1
00:00:00,720 --> 00:00:21,160
Bueno, vamos a resolver la convocatoria de julio de 2021, convocatoria extraordinaria,

2
00:00:21,780 --> 00:00:27,640
ejercicio de la opción B, el número 2 de Madrid, y aquí lo tenemos, es una función

3
00:00:27,640 --> 00:00:35,399
con un valor absoluto, piden estudiar continuidad, derivabilidad, extremos relativos y un área.

4
00:00:35,719 --> 00:00:40,399
Así que un ejercicio completito, pero muy estándar, muy estándar.

5
00:00:40,399 --> 00:00:45,460
para ello lo primero que vamos a ver es ver esta función

6
00:00:45,460 --> 00:00:48,399
es una función polinómica de grado 3

7
00:00:48,399 --> 00:00:53,500
que cambia en 0 porque lo que anula el valor absoluto es 0

8
00:00:53,500 --> 00:00:56,700
si nosotros lo viéramos la función en GeoGebra

9
00:00:56,700 --> 00:00:59,240
pues aquí la tenemos

10
00:00:59,240 --> 00:01:03,679
es continua en 0

11
00:01:03,679 --> 00:01:07,780
y va a ser no derivable en 0

12
00:01:07,780 --> 00:01:09,719
porque tiene un pico

13
00:01:09,719 --> 00:01:10,760
¿De acuerdo?

14
00:01:12,900 --> 00:01:16,200
Normalmente nosotros, yo os aconsejo que no trabajéis con esta función así

15
00:01:16,200 --> 00:01:21,120
Sino que realmente la convirtáis en una función a trozos

16
00:01:21,120 --> 00:01:25,920
Cuando la x es negativa, el valor absoluto le va a cambiar el signo

17
00:01:25,920 --> 00:01:28,920
Así que lo sustituiríamos por menos x

18
00:01:28,920 --> 00:01:32,760
Menos menos x más x para los negativos

19
00:01:32,760 --> 00:01:36,840
Y cuando la x es positiva, el valor absoluto se puede quitar porque no hace nada

20
00:01:36,840 --> 00:01:39,159
Entonces me quedaría esta otra rama

21
00:01:39,159 --> 00:01:44,340
es el mismo dibujo, si yo lo pinto y oculto el otro veis que es el mismo

22
00:01:44,340 --> 00:01:47,099
exactamente, obviamente, si no estaría mal

23
00:01:47,099 --> 00:01:52,640
y entonces para todos los cálculos vamos a trabajar con esta

24
00:01:52,640 --> 00:01:56,959
vemos para el apartado A que ya estamos viendo que es continua

25
00:01:56,959 --> 00:01:59,920
y vamos a ver que no es derivable porque si yo

26
00:01:59,920 --> 00:02:04,079
bueno aquí tenemos continua porque el límite por la izquierda y por la derecha

27
00:02:04,079 --> 00:02:08,900
y del valor de la función en cero da siempre 2

28
00:02:08,900 --> 00:02:24,919
Como se ve en el dibujo, si yo cojo la pendiente de la recta tangente en un punto y le muevo, ahí voy a coger el punto C, pues resulta que veis que ahí es casi 1, pero cuando me muevo un poquito pasa a ser menos 1.

29
00:02:24,919 --> 00:02:28,360
Hay un pico y por tanto no será derivable.

30
00:02:28,699 --> 00:02:36,139
Si yo hago la función derivada de las dos ramas, la de arriba es 3x cuadrado más 1 y 3x cuadrado menos 1,

31
00:02:36,680 --> 00:02:39,900
que si la pinto se ve claramente que no es continua.

32
00:02:40,280 --> 00:02:43,979
Si g' no es continua, f no es derivable.

33
00:02:44,500 --> 00:02:49,379
Además vemos que el límite por la izquierda es 1 y el límite por la derecha es menos 1.

34
00:02:49,740 --> 00:02:53,000
O sea que la función no es derivable.

35
00:02:53,000 --> 00:03:04,259
¿De acuerdo? Pues eso lo vamos a poner ya en el examen por escrito, porque no lo podemos contestar en geografía, ¿verdad?

36
00:03:04,379 --> 00:03:11,659
Entonces, nosotros lo que hacemos es definir la función f de x como una función a trotos.

37
00:03:11,659 --> 00:03:25,159
Hemos dicho que va a ser x cubo más x más 2 si x es menor o igual que 0 y x cubo menos x más 2 si x es mayor que 0.

38
00:03:25,919 --> 00:03:36,900
Esto, el igual, se puede poner en cualquiera de las dos rounds, lo cual, por cierto, confirmaría la continuidad, porque el valor absoluto de 0 es 0.

39
00:03:36,900 --> 00:04:01,419
Bien, entonces para ver la continuidad nosotros hacemos el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de x cubo más x más 2, está claro que es 2, el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, x cubo menos x más 2 también es 2,

40
00:04:01,419 --> 00:04:08,860
Por lo tanto, existe límite cuando x tiende a 0 de f de x y es 2.

41
00:04:09,419 --> 00:04:27,029
Por otro lado, existe f de 0 y es 2 y por tanto coinciden el límite cuando x tiende a 0 de f de x coincide con f de 0.

42
00:04:27,029 --> 00:04:29,509
2 es igual a 2

43
00:04:29,509 --> 00:04:31,930
y por tanto es continua

44
00:04:31,930 --> 00:04:36,089
en x igual a 0

45
00:04:36,089 --> 00:04:38,370
que es donde podría no serlo

46
00:04:38,370 --> 00:04:42,370
entonces si es continua en x igual a 0

47
00:04:42,370 --> 00:04:44,470
es lo que nos piden

48
00:04:44,470 --> 00:04:47,829
el polinomio sería continuo en todo el resto

49
00:04:47,829 --> 00:04:49,430
y ahora la derivabilidad

50
00:04:49,430 --> 00:04:54,250
la derivabilidad tal y como parece que quieren

51
00:04:54,250 --> 00:05:03,209
que lo escribáis en el evau, lo que haríamos es escribir el límite cuando x tiende a 0

52
00:05:03,209 --> 00:05:11,449
por la izquierda de f' de x con la rama de arriba. Pero lo podemos poner como f de x,

53
00:05:11,449 --> 00:05:22,910
x cubo más x más 2 menos f de 0 partido por x menos 0.

54
00:05:24,089 --> 00:05:32,529
Bueno, esto es el límite cuando x tiende a 0 super menos de x cubo más x partido por x,

55
00:05:32,529 --> 00:05:40,449
que es el límite cuando x tiende a 0 super menos de x cuadrado más 1, que es 1.

56
00:05:41,449 --> 00:05:52,870
Sin embargo, cuando hacemos el límite, cuando x tiende a 0 super más, nosotros tenemos x cubo menos x más 2, menos 2, y partido x menos 0.

57
00:05:53,990 --> 00:06:10,870
Esto sería el límite cuando x tiende a 0 super más de x cubo menos x partido por x, que es el límite cuando x tiende a 0 super más de x cuadrado menos 1 y da menos 1, como hemos visto en GeoGebra.

58
00:06:11,449 --> 00:06:17,870
Por lo tanto, no es derivable en x igual a cero.

59
00:06:19,779 --> 00:06:22,339
Ya tenemos nuestro apartado A.

60
00:06:22,959 --> 00:06:26,980
El apartado B nos dice calcular los extremos relativos.

61
00:06:27,660 --> 00:06:35,199
Pues para calcular los extremos relativos, vamos a volver un momento a GeoGebra.

62
00:06:36,199 --> 00:06:41,339
Y ahí tenemos que los extremos relativos hay dos.

63
00:06:41,339 --> 00:06:45,360
el punto A que es un mínimo relativo

64
00:06:45,360 --> 00:06:47,720
es el punto más bajo de todos los que están a su alrededor

65
00:06:47,720 --> 00:06:51,680
y el punto B que es el punto más bajo de todos los que están a su alrededor

66
00:06:51,680 --> 00:06:54,980
inicialmente lo que nosotros haríamos sería igualar

67
00:06:54,980 --> 00:06:56,680
la derivada a 0

68
00:06:56,680 --> 00:06:59,100
cuando igualamos la rama de la izquierda

69
00:06:59,100 --> 00:07:01,560
3x cuadrado más 1 a 0 no hay solución

70
00:07:01,560 --> 00:07:03,500
sería compleja

71
00:07:03,500 --> 00:07:06,639
pero cuando igualamos 3x cuadrado menos 1 a 0

72
00:07:06,639 --> 00:07:09,279
la rama de la derecha nos da dos soluciones

73
00:07:09,279 --> 00:07:16,459
Una negativa no tiene sentido porque es para x mayor que 0 su dominio, así que tenemos raíz de 3 partido por 3.

74
00:07:16,959 --> 00:07:37,399
Si nosotros, ese es el candidato a extremo relativo al mínimo, lo sustituimos en la función, nos va a dar esto, que va a ser la coordenada y del punto a, que es 1,62, redondeado, aunque nosotros lo vamos a dejar en simbólico.

75
00:07:37,399 --> 00:07:50,579
Y luego, lógicamente, el cero, si nosotros hemos visto que la función crece en la izquierda y decrece en la derecha, en el cero hay un extremo relativo.

76
00:07:51,480 --> 00:07:57,439
Eso lo tendremos que demostrar porque en la igualdad no sale.

77
00:07:57,439 --> 00:08:23,040
¿Vale? Así que vamos a volver a la pizarrilla y vamos ya con nuestro apartado b, que estábamos diciendo f' de x sería 3x cuadrado más 1 si x menor que 0 y 3x cuadrado menos 1 si x mayor que 0.

78
00:08:23,040 --> 00:08:26,279
daros cuenta que no es continua

79
00:08:26,279 --> 00:08:27,720
porque el igual no puede ser

80
00:08:27,720 --> 00:08:30,040
no hay ningún punto donde

81
00:08:30,040 --> 00:08:33,000
que la derivada sea cero

82
00:08:33,000 --> 00:08:34,019
no era derivable en cero

83
00:08:34,019 --> 00:08:35,279
está escrito encima justo

84
00:08:35,279 --> 00:08:38,379
bien, entonces 3x cuadrado más 1

85
00:08:38,379 --> 00:08:39,279
igual a cero

86
00:08:39,279 --> 00:08:41,559
no tiene solución real

87
00:08:41,559 --> 00:08:48,919
y 3x cuadrado menos 1

88
00:08:48,919 --> 00:08:50,159
igual a cero

89
00:08:50,159 --> 00:08:51,639
sí, ¿verdad?

90
00:08:53,340 --> 00:08:54,100
x sería

91
00:08:54,100 --> 00:08:56,860
al menos la raíz de un tercio

92
00:08:56,860 --> 00:09:06,139
o el valor que a nosotros nos vale realmente es más, y si lo racionalizamos, raíz de tres partidos.

93
00:09:06,799 --> 00:09:09,759
Este es el candidato a extremo relativo.

94
00:09:10,879 --> 00:09:19,360
Si nosotros hiciéramos la segunda derivada, es 6x, el meter un valor positivo daría mayor que cero,

95
00:09:19,879 --> 00:09:22,399
lo cual nos dice que es un mínimo relativo.

96
00:09:22,399 --> 00:09:53,519
¿Vale? Y para hallar el punto, el punto P, que tendríamos raíz de 3 partido por 3, necesitamos sustituir en f, f de raíz de 3 partido por 3, que era x cubo, raíz de 3 partido por 3 al cubo, como estamos en la rama positiva, menos x y más 2.

97
00:09:53,519 --> 00:09:57,139
¿Vale? Así que esta es la imagen

98
00:09:57,139 --> 00:10:02,799
Bueno, esto serían 3 raíces de 3 partido por 27

99
00:10:02,799 --> 00:10:05,299
Lo podéis, mira, en vez de hacerlo yo a mano

100
00:10:05,299 --> 00:10:06,759
Que a mí me gusta mucho a mano

101
00:10:06,759 --> 00:10:08,480
Pero lo podemos hacer aquí

102
00:10:08,480 --> 00:10:13,840
Sería raíz cuadrada de 3 partido por 3

103
00:10:13,840 --> 00:10:16,320
Ya lo he hecho mal porque no me he salido

104
00:10:16,320 --> 00:10:19,580
Raíz cuadrada de 3 partido por 3

105
00:10:19,580 --> 00:10:42,679
Todo eso, cubo, menos, otra vez a la derecha, menos raíz de 3, un golpe a la derecha, partido por 3, y más 2, un golpe a la derecha,

106
00:10:42,679 --> 00:10:49,490
Pues nos da 18 menos 2 raíz de 3 partido por 9

107
00:10:49,490 --> 00:10:53,289
Que es lo que daba la algebra

108
00:10:53,289 --> 00:10:55,490
Que era el 1,6 este

109
00:10:55,490 --> 00:10:56,009
¿Vale?

110
00:10:56,389 --> 00:10:59,529
Entonces 18 menos 2 raíz de 3 partido por

111
00:10:59,529 --> 00:11:03,149
Vamos a ponerlo así

112
00:11:03,149 --> 00:11:06,570
18 menos 2 raíz de 3 partido por 3

113
00:11:06,570 --> 00:11:13,070
Mi opinión es que es mejor dejarlo simbólico

114
00:11:13,070 --> 00:11:14,850
Si alguien quiere poner el 1,6

115
00:11:14,850 --> 00:11:19,990
pues le ponga, pero vamos, esto es mucho más correcto

116
00:11:19,990 --> 00:11:24,190
vale, ya tenemos este mínimo relativo

117
00:11:24,190 --> 00:11:26,669
si os dais cuenta

118
00:11:26,669 --> 00:11:31,090
cuando yo me acerco a 0

119
00:11:31,090 --> 00:11:33,330
el límite

120
00:11:33,330 --> 00:11:38,029
cuando x tiende a 0 por la izquierda

121
00:11:38,029 --> 00:11:39,570
de f' de x

122
00:11:39,570 --> 00:11:43,230
hemos dicho que es 1

123
00:11:43,230 --> 00:11:50,610
pero claro, es un poquito más de 1

124
00:11:50,610 --> 00:11:56,269
¿os dais cuenta? porque es menos 0,001

125
00:11:56,269 --> 00:11:59,990
al hacerle el cuadrado positivo por 3 positivo y eso se lo sumo a 1

126
00:11:59,990 --> 00:12:06,429
o sea que es mayor que 0, por lo tanto crece en ese lado

127
00:12:06,429 --> 00:12:10,610
pero cuando me muevo por la derecha

128
00:12:10,610 --> 00:12:21,450
x tiende a 0 super más f prima de x también tiende tiende a menos 1 que le suma un poquito es decir

129
00:12:21,450 --> 00:12:28,070
también eso sí que es cierto es menos uno un poquito por encima pero eso es negativo sea

130
00:12:28,070 --> 00:12:35,690
menos 0,99 así que decrece y por tanto si cuando me acerco a cero por la izquierda crece y me

131
00:12:35,690 --> 00:12:44,309
acercó a cero por la derecha decrece en el punto 0 2 hay un máximo relativo es

132
00:12:44,309 --> 00:12:51,990
muy normal que éste os lo hubierais olvidar pero hay un máximo relativo en

133
00:12:51,990 --> 00:13:01,080
el 0 2 y con esto hemos terminado el apartado b

134
00:13:01,080 --> 00:13:07,580
Ahora viene el apartado C, que nos pide una integral entre menos 1 y 1.

135
00:13:08,840 --> 00:13:11,639
Vamos a verlo rápidamente con GeoGebra.

136
00:13:15,809 --> 00:13:18,950
En realidad nos pide el área entre la función f,

137
00:13:20,169 --> 00:13:21,470
vamos a optar el a y el b,

138
00:13:22,389 --> 00:13:23,730
entre las funciones de azul,

139
00:13:25,950 --> 00:13:29,669
igual a 0, x igual a menos 1 y x igual a 1.

140
00:13:30,029 --> 00:13:33,710
Por tanto, lo que me están pidiendo es ese área morada.

141
00:13:33,710 --> 00:13:49,970
El algebra nos dice que nos da 3, incluso hemos hecho aquí la integral indefinida, ¿de acuerdo? Vamos a ver cómo se haría con cuentas y a ver si nos da 3, si lo hacemos bien, ¿verdad?

142
00:13:49,970 --> 00:14:16,259
Bueno, el apartado C, entonces, lo que vamos a tener que hacer es el área, va a ser la integral entre menos 1 y 0 de la función que va a la izquierda de 0,

143
00:14:16,259 --> 00:14:34,129
es decir, x cubo más x más 2 más la integral entre 0 y 1 de x cubo menos x más 2, ¿vale?

144
00:14:35,750 --> 00:14:44,590
Esta integral es muy sencilla, es x a la 4 partido por 4 más x cuadrado partido por 2 más 2x

145
00:14:44,590 --> 00:14:46,590
a evaluar entre menos 1 y 0

146
00:14:46,590 --> 00:14:48,210
y

147
00:14:48,210 --> 00:14:50,669
vamos a poner

148
00:14:50,669 --> 00:14:51,529
paréntesis

149
00:14:51,529 --> 00:14:54,549
x a la 4

150
00:14:54,549 --> 00:14:56,090
partido por 4

151
00:14:56,090 --> 00:14:58,750
menos x al cuadrado

152
00:14:58,750 --> 00:15:00,690
partido por 2 más 2x

153
00:15:00,690 --> 00:15:02,850
entre 0

154
00:15:02,850 --> 00:15:03,490
y 1

155
00:15:03,490 --> 00:15:06,690
ahora pues vamos a

156
00:15:06,690 --> 00:15:08,149
evaluar para 0

157
00:15:08,149 --> 00:15:09,629
vale 0

158
00:15:09,629 --> 00:15:13,450
menos para menos 1

159
00:15:13,450 --> 00:15:16,009
pues tendríamos menos 1 a la

160
00:15:16,009 --> 00:15:24,710
cuarta es 1, 1 cuarto, menos 1 al cuadrado es 1, 1 medio, 1 cuarto más 1 medio, menos 2, 1 cuarto

161
00:15:24,710 --> 00:15:34,769
más 1 medio, se puede hacer de cabeza, y yo tardaría menos, porque ya me he equivocado, con la calculadora,

162
00:15:34,769 --> 00:16:12,190
más un medio, más dos, otra vez, y eso nos da once cuartos, positivo, no, es menos dos, así que, cuidado con esto, a ver, menos cinco cuartos, menos cinco cuartos, y ahora más, ahora evaluamos en uno,

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00:16:12,190 --> 00:16:40,720
que es un cuarto menos un medio más dos, un cuarto menos un medio más dos, un cuarto, a ver si ahora ya no me equivoco, menos un medio más dos, sí, la segunda es igual, más dos, que nos da siete cuartos, y evaluándolo en cero es cero,

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00:16:40,720 --> 00:16:50,039
Así que tengo 5 cuartos más 7 cuartos, 12 cuartos, 3 unidades cuadradas.

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00:16:50,779 --> 00:16:57,200
Y eso es lo que nos daba GeoGebra y ese es el área y ya estaría el ejercicio terminado.