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00:00:01,459 --> 00:00:06,700
Hola, en este nuevo vídeo vamos a estudiar qué son las ecuaciones matriciales.

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00:00:07,339 --> 00:00:16,280
En matemáticas llamamos ecuaciones matriciales a un tipo de ecuaciones en las que los elementos con los que trabajamos en dicha ecuación son matrices.

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00:00:16,640 --> 00:00:19,239
Y por tanto la incógnita también es una matriz.

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00:00:20,339 --> 00:00:29,460
En principio despejar la incógnita es ir hallando ecuaciones equivalentes a la original,

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00:00:29,460 --> 00:00:32,539
tal y como hacemos en las ecuaciones de primer grado, ¿vale?

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00:00:33,679 --> 00:00:38,619
No sé si vosotros estáis muy acostumbrados a decir la expresión de lo que está sumando pasa restando,

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00:00:38,859 --> 00:00:45,340
lo que está multiplicando pasa dividiendo, pero bueno, creo que sabéis que internamente nada pasa en matemáticas,

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00:00:45,340 --> 00:00:53,020
sino que lo que hacemos es que a los dos lados de la igualdad le sumamos o restamos lo mismo para mantener la igualdad en equilibrio, ¿vale?

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00:00:53,200 --> 00:00:59,359
De tal forma que, bueno, que voy eliminando elementos a ambos lados, en ambos miembros de la igualdad, ¿vale?

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00:00:59,460 --> 00:01:07,540
No sé si alguien después de escuchar esto va a flipar un poco, pero bueno, ahora con el ejemplo creo que recordaremos cosas de ecuaciones de primer grado.

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00:01:08,260 --> 00:01:17,400
Entonces, pero lo único que necesito saber en lo referente a matrices es que para poder despejar una ecuación, para poder despejar la matriz X, que es lo que a mí me pregunten,

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00:01:18,079 --> 00:01:21,239
tengo que recordar estas propiedades de las matrices, ¿vale?

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00:01:23,159 --> 00:01:26,760
El producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad, ¿vale?

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00:01:26,760 --> 00:01:34,819
Es decir, cuando yo quiero quitar algo que está multiplicando a la incógnita, lo que hago es multiplicarle por su matriz inversa.

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00:01:34,900 --> 00:01:41,000
¿De acuerdo? ¿Por qué? Porque el producto de una matriz por su inversa siempre da la matriz identidad.

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00:01:41,459 --> 00:01:46,560
Tanto si la inversa viene multiplicando por la derecha como por la izquierda.

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00:01:46,719 --> 00:01:48,359
¿De acuerdo? Siempre me da la matriz identidad.

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00:01:48,359 --> 00:01:56,959
Nosotros vamos a buscar la matriz identidad porque la matriz identidad en el producto de matrices cuadradas es el elemento neutro

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00:01:56,959 --> 00:02:02,840
¿Qué quiere decir esto? Que si yo multiplico una matriz por la matriz identidad obtengo la matriz original, ¿de acuerdo?

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00:02:03,840 --> 00:02:08,000
Y lo último que tenéis que recordar es que la multiplicación no es conmutativa

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00:02:08,000 --> 00:02:15,340
Esto va a ser un pequeño escollo, un pequeño problemita porque no es igual multiplicar por la izquierda que por la derecha

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00:02:15,340 --> 00:02:23,340
¿Vale? Entonces vamos a tener que tener en cuenta por qué lado de cada uno de los miembros de la ecuación estoy multiplicando.

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00:02:24,159 --> 00:02:27,259
¿De acuerdo? Porque el producto no es conmutativo.

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00:02:28,120 --> 00:02:30,740
Venga, lo vais a entender perfecto con este ejercicio.

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00:02:30,819 --> 00:02:38,560
Mirad, en este ejercicio, en este ejemplo, nos dan tres matrices, hay una matriz 2x2 y dos matrices 2x3.

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00:02:38,560 --> 00:02:47,159
¿De acuerdo? En el que nos piden que hallemos la matriz X que cumpla que al multiplicar A por X y sumarle B obtenga C.

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00:02:47,560 --> 00:02:54,219
¿De acuerdo? Entonces lo primero que tengo que hacer es, en esta ecuación que a mí me dan, intentar despejar la X.

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00:02:54,479 --> 00:03:01,979
¿Vale? Es mi objetivo. En el momento que he despejado la X me quedará que X es igual a cierta expresión y ya hago operaciones con esa expresión.

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00:03:01,979 --> 00:03:17,319
¿Vale? Entonces, tenemos por un lado, a ver, que a por x más b tiene que ser, a ver, perdón, tiene que ser igual a c, ¿de acuerdo?

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00:03:17,900 --> 00:03:25,879
Lo primero que me está estorbando es la b que suma, ¿verdad? Entonces, ¿qué le voy a hacer a la, lo primero que le voy a hacer a esta ecuación,

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00:03:25,879 --> 00:03:37,099
La primera transformación es restar b a ambos miembros, ¿vale? De tal forma que, claro, cuando tengo aquí a x más b menos b, aquí me queda únicamente a por x, ¿vale?

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00:03:37,219 --> 00:03:46,759
Porque b más b menos b se anulan, se compensan y aquí me aparecería c menos b, ¿vale? Esa era la explicación de por qué lo que está sumando pasa restando, ¿vale?

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00:03:46,759 --> 00:03:52,419
que esta es la operación interna que le hacemos. Y si os dais cuenta, lo siguiente que me sobra,

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00:03:52,919 --> 00:03:57,139
o sea, para yo poder despejar la x, es que lo tengo multiplicando por a, ¿vale?

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00:03:57,900 --> 00:04:05,219
Nosotros cuando estábamos en ecuaciones de primer grado, lo que hacíamos es, bueno,

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00:04:05,419 --> 00:04:09,979
podríamos pensar aquello de lo que estás multiplicando pasa dividiendo, o realmente lo que hacíamos es

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00:04:09,979 --> 00:04:15,219
dividir ambos miembros, ¿verdad?, entre dos, hacer la misma operación a ambos lados.

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00:04:15,219 --> 00:04:22,240
En este caso, como hablo de matrices, la operación que tengo que hacer a ambos lados es aquella que me permita eliminar de aquí A.

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00:04:22,740 --> 00:04:27,040
Si os dais cuenta, A está multiplicando a X por la derecha, ¿vale?

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00:04:27,439 --> 00:04:28,720
Perdón, por su izquierda.

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00:04:28,819 --> 00:04:34,180
Por tanto, la operación que yo le haga tengo que tener en cuenta el orden del producto, ¿vale?

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00:04:34,600 --> 00:04:40,439
Para poder quitar A, le voy a multiplicar por su matriz inversa para luego poder obtener aquí una matriz identidad.

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00:04:40,439 --> 00:04:49,540
pero como multiplico por la matriz inversa por la izquierda, al otro miembro también le voy a tener que multiplicar por la izquierda, ¿vale?

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00:04:49,920 --> 00:04:55,860
Le tengo que hacer a ambos miembros de la igualdad de la ecuación la misma operación y como estoy multiplicando por la izquierda,

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00:04:55,980 --> 00:05:03,839
ambos miembros tengo que hacerlo por la izquierda. No puedo escribir por a elevado a menos 1 aquí a la derecha,

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00:05:03,839 --> 00:05:10,339
no puedo, prohibido porque el producto no es conmutativo, le tengo que hacer la misma operación al mismo lado, ¿vale?

47
00:05:10,439 --> 00:05:19,800
¿Vale? Entonces, ¿qué he conseguido con esto? Que al multiplicar la inversa de una matriz por la propia matriz, esto me da la matriz identidad, ¿vale?

48
00:05:19,800 --> 00:05:30,259
Y aquí tendría la identidad por x y al otro lado de la igualdad me ha quedado la matriz inversa por la diferencia de c menos b.

49
00:05:30,259 --> 00:05:45,459
¿Qué sucede? Que ya hemos visto que el producto de la matriz identidad por otra matriz es la propia matriz, dado que la matriz identidad es el elemento neutro, ¿vale?

50
00:05:46,060 --> 00:05:54,620
Por tanto, en el momento que ya me quito de encima la matriz identidad tendría despejada mi incógnita, ¿vale?

51
00:05:54,620 --> 00:06:03,439
La matriz X, que es la que ando buscando, va a ser el resultado de multiplicar la inversa de A por la diferencia de las matrices C menos B.

52
00:06:04,120 --> 00:06:10,959
Entonces, llegados a este punto, que ya tenemos aquí esto despejado, lo que tenemos que hacer es calcular A menos 1, ¿vale?

53
00:06:11,040 --> 00:06:15,600
La inversa de A y después la diferencia de C menos B.

54
00:06:16,439 --> 00:06:21,779
Entonces, lo primero que vamos a hacer es calcular la inversa de A con el método de Gauss, ¿vale?

55
00:06:21,779 --> 00:06:30,480
Lo que vamos a hacer es escribir esta matriz por aquí, ampliada con la matriz identidad, ¿de acuerdo?

56
00:06:30,779 --> 00:06:33,399
E ir haciéndole transformación.

57
00:06:33,959 --> 00:06:43,100
Si recordamos, lo primero que busco es tener aquí un 1, como tengo un 2, lo que voy a hacer es transformar la fila 1, ¿vale?

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00:06:43,680 --> 00:06:49,779
En la suma, el resultado de sumarle a la fila 1 la fila 2, ¿por qué?

59
00:06:49,779 --> 00:06:55,839
Porque cuando a 2 le sume menos 1, 2 más menos 1 es 2 menos 1, aquí voy a obtener un 1, ¿vale?

60
00:06:55,959 --> 00:07:01,360
El resto de elementos me dan igual, lo primero que busco según la estrategia es hacer el a 1, 1, hacerlo 1, ¿vale?

61
00:07:02,420 --> 00:07:08,939
Entonces, bueno, voy escribiendo, sabéis que la fila de abajo no le voy a hacer ninguna transformación, se quedaría como está

62
00:07:08,939 --> 00:07:12,199
y en la fila de arriba le voy a sumar lo que tengo en la fila de abajo.

63
00:07:12,500 --> 00:07:18,740
2 más menos 1 sería 2 menos 1 que es 1, menos 3 más 2 sería aquí un menos 1,

64
00:07:19,779 --> 00:07:23,100
1 más 0 es 1 y 0 más 1 es 1, ¿de acuerdo?

65
00:07:24,360 --> 00:07:29,879
Venga, en el momento que ya tenemos aquí hecho un 1, lo que quiero es obtener aquí, en el resto de elementos de la columna, un 0.

66
00:07:30,180 --> 00:07:39,459
Entonces, para obtener un 0 en el elemento 2, 1, lo que voy a hacer es la transformación de que a la fila 2 le voy a sumar la fila 1, ¿vale?

67
00:07:39,860 --> 00:07:42,279
Porque de esta manera se van a compensar, se va a anular aquí.

68
00:07:43,000 --> 00:07:45,439
Como a la fila 1 no le hago nada, la dejo como está.

69
00:07:47,079 --> 00:07:48,939
Y lo que le hago a la fila 2 es sumarle la 1.

70
00:07:48,939 --> 00:08:02,139
Entonces tendría 1 más menos 1, es decir, 1 menos 1, 0. 2 más menos 1, 1. 0 más 1, 1. Y 1 más 1, 2.

71
00:08:02,139 --> 00:08:11,279
Por último, ya tengo terminada la primera columna porque ya pertenece a la matriz de identidad

72
00:08:11,279 --> 00:08:19,019
Lo siguiente que tendría que hacer es fijarme en el elemento de la diagonal principal que busco de la identidad

73
00:08:19,019 --> 00:08:25,160
Que sea un 1, que ya lo tengo colocado, entonces lo único que me queda es hacer que ese elemento sea 0

74
00:08:25,160 --> 00:08:28,720
Para lo cual voy a hacer la siguiente transformación, la fila 1

75
00:08:28,720 --> 00:08:34,379
la voy a sustituir por la suma de la fila 1 más la fila 2 ¿vale? para que se compense

76
00:08:34,379 --> 00:08:37,960
entonces como a la fila 2 no le hago nada la dejo como está

77
00:08:37,960 --> 00:08:43,899
y lo que voy a hacer aquí es ir sumándole los elementos de debajo ¿vale?

78
00:08:43,899 --> 00:08:51,659
1 más 0 es 1, menos 1 más 1 es 0, 1 más 1 es 2 y 2 más 1 es 3

79
00:08:51,659 --> 00:08:57,120
entonces como ya he conseguido la identidad a la izquierda

80
00:08:57,120 --> 00:09:04,500
Puedo concluir que la matriz inversa de A es la matriz 2, 3, 1, 2

81
00:09:04,500 --> 00:09:05,059
¿De acuerdo?

82
00:09:06,080 --> 00:09:07,620
¿Qué es lo siguiente que vamos a hacer?

83
00:09:07,879 --> 00:09:11,299
Pues bueno, me queda, antes de poder hacer el producto final

84
00:09:11,299 --> 00:09:13,779
Hacer la diferencia de C menos B, ¿vale?

85
00:09:13,820 --> 00:09:16,399
Es lo que voy a hacer aquí debajo, a ver si me cabe todo

86
00:09:16,399 --> 00:09:19,700
¿Vale? A ver, perdón, me ha salido una B muy fea

87
00:09:19,700 --> 00:09:28,299
Voy a la matriz 6, 3, 1, 4, 1, 0

88
00:09:28,299 --> 00:09:37,710
le voy a restar la matriz 4, 2 menos 3, 2, 0, 1.

89
00:09:38,970 --> 00:09:44,090
Entonces tendré aquí el elemento 2, aquí el 1, 1 menos menos 3 es 4,

90
00:09:44,529 --> 00:09:48,330
y por aquí tendré el 2, el 1 y el menos 1.

91
00:09:49,230 --> 00:09:55,590
Venga, entonces por último para hallar x tengo que hacer el producto de la matriz inversa de A

92
00:09:55,590 --> 00:10:06,610
por la diferencia de c menos b, es decir, el producto de la matriz 2, 3, 1, 2 por el producto de esta otra matriz.

93
00:10:09,909 --> 00:10:16,049
Es un producto que puedo hacer, ¿vale? Porque si recordamos, ya sabéis que la multiplicación no siempre se puede hacer,

94
00:10:16,190 --> 00:10:24,389
esto es 2 por 2, esto es 2 por 3, como el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda,

95
00:10:24,389 --> 00:10:30,330
la puedo hacer y el resultado final va a ser una matriz de 2 por 3, ¿vale? Entonces, bueno,

96
00:10:30,409 --> 00:10:36,870
vamos a ir poquito a poco. Tendría como primer elemento la suma de 2 por 2 más 3 por 2 sería

97
00:10:36,870 --> 00:10:47,710
un 10, aquí tendría 2 más 3, 5 y por otro lado 2 por 4 que es 8 más 3 por menos 1 que

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00:10:47,710 --> 00:10:56,789
es menos 3, 8 menos 3 es otro 5. Por aquí tendría 2 más 4 que es 6, por último tendría

99
00:10:56,789 --> 00:11:03,429
1 más 2 que es 3 y 4 menos 2 que es 2.