimos con las propiedades del producto de

84
00:08:34,110 --> 00:08:40,529
matrices. Vemos que tiene la propiedad distributiva respecto de la suma de matrices tanto por la

85
00:08:40,529 --> 00:08:46,529
derecha como por la izquierda. Si a una matriz C le multiplicamos por la izquierda por una suma A

86
00:08:46,529 --> 00:08:53,710
más B, podemos hacer la suma y luego multiplicar la matriz C o podemos multiplicar A por C en este

87
00:08:53,710 --> 00:08:59,370
orden, luego b por c también en este orden y sumar. Fijaos que para que esto esté bien definido las

88
00:08:59,370 --> 00:09:04,629
dimensiones deben ser las adecuadas. Y digo por la derecha o por la izquierda porque en general el

89
00:09:04,629 --> 00:09:10,610
producto es no conmutativo. Tenemos que pensar en qué es lo que pasa si a esta matriz c en lugar de

90
00:09:10,610 --> 00:09:18,230
multiplicarle la suma a más b por la izquierda le sumara esta suma a más b por la derecha. En ese

91
00:09:18,230 --> 00:09:25,330
caso la condición para las dimensiones es diferente y lo que debe ser, o lo que dice

92
00:09:25,330 --> 00:09:31,470
la propiedad, perdón, es que va a ser lo mismo sumar a más b y multiplicar c por el resultado

93
00:09:31,470 --> 00:09:39,690
de esta suma que multiplicar primero c por a y luego c por b y sumar estas dos matrices. Fijaos

94
00:09:39,690 --> 00:09:45,389
en el orden, insisto, en general el producto de matrices es no conmutativo. Cuando tengo a más b

95
00:09:45,389 --> 00:09:56,929
por C, esta C está multiplicando a la derecha, así que multiplicaré A por C, C a la derecha, B por C, C a la derecha. Cuando tengo C por A más B, esta matriz C está

96
00:09:56,929 --> 00:10:07,570
multiplicando la suma por la izquierda, así que tendré que hacer C por A con C por la izquierda y C por B con C por la izquierda. Luego, cuando tenga en consideración

97
00:10:07,570 --> 00:10:14,950
qué es lo que pasa con la suma, una vez que tenga o bien inicialmente estas matrices o bien al final estos resultados, os recuerdo que la suma sí es conmutativa.

98
00:10:15,389 --> 00:10:20,070
Luego, habría dado lo mismo haber puesto a por c más b por c que b por c más a por c.

99
00:10:20,850 --> 00:10:25,950
Porque la suma de matrices sí es conmutativa, pero tened mucho cuidado con el producto de matrices.

100
00:10:26,690 --> 00:10:33,590
Puede que fruto del azar sea conmutativo, pero en general no podemos asumirlo, salvo que lo hayamos demostrado o nos lo digan.

101
00:10:34,190 --> 00:10:38,129
Así que debemos tener mucho cuidado con el orden en el que hacemos la multiplicación.

102
00:10:38,129 --> 00:10:45,570
En el caso del producto de matrices también tenemos un elemento neutro, es la matriz identidad del orden adecuado

103
00:10:45,570 --> 00:10:53,090
Es una matriz que al multiplicarla por la izquierda o por la derecha a nuestra matriz me va a producir la misma matriz de partida

104
00:10:53,090 --> 00:10:59,090
Para que una matriz tenga elemento neutro con respecto al producto debe ser una matriz cuadrada, por supuesto

105
00:10:59,090 --> 00:11:04,590
Y lo que vamos a hacer es considerar que la matriz identidad del mismo orden va a ser elemento neutro

106
00:11:04,590 --> 00:11:14,610
La matriz de identidad por esta matriz cuadrada multiplicada por la izquierda o multiplicada por la derecha va a producir la misma matriz cuadrada. Esta propiedad será importante más adelante.

107
00:11:15,230 --> 00:11:30,389
En cuanto a la traspuesta del producto también tenemos una propiedad que nos dice. Podemos multiplicar A por B y transponer el resultado o bien lo que podríamos hacer es transponer la matriz B y multiplicar a su derecha por la matriz A.

108
00:11:31,090 --> 00:11:34,269
Fijaos en que esto es importante, el orden cambia.

109
00:11:34,950 --> 00:11:41,190
A por B y el resultado traspuesto se podría calcular multiplicando B traspuesta por A traspuesta.

110
00:11:41,669 --> 00:11:43,470
Fijaos en que el orden ha cambiado.

111
00:11:43,610 --> 00:11:45,509
Aquí tengo A por B y luego la traspuesta.

112
00:11:46,250 --> 00:11:49,429
Si hago primero las traspuestas, primero B y luego A.

113
00:11:50,509 --> 00:11:57,470
Con esto que hemos visto ya podemos resolver estos dos ejercicios que resolveremos en clase y en una videoclase posterior.

114
00:11:57,470 --> 00:12:06,009
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

115
00:12:06,750 --> 00:12:10,850
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

116
00:12:11,669 --> 00:12:16,409
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

117
00:12:17,009 --> 00:12:18,370
Un saludo y hasta pronto.