1
00:00:00,940 --> 00:00:04,500
En este vídeo vamos a explicar el teorema del resto.

2
00:00:05,940 --> 00:00:16,879
El teorema del resto dice lo siguiente, el valor numérico de un polinomio p de x para x igual a a, es decir, cuando hacemos p de a,

3
00:00:17,899 --> 00:00:23,839
coincide con el resto de la división de p de x entre x menos a.

4
00:00:23,839 --> 00:00:41,439
Ahora, de forma más simplificada, podemos decir que el teorema del resto dice que si hacemos P de A, es decir, el valor numérico de un polinomio P de X en X igual a A, me va a salir R.

5
00:00:41,439 --> 00:01:00,939
donde r va a ser igual al resto de la división del polinomio p de x entre el binomio x menos a.

6
00:01:04,379 --> 00:01:13,599
Veamos un ejemplo. Supongamos que nos dan este polinomio, ¿vale? p de x igual a x al cuadrado menos 3x más 2

7
00:01:13,599 --> 00:01:27,799
y que me pidieran calcular el resto de la división de p de x, de este polinomio que me han dado, entre x menos 1 pero sin efectuar la división, ¿vale?

8
00:01:28,000 --> 00:01:31,879
O sea, nos piden el resto de esa división pero sin hacerla.

9
00:01:31,879 --> 00:01:49,219
Ahora, para poder hacer entonces este ejercicio, tenemos que aplicar el teorema del resto, que nos dice que si hacemos el valor numérico del polinomio que me dan en, en este caso, x igual a 1, ¿vale?

10
00:01:49,219 --> 00:01:55,019
Porque tenemos x menos 1, pues lo que me va a dar es el resto de esa división.

11
00:01:55,019 --> 00:02:18,780
Lo calculamos, diríamos, bueno, pues p de 1 va a ser igual a 1 al cuadrado menos 3 por 1 más 2, que eso es igual a 1 menos 3 más 2.

12
00:02:19,219 --> 00:02:26,139
Es decir, eso es igual a uno menos tres es menos dos, menos dos más dos, cero.

13
00:02:27,120 --> 00:02:31,439
Es decir, el resto de la división va a ser cero.

14
00:02:34,449 --> 00:02:35,509
Vamos a comprobarlo.

15
00:02:35,969 --> 00:02:40,449
Vamos a hacer ahora esta división, ¿vale?

16
00:02:40,490 --> 00:02:47,669
La de mi polinomio x al cuadrado menos tres x más dos, dividido entre x menos uno.

17
00:02:47,669 --> 00:02:52,250
vamos a hacer esa división y veamos que me va a salir resto 0

18
00:02:52,250 --> 00:02:58,169
para hacer esa división como es entre x menos 1 podemos aplicar la regla de Ruffini

19
00:02:58,169 --> 00:03:03,629
la regla de Ruffini escribíamos los coeficientes de mi polinomio

20
00:03:03,629 --> 00:03:07,650
que en este caso son 1, menos 3 y 2

21
00:03:07,650 --> 00:03:14,710
hacíamos la cajita y si dividíamos entre x menos 1 poníamos aquí un 1

22
00:03:14,710 --> 00:03:25,349
bajamos del 1, 1 por 1, 1, menos 3 más 1, menos 2, 1 por menos 2, menos 2, sumamos 0

23
00:03:25,349 --> 00:03:32,909
y este numerito de aquí coincidía con el resto de la división

24
00:03:32,909 --> 00:03:40,219
como veis nos ha salido que el resto de la división es 0

25
00:03:40,219 --> 00:03:48,300
Y aquí lo mismo, al hacer el valor numérico del polinomio en x igual a 1, me sale que el resto es 0.

26
00:03:48,740 --> 00:03:52,099
Pero de esta manera no efectuamos la división.

27
00:03:54,599 --> 00:03:58,259
Vamos a ver ahora varias observaciones sobre el teorema del resto.

28
00:03:59,659 --> 00:04:08,979
Si me pidieran, por ejemplo, calcular el resto de la división de un polinomio entre x menos 2,

29
00:04:08,979 --> 00:04:16,540
tendría que aplicar el teorema del resto y sustituir la x por 2

30
00:04:16,540 --> 00:04:19,720
con el signo contrario al que aparece ahí

31
00:04:19,720 --> 00:04:26,439
y si me pidieran calcular el resto de la división de un polinomio entre x más 2

32
00:04:26,439 --> 00:04:33,199
tendría que aplicar el teorema del resto sustituyendo la x por menos 2

33
00:04:33,199 --> 00:04:35,819
el signo contrario en el que aparece ahí

34
00:04:35,819 --> 00:04:39,220
igual que cuando hacíamos Ruffini, ¿de acuerdo?

35
00:04:41,519 --> 00:04:50,660
Veamos otro ejemplo, imaginar que nos dan este polinomio p de x igual a x al cubo menos x cuadrado más 2x menos 2

36
00:04:50,660 --> 00:04:58,660
y me piden calcular el resto de la división de ese polinomio, este que me han dado, entre x más 1

37
00:04:58,660 --> 00:05:05,519
sin efectuar la división, es decir, sin hacer la regla de Ruffini ni la división normal con caja.

38
00:05:05,519 --> 00:05:09,180
entonces tendremos que aplicar el teorema del resto

39
00:05:09,180 --> 00:05:21,240
para aplicarlo tendremos que hacer el valor numérico de mi polinomio en p de menos 1

40
00:05:21,240 --> 00:05:31,779
¿vale? como estoy dividiendo entre x más 1 pues tengo que hacer el valor numérico en p de menos 1

41
00:05:31,779 --> 00:05:34,819
¿vale? signo contrario al que aparece ahí

42
00:05:35,519 --> 00:05:56,259
Lo hacemos, p menos 1 será igual, como tengo x al cubo, pues tendré que hacer menos 1 al cubo, menos x al cuadrado, es decir, menos 1 al cuadrado, más 2 por menos 1, menos 2.

43
00:05:56,259 --> 00:06:13,680
Cuidado con los signos, ¿vale? Menos 1 al cubo, base negativa elevada a exponente impar, resultado negativo, menos 1, menos, menos 1 al cuadrado, base negativa con exponente par, resultado positivo, más 1.

44
00:06:13,680 --> 00:06:21,540
Ahora, más 2 por menos 1, más por menos, menos 2 y menos 2.

45
00:06:22,040 --> 00:06:35,920
Igual a menos 1, menos con más, menos 1, menos 2, menos 2, menos 1, menos 1, menos 2, menos 2, menos 4, menos 2, menos 6.

46
00:06:36,120 --> 00:06:39,839
Pues el resto de esa división es menos 6.

47
00:06:39,839 --> 00:06:46,000
aunque no hace falta, vamos a ver la comprobación para que veáis que sale

48
00:06:46,000 --> 00:06:53,879
para hacer la división de x al cubo menos x al cuadrado más 2x menos 2 entre x más 1

49
00:06:53,879 --> 00:07:00,699
como estamos dividiendo entre x más 1 podemos aplicar la regla de Ruffini

50
00:07:00,699 --> 00:07:04,199
entonces ponemos los coeficientes de mi polinomio

51
00:07:04,199 --> 00:07:33,680
1, menos 1, 2 y menos 2, hacemos la cajita, como estamos dividiendo entre x más 1, aquí poníamos menos 1, bajamos el 1, menos 1 por 1, menos 1, menos 1, menos 1, menos 2, menos 1 por menos 2, 2, 2 más 2, 4, menos 1 por 4, menos 4 y menos 2, menos 4, menos 6.

52
00:07:33,680 --> 00:07:42,879
Y como veis, el resto de la división, que era ese último número, coincide con el valor que nos ha salido aquí,

53
00:07:43,000 --> 00:07:47,079
con el valor numérico del polinomio en x igual a menos 1.

54
00:07:49,189 --> 00:07:55,009
Vamos a ver ahora otro tipo de ejercicios en los que podemos aplicar el teorema del resto.

55
00:07:55,009 --> 00:08:12,500
En este ejercicio me piden que calcule el valor de m para que el resto de la división de este polinomio donde me aparece aquí este coeficiente m que no sé cuál es, ¿vale?

56
00:08:12,500 --> 00:08:17,079
El que va acompañando a x al cubo, va a ser un número que no sé cuál es.

57
00:08:17,759 --> 00:08:26,160
Entonces me piden que calcule ese valor para que la división de este polinomio entre x más 1, ¿vale?

58
00:08:26,240 --> 00:08:28,959
El resto me salga menos 11.

59
00:08:31,180 --> 00:08:39,580
Recordamos que el teorema del resto me decía que si yo hago el valor numérico de un polinomio, ¿vale?

60
00:08:39,580 --> 00:08:50,919
en x igual a a, el valor numérico del polinomio en un número, me va a salir el resto de la división del polinomio entre x menos a.

61
00:08:52,220 --> 00:09:06,620
En nuestro caso la división es la siguiente, queremos hacer la división del polinomio que me dan p de x entre el binomio x más 1

62
00:09:06,620 --> 00:09:15,519
Y queremos que esa división me salga el resto menos 11, ¿de acuerdo? Que me lo dice.

63
00:09:16,200 --> 00:09:26,019
Entonces, si aplico el teorema del resto, sé que si hago el valor numérico del polinomio en x igual a menos 1, ¿vale?

64
00:09:26,019 --> 00:09:41,100
El valor numérico del polinomio en x igual a menos 1, porque estoy dividiendo entre x más 1, me va a salir de resto menos 11, ¿vale?

65
00:09:42,740 --> 00:09:50,460
Entonces, lo único que tengo que hacer es ese valor numérico del polinomio en menos 1.

66
00:09:50,460 --> 00:10:03,460
Recordamos, voy a escribir aquí, mi polinomio era menos 3x a la cuarta más mx al cubo más 5x menos 1.

67
00:10:03,879 --> 00:10:06,000
Vamos a hacer entonces p de menos 1.

68
00:10:06,500 --> 00:10:17,379
p de menos 1 sería menos 3 por menos 1 a la cuarta más m, que no lo conozco, es lo que me piden calcular,

69
00:10:17,379 --> 00:10:35,460
por menos 1 al cubo, más 5 por menos 1, menos 1, vamos a calcular esto que es, sería menos 3 por menos 1 a la cuarta base negativa elevada a exponente par,

70
00:10:35,460 --> 00:10:45,360
resultado positivo sería más 1 más m por ahora menos 1 al cubo base negativa elevada a exponente

71
00:10:45,360 --> 00:10:56,159
impar resultado negativo menos 1 ahora más 5 por menos 1 más por menos menos 5 y luego el menos 1

72
00:10:56,159 --> 00:11:16,899
Vale, entonces me va a quedar menos 3 por más 1 es menos 3, más m por menos 1 es menos m, menos 5, menos 1, junto aquí todo lo que pueda, el m no lo puedo sumar ni restar,

73
00:11:16,899 --> 00:11:27,460
entonces menos 3 menos 5 es menos 8 y menos 8 menos 1 es menos 9, entonces me va a quedar menos m menos 9.

74
00:11:28,139 --> 00:11:40,639
Ahora ya tenemos calculado que p de menos 1 es menos m menos 9, pero por el teodema del resto sabemos que p de menos 1 tiene que ser igual a menos 11,

75
00:11:40,639 --> 00:11:48,080
Con lo cual, solo tenemos que igualar menos 11 con menos m menos 9, ¿de acuerdo?

76
00:11:48,700 --> 00:11:54,919
Porque p de menos 1, que es lo que acabo de calcular ahora, tiene que ser igual a menos 11.

77
00:11:55,519 --> 00:12:04,379
Entonces, decimos, pues menos m menos 9 tiene que ser igual a menos 11.

78
00:12:04,379 --> 00:12:08,860
es una ecuación muy sencillita de primer grado

79
00:12:08,860 --> 00:12:12,539
donde tengo que calcular cuánto tiene que valer ese m

80
00:12:12,539 --> 00:12:14,440
para que eso se verifique

81
00:12:14,440 --> 00:12:19,500
pasamos la m al lado derecho de la igualdad

82
00:12:19,500 --> 00:12:22,240
me va a quedar entonces menos 9

83
00:12:22,240 --> 00:12:24,360
donde está el menos 11

84
00:12:24,360 --> 00:12:26,019
lo voy a pasar al lado izquierdo

85
00:12:26,019 --> 00:12:27,919
como está restando pasa sumando

86
00:12:27,919 --> 00:12:32,379
igual y la m como está en el lado izquierdo

87
00:12:32,379 --> 00:12:43,580
la voy a pasar al otro lado sumando, es decir, más m, menos 9 más 11 es igual a 2, 2 tiene que ser igual a m,

88
00:12:44,299 --> 00:12:50,419
es decir, la m tiene que valer 2 para que se cumpla lo que nos dice en el enunciado,

89
00:12:50,580 --> 00:12:57,200
para que la división del polinomio que me dan, ¿vale?, en función de m, que no lo sé,

90
00:12:57,200 --> 00:13:03,940
Al dividirlo entre x más 1, sea el resto igual a menos 11.

91
00:13:06,090 --> 00:13:07,690
Veamos ahora otro ejemplo.

92
00:13:08,429 --> 00:13:11,909
Ahora me preguntan, ¿cuánto tiene que valer m?

93
00:13:12,629 --> 00:13:17,309
Otra vez me preguntan por un coeficiente que no voy a saber, ¿vale? del polinomio.

94
00:13:17,789 --> 00:13:22,610
¿Cuánto tiene que valer m para que el binomio x menos 3

95
00:13:22,610 --> 00:13:30,950
sea divisor del polinomio p de x igual a x al cubo más mx cuadrado menos x más 3.

96
00:13:31,350 --> 00:13:40,110
Lo primero que me tengo que preguntar es qué significa que el binomio x menos 3 sea divisor de p de x.

97
00:13:41,009 --> 00:13:48,769
Ser divisor significa que al hacer la división del polinomio entre el binomio x menos 3,

98
00:13:48,769 --> 00:13:52,470
el resto de esa división va a ser 0.

99
00:13:52,610 --> 00:14:06,649
¿De acuerdo? Recordamos que ser divisor, ¿vale? Significa eso, que al hacer la división del polinomio entre x menos 3, el resto me tiene que salir 0.

100
00:14:07,190 --> 00:14:13,470
Entonces, vamos a volver a aplicar el teorema del resto, ¿vale? En este ejercicio.

101
00:14:13,470 --> 00:14:16,750
¿qué me decía el teorema del resto?

102
00:14:17,210 --> 00:14:23,789
me decía, pues que si yo hago el valor numérico del polinomio

103
00:14:23,789 --> 00:14:26,929
ahora en este caso en x igual a 3

104
00:14:26,929 --> 00:14:29,830
recuerdo, lo hago en x igual a 3

105
00:14:29,830 --> 00:14:35,450
porque el binomio entre el que divido es x menos 3

106
00:14:35,450 --> 00:14:38,750
entonces tengo que hacer valor numérico en 3

107
00:14:38,750 --> 00:14:44,490
entonces si hago el valor numérico en x igual a 3

108
00:14:44,490 --> 00:14:54,110
me va a salir el resto de la división, pero hemos dicho que el resto de la división tiene que ser cero

109
00:14:54,110 --> 00:15:01,809
para que se cumpla que x menos 3 sea divisor de este polinomio, ¿de acuerdo?

110
00:15:02,049 --> 00:15:07,330
Entonces esto es lo que me dice el teorema del resto si lo aplico.

111
00:15:07,889 --> 00:15:13,070
Pues nada, voy a ello. Primero tengo que calcular quién es p de 3.

112
00:15:13,070 --> 00:15:30,929
Tengo aquí mi polinomio, ¿vale? Tengo que sustituir la x por 3, entonces me va a quedar que esto es 3 al cubo más m por 3 al cuadrado menos 3 más 3.

113
00:15:30,929 --> 00:15:39,769
esto va a ser igual a 3 al cubo es 27 más m por 3 al cuadrado

114
00:15:39,769 --> 00:15:47,250
3 al cuadrado es 9 esto va a ser 9m y luego menos 3 más 3

115
00:15:47,250 --> 00:15:56,529
pero menos 3 más 3 es 0 entonces esto me queda que es igual a 27 más 9m

116
00:15:56,529 --> 00:16:18,909
Ya tenemos calculado quién es p de 3, 27 más 9m y sabíamos por el teorema del resto que p de 3, esto que hemos calculado aquí, nos tiene que salir igual a 0 para que este binomio sea divisor de este otro polinomio.

117
00:16:18,909 --> 00:16:31,769
Entonces lo único que tenemos que hacer es hacer igualar el p de 3 que nos ha salido, 27 más 9m igualarlo a 0 y despejar de aquí m.

118
00:16:31,769 --> 00:16:50,730
Entonces me va a quedar 9m igual a menos 27, m entonces tiene que ser igual a menos 27 partido de 9, es decir, m tiene que ser igual menos entre más menos 27 entre 9, 3.

119
00:16:50,730 --> 00:17:02,110
Pues la m tiene que valer menos 3 para que se cumpla que este binomio sea divisor de este polinomio.

120
00:17:04,529 --> 00:17:12,089
Por último voy a hacer una serie de observaciones que pueden salir en algunos ejercicios donde tenemos que aplicar el teorema del resto.

121
00:17:14,970 --> 00:17:21,210
Me pueden preguntar cómo en este ejercicio que un binomio sea divisor de un polinomio.

122
00:17:21,210 --> 00:17:54,309
Entonces, que por ejemplo x menos 3 sea divisor de un polinomio p de x es lo mismo que si me preguntasen o me dijesen que x menos 3 sea factor de p de x.

123
00:17:55,049 --> 00:18:00,309
O sea, que sea divisor y que sea factor va a significar lo mismo, ¿vale?

124
00:18:00,349 --> 00:18:05,609
Es decir, que el resto de la división va a tener que ser cero, ¿de acuerdo?

125
00:18:06,589 --> 00:18:12,750
Ambas cosas va a significar que el resto de la división va a tener que ser cero.

126
00:18:13,509 --> 00:18:20,009
Por consiguiente, también se desprende que si x menos 3 es divisor de un polinomio p de x

127
00:18:20,009 --> 00:18:24,750
o que x menos 3 es factor de un polinomio p de x, ¿vale?

128
00:18:24,750 --> 00:18:48,730
Se va a cumplir también que 3 va a ser raíz de mi polinomio p de x, porque si el resto tiene que ser 0, se va a cumplir que el valor numérico del polinomio en 3 es igual a 0 y esto era también la definición de raíz de un polinomio, ¿vale?

129
00:18:48,730 --> 00:18:59,609
Os aconsejo que os volváis a ver, si no os acordáis de esto, que os volváis a ver los vídeos anteriores de la factorización de un polinomio y de las raíces de un polinomio.