1 00:00:00,750 --> 00:00:08,570 Pues vamos con el problema número 5, que, bueno, vamos a ver que tiene una peculiaridad, es un poquitín diferente, pero vamos, no complicado. 2 00:00:09,529 --> 00:00:19,809 Nos dice que el planeta Urano posee una densidad de 1,27 gramos por centímetro cúbico y un radio de 2,54, porque está elevado a 7 metros. 3 00:00:19,809 --> 00:00:33,490 El radio del planeta y la densidad del planeta. Y una sonda espacial de 250 kilos gira en una órbita circular alrededor del planeta con una velocidad de 9,5 kilómetros por segundo. 4 00:00:34,490 --> 00:00:38,729 Vale, pues vamos a ver aquí todo esto. 5 00:00:40,049 --> 00:00:43,649 Nos dan aquí la densidad del planeta, que la he expresado en kilogramos, 6 00:00:43,750 --> 00:00:47,710 va hecho factor de conversión, si no necesitéis hacerlo, pues no hay ningún problema. 7 00:00:47,710 --> 00:01:01,810 Voy a apuntar también el radio del planeta de Urano, que es 2,54 por 10 elevado a 7 metros. 8 00:01:01,810 --> 00:01:05,430 vale, la masa de la sonda 9 00:01:05,430 --> 00:01:09,150 250 kilos y la velocidad 9,5 kilómetros por segundo 10 00:01:09,150 --> 00:01:13,469 pues 9,5 por 10 elevado a 3 metros por segundo, vale, tenemos que tener todo en sistema internacional 11 00:01:13,469 --> 00:01:17,670 la densidad, mucho cuidado, tiene que estar en kilogramos 12 00:01:17,670 --> 00:01:21,049 por metro cúbico, no nos sirve otra unidad 13 00:01:21,049 --> 00:01:24,849 ni gramos por litro, ni kilogramos por litro, ni centímetros cúbicos 14 00:01:24,849 --> 00:01:28,769 ni decímetros cúbicos, ni mililitros, nada, kilogramo partido metro cúbico 15 00:01:28,769 --> 00:01:36,049 Es lo único que nos sirve, porque todo lo demás va a estar en kilogramos, en metros, metros por aquí, todo sistema internacional. 16 00:01:37,569 --> 00:01:47,189 Vamos a ver, el apartado A, lo que nos dice que es calculemos, calcule la masa de urano y la aceleración centrípeta de la sonda en su movimiento orbital. 17 00:01:48,349 --> 00:01:50,870 Pues vamos a ello. 18 00:01:50,870 --> 00:02:19,349 Bueno, la masa del planeta. Para calcular la masa del planeta no vamos a utilizar ninguna de las ecuaciones de gravitación, vamos a usar la densidad. ¿Por qué? Porque la densidad es masa partido por volumen, como conocemos la densidad y conocemos el radio del planeta, podemos conocer, cuando lo suponemos esférico, obviamente, pues podemos suponer o podemos obtener de ahí la masa por la definición de densidad. 19 00:02:19,349 --> 00:02:25,349 Así que aquí no vamos a utilizar ninguna fórmula del tema de gravitación, ¿vale? 20 00:02:25,629 --> 00:02:32,500 Entonces obtenemos m por la densidad. 21 00:02:38,129 --> 00:02:42,789 Por definición, la densidad es masa partido por volumen, 22 00:02:42,990 --> 00:02:46,650 así que la masa será igual a la densidad por el volumen. 23 00:02:47,150 --> 00:02:49,729 ¿Y cuál es el volumen de urano después de una esfera? 24 00:02:49,830 --> 00:02:52,990 Pues utilizamos la definición, pues lo que es el volumen de una esfera. 25 00:02:52,990 --> 00:03:05,169 El volumen de la esfera es igual a 4 tercios de pi por, voy a poner R mayúscula, por el radio al cubo. 26 00:03:05,569 --> 00:03:09,969 Esto es como decir que la superficie de un círculo es pi R cuadrado. 27 00:03:10,189 --> 00:03:17,469 Es una fórmula que, vamos, no sabemos si la usamos, sin dudar, pero no hay que demostrarla de ningún lado. 28 00:03:17,469 --> 00:03:43,710 Entonces la masa va a quedar que es la densidad por 4 tercios de pi por r al cubo, pues ya sustituimos los datos, la densidad, 1,27 por 10 elevado a 3 por 4 tercios por pi y por el radio 2,54 por 10 elevado a 7 al cubo. 29 00:03:43,710 --> 00:04:04,030 Y operando esto nos queda que la masa de urano es 1,27 por 3 por 4 tercios por pi y por el radio 2,54 por 10 elevado a 7 elevado a todo ello al cubo. 30 00:04:04,030 --> 00:04:12,830 Y nos queda que la masa de urano es 8,72 por 10 elevado a 25 kilogramos. 31 00:04:12,830 --> 00:04:16,250 Pues ya tenemos la masa de Urano, que es lo que se nos pedía. 32 00:04:17,310 --> 00:04:19,730 Y ahora nos pide la aceleración centrípeta. 33 00:04:19,790 --> 00:04:29,829 La aceleración centrípeta, como esto es un movimiento circular, pues la podemos obtener de F igual a menos masa por aceleración. 34 00:04:31,350 --> 00:04:34,829 Pero claro, tenemos la masa, sí, 250 kilogramos. 35 00:04:35,029 --> 00:04:38,870 ¿Y la fuerza? ¿Qué fuerza es la que actúa sobre esto? 36 00:04:38,870 --> 00:04:54,310 pues la fuerza de la gravedad, la gravitación universal, ¿vale? Pues F será menos GMM partido por R al cuadrado, UR, 37 00:04:54,310 --> 00:05:23,430 Vamos a usar módulos e igualamos. Y nos queda que gm partido de r al cuadrado es igual a m por a aceleración. 38 00:05:23,430 --> 00:05:35,610 Las masas se nos van y nos queda que la aceleración centrípeta es igual a gm partido de r al cuadrado. 39 00:05:35,829 --> 00:05:48,449 Que si nos fijamos, esto es lo mismo que la fórmula de intensidad del campo gravitatorio, 40 00:05:48,569 --> 00:05:51,490 de la aceleración del campo gravitatorio, y tiene todo el sentido del mundo, 41 00:05:51,589 --> 00:05:58,250 porque la aceleración del campo gravitatorio es la aceleración centrípeta que está sufriendo un objeto que orbita. 42 00:05:58,250 --> 00:06:03,209 Es decir, este satélite aquí dando vueltas, pues hay una aceleración que tira hacia el centro, 43 00:06:03,550 --> 00:06:06,189 que es la de la intensidad del campo gravitatorio. 44 00:06:07,170 --> 00:06:09,189 Pero aquí tenemos un pequeño problema. 45 00:06:09,730 --> 00:06:16,370 Y es que no conocemos el radio, no sabemos cuál es el radio de la órbita, no nos lo dan, pero sí nos dan la velocidad. 46 00:06:17,209 --> 00:06:23,689 Entonces vamos a tener que dar un paso para luego deshacerlo para poder obtener la aceleración. 47 00:06:23,990 --> 00:06:33,410 ¿Cuál? Pues que en mcu la aceleración centrípeta es igual a v cuadrado partido r. 48 00:06:33,410 --> 00:06:41,910 Entonces vamos a sustituir esto para poder sacar el radio, y luego una vez tenemos el radio, sustituiremos aquí para poder sacar la aceleración. 49 00:06:42,649 --> 00:06:43,269 Vamos a ello. 50 00:06:44,610 --> 00:06:53,550 v cuadrado partido r tendrá que ser igual a gm partido de r cuadrado. 51 00:06:53,550 --> 00:07:04,949 Este r se nos va con este cuadrado y nos queda que r es igual a gm partido de v cuadrado. 52 00:07:05,810 --> 00:07:10,410 Entonces, aquí ahora no vamos a calcular, vamos a sustituir esto aquí dentro. 53 00:07:11,230 --> 00:07:15,910 Tenemos r, lo leemos al cuadrado y lo ponemos aquí. 54 00:07:15,910 --> 00:07:39,930 Y nos queda que la aceleración centrípeta va a ser igual a gm y abajo r al cuadrado, que es g al cuadrado, m al cuadrado, y la velocidad que vendría abajo, pues te toca ir arriba, elevado a 4, porque v al cuadrado, v a la cuarta. 55 00:07:40,829 --> 00:07:45,269 Esto se nos va con esto y ya podemos obtener la aceleración centípeta. 56 00:07:45,889 --> 00:07:53,490 Nos queda que la aceleración centípeta será v4 partido de g y m. 57 00:07:54,750 --> 00:07:58,110 Y ahora ya tenemos todo. ¿Por qué la velocidad a la cuarta? Pues la velocidad la conocemos. 58 00:07:58,790 --> 00:08:01,949 Que son los 9,5 por el cero a 3 metros por segundo. 59 00:08:01,949 --> 00:08:08,230 La g es la constante de gravitación universal, que aunque no la he escrito, aquí la tenemos como dato. 60 00:08:08,230 --> 00:08:12,069 y la masa del planeta pues la acabamos de calcular 61 00:08:12,069 --> 00:08:15,810 aquí un poquitín más arriba, es esta de aquí que vamos a utilizar 62 00:08:15,810 --> 00:08:19,269 pues tenemos ya todo para hacer el cálculo 63 00:08:19,269 --> 00:08:23,209 aceleración centrípeta pues va a ser igual a 64 00:08:23,209 --> 00:08:28,269 9,5 por s elevado a 3 y todo ello 65 00:08:28,269 --> 00:08:32,129 a la cuarta y partido de 66 00:08:32,129 --> 00:08:36,590 6,67 por s elevado a menos 11 67 00:08:36,590 --> 00:08:42,090 y por 8,72 68 00:08:42,090 --> 00:08:45,049 por 10 elevado a 25 69 00:08:45,049 --> 00:08:48,769 y vemos el resultado 70 00:08:48,769 --> 00:08:53,669 9,5 por 10 elevado a 3 71 00:08:53,669 --> 00:08:58,169 y esto elevado a 4 72 00:08:58,169 --> 00:09:01,909 partido de 6,67 por 10 elevado a menos 11 73 00:09:01,909 --> 00:09:05,710 por 8,72 por 10 elevado a 25 74 00:09:05,710 --> 00:09:14,129 Y esto nos queda 1,4 metros partido por segundo al cuadrado. 75 00:09:14,570 --> 00:09:18,509 Pues esta es la aceleración centrípeta, el valor de la aceleración centrípeta. 76 00:09:20,409 --> 00:09:30,629 Y lo tenemos realmente, como dice la aceleración centrípeta y no nos dicen nada de módulos, tendremos que expresarlo en vectores. 77 00:09:30,629 --> 00:09:42,690 ¿Y cómo es esta aceleración centrípeta? Pues, como apunta hacia el centro, va a ser menos 1,4 ur metro partido por segundo al cuadrado, ¿vale? 78 00:09:42,750 --> 00:09:51,490 Pero bueno, esto es lo más correcto, aunque si se llegara a esto, no creo que nadie os dijera nada, ¿vale? 79 00:09:52,289 --> 00:09:57,690 Pero como no dice nada de módulos, pues bueno, sería más correcto ponerlo en forma de vector, ¿vale? 80 00:09:57,690 --> 00:10:01,289 Y como aquí tenemos el signo menos, pues por eso hay que ponerlo aquí. 81 00:10:02,970 --> 00:10:04,789 Bueno, pues este es el apartado A que nos pedían. 82 00:10:04,909 --> 00:10:08,669 La masa y la aceleración centripeta. 83 00:10:08,789 --> 00:10:11,370 Vamos a ver qué es lo que nos piden en el apartado B. 84 00:10:13,330 --> 00:10:17,429 Dice, si la sonda aumenta su velocidad orbital en 2 km por segundo, 85 00:10:17,429 --> 00:10:24,409 es decir, que aumenta de 9,5 a 11,5 en dirección tangencial, 86 00:10:24,409 --> 00:10:37,309 Bueno, esto básicamente aumenta de 9 a 11, ya está, porque la tangencia, hay que decir que toda la velocidad o todo lo que gana se dedica a aumentar la velocidad en la órbita. 87 00:10:37,450 --> 00:10:41,190 Pero vamos, ¿qué pasa de 9 a 11? Porque no hay otra forma, no habría otra forma de hacerlo. 88 00:10:42,690 --> 00:10:51,909 Obtenga la nueva energía mecánica que alcanzará y razone si la sonda especial con esa energía mecánica escapará del campo gravitatorio del planeta. 89 00:10:51,909 --> 00:11:17,460 Vale, pues vamos a ver qué es lo que tenemos que hacer. Nos dicen que ahora tiene una nueva velocidad de 11,5 por 10 elevado a 3 metros partido por segundo. Como la distancia no cambia, sigue estando a esta R aquí, G, M, V, que no hemos calculado, pero bueno, sigue estando a la misma distancia. 90 00:11:17,460 --> 00:11:21,179 y nos piden si con esta velocidad escaparía o no. 91 00:11:21,179 --> 00:11:27,360 Es decir, lo que nos están preguntando es, ¿es la energía mecánica menor que cero? 92 00:11:28,340 --> 00:11:31,500 Si la respuesta es que sí, que la energía mecánica es más pequeña que cero, 93 00:11:31,620 --> 00:11:33,440 pues entonces no escapa de la gravedad. 94 00:11:34,000 --> 00:11:38,220 Y si la energía mecánica es mayor o igual a cero, entonces sí escapa de la gravedad. 95 00:11:38,620 --> 00:11:39,779 Pues vamos a plantearlo. 96 00:11:40,379 --> 00:11:46,289 Entonces, obtenemos la energía mecánica. 97 00:11:46,289 --> 00:11:59,500 es energía mecánica, es energía cinética 98 00:11:59,500 --> 00:12:02,740 más energía potencial. 99 00:12:03,639 --> 00:12:07,120 Pues sustituimos, esto es un medio, 100 00:12:08,059 --> 00:12:11,000 la masa de la sonda por la velocidad al cuadrado nueva, 101 00:12:11,000 --> 00:12:14,899 la prima esta, voy a poner aquí la prima para identificar 102 00:12:14,899 --> 00:12:18,279 que es esa nueva velocidad, menos 103 00:12:18,279 --> 00:12:23,080 GMM partido 104 00:12:23,080 --> 00:12:27,080 de R, la R la vamos a sacar de aquí, ya que la tenemos, ¿vale? Y se nos va a poder 105 00:12:27,080 --> 00:12:31,240 sustituir todo esto. Pues vamos al lío. La energía 106 00:12:31,240 --> 00:12:34,779 mecánica será igual a un medio 107 00:12:34,779 --> 00:12:39,200 mv' al cuadrado menos 108 00:12:39,200 --> 00:12:43,419 la g, la m, 109 00:12:44,120 --> 00:12:47,100 la m, y aquí volvemos 110 00:12:47,100 --> 00:12:50,860 con la g, la m y la velocidad al cuadrado que estaría dividiendo, que va arriba. 111 00:12:50,860 --> 00:13:07,120 Y esta es la velocidad anterior, porque el radio no ha cambiado, el radio sigue siendo el mismo que tenía antes y como aquí íbamos a calcular con la velocidad que tuviera antes, el 9,5, pues tenemos que seguir usando eso porque el radio no ha cambiado. 112 00:13:07,120 --> 00:13:13,120 La g y la g se nos van, la m y la m se nos van. 113 00:13:14,139 --> 00:13:17,080 Entonces ya nos queda todo esto mucho más sencillo. 114 00:13:17,220 --> 00:13:34,960 La energía mecánica será igual a un medio de m por v' al cuadrado menos la masa por v cuadrado. 115 00:13:34,960 --> 00:13:37,019 Y ahora ya vamos sustituyendo. 116 00:13:37,019 --> 00:14:00,360 Nos queda un medio, la masa queda 250 kilogramos por la nueva velocidad, 11,5 por 10 elevado a 3 al cuadrado, menos 250 por 9,5 por 10 elevado a 3 al cuadrado. 117 00:14:00,360 --> 00:14:04,399 Y esto, pues vamos a ver cuánto nos queda. 118 00:14:06,539 --> 00:14:17,940 11,5 por 10 a la 3 y todo ello al cuadrado, menos 250 por 9,5 por 10 a la 3 y todo ello al cuadrado. 119 00:14:18,139 --> 00:14:27,039 Y esto sale menos 6,03 por 10 elevado a 9 julios. 120 00:14:27,039 --> 00:15:06,350 Por lo tanto, la respuesta es que no escapa de la órbita terrestre, perdón, de la órbita de Urano, como la energía mecánica es menor que cero, entonces no escapa de la órbita, o mejor dicho, no escapa del campo gravitatorio, de la gravedad de Urano. 121 00:15:06,350 --> 00:15:19,250 Y ya está. Esto era lo que nos piden en el apartado B, simplemente comprobar que esta energía mecánica fuese menor que cero o no. 122 00:15:19,970 --> 00:15:24,049 Aquí, si hubiésemos calculado el radio directamente, pues este valor lo habríamos puesto aquí. 123 00:15:24,950 --> 00:15:30,889 Pero bueno, siempre podemos reutilizar expresiones y ecuaciones de apartados anteriores. 124 00:15:32,509 --> 00:15:38,009 Esto si queremos podemos poner aquí algún comentario que es del apartado anterior o lo que sea. 125 00:15:38,009 --> 00:15:44,409 Pero bueno, estas cositas siempre, bueno, aquí hubiera estado bien haberlo puesto, ¿vale? 126 00:15:45,870 --> 00:15:56,440 Haber puesto que del apartado A, R es Gm partido de v cuadrado. 127 00:15:56,720 --> 00:16:02,679 Esto, sí, esto habría que haberlo puesto para dejar, para que este paso sea más claro, ¿vale? 128 00:16:03,100 --> 00:16:04,940 Estas cosas sí que recomiendo que las pongáis. 129 00:16:05,840 --> 00:16:12,820 Pues bueno, este sería el problema 5, que lo único así un poquitín más raro que tenía o especialito 130 00:16:12,820 --> 00:16:16,960 era el cálculo de esta masa usando la densidad, pero una vez hemos hecho esto ya, 131 00:16:17,759 --> 00:16:21,480 pues volvemos otra vez a nuestras ecuaciones de gravitación. 132 00:16:22,799 --> 00:16:26,860 Pues este era el problema 5, nos vemos en el problema número 6.