1
00:00:02,640 --> 00:00:12,679
Pues no he grabado el ejercicio de antes, madre mía, hoy es 18 de marzo del 2026, ¿vale?

2
00:00:12,720 --> 00:00:17,980
He desarrollado todo esto, lo subiré, ¿vale? Lo subiré arriba esta tarde.

3
00:00:18,160 --> 00:00:26,780
Entonces, si recopilamos, fijarse, esta me la inventé pero es muy completa.

4
00:00:27,300 --> 00:00:30,100
¿Qué quiere decir? ¿Que caerá una cosa así en el examen?

5
00:00:30,100 --> 00:00:43,740
Pues yo te diría que no, tan larga, porque es muy largo, un ejercicio muy largo. En la EBAU, pues recebemos que no, en la PAU recebemos que no salga algo así, ¿vale? Porque al final lleva muchísimo, muchísimo tiempo.

6
00:00:43,740 --> 00:00:45,960
completo, como completo es

7
00:00:45,960 --> 00:00:48,039
como ejercicio súper completo

8
00:00:48,039 --> 00:00:49,799
entonces si recopilo

9
00:00:49,799 --> 00:00:51,960
esto es menos un tercio

10
00:00:51,960 --> 00:00:54,159
del logaritmo negruiano de x menos 1

11
00:00:54,159 --> 00:00:55,560
menos

12
00:00:55,560 --> 00:00:57,799
1 partido es

13
00:00:57,799 --> 00:00:59,799
x menos 1, ¿verdad?

14
00:01:00,520 --> 00:01:02,039
y esto es más

15
00:01:02,039 --> 00:01:03,899
un tercio y aquí

16
00:01:03,899 --> 00:01:05,780
no sé si lo tenéis apuntado

17
00:01:05,780 --> 00:01:06,640
me tenéis que ayudar

18
00:01:06,640 --> 00:01:09,159
esto era un sexto, ¿verdad?

19
00:01:10,560 --> 00:01:11,980
sí, un sexto de toda

20
00:01:11,980 --> 00:01:12,939
esa integral, ¿verdad?

21
00:01:13,739 --> 00:01:31,540
Entonces, esto es un sexto más un sexto y esta integral daba, por un lado, el logaritmo neperiano de x cuadrado más x, ¿verdad?

22
00:01:32,000 --> 00:01:35,920
Logaritmo neperiano de x cuadrado más x más 1, ¿verdad?

23
00:01:35,920 --> 00:01:43,620
Y ahora esto daba más 2 raíz de 3 tercios de k bar.

24
00:01:43,980 --> 00:01:54,640
Arco tangente de 2x más 1 raíz de 3 más c.

25
00:01:56,019 --> 00:01:56,760
¿Vale, chavales?

26
00:01:56,920 --> 00:02:02,519
Entonces, este ejercicio es muy completo para repasar todo lo de las fracciones simples.

27
00:02:02,700 --> 00:02:03,219
¿Por qué?

28
00:02:03,219 --> 00:02:20,120
Porque tenemos una fracción simple que se repite, una fracción simple real que se repite, por lo tanto tengo que poner aquí ya vale tanto el a como el b para x menos 1, ¿de acuerdo?

29
00:02:20,120 --> 00:02:31,659
Y luego como la otra es una función compleja, son las soluciones son complejas, ¿de acuerdo? Pues entonces tengo que poner una ecuación de primer grado arriba.

30
00:02:31,659 --> 00:02:53,639
Y de este tipo, normalmente, que son un follón, nos va a salir un logaritmo neperiano y un arcotangente. ¿Vale? ¿Sí? ¿More or less? More or less. Para mi gusto son complicadas, ¿eh? Son complicadas, sobre todo estas últimas. Las otras no, porque salen del tirón, salen del tirón.

31
00:02:53,639 --> 00:02:57,520
Sí, yo ya lo he hecho.

32
00:02:57,699 --> 00:03:00,900
Yo ya lo he hecho para sacar la A, la B, la C y la D.

33
00:03:01,919 --> 00:03:02,180
¿Vale?

34
00:03:04,639 --> 00:03:05,120
¿Vale?

35
00:03:05,280 --> 00:03:08,379
Entonces aquí, mira, perdóname un segundillo.

36
00:03:09,000 --> 00:03:10,039
Tengo aquí el chuletario.

37
00:03:11,199 --> 00:03:13,039
Resulta que aquí me sale esto.

38
00:03:13,840 --> 00:03:15,419
Aquí me sale esto.

39
00:03:15,719 --> 00:03:18,840
Y para X menos 1, tengo que mirar la chuleta, ¿eh?

40
00:03:19,319 --> 00:03:22,039
Para X menos 1 me sale aquí.

41
00:03:22,039 --> 00:03:23,120
Me saldría.

42
00:03:23,120 --> 00:03:30,659
menos 2a menos 4c más 4d igual a 2 tercios, ¿vale?

43
00:03:30,840 --> 00:03:42,740
Y luego, chaval, he hecho para x igual a 2 y para x igual a 2 me sale 7a más 12 más d igual a menos 4 tercios, ¿vale?

44
00:03:42,740 --> 00:04:09,500
Y entonces, con esto, a ver, este ejercicio, o solo hacemos este ejercicio y otro, o es bastante, bastante largo, ¿eh? Bastante, bastante largo. Yo aquí uno que os recomiendo para que hagáis para casa es este mismo, pero sin el cuadrado, ¿vale? Sería este de aquí, yo os lo recomiendo para casa, no, aquí no es.

45
00:04:09,500 --> 00:04:15,729
es este de aquí

46
00:04:15,729 --> 00:04:18,410
sin el cuadrado, ¿de acuerdo?

47
00:04:18,490 --> 00:04:21,170
Entonces es mucho más sencillo.

48
00:04:22,129 --> 00:04:22,290
¿Vale?

49
00:04:22,829 --> 00:04:24,970
Yo os recomiendo que hagáis para casa

50
00:04:24,970 --> 00:04:25,829
este de aquí.

51
00:04:27,769 --> 00:04:30,029
Si el anterior separado es demasiado largo,

52
00:04:30,870 --> 00:04:32,069
¿para ti cuáles son los normales?

53
00:04:32,470 --> 00:04:33,850
A ver, normalmente

54
00:04:33,850 --> 00:04:36,230
la PAU, a ver, un logaritmo neperiano

55
00:04:36,230 --> 00:04:38,069
va a caer

56
00:04:38,069 --> 00:04:39,709
la de dividir, chavales,

57
00:04:39,850 --> 00:04:41,250
tened cuidado aquí una cosa,

58
00:04:41,589 --> 00:04:44,310
si el grado del de arriba es mayor o igual que el de abajo

59
00:04:44,310 --> 00:04:46,389
tenemos que hacer la división. Esas sí

60
00:04:46,389 --> 00:04:48,329
se hacen rápido, ¿vale? Esas sí

61
00:04:48,329 --> 00:04:50,350
se hacen rápido. Y esas normalmente

62
00:04:50,350 --> 00:04:52,430
también acaban el logaritmo

63
00:04:52,430 --> 00:04:54,610
neperiano, la mayoría. Seguramente

64
00:04:54,610 --> 00:04:56,550
hoy, chavales, suba

65
00:04:56,550 --> 00:04:58,310
otras 20 hojas.

66
00:04:58,410 --> 00:05:00,509
Llevo 20 hojas. Seguramente suma

67
00:05:00,509 --> 00:05:02,529
más. Entonces, para que las tengáis,

68
00:05:02,709 --> 00:05:04,250
voy a subir de momento 20

69
00:05:04,250 --> 00:05:06,209
hojas y luego seguramente suba unas 10

70
00:05:06,209 --> 00:05:08,209
más o una cosilla así, ¿vale? O

71
00:05:08,209 --> 00:05:09,790
18 hojas y luego subo más.

72
00:05:10,209 --> 00:05:12,269
De mogollón de integrales hechas para que

73
00:05:12,269 --> 00:05:14,170
las veáis, ¿vale? Entonces, de

74
00:05:14,170 --> 00:05:16,310
integrales que podemos tener un curso entero

75
00:05:16,310 --> 00:05:18,209
solamente de integrales. Entonces, lo

76
00:05:18,209 --> 00:05:20,170
único es que sepáis los distintos tipos

77
00:05:20,170 --> 00:05:22,329
que hay y cómo, sobre todo, cómo meterle

78
00:05:22,329 --> 00:05:24,069
mano. Y después, ¿qué ocurre una cosa?

79
00:05:24,129 --> 00:05:26,290
Hay algunas integrales que ahí os lo voy

80
00:05:26,290 --> 00:05:28,170
a subir y ya os lo he subido, que

81
00:05:28,170 --> 00:05:30,209
se puede hacer de dos tipos. Uno con un cambio

82
00:05:30,209 --> 00:05:32,230
de variable, otro... Entonces,

83
00:05:32,370 --> 00:05:33,689
la de por parte son muy

84
00:05:33,689 --> 00:05:35,829
importantes. La de

85
00:05:35,829 --> 00:05:38,310
las racionales también

86
00:05:38,310 --> 00:05:40,269
son muy importantes y

87
00:05:40,269 --> 00:05:42,250
por supuesto tenéis que saber las que son

88
00:05:42,250 --> 00:05:44,250
directas, ¿vale? Las que son inmediatas

89
00:05:44,250 --> 00:05:46,290
que se llaman, ¿verdad? Que he dicho directas.

90
00:05:46,870 --> 00:05:47,410
¿Vale, chavales?

91
00:05:48,189 --> 00:05:48,410
¿Sí?

92
00:05:49,769 --> 00:05:52,209
¿Y hasta ahí todo bien? Venga, vamos

93
00:05:52,209 --> 00:05:53,350
a empezar un tema nuevo

94
00:05:53,350 --> 00:05:56,269
que son la integral definida,

95
00:05:56,370 --> 00:05:57,949
¿vale? La integral definida

96
00:05:57,949 --> 00:06:00,350
no es

97
00:06:00,350 --> 00:06:02,189
tan complicado, entre

98
00:06:02,189 --> 00:06:03,850
comillas, siempre y cuando

99
00:06:03,850 --> 00:06:05,910
sepamos integrar, ¿vale?

100
00:06:08,819 --> 00:06:10,160
Claro, claro, es que es

101
00:06:10,160 --> 00:06:12,079
uno de los... Y los volúmenes de

102
00:06:12,079 --> 00:06:14,120
revolución también, que ahí eso es, digamos, la parte

103
00:06:14,120 --> 00:06:23,379
más. No. Bueno, a ver, a ver. Las integrales indefinidas son integrales como tal, ¿vale?

104
00:06:23,540 --> 00:06:29,819
Son integrales. ¿Qué es lo que ocurre? Que las integrales definidas son iguales que las

105
00:06:29,819 --> 00:06:34,920
integrales sin definir, pero yo ya tengo unos límites de integración, ¿de acuerdo? Y

106
00:06:34,920 --> 00:06:39,899
entonces eso normalmente me va a dar, en vez de ya no aparece la constante, ya no aparece

107
00:06:39,899 --> 00:06:41,759
la constante C

108
00:06:41,759 --> 00:06:44,160
y lo que sí me va a tener que dar

109
00:06:44,160 --> 00:06:46,240
al final un valor concreto

110
00:06:46,240 --> 00:06:47,720
que es lo que tú me dices

111
00:06:47,720 --> 00:06:49,339
es o la medida del área

112
00:06:49,339 --> 00:06:51,420
o luego también un volumen

113
00:06:51,420 --> 00:06:52,319
¿de acuerdo?

114
00:06:55,000 --> 00:06:56,240
Sí, las anteriores

115
00:06:56,240 --> 00:06:57,579
son indefinidas, ¿por qué?

116
00:06:57,620 --> 00:06:59,879
porque no tenemos límites

117
00:06:59,879 --> 00:07:01,180
de integración, pero luego

118
00:07:01,180 --> 00:07:03,399
todo lo que vamos a ver ahora

119
00:07:03,399 --> 00:07:05,500
es exactamente igual

120
00:07:05,500 --> 00:07:06,920
¿vale? Entonces chavales

121
00:07:06,920 --> 00:07:09,800
¿qué es lo que quiero que veáis

122
00:07:09,800 --> 00:07:18,279
ustedes de una integral definida? Pues una integral definida al final es el área entre la gráfica, ¿vale?

123
00:07:18,300 --> 00:07:30,620
Cuando yo tengo esto de aquí, a ver si lo he cogido bien. A ver, una integral definida de una función es el área

124
00:07:30,620 --> 00:07:38,079
entre la gráfica, ¿de acuerdo? Y el eje x, ¿vale? Y entonces, entre el intervalo a y b. Por lo tanto, ¿qué

125
00:07:38,079 --> 00:07:42,060
diferencia estamos viendo con lo de antes? Que antes la integral definida

126
00:07:42,060 --> 00:07:45,879
aquí no aparecía el a y el b, ¿lo veis? Y ahora sí

127
00:07:45,879 --> 00:07:50,220
aparecen, ¿de acuerdo? Ahora sí aparece. Y entonces se lee

128
00:07:50,220 --> 00:07:53,839
integral entre a y b de la función. La única

129
00:07:53,839 --> 00:07:57,920
diferencia entre una integral definida y una integral sin definir es que

130
00:07:57,920 --> 00:08:02,240
ahora nos aparecen unos límites de integración que se llama, ¿eh? Que es a y b.

131
00:08:02,579 --> 00:08:05,899
¿De acuerdo? Entonces, ¿qué quiero yo que veáis como diferencia?

132
00:08:05,899 --> 00:08:07,620
Que para que veáis que no es complicado, ¿vale?

133
00:08:07,620 --> 00:08:16,579
Si yo tengo, chavales, la integral de x cuadrado menos x, diferencial de x, ¿esto qué es, chavales?

134
00:08:16,860 --> 00:08:19,759
Esto era x al cubo partido de 3, ¿verdad?

135
00:08:20,259 --> 00:08:26,939
Menos x al cuadrado partido de 2 más mi constante de integración.

136
00:08:27,139 --> 00:08:28,300
¿Estamos todo el mundo de acuerdo?

137
00:08:28,879 --> 00:08:29,459
Sí, ¿verdad?

138
00:08:29,459 --> 00:08:48,919
Vale, pues ahora, si yo tengo x cuadrado menos x diferencial de x, yo ahora lo voy a integrar entre dos puntos, ¿vale? Entre dos puntos, por ejemplo, voy a integrarlo entre el menos 1 y el 2, me lo estoy inventando, ¿vale?

139
00:08:48,919 --> 00:08:50,720
Entonces, fijaros la diferencia ahora.

140
00:08:51,159 --> 00:08:54,860
Yo ahora aquí no tenía ni el 1 ni el menos 2, es una integral indefinida,

141
00:08:54,940 --> 00:08:58,000
por eso no están definidos los límites de integración.

142
00:08:58,559 --> 00:09:01,820
Pues ahora yo lo voy a integrar entre el menos 1 y el 2.

143
00:09:02,220 --> 00:09:03,600
¿Vale, chavales? ¿Sí o no?

144
00:09:03,980 --> 00:09:05,519
Y entonces, ¿esto qué es?

145
00:09:06,360 --> 00:09:11,659
Pues esto se hace exactamente lo mismo, lo único que ahora ponemos unos corchetes, ¿vale?

146
00:09:11,659 --> 00:09:19,299
Unos corchetes y tenemos x al cubo partido de 3 menos x cuadrado partido de 2, ¿de acuerdo?

147
00:09:19,860 --> 00:09:25,320
Ya no pongo esa constante de integración y ahora está entre menos 1 y 2.

148
00:09:25,679 --> 00:09:27,759
¿Y esto cómo se resuelve, chavales?

149
00:09:27,879 --> 00:09:31,360
Esto es la famosa regla de Barru, que ya la veremos, ¿vale?

150
00:09:31,779 --> 00:09:33,539
No sé si alguno la ha visto ya.

151
00:09:34,240 --> 00:09:39,759
Lo que hago es sustituyo la x por este valor 2, ¿vale?

152
00:09:39,759 --> 00:09:49,679
Es decir, esto sería 2 al cubo partido de 3 menos 2 al cuadrado partido de 2, que ahora aparece, ¿vale?

153
00:09:50,500 --> 00:09:56,539
Menos, ahora sustituyo la x por el otro límite, que es menos 1, ¿vale?

154
00:09:57,360 --> 00:10:06,919
Entonces, es menos 1 al cubo partido de 3 menos menos 1 al cuadrado partido de 2.

155
00:10:06,919 --> 00:10:08,919
¿Lo veis, chavales?

156
00:10:09,139 --> 00:10:10,019
¿Lo veis complicado?

157
00:10:11,600 --> 00:10:13,000
¿Lo veis complicado de decir?

158
00:10:13,960 --> 00:10:15,200
Necesito saber integrar

159
00:10:15,200 --> 00:10:17,460
Si no se integra, malagueña

160
00:10:17,460 --> 00:10:19,879
Es lo mismo, carcado

161
00:10:19,879 --> 00:10:21,919
Lo único que ahora, en vez de yo dejarla aquí

162
00:10:21,919 --> 00:10:23,899
Porque yo aquí, fíjate, Carlos, ya he acabado

163
00:10:23,899 --> 00:10:25,059
¿Vale?

164
00:10:25,220 --> 00:10:27,240
Ahora digamos que hay un pasito más

165
00:10:27,240 --> 00:10:29,639
Yo ahora tengo que, primero, y siempre es lo mismo

166
00:10:29,639 --> 00:10:30,159
¿Eh, chavales?

167
00:10:30,580 --> 00:10:33,000
El límite de arriba menos el límite de abajo

168
00:10:33,000 --> 00:10:34,519
¿Vale? Siempre es igual

169
00:10:34,519 --> 00:10:54,360
Entonces esto sería ocho tercios menos dos, ¿verdad? Ocho tercios menos dos es cuatro tercios, ¿no? Cuatro tercios. Y esto es menos un tercio menos un medio. Un tercio menos un medio que es menos un sexto.

170
00:10:58,120 --> 00:10:59,820
8 tercios menos 2, ¿cuánto es?

171
00:11:00,340 --> 00:11:01,600
2 tercios, ¿vale?

172
00:11:01,759 --> 00:11:02,820
Esto es 2 tercios.

173
00:11:03,240 --> 00:11:06,960
Y ahora, menos 1 tercio menos...

174
00:11:06,960 --> 00:11:12,659
Ah, menos 1 tercio menos 1 medio es menos 5 sextos, ¿no?

175
00:11:13,559 --> 00:11:14,080
¿Sí?

176
00:11:15,220 --> 00:11:17,419
Menos menos 5 sextos.

177
00:11:18,139 --> 00:11:20,059
Y esto, chavales, ¿a qué es igual?

178
00:11:20,059 --> 00:11:25,820
Pues esto es 4 más 5, esto es 9 sextos, si no me equivoco.

179
00:11:25,820 --> 00:11:31,399
¿Me lo puede hacer 2 tercios menos menos menos 5 sextos?

180
00:11:32,840 --> 00:11:34,039
Esto es 9 sextos.

181
00:11:34,980 --> 00:11:36,679
Que es 3 medios, gracias.

182
00:11:38,059 --> 00:11:38,240
¿Vale?

183
00:11:38,639 --> 00:11:43,039
Entonces, ¿esto qué es geométricamente qué es, chavales?

184
00:11:44,320 --> 00:11:46,559
Pues, fijaros.

185
00:11:48,100 --> 00:11:49,700
¿Tenéis el de este ahí?

186
00:11:50,179 --> 00:11:52,700
Si yo represento la...

187
00:11:56,009 --> 00:11:57,649
Hostia, es que esto no lo puedo perder, ¿eh?

188
00:11:57,649 --> 00:12:26,139
Es de primero, yo llevo. Entonces, ¿cuál era la función? Perdonadme, ¿x cuadrado menos 2 menos x? Fijaros, chavales, esta es mi parábola de Cristo, ¿vale? Y yo lo he hecho entre menos 1, es decir, yo pongo aquí x es igual a menos 1 y x es igual a cuánto? A 2.

189
00:12:26,139 --> 00:12:30,200
Vale, pues yo el área que he calculado, chavales

190
00:12:30,200 --> 00:12:32,460
Voy a coger esto de aquí

191
00:12:32,460 --> 00:12:37,860
El área que yo he calculado es esto de aquí

192
00:12:37,860 --> 00:12:43,559
El 2 tercio es la suma de todo esto de aquí, ¿vale?

193
00:12:45,179 --> 00:12:46,039
¿Lo veis?

194
00:12:46,960 --> 00:12:50,399
Menos esto, más esto de aquí

195
00:12:50,399 --> 00:12:57,440
Y aquí en este caso, en este caso, es que tendríamos que haber hecho límites de interacción entre medias, ¿vale?

196
00:12:57,440 --> 00:12:59,720
Es que no he visto la gráfica como es, ¿vale?

197
00:12:59,740 --> 00:13:04,440
Entonces, lo que hemos hecho, habría que matizarlo, ¿vale?

198
00:13:05,320 --> 00:13:12,860
Habría que matizarlo, porque me lo he inventado y resulta que tenía que hacer los límites de integración porque cambia de signo, ¿vale, chavales?

199
00:13:13,240 --> 00:13:14,899
Pero yo creo que en el fondo sale bien.

200
00:13:14,899 --> 00:13:19,440
Yo lo que quería explicaros, aquí es que me he precipitado con esto.

201
00:13:20,399 --> 00:13:27,519
Porque lo que quiero explicaros es que, fíjate, la inmediata es únicamente sustituir por los límites de integración, ¿vale, chavales?

202
00:13:27,519 --> 00:13:32,519
Lo que pasa es que como aquí justo no me he dado cuenta, si esto lo hago, mira, para no...

203
00:13:33,120 --> 00:13:35,779
Aquí lo suyo es haberlo hecho a partir del 1, ¿vale?

204
00:13:36,600 --> 00:13:40,159
A partir del 1, por ejemplo, del 1 al 4, ¿vale?

205
00:13:40,179 --> 00:13:43,820
Y entonces ya sería del 1 al 4 mejor que esto de aquí, ¿vale?

206
00:13:43,860 --> 00:13:48,600
Entonces, yo lo que quiero aquí es que sepáis la idea, ¿vale?

207
00:13:48,600 --> 00:13:51,299
Lo que quiero que sepáis de aquí es la idea, ¿vale, chavales?

208
00:13:51,899 --> 00:13:57,299
Vamos a continuar y perdonad porque no me he dado cuenta de eso de ahí.

209
00:14:01,059 --> 00:14:01,320
Venga.

210
00:14:02,580 --> 00:14:05,539
Entonces, funciones integrables, nada,

211
00:14:05,740 --> 00:14:10,500
diremos que una función f es integral si existe la integral, ¿vale?

212
00:14:10,539 --> 00:14:13,220
No hay otra cosa más, ¿de acuerdo?

213
00:14:13,700 --> 00:14:19,100
Si existe la integral, es decir, podemos asignar un área al recinto formado por la gráfica de la función y el eje x.

214
00:14:19,100 --> 00:14:34,820
Es decir, si yo tengo realmente, lo voy a dibujar aquí mejor, ¿vale? Si yo tengo aquí una función, ¿de acuerdo? Que sea como sea, perdona, yo tengo mi función que es así, por ejemplo, ¿vale? Una cosilla así.

215
00:14:34,820 --> 00:14:53,019
Y yo tengo aquí el a y tengo aquí el b, ¿vale? La integral definida de esta función, esto es f de x, ¿vale? Pues la integral definida entre a y b de f de x es esto que estoy haciendo aquí en verde, ¿vale?

216
00:14:53,019 --> 00:15:18,519
Es el área, es el área de la función bajo la función y el eje x, ¿de acuerdo? Sería todo esto de aquí, ¿vale, chavales? Esa es la definición de variable de integral definida, ¿vale? Este área de aquí y se calcula con la integral de f de x entre a y b, ¿vale, chavales?

217
00:15:18,519 --> 00:15:34,580
¿Sí o no? ¿Sí? ¿Más o menos? Venga. A la hora de realizar es lo mismo, ¿de acuerdo? Allí, bueno, ahí te explican muchísimo y demás, ¿vale?

218
00:15:34,580 --> 00:15:41,620
esto también es importante

219
00:15:41,620 --> 00:15:43,220
saberlo, ¿vale? dice

220
00:15:43,220 --> 00:15:45,179
si una función es

221
00:15:45,179 --> 00:15:48,769
si una función

222
00:15:48,769 --> 00:15:50,809
f de x continua

223
00:15:50,809 --> 00:15:52,549
y es creciente en a y b

224
00:15:52,549 --> 00:15:54,090
entonces es integrable

225
00:15:54,090 --> 00:16:01,899
¿vale? y luego

226
00:16:01,899 --> 00:16:03,899
otra propiedad que es esta

227
00:16:03,899 --> 00:16:05,799
la vamos a utilizar muchísimo y la es la que

228
00:16:05,799 --> 00:16:08,039
tendríamos que haber utilizado

229
00:16:08,039 --> 00:16:10,509
¿se me ha cerrado?

230
00:16:17,620 --> 00:16:18,659
está pasando esto

231
00:16:18,659 --> 00:16:22,080
chavales, esta propiedad también es muy importante

232
00:16:22,080 --> 00:16:23,840
¿vale? ¿qué quiere decir

233
00:16:23,840 --> 00:16:24,419
esta de aquí?

234
00:16:25,259 --> 00:16:27,779
que si yo chavales, integro

235
00:16:27,779 --> 00:16:29,519
wow

236
00:16:29,519 --> 00:16:31,799
entre

237
00:16:31,799 --> 00:16:34,039
entre A y C

238
00:16:34,039 --> 00:16:35,179
¿vale? es decir

239
00:16:35,179 --> 00:16:37,220
yo aquí, fijaros

240
00:16:37,220 --> 00:16:39,519
si yo tengo aquí esto es lo mismo ¿vale?

241
00:16:42,559 --> 00:16:44,240
el ejemplito de antes ¿vale?

242
00:16:44,240 --> 00:16:46,059
voy a intentar simular

243
00:16:46,059 --> 00:16:47,580
la misma función

244
00:16:47,580 --> 00:16:58,320
aquí tenía A y B

245
00:16:58,320 --> 00:16:58,600
¿verdad?

246
00:16:58,960 --> 00:17:02,379
Si yo tengo aquí A, lo voy a cambiar a C, ¿vale?

247
00:17:02,779 --> 00:17:05,019
Y yo tengo aquí una B entre medias.

248
00:17:05,619 --> 00:17:11,480
Si yo integro primero entre A y B, luego integro entre B y C, ¿de acuerdo?

249
00:17:12,039 --> 00:17:17,940
La suma de las dos equivale a haber integrado entre A y C, ¿vale?

250
00:17:17,940 --> 00:17:24,680
Esto que parece de perogrullo es una propiedad muy importante y alguna vez que otra la vamos a utilizar, ¿vale, chavales?

251
00:17:24,680 --> 00:17:45,400
Lo que me viene a decir esto es que si yo integro entre A y C y tengo un punto intermedio de ese intervalo AC que es B, si yo integro entre A y B y luego integro entre B y C y lo sumo, pues entonces tengo el mismo valor que si hubiese integrado de AC.

252
00:17:45,400 --> 00:17:46,519
¿Vale, chavales?

253
00:17:46,920 --> 00:17:47,240
¿Sí o no?

254
00:17:48,019 --> 00:17:48,259
¿Sí?

255
00:17:49,019 --> 00:17:49,279
Vale.

256
00:17:50,599 --> 00:17:52,799
Respecto a lo que he puesto aquí,

257
00:17:58,130 --> 00:17:58,470
aquí,

258
00:17:59,349 --> 00:18:01,250
mañana os hago una comprobación.

259
00:18:01,829 --> 00:18:02,630
¿De acuerdo?

260
00:18:03,210 --> 00:18:04,170
Que no sé dónde la he puesto.

261
00:18:08,589 --> 00:18:10,750
Una comprobación para que veáis que es exactamente igual,

262
00:18:10,829 --> 00:18:13,509
pero vamos a utilizar precisamente esta propiedad que acabo de decir.

263
00:18:13,869 --> 00:18:14,470
¿Vale, chavales?

264
00:18:15,569 --> 00:18:15,809
¿Sí?

265
00:18:16,390 --> 00:18:19,150
Mañana lo hago, ¿vale?

266
00:18:19,210 --> 00:18:20,970
Para avanzar hoy un poquito más.

267
00:18:23,690 --> 00:18:24,829
Entonces, chavales,

268
00:18:24,829 --> 00:18:30,779
¿qué es lo que me dice aquí?

269
00:18:30,859 --> 00:18:31,980
dice una función por ejemplo

270
00:18:31,980 --> 00:18:34,279
la parábola que es igual a x al cuadrado

271
00:18:34,279 --> 00:18:36,819
dice es integrable entre menos 2 y 1

272
00:18:36,819 --> 00:18:39,319
lo es entre menos 2 y 0

273
00:18:39,319 --> 00:18:41,559
por ser continua y decreciente

274
00:18:41,559 --> 00:18:43,259
y entre 0 y 1

275
00:18:43,259 --> 00:18:44,859
por ser continua y decreciente

276
00:18:44,859 --> 00:18:46,500
por lo tanto es integrable

277
00:18:46,500 --> 00:18:47,940
en los dos sentidos

278
00:18:47,940 --> 00:18:48,319
¿de acuerdo?

279
00:18:48,680 --> 00:18:50,039
al final lo que me está diciendo

280
00:18:50,039 --> 00:18:51,920
es que yo integro todo esto de aquí

281
00:18:51,920 --> 00:18:52,960
que me da un área

282
00:18:52,960 --> 00:18:54,859
integro todo esto de aquí

283
00:18:54,859 --> 00:18:58,980
que me da también otro área y lo sumo, ¿de acuerdo?

284
00:18:59,960 --> 00:19:04,819
Venga, vamos a ir al tema Fernanda mejor, ¿vale, chavales?

285
00:19:05,220 --> 00:19:09,859
Mira, ¿os acordáis, chavales, de la integral de la...

286
00:19:11,200 --> 00:19:12,240
¡Guau!

287
00:19:12,400 --> 00:19:14,859
La función de la circunferencia.

288
00:19:17,630 --> 00:19:20,470
¿Os acordáis de la función de la circunferencia o no?

289
00:19:21,170 --> 00:19:27,440
Una circunferencia centrada en A, B es de este tipo.

290
00:19:27,799 --> 00:19:45,160
Esto es una circunferencia centrada en AB de radio R, ¿vale?

291
00:19:45,720 --> 00:19:49,420
¿Qué ocurre? ¿La circunferencia como tal es una función, chavales?

292
00:19:50,200 --> 00:19:54,019
¿Sí? ¿La circunferencia como tal es una función? No.

293
00:19:54,759 --> 00:20:01,470
¿Por qué? Porque si yo tengo, chavales, lo que no sé es cómo...

294
00:20:01,470 --> 00:20:03,809
Voy a intentar hacer aquí...

295
00:20:03,809 --> 00:20:07,049
Un segundillo.

296
00:20:07,369 --> 00:20:40,039
Un segundo. A ver, chavales. Un compás. Como cuando tocan las palmas. Un compás. Monísimo el compás, ¿verdad? A ver si me sale lo que yo quiero. Natillas, Danone. A ver.

297
00:20:40,039 --> 00:20:43,200
que tan chiquitillo

298
00:20:43,200 --> 00:20:51,759
tiene whatsapp

299
00:20:51,759 --> 00:20:54,680
esto sería una circunferencia

300
00:20:54,680 --> 00:20:56,059
vale chavales

301
00:20:56,059 --> 00:21:01,660
centrada en el 0,0

302
00:21:01,660 --> 00:21:01,940
¿verdad?

303
00:21:02,720 --> 00:21:04,720
¿y qué ocurre?

304
00:21:04,920 --> 00:21:05,940
¿esto es una función?

305
00:21:06,319 --> 00:21:07,900
no, ¿por qué no es una función?

306
00:21:07,900 --> 00:21:09,920
porque por ejemplo para este valor de aquí

307
00:21:09,920 --> 00:21:17,119
yo tengo dos posibles valores y eso es contradictorio con una función, ¿de acuerdo?

308
00:21:17,180 --> 00:21:20,740
Porque para una única entrada tan solo hay una única salida.

309
00:21:21,420 --> 00:21:22,700
Entonces, ¿qué es lo que ocurre?

310
00:21:22,859 --> 00:21:27,019
Que normalmente se representa esto de dos tipos, ¿vale?

311
00:21:27,480 --> 00:21:37,700
Como x cuadrado menos r al cuadrado y también como menos x cuadrado menos r al cuadrado, ¿de acuerdo?

312
00:21:37,700 --> 00:21:42,000
Y así ya tenemos esta parte aquí y esta parte aquí, ¿vale?

313
00:21:43,640 --> 00:21:46,099
¿Qué es lo que me dice este ejercicio?

314
00:21:46,319 --> 00:21:47,839
¿Qué es lo que me dice este ejercicio?

315
00:21:47,980 --> 00:21:52,140
Que lo que queremos saber es hallar la siguiente integral, ¿de acuerdo?

316
00:21:52,400 --> 00:21:59,599
La siguiente integral, es decir, la integral entre 0 y 5 de la raíz de 25 menos x al cuadrado, ¿vale?

317
00:22:00,079 --> 00:22:01,059
Diferencial de x.

318
00:22:01,440 --> 00:22:06,059
Esto, si no lo sabemos, resulta...

319
00:22:06,059 --> 00:22:07,500
Esto me he equivocado.

320
00:22:07,700 --> 00:22:14,480
perdonad, esto es r al cuadrado menos x al cuadrado, perdonad, ¿vale? Y aquí igual.

321
00:22:22,549 --> 00:22:28,329
Esto, chavales, es r al cuadrado menos x al cuadrado, r al cuadrado menos x al cuadrado.

322
00:22:28,450 --> 00:22:40,680
Es decir, si yo tengo una circunferencia, chavales, centrada en 0, 0 y de radio r5, ¿cuál sería su función?

323
00:22:40,680 --> 00:22:45,200
Sería x al cuadrado más y al cuadrado igual a 25, ¿sí o no?

324
00:22:47,819 --> 00:22:55,839
Recordamos esto de aquí, que es 0, 0, y esto es r al cuadrado, perdona, sería 25.

325
00:22:56,339 --> 00:23:04,559
Entonces, ¿qué ocurre? Que y sería más menos la raíz de 25 menos r al cuadrado, menos x al cuadrado.

326
00:23:05,380 --> 00:23:06,559
¿Estamos de acuerdo todos, no?

327
00:23:06,559 --> 00:23:13,099
Porque precisamente lo que acompaña a la x y a la y es cero.

328
00:23:16,059 --> 00:23:20,579
Esta es la función general de una circunferencia, ¿vale?

329
00:23:20,920 --> 00:23:24,339
Si está en el 0, 0, pues yo tengo x cuadrado más y cuadrado.

330
00:23:26,890 --> 00:23:32,069
Si estuviese en el 1, 2, sería x menos 1 al cuadrado más y menos 2 al cuadrado.

331
00:23:34,410 --> 00:23:36,349
Porque me dan esta función de aquí, ¿vale?

332
00:23:36,430 --> 00:23:39,349
Estoy explicando de dónde viene esta función, ¿vale?

333
00:23:39,990 --> 00:23:41,009
Entonces, ¿qué ocurre?

334
00:23:41,009 --> 00:23:43,170
chavales, ¿alguien recuerda

335
00:23:43,170 --> 00:23:45,250
cuál era el área de una circunferencia?

336
00:23:46,869 --> 00:23:49,009
pi por r cuadrado

337
00:23:49,009 --> 00:23:50,730
¿vale? pi por r cuadrado

338
00:23:50,730 --> 00:23:52,990
¿sí o no? y aquí yo ¿qué es lo que

339
00:23:52,990 --> 00:23:55,029
tengo realmente? aquí ¿qué es lo

340
00:23:55,029 --> 00:23:56,990
que tengo? un cuarto ¿vale?

341
00:23:57,029 --> 00:23:58,869
entonces esto me tiene que dar

342
00:23:58,869 --> 00:24:00,650
pi cuartos por

343
00:24:00,650 --> 00:24:03,109
25 por 25

344
00:24:03,109 --> 00:24:04,289
¿vale? que sería

345
00:24:04,289 --> 00:24:06,589
25 pi cuartos

346
00:24:06,589 --> 00:24:08,990
¿vale? gráficamente

347
00:24:08,990 --> 00:24:10,730
esto me tendría que dar, pues

348
00:24:10,730 --> 00:24:13,430
Fijaros cómo hacemos esto de aquí, chavales.

349
00:24:13,890 --> 00:24:18,509
Si me piden esto, yo a lo mejor no caigo que esto es una circunferencia, ¿no?

350
00:24:18,509 --> 00:24:23,210
Lo que quiero que veáis es una cosa, un momentillo, que si me piden esto,

351
00:24:23,210 --> 00:24:26,930
lo que yo quiero que veáis es que yo a lo mejor no caigo que esto es una circunferencia.

352
00:24:27,049 --> 00:24:32,250
Lo que os quiero demostrar es que yo estoy diciendo que esto es una circunferencia,

353
00:24:32,390 --> 00:24:34,970
es más, es un cuarto de circunferencia, ¿de acuerdo?

354
00:24:35,250 --> 00:24:39,210
Y que yo al hacer esta integral de esta función entre 0 y 5,

355
00:24:39,210 --> 00:24:42,450
me va a salir precisamente 25 pi cuarto.

356
00:24:43,269 --> 00:24:43,509
¿Vale?

357
00:24:44,109 --> 00:24:45,329
Pero yo cuando veo esto

358
00:24:45,329 --> 00:24:46,410
no tengo por qué saberlo.

359
00:24:46,470 --> 00:24:47,369
Hombre, si lo sabéis mejor.

360
00:24:47,809 --> 00:24:49,210
Más que nada porque tú lo haces

361
00:24:49,210 --> 00:24:50,869
y si sabes que es una circunferencia

362
00:24:50,869 --> 00:24:52,970
que está centrada en el 0, 0

363
00:24:52,970 --> 00:24:54,450
y que es de radio 5

364
00:24:54,450 --> 00:24:56,690
y lo haces entre 0 y 5

365
00:24:56,690 --> 00:24:59,589
te tiene que salir el cuarto de la circunferencia.

366
00:25:00,230 --> 00:25:00,329
¿Vale?

367
00:25:00,450 --> 00:25:01,990
Son técnicas que nos pueden aparecer

368
00:25:01,990 --> 00:25:04,509
y estas son bastante típicas en la tabla.

369
00:25:04,849 --> 00:25:05,009
Dime.

370
00:25:05,309 --> 00:25:06,990
Vale, yo voy a preguntar si te lo hago en el dibujo.

371
00:25:07,230 --> 00:25:07,430
No.

372
00:25:07,930 --> 00:25:08,589
Es lo que te digo.

373
00:25:08,589 --> 00:25:10,950
es lo que te digo. Lo que yo creo que os familiaricéis

374
00:25:10,950 --> 00:25:12,609
un poco con esto. Cuando yo tengo una raíz

375
00:25:12,609 --> 00:25:14,630
de un número al cuadrado menos x

376
00:25:14,630 --> 00:25:17,049
al cuadrado, es que es una circunferencia

377
00:25:17,049 --> 00:25:18,569
centrada en el 0, 0

378
00:25:18,569 --> 00:25:20,670
y de radio el 25

379
00:25:20,670 --> 00:25:22,549
al cuadrado que es 5. ¿Vale?

380
00:25:23,170 --> 00:25:24,650
Entonces, ¿qué es lo que quiero que

381
00:25:24,650 --> 00:25:26,569
veamos, chavales? Que yo esto sí

382
00:25:26,569 --> 00:25:28,589
lo sé hacer, ¿no? O no sé hacer

383
00:25:28,589 --> 00:25:29,910
esta

384
00:25:29,910 --> 00:25:32,410
integral.

385
00:25:32,509 --> 00:25:33,430
¿La sabemos hacer o no?

386
00:25:40,450 --> 00:25:40,849
¿Eh?

387
00:25:44,660 --> 00:25:45,440
Dime, dime, dime.

388
00:25:46,079 --> 00:25:49,259
Si lo pones como potencia, ¿qué es?

389
00:25:49,359 --> 00:25:50,400
¿La raíz de qué?

390
00:25:51,220 --> 00:25:54,400
De 5 menos x por 5 más x, ¿no?

391
00:25:57,240 --> 00:25:57,619
¿Sí o no?

392
00:25:58,779 --> 00:26:00,559
¿Y esto qué sería, chavales?

393
00:26:00,559 --> 00:26:06,420
Entre 0 y 5 de raíz de 5 menos x, ¿verdad?

394
00:26:07,480 --> 00:26:10,200
Por la raíz de 5 más x, ¿sí o no?

395
00:26:14,539 --> 00:26:14,880
¿Sí o no?

396
00:26:15,740 --> 00:26:18,799
Esto me voy a pasar al otro lado.

397
00:26:29,529 --> 00:26:30,569
Esto de aquí, chavales.

398
00:26:30,569 --> 00:26:35,000
¿Esto la puedo descomponer en dos fracciones?

399
00:26:36,220 --> 00:26:39,599
¿La integral de una multiplicación es la multiplicación de integrales o no?

400
00:26:47,250 --> 00:26:52,529
¿La multiplicación de integrales es la integral de una multiplicación o no?

401
00:26:57,450 --> 00:26:58,970
Entonces, ¿qué podemos hacer, chavales?

402
00:27:02,980 --> 00:27:03,839
¿Qué podemos hacer?

403
00:27:06,140 --> 00:27:07,279
¿Integración por partes?

404
00:27:08,140 --> 00:27:08,619
¿Sí o no?

405
00:27:09,119 --> 00:27:14,180
¿Qué me dices?

406
00:27:15,500 --> 00:27:16,779
¿Cómo se haría esa integral?

407
00:27:31,309 --> 00:27:32,349
¿Hay dos novenos franjeras?

408
00:27:32,349 --> 00:27:41,720
Bueno, la raíz elevada a 1 medio, pero ¿cuánto es la derivada de esto?

409
00:27:42,880 --> 00:27:44,200
Menos 2x, ¿la tiene?

410
00:27:44,980 --> 00:27:45,799
No la tiene.

411
00:27:46,660 --> 00:27:49,420
¿A alguien se le ocurre cómo podemos hacer este tipo de integrado o no?

412
00:27:51,339 --> 00:27:53,099
Hombre, tiene solución, pues ya lo sabemos.

413
00:27:55,039 --> 00:27:55,619
¿Cuánto da?

414
00:27:59,339 --> 00:28:00,440
¿A alguien se le ocurre o no?

415
00:28:02,900 --> 00:28:04,460
Un cambio de variable, por ejemplo, ¿no?

416
00:28:06,599 --> 00:28:09,400
¿25 menos x al cuadrado es igual a t al cuadrado o no?

417
00:28:10,359 --> 00:28:11,319
¿Conseguimos algo o no?

418
00:28:13,140 --> 00:28:17,059
Y entonces, ¿qué ocurre?

419
00:28:17,119 --> 00:28:19,380
Si yo ahora esto lo derivo, pero tengo un problema, ¿no?

420
00:28:20,160 --> 00:28:24,380
Menos 2X diferencial de X es 2T diferencial de T, ¿verdad?

421
00:28:24,819 --> 00:28:25,440
¿Sí o no?

422
00:28:26,339 --> 00:28:27,579
¿Y ahora qué ocurre?

423
00:28:28,200 --> 00:28:33,579
Que diferencial de X que es T diferencial de T partido de X.

424
00:28:33,579 --> 00:28:35,839
Y la X aquí, ¿cómo lo despejo, guillo?

425
00:28:42,940 --> 00:28:43,579
Es esto, ¿no?

426
00:28:45,119 --> 00:28:47,220
Lo cual tenemos aquí un problemón, ¿no?

427
00:28:47,220 --> 00:28:49,359
¿O no? Me quedo igual, ¿no?

428
00:29:03,039 --> 00:29:04,420
¿Cómo podría resolver esto?

429
00:29:06,420 --> 00:29:12,480
¿La t dónde, Guillo?

430
00:29:16,319 --> 00:29:17,539
Esto es la x, ¿no?

431
00:29:25,670 --> 00:29:27,609
Me sale derivada de t

432
00:29:27,609 --> 00:29:29,549
es t diferencial de t

433
00:29:29,549 --> 00:29:32,190
partido raíz de 25

434
00:29:32,190 --> 00:29:33,430
menos t al cuadrado.

435
00:29:33,769 --> 00:29:34,069
¿Sí o no?

436
00:29:35,490 --> 00:29:37,309
¿Eh? ¿Y ahora qué hago?

437
00:29:37,549 --> 00:29:38,450
¿Esto qué me quedaría?

438
00:29:39,369 --> 00:29:42,589
Entre 0 y 5, ¿cuánto vale todo esto?

439
00:29:42,769 --> 00:29:43,210
T, ¿verdad?

440
00:29:44,069 --> 00:29:45,690
¿Y diferencial de T qué sería?

441
00:29:46,470 --> 00:29:51,910
T diferencial de T partido la raíz de 25 menos T al cuadrado, ¿no?

442
00:29:52,690 --> 00:29:58,569
Tendría T al cuadrado diferencial de T partido raíz de 25 menos T al cuadrado.

443
00:29:58,630 --> 00:29:59,130
¿Me he equivocado?

444
00:30:05,079 --> 00:30:08,700
Pues, a través de una T, que te sale la raíz como...

445
00:30:08,700 --> 00:30:10,319
Chavales, esto de aquí,

446
00:30:11,000 --> 00:30:14,140
esto de aquí se hace con un cambio de variable

447
00:30:14,140 --> 00:30:16,839
donde, si no recuerdo mal,

448
00:30:17,839 --> 00:30:19,400
x es igual a seno de t.

449
00:30:28,009 --> 00:30:29,589
x es igual a seno de t.

450
00:30:31,769 --> 00:30:34,670
Entonces lo que quiero que tengáis es cuidado muchas veces.

451
00:30:35,609 --> 00:30:37,190
Esto de aquí se hace...

452
00:30:37,190 --> 00:30:39,809
¿El qué?

453
00:30:40,690 --> 00:30:42,049
Sí, pero que no ganamos nada.

454
00:30:42,130 --> 00:30:44,769
Lo que quiero que veáis es que esto no es lo mismo

455
00:30:44,769 --> 00:30:46,950
la integral de una multiplicación

456
00:30:46,950 --> 00:30:48,769
no es la multiplicación de integrales.

457
00:30:49,309 --> 00:30:50,509
¿Vale? Entonces esto a veces

458
00:30:50,509 --> 00:30:52,609
me los encuentro. Esto lo he hecho

459
00:30:52,609 --> 00:30:53,130
a dredes.

460
00:30:56,029 --> 00:30:56,950
Es que no recuerdo

461
00:30:56,950 --> 00:30:58,670
si es coseno de t o seno de t.

462
00:31:04,029 --> 00:31:04,670
Cuando es

463
00:31:04,670 --> 00:31:05,930
circunferencia, este tipo.

464
00:31:08,329 --> 00:31:09,009
¿Vale, chavales?

465
00:31:14,200 --> 00:31:16,240
Seno de t. Y aquí es que tenemos

466
00:31:16,240 --> 00:31:18,259
que aplicar la de...

467
00:31:18,259 --> 00:31:20,099
Esta es jodida, ¿eh? Esta no creo

468
00:31:20,099 --> 00:31:22,000
que os entre. Esta no creo

469
00:31:22,000 --> 00:31:23,960
que os entre, pero lo que quiero que veáis, lo que a mí

470
00:31:23,960 --> 00:31:26,000
me interesa es que descartéis

471
00:31:26,000 --> 00:31:28,059
cosas, porque aquí vais a empezar la metemano

472
00:31:28,059 --> 00:31:29,519
y no vais a llegar a ningún lado.

473
00:31:29,960 --> 00:31:31,460
¿Vale? ¿Sí o no?

474
00:31:32,759 --> 00:31:34,380
Entonces, hay ciertas integrales,

475
00:31:34,680 --> 00:31:35,619
sobre todo las de área,

476
00:31:35,940 --> 00:31:38,099
que se pueden resolver razonadamente

477
00:31:38,099 --> 00:31:40,000
si tú sabes que esto es

478
00:31:40,000 --> 00:31:42,359
un cuarto de circunferencia.

479
00:31:44,750 --> 00:31:45,190
¿Vale?

480
00:31:45,910 --> 00:31:47,509
Un cuarto de circunferencia.

481
00:31:48,150 --> 00:31:49,849
¿Vale, chavales? Sí, mi propósito aquí no es

482
00:31:49,849 --> 00:31:50,869
resolver la ecuación.

483
00:31:50,869 --> 00:31:55,430
es que os deis cuenta de cosas que nos pueden pasar con la ecuación, ¿vale, chavales?

484
00:31:55,470 --> 00:31:59,650
Con la integral, ¿vale? Venga, chavales, estas propiedades de aquí

485
00:31:59,650 --> 00:32:02,670
súper importantes, ¿vale? Propiedades de la integral.

486
00:32:06,349 --> 00:32:08,630
Esta con el cambio de variable, esa jodida, ¿eh?

487
00:32:11,190 --> 00:32:14,049
Sí, con el área lo tienes ya del tío. Lo que yo

488
00:32:14,049 --> 00:32:18,490
mi intención con esta integral era que os dierais cuenta

489
00:32:18,490 --> 00:32:21,990
de cosas que asumís que son, ¿vale?

490
00:32:21,990 --> 00:32:23,950
que además os acordáis

491
00:32:23,950 --> 00:32:25,430
ustedes, tenéis ahí, bueno

492
00:32:25,430 --> 00:32:27,910
yo os he subido en la tarea

493
00:32:27,910 --> 00:32:29,990
os he subido todas las

494
00:32:29,990 --> 00:32:31,890
de estas trigonométricas

495
00:32:31,890 --> 00:32:33,930
¿recordáis la del coseno del

496
00:32:33,930 --> 00:32:34,450
ángulo mitad?

497
00:32:36,789 --> 00:32:38,009
¿recordáis la del coseno

498
00:32:38,009 --> 00:32:39,990
del ángulo mitad? pues aquí se aplica en esta

499
00:32:39,990 --> 00:32:41,690
integral, ¿vale chavales?

500
00:32:45,890 --> 00:32:46,450
¿dime?

501
00:32:49,049 --> 00:32:49,809
¿de qué?

502
00:32:49,809 --> 00:32:49,970
¿de?

503
00:32:51,990 --> 00:32:55,869
que quiero avanzar

504
00:32:55,869 --> 00:32:58,710
a ver chavales, la primera

505
00:32:58,710 --> 00:32:59,309
es

506
00:32:59,309 --> 00:33:02,329
la integral de

507
00:33:02,329 --> 00:33:04,789
¿cuál es el área comprendido debajo

508
00:33:04,789 --> 00:33:06,589
de una función entre un punto y sí mismo?

509
00:33:07,730 --> 00:33:08,250
cero

510
00:33:08,250 --> 00:33:10,670
¿vale? si f de x

511
00:33:10,670 --> 00:33:12,609
es mayor que cero, es integrable en a, b

512
00:33:12,609 --> 00:33:14,690
entonces la integral entre

513
00:33:14,690 --> 00:33:15,930
a y b de f de x

514
00:33:15,930 --> 00:33:18,009
si f de x es menor que cero

515
00:33:18,009 --> 00:33:19,690
es lo mismo que

516
00:33:19,690 --> 00:33:23,069
la integral es negativa.

517
00:33:23,150 --> 00:33:23,990
¿Esto qué quiere decir?

518
00:33:25,309 --> 00:33:27,269
A ver, esta de aquí gráficamente os lo digo.

519
00:33:27,730 --> 00:33:28,410
La primera.

520
00:33:29,369 --> 00:33:30,890
Yo tengo aquí mi función.

521
00:33:31,750 --> 00:33:33,069
Por ejemplo, esto de aquí.

522
00:33:33,529 --> 00:33:36,950
La primera, ¿qué me quiere decir?

523
00:33:37,789 --> 00:33:39,970
Si yo esto es a y esto es b,

524
00:33:40,250 --> 00:33:43,809
evidentemente la integral entre a y b es todo esto, ¿sí o no?

525
00:33:44,150 --> 00:33:48,869
Pero si yo hago la integral entre a y a de f de x,

526
00:33:48,869 --> 00:33:50,569
¿cuánto vale la integral

527
00:33:50,569 --> 00:33:52,950
el área entre a y a?

528
00:33:53,589 --> 00:33:54,269
cero

529
00:33:54,269 --> 00:33:56,309
¿qué me quiere decir la segunda?

530
00:33:56,769 --> 00:33:57,930
que si yo tengo

531
00:33:57,930 --> 00:33:59,450
esto de aquí

532
00:33:59,450 --> 00:34:02,069
¿vale? yo tengo aquí

533
00:34:02,069 --> 00:34:04,569
a y b y mi función

534
00:34:04,569 --> 00:34:06,589
es negativa ¿veis que aquí

535
00:34:06,589 --> 00:34:08,670
mi función es negativa? ¿sí o no?

536
00:34:09,269 --> 00:34:10,670
pues aquí la integral

537
00:34:10,670 --> 00:34:13,309
entre a y b de f de x

538
00:34:13,309 --> 00:34:14,750
es menor que cero

539
00:34:14,750 --> 00:34:16,730
¿vale? eso es lo que

540
00:34:16,730 --> 00:34:17,869
me quiere decir la segunda

541
00:34:18,449 --> 00:34:21,110
Esta es la que ya hemos visto, ¿vale?

542
00:34:21,130 --> 00:34:29,429
Las propiedades, es decir, la integral entre a y b es lo mismo que la integral entre a y b y entre b y c, más b y c.

543
00:34:30,969 --> 00:34:36,329
La primera, lo único que quiero decir, ¿cuál es el área que hay comprendida debajo de una función entre un punto y sí mismo?

544
00:34:38,230 --> 00:34:40,650
0, 0, ¿vale?

545
00:34:41,429 --> 00:34:42,530
Eso es 0.

546
00:34:42,530 --> 00:34:47,710
Luego, entre a y b, si la función es negativa, la integral también me sale negativa, ¿vale?

547
00:34:47,869 --> 00:35:09,969
¿Sí o no? Aquí me dice que si yo integro lo que hemos puesto antes, ¿no? Por ejemplo, esto de aquí. Si yo tengo aquí A, aquí tengo B y aquí tengo C, la integral entre A y C de F es igual a la integral entre A y B de F más la integral de B a C y F. ¿Vale? Es lo que me dice.

548
00:35:09,969 --> 00:35:24,809
¿Sí? Venga, ¿qué más? Esta de aquí, si f es continua en a, b y existen y son infinitos los límites laterales, ¿de acuerdo? Entonces formamos la siguiente función continua.

549
00:35:24,809 --> 00:35:50,170
Es decir, si yo tengo los límites laterales, los límites de integración, tengo aquí esta función y esto de aquí, y sobre todo f es continua, entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que la integral de toda esta función realmente es la integral de la función continua, ¿vale?

550
00:35:50,170 --> 00:36:01,530
Esto parece de vero grullo, pero bueno, me refiero a que por muchas veces no es más fácil integrar solamente esto de aquí. ¿Vale, chavales? Se cumple esa propiedad.

551
00:36:02,150 --> 00:36:02,809
Eso es importante.

552
00:36:04,190 --> 00:36:08,429
Lo vamos a aplicar sin saberlo. Lo hemos aplicado sin saberlo, ¿vale?

553
00:36:08,429 --> 00:36:17,280
Y ahora, chavales, esto de aquí, ¿qué me quiere decir esta propiedad, chavales?

554
00:36:17,480 --> 00:36:23,360
Que si yo tengo la integral entre a y b, y esto es súper importante, ¿vale?

555
00:36:23,360 --> 00:36:29,619
Porque aquí, por ejemplo, una de las cosas que nos van a pedir es, por ejemplo, el área comprendida entre dos curvas, ¿vale?

556
00:36:30,400 --> 00:36:40,320
Entonces, la integral entre a y b de f de x más la integral de a y b de g de x es igual a la integral de la suma de las dos.

557
00:36:40,579 --> 00:37:03,280
¿Vale? Y cuando yo tengo una constante, pues igual lo que ya sabemos, ¿no? La constante se saca fuera de la integral y se hace la integral. ¿De acuerdo? Entonces, si para cada x que está entre a y b, f de x es más chico que g de x, lo que me quiere decir que el área de f es mejor que el área de a, de g.

558
00:37:03,280 --> 00:37:06,460
Entonces, chavales

559
00:37:06,460 --> 00:37:09,940
A ver una cosita, por favor

560
00:37:09,940 --> 00:37:18,920
Este tema también entra

561
00:37:18,920 --> 00:37:20,519
Chavales, hacerme

562
00:37:20,519 --> 00:37:25,219
Esto de aquí

563
00:37:32,619 --> 00:37:34,000
Hacerme esto de aquí, ¿vale?

564
00:37:34,780 --> 00:37:35,780
Gracias.

565
00:38:08,750 --> 00:38:10,750
¡Gracias!

566
00:38:38,750 --> 00:38:40,750
Gracias.

567
00:39:08,750 --> 00:39:10,750
¡Gracias!

568
00:39:38,750 --> 00:39:50,750
¿Esto de aquí cuál sería la integral de todo esto?

569
00:39:50,750 --> 00:39:58,750
Esto es 4x a la cuarta partido de 4, ¿verdad?

570
00:39:58,750 --> 00:40:03,750
Menos 4x a la quinta partido de 5, ¿no?

571
00:40:03,750 --> 00:40:09,309
Y ahora que ocurre, que los límites de integración, vamos a poner más fácil, ¿vale?

572
00:40:09,329 --> 00:40:11,329
Entre 0 y 1, que yo voy a hacerlo rápido.

573
00:40:11,909 --> 00:40:15,269
Entonces tú aquí lo sustituyes por 1, pues venga, entre 6 y 1.

574
00:40:15,389 --> 00:40:18,289
Ah, que lo haces primero por uno y después por otro.

575
00:40:18,409 --> 00:40:21,150
Claro, pero escúchame una cosa.

576
00:40:22,869 --> 00:40:25,469
Esto realmente es x a la cuarta menos 4, ¿no?

577
00:40:25,949 --> 00:40:28,389
De x a la quinta menos 3x, ¿vale?

578
00:40:28,389 --> 00:40:30,230
entonces primero

579
00:40:30,230 --> 00:40:32,849
lo sustituyes por 6

580
00:40:32,849 --> 00:40:34,510
esto es 6 a la cuarta

581
00:40:34,510 --> 00:40:36,309
menos 4 quintos

582
00:40:36,309 --> 00:40:37,750
por 6 a la quinta

583
00:40:37,750 --> 00:40:39,969
menos 3 por 6

584
00:40:39,969 --> 00:40:41,630
vale, decido eso tanto

585
00:40:41,630 --> 00:40:44,489
y luego es 1 menos

586
00:40:44,489 --> 00:40:46,190
4 quintos menos 3

587
00:40:46,190 --> 00:40:48,110
es una resta

588
00:40:48,110 --> 00:40:49,929
es una resta

589
00:40:49,929 --> 00:40:51,670
siempre, por ahí viene la neve

590
00:40:51,670 --> 00:40:53,110
¿estoy con la pinta todavía en la cadena?

591
00:40:53,570 --> 00:40:56,090
¿estamos con una

592
00:40:56,090 --> 00:40:56,710
son las

593
00:40:56,710 --> 00:41:01,710
A ver, yo...