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00:00:05,339 --> 00:00:20,960
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:20,960 --> 00:00:25,559
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,559 --> 00:00:29,839
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos.

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00:00:31,760 --> 00:00:39,659
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones radicales.

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00:00:40,740 --> 00:00:51,829
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones irracionales, vamos a estudiar las funciones

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00:00:51,829 --> 00:00:57,070
radicales que son aquellas cuya expresión algebraica va a contener la variable independiente

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00:00:57,070 --> 00:01:03,090
en el argumento de un radical. Nos vamos a restringir a las funciones más sencillas

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00:01:03,090 --> 00:01:09,150
que van a ser aquellas que tengan como expresión algebraica f de x igual a la raíz enésima

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00:01:09,150 --> 00:01:14,689
dependiendo del índice veremos que tenemos distintos tipos de funciones de x menos x

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00:01:14,689 --> 00:01:22,849
0 dentro del argumento más y sub 0. Y este x 0 y sub 0 va a ser algo relevante a la hora de

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00:01:22,849 --> 00:01:28,870
representar gráficamente la función. Lo veremos más adelante. ¿De qué va a depender la representación

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00:01:28,870 --> 00:01:33,769
gráfica? Pues esencialmente del índice del radical y nos vamos a encontrar con dos tipos de funciones

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00:01:33,769 --> 00:01:39,269
radicales dependiendo de si el índice es par o impar. Lo vamos a ver inmediatamente a continuación.

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00:01:40,269 --> 00:01:45,370
El dominio y la imagen va a depender de si el índice es par o impar.

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00:01:46,150 --> 00:01:49,310
Características, todas ellas van a depender de la paridad del índice.

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00:01:50,189 --> 00:01:56,769
Veremos que el dominio de la función, si en es par, va a ser desde el valor x0 cerrado hacia más infinito abierto

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00:01:56,769 --> 00:02:02,189
y la imagen desde el valor de y0 cerrado hacia más infinito abierto.

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00:02:02,329 --> 00:02:08,310
Así que el punto x0 y 0 va a ser relevante, es el punto donde se va a iniciar la representación gráfica de la función.

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00:02:08,909 --> 00:02:14,210
Mientras que si n es impar, tanto el dominio como la imagen van a ser toda la recta real.

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00:02:15,289 --> 00:02:24,810
Los puntos de corte con los ejes se van a determinar de existir resolviendo la ecuación f de x igual a 0 para encontrar los puntos de corte con el eje de las x,

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00:02:25,090 --> 00:02:30,189
o bien el valor numérico f de 0 para encontrar el punto de corte con el eje de las y.

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00:02:30,590 --> 00:02:34,449
De ser x igual a 0 perteneciente al dominio de la función, evidentemente.

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00:02:34,449 --> 00:02:44,569
En cuanto a la monotonía, si n es par, la función va a ser creciente en el intervalo abierto desde x0 hasta más infinito

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00:02:44,569 --> 00:02:49,550
Si n es impar, la función va a ser creciente en todo su dominio, en toda la recta real

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00:02:50,550 --> 00:02:55,490
Tan solo si n es par, la función va a tener un mínimo relativo en el punto x0 y 0

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00:02:55,490 --> 00:02:58,849
Si n es impar, la función no va a tener extremos relativos

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00:02:59,490 --> 00:03:07,990
En lo que respecta a la curvatura, si en es par la función va a ser cóncava en el intervalo abierto que va desde x0 hasta más infinito,

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00:03:08,789 --> 00:03:11,990
si en es impar la función tiene dos tramos.

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00:03:12,810 --> 00:03:20,310
Un primero desde menos infinito hasta x0 donde es convexa y uno segundo desde x0 hasta más infinito donde es cóncava.

30
00:03:20,509 --> 00:03:26,930
Y solo si en es impar va a haber un punto de inflexión en ese punto x0 y 0 donde cambia la función de convexa a cóncava.

31
00:03:27,610 --> 00:03:32,110
Este tipo de función no tiene asíntotas, todas ellas van a ser continuas en todo su dominio,

32
00:03:32,270 --> 00:03:36,830
dependiendo de si n es par o impar, desde x0 más infinito viene toda la recta real.

33
00:03:37,590 --> 00:03:43,870
Y tan solo en el caso en el que n es impar, van a ser funciones simétricas con respecto de ese punto x0 y 0.

34
00:03:45,849 --> 00:03:48,430
Vamos a ver a continuación algunos ejemplos.

35
00:03:48,430 --> 00:03:52,210
En este ejercicio se nos pide que estudiemos y representemos las funciones.

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00:03:52,990 --> 00:03:56,409
adx igual a raíz cuadrada de x más 4 más 1.

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00:03:56,409 --> 00:04:02,949
Aquí vemos que el índice 2 es par, x0 es menos 4, puesto que en el argumento espero ver x menos x0,

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00:04:03,030 --> 00:04:07,250
y x menos menos 4 es este x más 4 que tengo aquí, e y0 es 1.

39
00:04:07,949 --> 00:04:12,050
A continuación después veremos la función b de x, que se define como raíz cúbica,

40
00:04:12,629 --> 00:04:20,250
aquí vemos índice impar de x menos 1, x0 vale 1, menos 2, así que en este otro caso y0 va a ser menos 2.

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00:04:20,670 --> 00:04:26,949
Vamos a comenzar con este primer caso, adx igual a raíz cuadrada de x más 4 más 1.

42
00:04:28,329 --> 00:04:35,029
Decíamos que el dominio de esta función iba a comenzar en el valor de x0 cerrado hacia más infinito.

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00:04:35,870 --> 00:04:43,649
Bien, eso se debe a que en el caso de las raíces con índice par no podemos extraer la raíz de un número negativo,

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00:04:43,769 --> 00:04:48,410
no está definido más que la raíz de 0 y a partir de ahí de todos los números positivos.

45
00:04:49,129 --> 00:04:54,649
¿Cuál es el conjunto para el cual x más 4 es mayor o igual que 0?

46
00:04:54,910 --> 00:04:59,250
Pues el conjunto que va desde menos 4 cerrado hasta más infinito.

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00:04:59,430 --> 00:05:02,470
Esa es la razón de definir el dominio de esta manera.

48
00:05:03,250 --> 00:05:12,490
En cuanto a la imagen decíamos que iba a ser el intervalo que comenzaba en este valor de y sub 0, que en este caso es 1 cerrado, hacia más infinito.

49
00:05:12,490 --> 00:05:36,110
Bien, para ver los puntos de corte con los ejes de x e y, bien, pues para ver si hay puntos de corte con el eje de las x, igualaríamos la expresión algebraica raíz de x más 4 más 1 a 0, vemos que esa ecuación no tiene solución, luego no hay puntos de corte con el eje de las x, y para ver el punto de corte con el eje de las y, lo que vamos a hacer es calcular el valor numérico a de 0.

50
00:05:36,110 --> 00:05:43,269
y tenemos que hacer raíz cuadrada de 4, que es 2 más 1, que es 3, y encontramos ese punto 0, 3.

51
00:05:45,009 --> 00:05:49,470
Sabemos que la función va a ser creciente en el intervalo abierto de su dominio,

52
00:05:49,550 --> 00:05:51,810
así que desde menos 4 abierto hasta más infinito,

53
00:05:52,629 --> 00:05:56,910
que en el punto menos 4, 1, x0 y 0 va a haber un mínimo,

54
00:05:56,910 --> 00:06:03,069
que la función va a ser cóncava en el intervalo abierto de su dominio y continúa en todo su dominio.

55
00:06:03,069 --> 00:06:07,230
Entonces lo que vamos a hacer es pintar la función como vemos aquí.

56
00:06:08,449 --> 00:06:16,730
Comenzando en el punto , ahora este x igual a menos 4 y igual a 1 no son asíntotas,

57
00:06:17,230 --> 00:06:19,870
son dos líneas que me van a permitir encontrar este punto.

58
00:06:20,069 --> 00:06:26,250
Bien, comenzando a partir de aquí, lo que tenemos que hacer es representar una función que sea creciente.

59
00:06:27,170 --> 00:06:30,149
Las raíces cuadradas son funciones inversas de las parábolas,

60
00:06:30,149 --> 00:06:39,509
Así que no es de extrañar que esta forma con la que estamos representando la función raíz cuadrada nos recuerde a una parábola tumbada.

61
00:06:39,810 --> 00:06:42,069
Son funciones la una inversa con respecto de la otra.

62
00:06:42,870 --> 00:06:48,509
Así que siempre que vayamos a pintar la función raíz cuadrada pensemos en la función x cuadrado.

63
00:06:49,329 --> 00:06:52,189
Si fuera raíz cuarta pensemos en la función x a la cuarta.

64
00:06:52,189 --> 00:07:01,750
Y démosle siempre, a partir de este punto, una curvatura similar a la que le daríamos a x al cuadrado, x a la cuarta, etc.

65
00:07:02,029 --> 00:07:12,560
En el caso concreto de esta función, podríamos ir buscando ciertos valores característicos para poder ir representándola adecuadamente.

66
00:07:13,259 --> 00:07:16,040
Lo que podemos hacer es una tabla de valores.

67
00:07:16,040 --> 00:07:24,459
Entonces, si sustituyo x por 0, me puedo encontrar con el punto de corte 0,3 que habíamos pintado anteriormente.

68
00:07:24,899 --> 00:07:28,540
Pero puedo sustituir el valor x igual a menos 3.

69
00:07:28,959 --> 00:07:35,759
Para buscar cuál es el valor a de menos 3, raíz cuadrada de menos 3 más 4, que es 1, y la raíz es 1, más 1.

70
00:07:36,199 --> 00:07:43,000
Bien, cuando la x vale menos 3, la función toma la altura 2, pasa por el punto menos 3, 2, y tendría este punto de aquí.

71
00:07:43,579 --> 00:07:51,160
Podría ir haciendo esto, haciendo una pequeña tabla de valores, para poder hacer esta representación de una forma mucho más precisa.

72
00:07:53,680 --> 00:07:56,399
En el caso de la función b vamos a operar análogamente.

73
00:07:57,060 --> 00:08:02,040
Vamos a fijarnos en este valor de x0 igual a 1 y en este valor de y0 igual a menos 2.

74
00:08:02,040 --> 00:08:08,540
Y vamos a representar ese punto x igual a 1 y igual a menos 2 dentro de nuestro gráfico.

75
00:08:08,540 --> 00:08:16,160
Y una vez más, estas dos líneas, x igual a 1 igual a menos 2, no son asídotas, sino que nos van a ayudar a encontrar este punto que tenemos aquí.

76
00:08:17,319 --> 00:08:23,720
Sabemos que el dominio de esta función, dado que el índice es impar, va a ser toda la recta real y la imagen también, toda la recta real.

77
00:08:24,379 --> 00:08:37,559
Podemos buscar los puntos de corte con los ejes, corte con el eje de las x igualando b de x a 0 y veríamos que obtenemos la abstisa x igual a 10, el punto sería el 10, 0.

78
00:08:37,559 --> 00:08:45,139
Y en cuanto al punto de corte con el eje de las i, buscamos el valor numérico b de 0, dado que 0, por supuesto, forma parte del dominio.

79
00:08:45,799 --> 00:08:52,100
Sustituyendo, tenemos raíz cúbica de menos 1, que es menos 1 menos 2, así que tenemos la ordenada menos 3.

80
00:08:52,240 --> 00:08:54,460
La función pasa por el punto 0 menos 3.

81
00:08:55,759 --> 00:09:00,080
Y lo que tenemos que hacer es pintar una función que sea creciente en toda la recta real,

82
00:09:00,080 --> 00:09:08,340
que en el primer tramo hasta este punto sea convexa, que en el segundo tramo a partir de este punto sea cóncava,

83
00:09:08,919 --> 00:09:13,659
que pase por el punto 0, menos 3 y nos queda fuera de la representación gráfica que estamos haciendo,

84
00:09:14,299 --> 00:09:16,159
que pasará por el punto 10, 0.

85
00:09:16,919 --> 00:09:22,899
Sabemos que este punto va a ser un punto de inflexión, tenemos que pintar una función continua en toda la recta real

86
00:09:22,899 --> 00:09:29,139
y sabemos que tiene que ser simétrica con respecto de este punto, con respecto del punto de inflexión.

87
00:09:30,080 --> 00:09:42,399
Nuevamente podemos ayudarnos para hacer una representación gráfica adecuada de una tabla de valores y podemos ir sustituyendo distintos valores reales para poder ir haciendo una buena representación.

88
00:09:42,899 --> 00:09:54,519
También podemos aprovechar la simetría. Por ejemplo, sabemos que la función es simétrica con respecto de este punto y sabemos que la función pasa por el punto 0, menos 3.

89
00:09:54,519 --> 00:10:09,820
Entonces, con respecto a este punto, una unidad hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. Bueno, pues podemos buscar cuál es su simétrico con respecto de este punto. Una unidad hacia la derecha, una unidad hacia arriba. Este punto de corte nos da su simétrico también en la función que podría ser este.

90
00:10:10,720 --> 00:10:17,980
Por otra parte, si hubiéramos representado el punto de corte con el eje de las X, que sería el punto 10,0, que estaría por aquí,

91
00:10:18,500 --> 00:10:26,059
podríamos nosotros pensar que nos hemos desplazado con respecto desde este punto nueve unidades hacia la derecha

92
00:10:26,059 --> 00:10:30,419
y que hemos trazado el punto con respecto a este punto dos unidades hacia arriba.

93
00:10:30,960 --> 00:10:32,480
Y hacer lo mismo buscando el simétrico.

94
00:10:33,039 --> 00:10:37,259
Desplazarnos nueve unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo.

95
00:10:37,919 --> 00:10:43,340
De una u otra manera, aquí tenemos cuál es la forma de este tipo de función.

96
00:10:44,039 --> 00:10:58,679
En el caso de antes comentábamos que no era de extrañar que la forma fuera así, como una parábola tumbada, puesto que la inversa de la raíz cuadrada es la función x al cuadrado.

97
00:10:59,220 --> 00:11:01,000
Bueno, pues en este caso ocurre algo similar.

98
00:11:01,500 --> 00:11:05,840
Si nosotros tenemos en la mente cuál es la forma de la función y igual a x al cubo,

99
00:11:06,259 --> 00:11:12,159
es muy similar a esta, y es que la función raíz cúbica es inversa de la raíz x al cubo.

100
00:11:13,279 --> 00:11:16,840
Al igual que hemos hecho en los casos anteriores, podemos preguntarnos

101
00:11:16,840 --> 00:11:22,919
cómo podríamos determinar la expresión algebraica que le corresponde a las distintas representaciones gráficas.

102
00:11:23,440 --> 00:11:29,860
Bien, siempre que veamos una curva así, de esta forma, o bien una curva como la de este otro ejemplo,

103
00:11:30,080 --> 00:11:34,120
hemos de pensar en funciones irracionales, en funciones radicales.

104
00:11:34,600 --> 00:11:39,580
En el caso en el que veamos una única rama, pensaremos en que la raíz va a tener índice par,

105
00:11:40,220 --> 00:11:45,379
y en el caso en el que veamos una función continua en toda la recta real, con estas dos ramas así, de esta forma,

106
00:11:45,840 --> 00:11:48,519
pensaremos en que tenemos una raíz con índice impar.

107
00:11:49,179 --> 00:11:55,740
En cuanto a los dos parámetros x0 e y0 que teníamos en la expresión algebraica,

108
00:11:56,240 --> 00:12:00,399
no tenemos más que, en este caso, buscar el punto donde se inicia la función

109
00:12:00,399 --> 00:12:07,879
y en este otro caso buscar el punto de inflexión, donde cambia la curvatura, en este caso de convexa a cóncava.

110
00:12:08,340 --> 00:12:11,840
Y ahí el punto nos va a indicar los valores de x0 y de y0.

111
00:12:11,840 --> 00:12:16,399
Así que en el argumento de la raíz, en cuanto veo que este punto es el 1 menos 2,

112
00:12:16,399 --> 00:12:23,580
pondré x menos 1 y fuera pondré menos 2, fijaos, y en el caso anterior lo mismo, cuando veo que esta

113
00:12:23,580 --> 00:12:30,659
función comienza en el punto menos 4, 1, en el argumento de la raíz pondré x más 4, x menos menos 4,

114
00:12:30,980 --> 00:12:39,350
fijaos, y fuera pondré más 1. Nos ocurre algo similar a lo que nos ocurría en el caso de las

115
00:12:39,350 --> 00:12:46,570
funciones racionales cuando teníamos las funciones potenciales con exponente entero negativo, y es que

116
00:12:46,570 --> 00:12:50,889
sabemos en este caso que el índice va a ser par, pero no sabemos si es 2, 4, 6, etc.

117
00:12:51,389 --> 00:12:56,549
En este otro caso sabemos que el índice es impar, pero no sabemos si es 3, 5, etc.

118
00:12:57,269 --> 00:13:03,629
Bien, en este caso lo que necesitamos es buscar un punto conocido dentro de esta función

119
00:13:03,629 --> 00:13:08,230
y sustituir para ver cuál sería el exponente que le correspondería.

120
00:13:08,990 --> 00:13:14,490
Por ejemplo, en este caso, si yo sé que es raíz de índice par, pero no sé cuál es,

121
00:13:14,490 --> 00:13:21,690
de x más 4 más 1 y estoy viendo que la función pasa por el punto 0, 3, por ejemplo,

122
00:13:22,309 --> 00:13:27,669
lo único que tendría que hacer es sustituir la x por 0, que la imagen sea 3

123
00:13:27,669 --> 00:13:32,450
y preguntarme por cuál debe ser el índice de la raíz para que ese punto pertenezca a la función.

124
00:13:32,970 --> 00:13:35,090
En ese caso encontraría que el índice debe ser 3.

125
00:13:35,850 --> 00:13:40,769
Aquí en este caso exactamente igual, por ejemplo, el punto de corte 0 menos 3

126
00:13:40,769 --> 00:13:45,610
O bien este punto 2 menos 1, puntos que vea claramente que pertenecen a la función.

127
00:13:46,190 --> 00:13:57,129
Si mi única duda es el índice de la raíz, lo único que tengo que hacer es sustituir el valor de x, poner el valor de y correspondiente y buscar cuál es el índice que le va a corresponder.

128
00:14:00,250 --> 00:14:05,809
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

129
00:14:06,570 --> 00:14:10,649
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

130
00:14:11,490 --> 00:14:16,230
No dudéis en traer vuestras dudas y inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

131
00:14:16,830 --> 00:14:18,169
Un saludo y hasta pronto.