1
00:00:02,740 --> 00:00:18,640
Bueno, podéis observar ahora mismo que hemos pasado de tener solo un límite de funciones racionales a tener tres, se han reproducido, pero bueno, lo que quiero hacer es presentaros tres ejemplos con ciertas diferencias de límites de funciones racionales.

2
00:00:18,640 --> 00:00:24,559
Vale, que en el fondo de este curso, en cuanto a límites en valores puntuales, van a ser de los más importantes.

3
00:00:24,879 --> 00:00:28,960
Entonces, lo que he hecho ha sido considerar la función h, la función k y la función l.

4
00:00:29,440 --> 00:00:31,839
Bien, me he adelantado y calculo los dominios.

5
00:00:31,940 --> 00:00:37,619
Recordad que dominios de las funciones racionales vienen dadas por los valores que no anulan el denominador.

6
00:00:37,899 --> 00:00:46,359
Esto es, el dominio lo que tendrá que hacer es coger toda la recta real y quitar los valores que anulen el denominador.

7
00:00:46,359 --> 00:01:05,319
Bien, tenemos en este primer caso, por ejemplo, x al cubo menos x, ya me he adelantado y he calculado que los valores que anulan son menos 1, 0 y 1, lo podéis ver de la siguiente manera, x al cubo menos x es x por x al cuadrado menos 1 y sabemos que x al cuadrado menos 1 es x más 1 por x menos 1, ¿qué anula esos tres factores?

8
00:01:05,319 --> 00:01:16,319
el x, el x más 1 y el x menos 1, pues el factor x lo anula el 0, el factor x más 1 lo anula el menos 1 y el factor x menos 1 lo anula el 1.

9
00:01:16,420 --> 00:01:23,299
Por lo tanto aquí tenemos los tres valores que tenemos que quitar. En este segundo caso es más sencillito porque x más 1 solo se anula en menos 1

10
00:01:23,299 --> 00:01:32,760
y en el último caso x menos 1 solo se anula en el 1, con lo cual ya tenemos calculados los límites. Bien, lo que vamos a hacer es calcular uno por uno

11
00:01:32,760 --> 00:01:45,260
los diferentes límites y ver en qué caso estamos, ¿de acuerdo? Por ejemplo, aquí es el límite cuando x tiende a 1. ¿Qué ocurre? El 1 no está en el dominio de h, ¿vale?

12
00:01:45,359 --> 00:01:55,719
Porque lo hemos quitado, aquí está el valor que hemos eliminado. ¿Qué podemos pensar? Que sin embargo, aunque el 1 no está, los valores muy próximos a 1, sí.

13
00:01:55,719 --> 00:02:20,379
¿Qué valores son muy próximos al 1? Pues podemos considerar valores por encima de 1 muy próximos al 1, por ejemplo el 1,00001, tanto 0 como yo quiera y de repente algún decimal no nulo, que sí que está aquí, porque no son ninguno de estos valores, y por debajo también podemos estar muy cerca, podríamos decir el menos 3, menos 3 está por debajo del 1, pero no me interesa, a mí lo que me interesa son valores muy cerca del 1 por debajo.

14
00:02:20,379 --> 00:02:31,319
¿Qué valores hay muy cerca del 1 por ajo? Pues 0,99999, como si queréis, 100.009, ¿vale? Mientras paremos, está por debajo del 1 y no es ninguno de estos números, ¿de acuerdo?

15
00:02:32,139 --> 00:02:42,960
Con lo cual el límite sí podremos calcularlo, o al menos podemos intentar calcularlo, por ambos lados, a diferencia de aquí, que recordad que como sólo podíamos por valores inferiores, sólo podíamos hacer el límite por la izquierda, ¿vale?

16
00:02:42,960 --> 00:02:54,099
en este caso sí podemos hacer los dos límites laterales, incluso ir salteando, porque tiene sentido sustituir, la cosa es ver qué nos queda, lo que dijimos fue que cuando tenemos algo

17
00:02:54,099 --> 00:03:03,539
de este estilo, lo primero que haremos será sustituir, vale, yo sustituyo aquí arriba por 1 y aquí abajo por 1, bueno, como yo ya sé lo que va a ocurrir, lo voy a poner entre paréntesis,

18
00:03:03,539 --> 00:03:12,620
¿De acuerdo? Va a ser una fracción. El denominador sé que va a dar 0 porque es un valor que lo anula por no estar en el dominio. ¿Vale? Tiene sentido.

19
00:03:12,759 --> 00:03:23,620
Y en el numerador, ¿qué me queda? 1 al cubo. 1 más 1, 2 menos 2, 0. ¿Por qué lo he puesto entre paréntesis? Porque es una indeterminación.

20
00:03:23,620 --> 00:03:36,780
Es lo que llamamos el otro día una indeterminación, ¿vale? Aparecen los apuntes indeterminación. Esto lo pondremos, pues, muchas veces con exclamaciones, ¿vale?

21
00:03:36,780 --> 00:03:45,599
En este caso lo voy a poner en rojo para que se vea, ¿de acuerdo? ¿Qué hacemos en el caso de tener 0 partido por 0? Pues lo que hacemos es coger los dos polinomios, ¿de acuerdo?

22
00:03:45,599 --> 00:03:59,159
que tenemos aquí y dividirlos entre, vamos a irlo poniendo, yo voy a dividir los dos polinomios que son el primero, además como soy muy vago

23
00:03:59,159 --> 00:04:11,460
lo único que voy a hacer es copiar, pegar, voy a coger el numerador, control c, control v y el denominador, en este caso es este que tenemos aquí

24
00:04:11,460 --> 00:04:28,970
y lo que vamos a hacer es dividirlo entre x menos el valor al que se aproxima la x, en este caso es 1, pues x menos 1, y aquí es entre x menos 1,

25
00:04:29,149 --> 00:04:37,629
cuidado lo único, si aquí hubiera sido un número negativo, esto se convierte en un más, recordad que aquí lo que hacemos es cambiar el signo al valor que queremos considerar,

26
00:04:37,629 --> 00:04:48,350
Yo me he adelantado y he calculado estas divisiones, ¿vale? Podemos hacerlo de muchas maneras, como es un monomio del tipo x menos o x más un número,

27
00:04:48,350 --> 00:04:58,290
podemos aplicar Ruffini o hacerlo con nuestra división de polinomios con cajita tranquilamente. Bueno, esto es x al cuadrado más x más 2, ¿de acuerdo?

28
00:04:58,290 --> 00:05:17,569
Ya lo tengo calculado. Y esto es x al cuadrado más x. ¿De acuerdo? Aquí tenemos los dos polinomios y lo que hacemos es realmente sustituir mi función dentro del límite.

29
00:05:17,569 --> 00:05:29,649
además la sustituyo tal cual, pongo toda la parte del límite, lo pongo igual, límite cuando x tiende a 1, solo que en este caso, en vez de poner en el numerador este polinomio,

30
00:05:29,790 --> 00:05:45,740
voy a poner el cociente, y como denominador lo mismo, el cociente del denominador, bien, y ahora lo que voy a hacer es volver a sustituir, el proceso es siempre el mismo,

31
00:05:45,740 --> 00:05:58,459
Una vez ya hemos calculado el dominio de la función original, eso ya no nos olvidamos, siempre vamos a ir haciendo en cada paso que realizamos de división, cuando nos encontramos con una indeterminación del tipo 0 partido por 0, es evaluar.

32
00:05:58,459 --> 00:06:06,500
Una vez dividimos, hacemos, evaluamos, vemos indeterminación, dividimos, una vez dividimos, tenemos esto, una vez dividimos, volvemos a evaluar.

33
00:06:06,560 --> 00:06:15,959
Vamos a evaluar a ver qué nos queda. Pues mirad, en el numerador me queda 1 al cuadrado más 1 más 2, 1 al cuadrado más 1, 2 más 2, 4.

34
00:06:16,240 --> 00:06:20,720
Bien, el numerador ya no se anula. Lo que nos interesará más es el denominador, pero vamos a ver que tampoco.

35
00:06:20,720 --> 00:06:29,540
Sería 1 al cuadrado más 1. ¿Cuánto es 1 al cuadrado más 1? Pues es 2. 1 más 1 es 2. ¿Qué hemos conseguido? Que el límite sea 2.

36
00:06:29,819 --> 00:06:37,519
Tanto por la izquierda como por la derecha no hemos considerado límites laterales. No ha sido necesario. ¿De acuerdo? Ese punto lo veremos en el siguiente ejemplo.

37
00:06:38,199 --> 00:06:49,240
Pero recuerda sobre todo que vamos a tener esto de aquí importante. Que cuando tengamos una indeterminación del tipo 0 entre 0 tendremos que dividir numerador y denominador

38
00:06:49,240 --> 00:06:55,259
entre el monomio x menos el valor al cual nos aproximamos, ¿de acuerdo?

39
00:06:55,319 --> 00:06:57,439
Y luego ya sustituimos y volvemos a evaluar.

40
00:06:57,439 --> 00:07:03,399
Si nos hubiera quedado otra vez, es muy raro porque son ya valores muy, o sea, polinomios de grados elevados,

41
00:07:03,639 --> 00:07:07,339
un poquito más complicados, si nos hubiera vuelto a quedar 0 entre 0,

42
00:07:07,720 --> 00:07:13,920
volveríamos a hacer este procedimiento de dividir, volver a evaluar y así sucesivamente hasta conseguir

43
00:07:13,920 --> 00:07:17,920
o un valor numérico o un infinito.

44
00:07:17,920 --> 00:07:29,660
Ahora, ¿qué ocurre cuando conseguimos un infinito? Un infinito sería un número partido de 0 con el número que hace de numerador diferente de 0, ya no 0 partido de 0, sino un número diferente de 0 entre 0.

45
00:07:29,720 --> 00:07:38,579
Por ejemplo, 1 entre 0, 2 entre 0, menos 1 entre 0, 3 entre 0. ¿Qué ocurre cuando yo tengo una indeterminación de ese tipo? Es lo que veremos en el ejemplo siguiente.