1
00:00:00,000 --> 00:00:09,000
¿Pueden hacerme una cuenta?

2
00:00:09,000 --> 00:00:10,000
¿Habrás?

3
00:00:10,000 --> 00:00:17,000
1, 3, 2, 1, 0.

4
00:00:17,000 --> 00:00:23,000
Imaginen poder reducir significativamente el tiempo de trayecto entre dos puntos simplemente

5
00:00:23,000 --> 00:00:25,000
optimizando su trayectoria.

6
00:00:25,000 --> 00:00:29,000
Esta es la cuestión que hicieron los matemáticos más importantes del siglo XVII.

7
00:00:29,000 --> 00:00:32,000
Y hoy voy a contarles cuál es esa trayectoria.

8
00:00:32,000 --> 00:00:38,000
Buenas tardes, mi nombre es Pablo González García y este es mi proyecto de investigación.

9
00:00:38,000 --> 00:00:44,000
En 1696 se planteó a los matemáticos europeos el desafío de encontrar la trayectoria óptima

10
00:00:44,000 --> 00:00:50,000
para la cual un objeto solo impulsado por la gravedad y sin tener en cuenta la fricción

11
00:00:50,000 --> 00:00:55,000
realizase el trayecto entre A y B en el menor tiempo posible,

12
00:00:55,000 --> 00:01:00,000
teniendo en cuenta que estos no están alineados ni vertical ni horizontalmente.

13
00:01:00,000 --> 00:01:05,000
Para hacer más sencilla la comprensión de este problema, supongamos que un socorrista

14
00:01:05,000 --> 00:01:10,000
debe de llegar lo más rápido posible hasta un bañista que necesita su ayuda.

15
00:01:10,000 --> 00:01:16,000
La trayectoria más corta en términos de distancia es una línea recta entre el socorrista y el bañista.

16
00:01:16,000 --> 00:01:22,000
Sin embargo, el socorrista opta por trazar una trayectoria diagonal por la cual va por la arena,

17
00:01:22,000 --> 00:01:27,000
por donde va más rápido, y así estar menos tiempo en el agua, donde va más lento.

18
00:01:27,000 --> 00:01:35,000
El objetivo de esto es trazar en el menor tiempo posible la llegada al bañista,

19
00:01:35,000 --> 00:01:43,000
no yendo por el lugar menos rápido, la línea recta, y así maximizando la velocidad en la arena,

20
00:01:43,000 --> 00:01:47,000
y por tanto la eficacia del rescate.

21
00:01:47,000 --> 00:01:54,000
Este problema fue propuesto por Johann Bernoulli y con este trataba de retar a la comunidad científica de la época.

22
00:01:54,000 --> 00:01:59,000
Participaron científicos de la talla de Newton o Leibniz, entre otros,

23
00:01:59,000 --> 00:02:03,000
y debido a esto se conocen muchas formas de resolver este problema.

24
00:02:03,000 --> 00:02:10,000
Sin embargo, nos hemos centrado en una metodología accesible a un conocimiento de un alumno de bachillerato,

25
00:02:10,000 --> 00:02:15,000
el cual se expone con mayor detenimiento en el trabajo de investigación.

26
00:02:15,000 --> 00:02:21,000
En cuanto a la curva solución, la cicloide, esta se define como el lugar geométrico de un punto en una circunferencia

27
00:02:21,000 --> 00:02:24,000
que rueda sin deslizamiento a lo largo de una recta.

28
00:02:24,000 --> 00:02:29,000
Para hacer más comprensible esta definición, supongamos que tenemos un círculo

29
00:02:29,000 --> 00:02:32,000
y este lo apoyamos sobre una superficie plana.

30
00:02:32,000 --> 00:02:37,000
Luego hacemos rodar este círculo mientras mantiene contacto con esa superficie.

31
00:02:37,000 --> 00:02:42,000
Un punto en el círculo trazará una trayectoria en el plano, es decir, la cicloide.

32
00:02:42,000 --> 00:02:47,000
La cicloide ha sido un objeto de estudio por los matemáticos europeos de la época,

33
00:02:47,000 --> 00:02:52,000
debido a sus propiedades y a las discusiones científicas que generó.

34
00:02:52,000 --> 00:02:59,000
De hecho, fue tan polémica que se la conoce como la arena de la geometría o la arena de las curvas.

35
00:02:59,000 --> 00:03:03,000
Pero mi trabajo de investigación decidí llamarlo la curva perfecta,

36
00:03:03,000 --> 00:03:07,000
no solo porque la cicloide es la respuesta al problema de Bernoulli,

37
00:03:07,000 --> 00:03:10,000
sino porque posee propiedades muy interesantes.

38
00:03:10,000 --> 00:03:13,000
En primer lugar, la propiedad autocrona.

39
00:03:13,000 --> 00:03:18,000
Esta propiedad afirma que el tiempo que tarda una bola en recorrer la cicloide

40
00:03:18,000 --> 00:03:20,000
no depende de su posición inicial.

41
00:03:20,000 --> 00:03:27,000
Por lo tanto, en este ejemplo, que las bolas A, B y C se encuentran a distintas alturas,

42
00:03:27,000 --> 00:03:32,000
si se lanzan a la vez, llegarán al punto final de la cicloide en el mismo tiempo.

43
00:03:41,000 --> 00:03:44,000
En cuanto a la otra propiedad, la propiedad isócrona,

44
00:03:44,000 --> 00:03:51,000
esta propiedad afirma que dos o más movimientos se realizan en un periodo de igual duración.

45
00:03:51,000 --> 00:03:56,000
Esta propiedad, al igual que la autocrona, fue descubierta por Christian Hubens,

46
00:03:56,000 --> 00:03:59,000
el cual creó el péndulo isócrono.

47
00:03:59,000 --> 00:04:03,000
Este era la forma más precisa de medir el tiempo por aquel entonces,

48
00:04:03,000 --> 00:04:06,000
e incluso se utilizaba en observatorios astronómicos.

49
00:04:06,000 --> 00:04:10,000
Pero, a pesar de ser un cicloide, una curva matemática muy compleja,

50
00:04:10,000 --> 00:04:13,000
esta se puede ver apreciada en nuestro día a día,

51
00:04:13,000 --> 00:04:16,000
desde en el péndulo isócrono de Hubens, como ya he comentado anteriormente,

52
00:04:16,000 --> 00:04:18,000
como en las pistas de skate,

53
00:04:18,000 --> 00:04:22,000
las cuales tienen esa forma cicloidal con el objetivo de que el skater

54
00:04:22,000 --> 00:04:26,000
llegue en el menor tiempo posible al fondo de la pista.

55
00:04:26,000 --> 00:04:30,000
Además, la cicloide tiene un atractivo arquitectónico,

56
00:04:30,000 --> 00:04:35,000
siendo utilizada en el Museo Arte de Kimbell o en el Hopkins Center de Hanover.

57
00:04:35,000 --> 00:04:39,000
En cuanto a la parte práctica de este proyecto de investigación,

58
00:04:39,000 --> 00:04:44,000
este ha consistido en una maqueta la cual contiene una trayectoria cicloidal,

59
00:04:44,000 --> 00:04:47,000
una parábola y un plano inclinado,

60
00:04:47,000 --> 00:04:52,000
con el objetivo de comprobar que la cicloide es la ruta de la trayectoria óptima.

61
00:04:52,000 --> 00:04:56,000
Además, se han calculado los tiempos teóricos por los petardos,

62
00:04:56,000 --> 00:05:00,000
Además, se han calculado los tiempos teóricos por los petardos,

63
00:05:00,000 --> 00:05:02,000
la pelota en recorrer cada una de las trayectorias,

64
00:05:02,000 --> 00:05:06,000
y luego los hemos comparado con los experimentales.

65
00:05:06,000 --> 00:05:08,000
Para el proceso de construcción,

66
00:05:08,000 --> 00:05:13,000
lo primero que se ha realizado fue un boceto con las dimensiones del largo y del alto

67
00:05:13,000 --> 00:05:16,000
que iba a tener la maqueta.

68
00:05:16,000 --> 00:05:20,000
Luego, se decidió realizar el trazado de la cicloide a escala,

69
00:05:20,000 --> 00:05:25,000
del cual se extraería la grafistócrona conforme a las medidas elegidas.

70
00:05:25,000 --> 00:05:29,000
Sin embargo, debido a la imprecisión del trazado realizado en casa,

71
00:05:29,000 --> 00:05:34,000
se tuvieron que reajustar las medidas de la maqueta,

72
00:05:34,000 --> 00:05:39,000
con el objetivo de que se preservase lo máximo posible la forma cicloidal.

73
00:05:39,000 --> 00:05:43,000
Una vez teníamos definidas tanto la cicloide como el plano inclinado,

74
00:05:43,000 --> 00:05:46,000
se tuvo que trazar la parábola,

75
00:05:46,000 --> 00:05:51,000
la cual tras calcular su ecuación e ir sacando puntos, se pudo definir.

76
00:05:52,000 --> 00:05:54,000
Tras esto, como pueden ver en las imágenes,

77
00:05:54,000 --> 00:05:58,000
se fueron cortando los tableros de madera por las trayectorias previamente definidas,

78
00:05:58,000 --> 00:06:03,000
y finalmente se lijaron con el objetivo de formar esos canales

79
00:06:03,000 --> 00:06:07,000
para que la bola no se saliese de la trayectoria.

80
00:06:07,000 --> 00:06:12,000
Finalmente, se pegaron y se atornillaron las trayectorias a las bases de la maqueta.

81
00:06:14,000 --> 00:06:16,000
Como ya he dicho anteriormente,

82
00:06:16,000 --> 00:06:20,000
tanto la cicloide como el plano inclinado ya estaban previamente definidos,

83
00:06:20,000 --> 00:06:24,000
por lo tanto, lo único que nos quedaba definir era la trayectoria de la parábola,

84
00:06:24,000 --> 00:06:29,000
la cual decidí que tuviese el vértice en el punto final de la trayectoria,

85
00:06:29,000 --> 00:06:33,000
con el objetivo de que se pareciese lo máximo posible a la cicloide.

86
00:06:35,000 --> 00:06:39,000
Luego a continuación, como ya he mencionado anteriormente,

87
00:06:39,000 --> 00:06:44,000
se fueron a comparar los tiempos que tardaban las bolas por recorrer cada una de las trayectorias

88
00:06:44,000 --> 00:06:46,000
con el tiempo que tarda realmente en hacerlo.

89
00:06:46,000 --> 00:06:51,000
Por lo tanto, lo primero que íbamos a hacer fue calcular los tiempos teóricos,

90
00:06:51,000 --> 00:06:55,000
los cuales expongo con mayor detenimiento en mi trabajo de investigación.

91
00:06:55,000 --> 00:06:59,000
A continuación, se realizó el análisis exoexperimental,

92
00:06:59,000 --> 00:07:04,000
el cual consistía de cuatro series de intentos de nueve lanzamientos por cada trayectoria.

93
00:07:05,000 --> 00:07:08,000
Como pueden ver en este vídeo,

94
00:07:08,000 --> 00:07:14,000
este consistió de una grabación en el cual aparecía un dispositivo móvil con función de cronómetro

95
00:07:14,000 --> 00:07:17,000
junto a la trayectoria por la que se iban a lanzar las bolas.

96
00:07:17,000 --> 00:07:20,000
Tras obtener todos los vídeos de todas las series de intentos,

97
00:07:20,000 --> 00:07:25,000
se realizó una media aritmética por cada una de las series de intentos.

98
00:07:25,000 --> 00:07:28,000
A continuación, para tener en cuenta los errores,

99
00:07:28,000 --> 00:07:31,000
se calcularon tanto la desviación típica como la varianza.

100
00:07:32,000 --> 00:07:36,000
Finalmente, tras haber realizado este proceso en cada una de las series de intentos,

101
00:07:36,000 --> 00:07:40,000
se realizó una media aritmética de todas las medias aritméticas

102
00:07:40,000 --> 00:07:43,000
de cada una de las series de intentos de cada trayectoria

103
00:07:43,000 --> 00:07:49,000
para obtener una media de cuánto había tardado la bola en recorrer cada una de las trayectorias.

104
00:07:52,000 --> 00:07:55,000
Finalmente, lo único que nos quedaba por hacer

105
00:07:55,000 --> 00:08:00,000
era comparar los tiempos teóricos previamente calculados con los tiempos experimentales.

106
00:08:00,000 --> 00:08:05,000
Y, como pueden ver en pantalla, el resultado de este experimento fue un éxito

107
00:08:05,000 --> 00:08:09,000
debido a que los tiempos teóricos se encontraban dentro de los esperados.

108
00:08:10,000 --> 00:08:18,000
Para poner un ejemplo, la cicloide, que debía de tardar teóricamente un tiempo de 0,53 segundos,

109
00:08:18,000 --> 00:08:23,000
en nuestro experimento tardó 0,77, sin incluir errores.

110
00:08:24,000 --> 00:08:31,000
Por lo tanto, si incluíamos los errores, esta debía oscilar entre un tiempo de 1,01 y 0,53,

111
00:08:31,000 --> 00:08:34,000
el cual, como ven en pantalla, está.

112
00:08:35,000 --> 00:08:39,000
En conclusión, el problema de la curvada cristocrona

113
00:08:39,000 --> 00:08:42,000
fue un problema que dio mucho que hablar a los científicos de la época.

114
00:08:42,000 --> 00:08:48,000
Está debido a los matemáticos que incluyó en este problema,

115
00:08:48,000 --> 00:08:52,000
además de a lo mucho que dio que hablar.

116
00:08:52,000 --> 00:08:57,000
Al fin y al cabo, no todos los problemas matemáticos poseen una estatus o no.

117
00:08:57,000 --> 00:09:04,000
Muchas gracias por su atención y queda a su disposición para responder las preguntas que les hayan surgido.