1
00:00:00,180 --> 00:00:06,299
Vale, vamos a estudiar los logaritmos, que los logaritmos es la operación inversa a la exponencial, ¿vale?

2
00:00:06,339 --> 00:00:07,400
Ya lo veremos con la función.

3
00:00:08,099 --> 00:00:18,800
Entonces, la definición es que el logaritmo en base a de p es igual a x,

4
00:00:19,460 --> 00:00:25,600
si y solo si, p es igual a a elevado a x, ¿vale?

5
00:00:25,600 --> 00:00:43,689
Donde a es la base, la base del logaritmo, tiene que ser a es positiva y a distinto de 1, ¿vale?

6
00:00:44,090 --> 00:00:46,369
Entonces, vamos a ver algunos ejemplos.

7
00:00:52,579 --> 00:00:59,799
Si a mí me piden el logaritmo en base 2, es decir, la base, la a es 2, de 8, ¿cómo calculo esto?

8
00:00:59,799 --> 00:01:05,700
Pues el objetivo es, tenemos que intentar expresar este número como una potencia de base,

9
00:01:05,840 --> 00:01:11,219
la misma base del logaritmo, es decir, 8 es 2 elevado a 3.

10
00:01:11,540 --> 00:01:15,500
Entonces he expresado el 8 como una potencia donde coinciden las bases.

11
00:01:15,780 --> 00:01:21,120
Pues entonces el logaritmo es el exponente, el 3, ¿vale?

12
00:01:22,260 --> 00:01:25,459
A ver, si yo tengo ahora logaritmo en base 2 de 4,

13
00:01:25,459 --> 00:01:29,939
Estos son ejemplos preparados para que sea exacto

14
00:01:29,939 --> 00:01:32,060
Si yo tengo el logaritmo en base 2 de 4

15
00:01:32,060 --> 00:01:35,659
Voy a intentar expresar el 4 como una potencia de base 2

16
00:01:35,659 --> 00:01:37,060
La misma base del logaritmo

17
00:01:37,060 --> 00:01:41,519
Es decir, esto es igual al logaritmo en base 2 de 2 elevado a 2

18
00:01:41,519 --> 00:01:46,959
Cuando lo tengo así expresado, el resultado va a ser el exponente 2

19
00:01:46,959 --> 00:01:49,739
El logaritmo en base 2 de 4 es 2

20
00:01:49,739 --> 00:01:50,379
¿Vale?

21
00:01:51,299 --> 00:01:54,299
Por ejemplo, la base decimal, la base 10

22
00:01:54,299 --> 00:02:01,560
que la que, de las que más se utiliza sería, si yo tengo logaritmo en base 10 de 100, esto es lo mismo,

23
00:02:01,959 --> 00:02:05,459
normalmente la base 10 que la base decimal no se pone, ¿vale?

24
00:02:05,900 --> 00:02:07,620
Entonces sería logaritmo de 100.

25
00:02:08,060 --> 00:02:12,400
Cuando yo pongo esto logaritmo de 100 se sobreentiende que la base es 10, ¿vale?

26
00:02:12,500 --> 00:02:18,060
Entonces base 10 es la base decimal, no se suele poner.

27
00:02:18,060 --> 00:02:26,680
Entonces, si a mí me ponen así, logaritmo de 100, pues yo ya supongo que la base es 10, ¿vale?

28
00:02:26,740 --> 00:02:33,280
Entonces, esto sería igual a logaritmo, tengo que intentar expresar el 100 como una potencia de base 10,

29
00:02:33,379 --> 00:02:35,460
de base decimal, pues 10 al cuadrado.

30
00:02:36,099 --> 00:02:40,219
Y cuando lo tengo así, el resultado es 2, el exponente, ¿vale?

31
00:02:41,159 --> 00:02:45,139
Un ejemplo, por ejemplo, si tengo logaritmo de 1000, ¿vale?

32
00:02:45,139 --> 00:03:00,819
Si no aparece nada, repito, es que la base es 10, por tanto, ¿qué tendría que hacer? Sería logaritmo, el 1000 lo voy a expresar como una potencia de base 10, pues 10 elevado a 3, y el resultado es 10, ¿vale?

33
00:03:00,819 --> 00:03:12,840
Esto para cualquier base, normalmente con la que se trabaja es con la base decimal, o bueno, con el logaritmo neperiano, pero bueno, eso.

34
00:03:13,060 --> 00:03:18,039
Normalmente con la base decimal y no se suele poner, ¿vale? No se pone la base, se sobreentiende.

35
00:03:18,560 --> 00:03:26,879
Entonces, vamos a ver las propiedades de los logaritmos, que vienen un poco de las propiedades de las potencias, propiedades.

36
00:03:26,879 --> 00:03:41,699
Entonces, la primera es que el logaritmo en base a, sea la base que sea de 1, siempre va a ser 0, ¿vale?

37
00:03:41,840 --> 00:03:43,900
¿Por qué es esto? Pues vamos a ver un ejemplo.

38
00:03:44,379 --> 00:03:48,960
Si yo tengo el logaritmo en base 2 de 1, ¿el objetivo cuál es?

39
00:03:48,960 --> 00:03:57,360
Este número lo tengo que expresar como una potencia de base 2, es decir, logaritmo en base 2 de 2 elevado a algo.

40
00:03:57,360 --> 00:04:00,580
2 elevado a algo que sea 1, ¿vale?

41
00:04:01,080 --> 00:04:04,719
Pues 2 elevado a 0 es 1

42
00:04:04,719 --> 00:04:08,280
Igual que aquí había puesto que 2 elevado al cubo es 8, ¿vale?

43
00:04:08,280 --> 00:04:10,000
O 2 elevado a 2 es 4

44
00:04:10,000 --> 00:04:11,860
Entonces 2 elevado a 0 es 1

45
00:04:11,860 --> 00:04:14,919
Y cuando ya lo tengo así expresado, como las bases coinciden

46
00:04:14,919 --> 00:04:18,000
El resultado es el exponente, ¿vale?

47
00:04:18,199 --> 00:04:22,560
Si yo ahora tengo logaritmo en base 4 de 1

48
00:04:22,560 --> 00:04:24,139
Pues ¿cuál es el objetivo?

49
00:04:24,139 --> 00:04:35,000
Tengo que intentar poner el 1 como una potencia de base 4, es decir, logaritmo de 4 elevado a algo que me dé 1, que sería elevado a 0.

50
00:04:35,759 --> 00:04:37,920
Y entonces el resultado es el exponente.

51
00:04:38,480 --> 00:04:42,360
¿Vale? Porque esto siempre ocurre, porque cualquier número elevado a 0 es 1.

52
00:04:42,480 --> 00:04:47,579
Entonces es el 1, siempre lo puedo poner como cualquier número, cualquier base y el 0.

53
00:04:47,579 --> 00:05:01,269
aquí utilizo que todo número elevado a 0 es 1

54
00:05:01,269 --> 00:05:05,990
pues venga, la siguiente propiedad también muy fácil

55
00:05:05,990 --> 00:05:11,129
es que el logaritmo en base a de a es 1

56
00:05:11,129 --> 00:05:12,850
esto por la propia definición

57
00:05:12,850 --> 00:05:18,829
entonces, si yo tengo logaritmo en base 2 de 2

58
00:05:18,829 --> 00:05:23,290
Pues yo, el objetivo es expresar este número como una potencia de base 2

59
00:05:23,290 --> 00:05:24,589
Pero es que ya lo tengo expresado

60
00:05:24,589 --> 00:05:26,949
Entonces como el resultado es siempre el exponente

61
00:05:26,949 --> 00:05:32,470
Bueno, si queréis esto, esto es lo mismo que el logaritmo en base 2 de 2 elevado a 1

62
00:05:32,470 --> 00:05:34,310
2 es lo mismo que 2 elevado a 1

63
00:05:34,310 --> 00:05:37,569
Por tanto el resultado es 1

64
00:05:37,569 --> 00:05:38,209
¿Vale?

65
00:05:38,649 --> 00:05:41,490
Si yo tengo logaritmo en base 3 de 3

66
00:05:41,490 --> 00:05:45,790
El objetivo siempre es expresar este número como una potencia de base esta base

67
00:05:45,790 --> 00:05:46,930
Pero es que ya lo tengo

68
00:05:46,930 --> 00:05:54,810
porque el logaritmo en base 3 de 3 es lo mismo que el logaritmo en base 3 de 3 elevado a 1 por 3, ¿vale?

69
00:05:55,269 --> 00:06:00,529
Entonces cuando tengo el logaritmo en base a de ese mismo número el resultado siempre va a ser.

70
00:06:01,529 --> 00:06:07,189
Y luego las más conocidas son las de ahora.

71
00:06:07,689 --> 00:06:12,389
El logaritmo del producto, bueno en base a, ¿vale?

72
00:06:12,389 --> 00:06:21,290
del producto es igual a la suma del logaritmo, es decir, el logaritmo en base a de x, del primer valor,

73
00:06:21,829 --> 00:06:24,350
más el logaritmo en base a de y.

74
00:06:27,839 --> 00:06:32,519
Esto, para demostrarlo, ¿vale? No lo vamos a demostrar, solo lo vamos a ver con un caso,

75
00:06:33,199 --> 00:06:42,279
esto viene de que 2 elevado a 5 por 2 elevado a 3, en que se convierte el producto de potencia de la misma base,

76
00:06:42,279 --> 00:06:50,040
era, se deja la base y se suman los exponentes, ¿no?, 2 elevado a 1, pues de esta propiedad

77
00:06:50,040 --> 00:06:57,439
se debe esta otra, ¿vale?, es decir, para ver esto, para demostrar esto, necesitamos

78
00:06:57,439 --> 00:07:03,160
esta propiedad, ¿vale?, de B, B de ahí, entonces vamos a hacer un ejemplo para ver

79
00:07:03,160 --> 00:07:08,959
que funciona, aunque, o sea, hacerlo en un ejemplo no quiere decir que sea cierto, que

80
00:07:08,959 --> 00:07:16,740
lo estamos demostrando, pero bueno, entonces, por ejemplo, si yo tomo logaritmo en base

81
00:07:16,740 --> 00:07:23,980
2 de 16, ¿vale?, lo voy a hacer por la definición, por la definición que es aplicar esto, entonces

82
00:07:23,980 --> 00:07:31,139
voy a expresar el 16 como una potencia de base, la misma base, el 16 es 2 elevado a

83
00:07:31,139 --> 00:07:40,579
4, por tanto esto es 4, el exponente, entonces el logaritmo en base 2 de 16 es 4, vale, vamos

84
00:07:40,579 --> 00:07:45,240
a hacerlo utilizando esta propiedad y vamos a ver que es lo mismo, que funciona, en este

85
00:07:45,240 --> 00:07:50,360
caso no tendría tanto sentido, pero para ver que la propiedad funciona, entonces el

86
00:07:50,360 --> 00:07:59,839
logaritmo 2 de 16 es lo mismo, voy a expresar 16 como 2 por 8, y ahora voy a utilizar la

87
00:07:59,839 --> 00:08:05,519
propiedad 3, que me dice que el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo

88
00:08:05,519 --> 00:08:13,699
del logaritmo del 2 más el logaritmo en base 2 de 8, ¿vale? Pues esto que es igual, esto

89
00:08:13,699 --> 00:08:19,379
es igual a 1, es esta propiedad, el logaritmo en base a de a cuando coincide es 1, por tanto

90
00:08:19,379 --> 00:08:27,660
esto es 1, ¿vale? Y esto sería más logaritmo en base 2 de 8 es 2 elevado a 3, por tanto

91
00:08:27,660 --> 00:08:29,300
esto es igual a 1 más

92
00:08:29,300 --> 00:08:31,779
el resultado de este logaritmo es 3

93
00:08:31,779 --> 00:08:32,580
el exponente

94
00:08:32,580 --> 00:08:34,600
es 4

95
00:08:34,600 --> 00:08:37,360
por tanto coincide

96
00:08:37,360 --> 00:08:42,200
¿si?

97
00:08:43,340 --> 00:08:45,240
claro, es mucho más rápido aquí

98
00:08:45,240 --> 00:08:46,940
de esta forma, solo estamos viendo que

99
00:08:46,940 --> 00:08:49,220
efectivamente funciona, aun así hay veces

100
00:08:49,220 --> 00:08:51,120
que esta forma será

101
00:08:51,120 --> 00:08:53,379
la que necesitemos, ¿vale? porque no tengamos

102
00:08:53,379 --> 00:08:54,960
de manera inmediata

103
00:08:54,960 --> 00:08:55,799
forma de resolver

104
00:08:55,799 --> 00:08:59,039
vale, la siguiente propiedad es que

105
00:08:59,039 --> 00:09:00,759
el logaritmo

106
00:09:01,279 --> 00:09:08,419
El cociente es igual a la resta del logaritmo.

107
00:09:09,940 --> 00:09:14,320
Igual, si quisiéramos demostrar esta propiedad, que se puede demostrar, ¿vale?

108
00:09:14,600 --> 00:09:17,960
¿Cómo se demuestra esta propiedad? Pues a partir de la propiedad de las potencias,

109
00:09:17,960 --> 00:09:23,500
que 2 elevado a 5 entre 2 elevado a 3, cuando divido potencias de la misma base,

110
00:09:24,059 --> 00:09:27,799
se deja la base y los exponentes se restan, ¿vale?

111
00:09:27,799 --> 00:09:34,519
Que es lo que pasa aquí un poco, tengo de la división paso a una resta, de la multiplicación paso a una suma, ¿vale?

112
00:09:34,559 --> 00:09:40,259
Entonces no lo vamos a demostrar, pero para que sepáis que viene de ahí, ¿vale?

113
00:09:40,700 --> 00:09:42,759
Entonces vamos a hacer un ejemplo.

114
00:09:43,960 --> 00:09:49,179
El mismo, yo ya sé que el logaritmo en base 2 de 16 es igual a 4, ¿vale?

115
00:09:49,379 --> 00:09:52,080
Eso ya lo había calculado antes por la definición.

116
00:09:53,580 --> 00:09:55,360
Pues vamos a hacerlo de esta forma.

117
00:09:55,360 --> 00:10:06,299
El logaritmo en base 2 de 16 es igual, voy a expresar el 16 como 32 partido de 2, porque 32 partido de 2 es 16, ¿vale?

118
00:10:06,679 --> 00:10:19,759
Entonces, ¿esto a qué sería igual? Pues aplicando esta propiedad, la propiedad 4, sería igual al logaritmo en base 2 de 32 menos el logaritmo en base 2 de 2, ¿vale?

119
00:10:19,759 --> 00:10:24,139
¿Vale? Esto ya sé que es 1, es lo mismo que esto, ¿vale? Por la propiedad 2.

120
00:10:24,480 --> 00:10:29,899
Ahora el 32, ¿qué hacemos? Pues vamos a expresarlo como una potencia de base 2 y utilizamos la definición.

121
00:10:30,559 --> 00:10:38,379
32 es lo mismo que 2 elevado a 5 menos, esto ya lo puedo poner, esto ya sabemos que es 1, ¿vale?

122
00:10:38,379 --> 00:10:42,299
Porque cuando coinciden el resultado es el exponente, que si no es nada es 1, ¿vale?

123
00:10:42,299 --> 00:10:48,759
Menos 1, este logaritmo es 5 menos 1, ¿vale?

124
00:10:49,759 --> 00:10:51,559
Pues vuelve a coincidir.

125
00:10:54,159 --> 00:10:56,299
Estamos viendo para un caso particular que funciona.

126
00:10:56,940 --> 00:10:57,080
¿Sí?

127
00:10:57,080 --> 00:10:59,080
Y ahora ya la última propiedad.

128
00:11:01,559 --> 00:11:15,279
Que es que el logaritmo en base a dx elevado a y es igual a y por logaritmo en base a dx.

129
00:11:17,899 --> 00:11:20,000
Pues venga, vamos a ver un ejemplo.

130
00:11:20,259 --> 00:11:22,340
Vamos a coger el mismo para ver que funciona.

131
00:11:22,340 --> 00:11:25,379
el logaritmo en base 2 de 16

132
00:11:25,379 --> 00:11:27,580
que es 4

133
00:11:27,580 --> 00:11:30,919
vamos a verlo que es 4 también utilizando esta propiedad

134
00:11:30,919 --> 00:11:35,240
logaritmo en base 2 de 16 es igual a

135
00:11:35,240 --> 00:11:37,159
logaritmo entonces el 16

136
00:11:37,159 --> 00:11:39,399
antes lo había puesto como un producto

137
00:11:39,399 --> 00:11:42,240
aquí 16 lo había puesto como 2 por 8

138
00:11:42,240 --> 00:11:43,600
para aplicar esta propiedad

139
00:11:43,600 --> 00:11:45,500
luego aquí lo había puesto como un cociente

140
00:11:45,500 --> 00:11:47,000
una división para aplicar esta

141
00:11:47,000 --> 00:11:49,440
ahora voy a ponerlo como una potencia

142
00:11:49,440 --> 00:11:52,200
es decir 16 es 2 elevado a 4

143
00:11:52,200 --> 00:12:00,759
Pues según esta propiedad, la propiedad 5, esto aquí es igual, el exponente baja abajo, que es este i, ¿vale?

144
00:12:00,960 --> 00:12:08,259
Pues el exponente baja abajo, entonces esto es igual a 4 por logaritmo en base 2 de 2.

145
00:12:08,860 --> 00:12:17,179
El 4 se queda igual y este logaritmo es 1, porque coinciden, entonces esto es igual a 4 por 1, 4.

146
00:12:17,179 --> 00:12:20,480
Y tenemos nuevamente que funciona, ¿vale?

147
00:12:20,480 --> 00:12:29,120
Pues esta es la teoría básica del logaritmo, su definición y sus cuatro, sus cinco propiedades, ¿vale?

148
00:12:29,240 --> 00:12:34,340
Aquí he puesto ejemplos muy preparados para ver que, para que el cálculo sea fácil del logaritmo,

149
00:12:34,340 --> 00:12:41,720
pero no siempre lo es, no siempre es exacto, como pasa con las raíces y con otro tipo de cálculos, ¿vale?

150
00:12:42,240 --> 00:12:47,840
Entonces luego vamos a ver en otro vídeo o en clase una aplicación de los logaritmos

151
00:12:47,840 --> 00:13:05,779
Y tened en cuenta que esto es inverso a la exponencial, igual que la suma y la resta son operaciones inversas, la multiplicación y la división, pues el logaritmo y la exponencial son operaciones o funciones inversas, inverso a la exponencial.