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00:00:12,269 --> 00:00:17,489
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,489 --> 00:00:21,890
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,890 --> 00:00:26,449
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleatorias continuas y a la distribución

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00:00:26,449 --> 00:00:50,829
normal. En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 7. En este ejercicio 7 se

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00:00:50,829 --> 00:00:56,929
nos pide que consideremos una cierta distribución de una variable aleatoria normal con media 6 y

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00:00:56,929 --> 00:01:04,269
desviación típica 0,9 y se nos pide calcular los valores de abstisa k para que se den las

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00:01:04,269 --> 00:01:09,709
siguientes igualdades, comenzando por, en este apartado a, probabilidad de que x menor o igual

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00:01:09,709 --> 00:01:18,590
a k, esa abstisa desconocida, sea igual a 0,9772. Fijaos en que este ejercicio 7 es muy similar al

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00:01:18,590 --> 00:01:23,969
ejercicio anterior 6, salvo porque en el ejercicio 6 se nos dan los valores de la abstisa para que

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00:01:23,969 --> 00:01:28,890
calculemos las probabilidades y en este caso hemos de hacer al revés. Se nos dan los valores de la

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00:01:28,890 --> 00:01:33,829
probabilidad y hemos de calcular los valores de abstiza. No es de extrañar que si en el caso

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00:01:33,829 --> 00:01:40,349
anterior leíamos la tabla mirando las abstizas en los bordes y leyendo en el centro los valores

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00:01:40,349 --> 00:01:45,170
de probabilidad, en este caso tengamos que operar del revés. Con estos valores de probabilidad

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00:01:45,170 --> 00:01:50,049
miraremos dentro de la tabla y buscaremos cuáles son los correspondientes valores de la abstiza.

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00:01:50,609 --> 00:01:52,230
Vamos a verlo con este primer ejemplo.

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00:01:53,530 --> 00:02:02,609
Se nos pide probabilidad de que x menor o igual a k, x, variable normal con media 6 y desviación típica 0,9, sea igual a 0,9772.

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00:02:03,810 --> 00:02:09,150
Puesto que hemos de hacer uso de la tabla de la distribución normal estándar, lo primero que hemos de hacer es estandarizar.

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00:02:09,150 --> 00:02:20,150
restando dentro del suceso, dentro del operador probabilidad, a la variable aleatoria submedia y dividiendo entre la desviación típica.

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00:02:20,629 --> 00:02:27,330
Aquí que tenemos el nombre de la variable aleatoria, restaremos la media y dividiremos entre la desviación típica algebricamente.

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00:02:27,330 --> 00:02:35,349
Y aquí que tenemos un valor numérico, de momento desconocido, pero numérico, restaremos la media numérica y dividiremos entre la desviación típica numérica.

21
00:02:36,030 --> 00:02:41,289
Así pues, lo que nos están pidiendo es que consideremos una distribución normal estándar

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00:02:41,289 --> 00:02:49,349
y calculemos cuál es el valor de k para que la probabilidad de que z sea menor o igual que esta abstisa así calculada

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00:02:49,349 --> 00:02:52,729
sea igual a 0,9772.

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00:02:53,169 --> 00:02:59,020
Si nosotros miramos en la tabla de la distribución normal estándar,

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00:02:59,199 --> 00:03:05,460
hemos de buscar en su interior un valor de probabilidad que sea 0,9772

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00:03:05,460 --> 00:03:12,379
y estamos preguntándonos por cuál es la abstisa que deja a la izquierda ese valor de probabilidad.

27
00:03:12,620 --> 00:03:13,639
Vamos a mirar un momento.

28
00:03:16,270 --> 00:03:20,710
Aquí tenemos la tabla de la distribución normal estándar y tenemos que buscar, como he dicho en el interior,

29
00:03:21,509 --> 00:03:25,150
una probabilidad igual a 0,9772.

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00:03:25,889 --> 00:03:30,169
Salvo que esté preparado el ejercicio, raro será que justo ese valor lo encontremos aquí.

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00:03:30,169 --> 00:03:41,509
En este caso, 0,9772 sí se encuentra exactamente en la tabla. Fijaos, 0,9772. El ejercicio está preparado.

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00:03:41,969 --> 00:03:48,909
El valor de abstisa que deja a la izquierda una probabilidad igual a 0,9772 se puede leer.

33
00:03:49,610 --> 00:03:56,090
Sería 2,0 y en cuanto a las centésimas, os recuerdo que se mira en el encabezado de columnas, también es un 0.

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00:03:56,090 --> 00:04:05,250
Así pues, la probabilidad de que z sea menor o igual que 2 es igual a 0,9772. Ese es el valor que nosotros vamos a considerar.

35
00:04:05,430 --> 00:04:17,470
Como inciso, si no hubiéramos encontrado exactamente ese valor en la tabla, lo que haríamos sería buscar el valor más aproximado y tomar ese valor, el de z que le corresponda, como el que tenemos que utilizar para seguir operando.

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00:04:17,470 --> 00:04:25,930
En este caso, estaba preparado, 0,9772 está en la tabla, la abscisa que le corresponde es 2,00.

37
00:04:26,089 --> 00:04:39,740
Vamos a volver al ejercicio. Aquí vemos cómo, para continuar la discusión, he apuntado que la probabilidad, mirando en la tabla de distribución normal, de que z sea menor o igual que 2 es igual a 0,9772.

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00:04:40,360 --> 00:04:48,439
Si comparo estas dos expresiones, vemos que k menos 6 dividido entre 0,9 debe corresponder con este valor 2.

39
00:04:48,579 --> 00:04:53,879
Y fijaos, tenemos una ecuación para calcular el valor de k, justamente lo que tenemos que hacer.

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00:04:54,360 --> 00:05:02,779
Esta desviación típica la pasaremos multiplicando, este valor de la media lo pasaremos sumando y vemos que k tiene que ser igual a 7,8.

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00:05:02,779 --> 00:05:16,240
Y en respuesta a la pregunta, la probabilidad de que x sea menor o igual que 7,8 es igual a 0,9772 con x, siguiendo una distribución normal con media 6 y desviación típica 0,9.

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00:05:17,079 --> 00:05:20,279
Hemos de operar de igual manera para resolver el resto de apartados.

43
00:05:20,279 --> 00:05:25,079
En el apartado b se nos pide probabilidad de que x menor o igual que k sea 0,8.

44
00:05:25,860 --> 00:05:29,500
Comenzamos estandarizando en el interior del argumento de la probabilidad.

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00:05:30,040 --> 00:05:37,100
Esto equivale a que la probabilidad de que z, normal estándar, menor o igual que esta abstisa, se iguala a 0,8.

46
00:05:37,899 --> 00:05:42,920
Si miramos en la tabla de la distribución normal, vemos que 0,8 exactamente no se encuentra,

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00:05:42,920 --> 00:05:50,720
pero 0,7995 es el valor más próximo y eso se corresponde con una abscisa igual a 0,84.

48
00:05:51,160 --> 00:05:55,759
La probabilidad de que Z sea menor o igual que 0,84 es 0,7995.

49
00:05:56,360 --> 00:06:03,740
Puesto que es suficientemente próximo a 0,8, inferimos que K-6 dividido entre 0,9 debe ser igual a 0,84.

50
00:06:04,139 --> 00:06:09,639
Y de aquí, despejando, obtenemos el valor de K igual a 6,756.

51
00:06:11,579 --> 00:06:18,139
En este apartado c continuamos, nos preguntamos por esa probabilidad de que x menor o igual que k sea igual a 0,3.

52
00:06:18,759 --> 00:06:23,620
Una vez hemos estandarizado la variable en el interior del argumento de la probabilidad,

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00:06:24,279 --> 00:06:30,160
nos encontramos con que la probabilidad de que la variable normal estándar sea menor o igual que esta abscisa tiene que ser igual a 0,3,

54
00:06:30,819 --> 00:06:35,740
valor que no podemos buscar directamente en la tabla de la distribución normal porque, fijaos,

55
00:06:36,300 --> 00:06:41,279
En ella tenemos únicamente lo que corresponde a abscisas mayores o iguales que 0

56
00:06:41,279 --> 00:06:45,720
y en el interior nos encontramos con valores de probabilidad que son mayores o iguales que 0,5.

57
00:06:46,019 --> 00:06:48,500
Y 0,3 no está dentro de la tabla.

58
00:06:49,199 --> 00:06:51,259
¿Por qué? Porque la abscisa es negativa.

59
00:06:51,920 --> 00:06:57,139
Así pues, siempre que aquí tengamos un valor de probabilidad menor que 0,5,

60
00:06:57,660 --> 00:07:01,560
esta abscisa va a ser negativa y no podemos mirar directamente en la tabla.

61
00:07:01,959 --> 00:07:03,519
¿Qué es lo que podemos hacer?

62
00:07:03,519 --> 00:07:06,959
Pues lo que vamos a hacer es considerar el suceso contrario

63
00:07:06,959 --> 00:07:11,360
Y vamos a preguntarnos no por la probabilidad de que z sea menor o igual que este valor

64
00:07:11,360 --> 00:07:14,399
Sino por la probabilidad de que z sea mayor o igual que ese valor

65
00:07:14,399 --> 00:07:21,220
Y en lugar de 0,3 la probabilidad de ese suceso del contrario será 1 menos 0,3 igual a 0,7

66
00:07:21,220 --> 00:07:28,399
Nosotros no podremos encontrar dentro de la tabla el valor 0,7 sí

67
00:07:28,399 --> 00:07:32,500
Pero z mayor que esta abscisa tal cual no lo vamos a encontrar

68
00:07:33,199 --> 00:07:38,920
No tendría sentido mirar en la tabla directamente porque allí vienen probabilidades de las colas izquierdas.

69
00:07:39,000 --> 00:07:40,939
Y esta es una cola de la derecha, zeta mayor igual que.

70
00:07:41,560 --> 00:07:46,079
Y además tenemos abstizas positivas y esta es negativa.

71
00:07:46,540 --> 00:07:50,279
Por hipótesis hemos supuesto, no es por hipótesis, es porque realmente es así,

72
00:07:50,279 --> 00:07:55,699
que si esta probabilidad de la cola de la izquierda es menor que 0,5 es porque la abstiza es negativa.

73
00:07:56,060 --> 00:07:56,879
¿Qué hemos de hacer?

74
00:07:57,279 --> 00:08:02,279
Bueno, pues razonar utilizando la simetría de la función de densidad de probabilidad.

75
00:08:02,500 --> 00:08:07,800
y buscar el simétrico. La probabilidad de que Z sea mayor o igual que esta abscisa

76
00:08:07,800 --> 00:08:13,060
coincide con la probabilidad de que Z sea menor o igual que la misma abscisa pero con el signo cambiado.

77
00:08:13,420 --> 00:08:16,240
Y ahora ya cuadra todo. Tenemos una cola de la izquierda.

78
00:08:17,019 --> 00:08:21,160
Si esta abscisa era negativa, al cambiar el signo ya tenemos una abscisa positiva

79
00:08:21,160 --> 00:08:25,160
y este valor es mayor que 0,5. Ahora sí podemos mirar en la tabla.

80
00:08:25,819 --> 00:08:29,399
0,7, como dije, no se encuentra directamente leyendo la tabla.

81
00:08:29,399 --> 00:08:33,279
dije que era difícil encontrar estos valores y cuando son tan redondos no va a ser posible.

82
00:08:34,080 --> 00:08:40,820
El más próximo va a ser este 0,6950 que corresponde con la abstisa para la cola de la izquierda 0,52.

83
00:08:41,399 --> 00:08:47,559
Así pues, vamos a deducir que esta abstisa menos, cuidado con el signo, k-6 dividido entre 0,9

84
00:08:47,559 --> 00:08:55,460
tiene que ser igual a este 0,52. Si despejamos k, encontramos un valor 5,532.

85
00:08:58,429 --> 00:09:08,009
En el caso de este último apartado D, se nos pide calcular k para que la probabilidad de que x sea mayor o igual que k sea igual a este 0,66331.

86
00:09:08,809 --> 00:09:15,269
Como antes, estandarizamos en el interior del argumento de la probabilidad, restando la media, dividiendo entre la desviación típica,

87
00:09:16,110 --> 00:09:25,610
y tenemos que hallar el valor de k para que la probabilidad de que la variable normal estándar sea mayor o igual que esta pastisa sea igual a 0,6331.

88
00:09:26,269 --> 00:09:31,389
En este caso nos encontramos con la probabilidad de una cola de la derecha, z mayor o igual que una cierta abstisa,

89
00:09:31,710 --> 00:09:34,409
y que esta probabilidad sea mayor que 0,5.

90
00:09:34,929 --> 00:09:37,710
Esto ocurre cuando esta abstisa es negativa.

91
00:09:38,269 --> 00:09:42,990
La probabilidad de que z sea mayor o igual que un valor negativo va a dar una probabilidad mayor que 0,5.

92
00:09:43,870 --> 00:09:49,250
Lo que vamos a hacer en este caso es hacer uso de la simetría de la función de densidad de probabilidad.

93
00:09:49,830 --> 00:09:54,309
Y en lugar de probabilidad de que z sea mayor o igual que esta abstisa, que sabemos que va a ser negativa,

94
00:09:54,309 --> 00:10:01,970
vamos a considerar la probabilidad de que Z sea menor que el valor que corresponde a esta abstisa negativa con el signo cambiado.

95
00:10:02,129 --> 00:10:04,070
Y por eso tenemos aquí este signo menos.

96
00:10:04,610 --> 00:10:08,870
Esa probabilidad va a ser también 0,6331, insisto, por simetría.

97
00:10:09,809 --> 00:10:16,669
Si buscamos en la tabla de la distribución normal estándar, el valor 0,6331 se encuentra en el interior

98
00:10:16,669 --> 00:10:19,970
y corresponde a una abstisa igual a 0,34.

99
00:10:19,970 --> 00:10:28,190
Así pues, con el signo menos, menos, k menos 6 dividido entre 0,9, esta abscisa va a ser igual a 0,34.

100
00:10:28,409 --> 00:10:35,970
Fijaos que si la abscisa con el signo cambiado es 0,34, esta abscisa es menos 0,34, lo que estábamos diciendo inicialmente.

101
00:10:37,490 --> 00:10:45,090
Bien, pues si de esta ecuación despejamos el valor de k, vemos que el valor de k pedido es igual a 5,694.

102
00:10:45,090 --> 00:10:53,889
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

103
00:10:54,649 --> 00:10:58,730
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

104
00:10:59,549 --> 00:11:04,309
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

105
00:11:04,850 --> 00:11:06,250
Un saludo y hasta pronto.