1
00:00:00,620 --> 00:00:05,860
Buen día, vamos a ver en este vídeo los ejercicios de integración por partes, ¿vale?

2
00:00:06,179 --> 00:00:12,900
No sé si haré todos los de 42 al 57 en este mismo vídeo, porque a lo mejor es demasiado largo.

3
00:00:13,460 --> 00:00:16,399
Pero bueno, al menos iré haciendo de 5 en 5 o algo así.

4
00:00:17,079 --> 00:00:19,640
Este es el que le hemos hecho en clase, es el más típico.

5
00:00:20,440 --> 00:00:23,179
¿Y cómo saber si tenemos que hacer la integración por partes?

6
00:00:23,320 --> 00:00:27,379
Pues a ver, tenemos una exponencial que sabemos que es ella misma,

7
00:00:27,379 --> 00:00:37,159
pero delante la estamos multiplicando por x y la derivada del exponente no es x, por lo tanto es el típico ejemplo de hacer la integración por partes.

8
00:00:37,920 --> 00:00:47,119
Lo que tenemos siempre que saber es a quién vamos a llamar u y a quién vamos a llamar diferencial de v, ¿vale?

9
00:00:47,119 --> 00:00:51,479
Entonces, lo que siempre se...

10
00:00:51,479 --> 00:00:54,500
Bueno, la fórmula supongo que no hace falta que os la recuerde, ¿vale?

11
00:00:55,039 --> 00:00:58,079
Tenemos que saber a quién vamos a llamar u, como he dicho,

12
00:00:58,619 --> 00:01:00,420
y quién va a ser nuestra diferencial de u.

13
00:01:01,679 --> 00:01:04,500
En este caso, lo más sencillo, cuando tenemos un polinomio

14
00:01:04,500 --> 00:01:09,420
y sabemos integrar la segunda función, voy a llamarle siempre u a x.

15
00:01:09,640 --> 00:01:09,980
¿Por qué?

16
00:01:10,700 --> 00:01:12,519
Porque si yo calculo su derivada,

17
00:01:13,680 --> 00:01:16,579
la derivada me queda directamente diferencial de x.

18
00:01:16,579 --> 00:01:21,500
baja un grado, si esta tenía grado 1 la siguiente va a tener grado 0, es una constante

19
00:01:21,500 --> 00:01:25,200
y como diferencial de v va a ser e elevado a x

20
00:01:25,200 --> 00:01:31,019
e elevado a x diferencial de x, vale, que no me lo coma

21
00:01:31,019 --> 00:01:35,019
por lo tanto v va a ser ella misma

22
00:01:35,019 --> 00:01:38,659
y ahora aplicamos la fórmula u por v

23
00:01:38,659 --> 00:01:41,739
es decir x por e elevado a x

24
00:01:41,739 --> 00:01:46,920
menos la integral de v que es e elevado a x

25
00:01:46,920 --> 00:01:48,079
diferencial de x

26
00:01:48,079 --> 00:01:49,819
entonces hemos pasado

27
00:01:49,819 --> 00:01:52,060
de una integral que no era inmediata

28
00:01:52,060 --> 00:01:54,000
a una integral que sí que es inmediata

29
00:01:54,000 --> 00:01:55,459
por lo tanto

30
00:01:55,459 --> 00:01:58,159
lo que tenía inicialmente no lo puedo quitar

31
00:01:58,159 --> 00:02:00,519
menos y la integral de elevado a x

32
00:02:00,519 --> 00:02:01,939
es ella misma

33
00:02:01,939 --> 00:02:03,280
más k

34
00:02:03,280 --> 00:02:06,060
y si queréis podemos sacar

35
00:02:06,060 --> 00:02:08,780
factor común al elevado a x

36
00:02:08,780 --> 00:02:10,080
y me quedaría

37
00:02:10,080 --> 00:02:11,280
x menos 1

38
00:02:11,280 --> 00:02:12,500
más k

39
00:02:12,500 --> 00:02:15,879
que muchas veces así es como luego viene

40
00:02:15,879 --> 00:02:22,719
en el solucionario y demás. La 43, pues hacemos, es igual que la anterior, ¿verdad? Tengo

41
00:02:22,719 --> 00:02:30,639
una x y un seno. Vale, pues vamos a llamar u a la x y por lo tanto diferencial de u va

42
00:02:30,639 --> 00:02:41,240
a ser diferencial de x y vamos a llamar diferencial de v al seno de x, diferencial de x y por

43
00:02:41,240 --> 00:02:48,639
Por lo tanto, mi función v es la integral del seno de x, que es menos coseno de x, ¿vale?

44
00:02:49,000 --> 00:02:51,740
Y ahora sustituimos arriba la fórmula u por v.

45
00:02:52,460 --> 00:02:57,479
Voy a poner primero el menos del coseno, luego esto sería menos x coseno de x,

46
00:02:57,479 --> 00:03:05,699
y ahora es menos la integral, ¿de quién? Del menos coseno de x, diferencial de x.

47
00:03:05,699 --> 00:03:08,379
vale, pues ya obtenemos una integral inmediata

48
00:03:08,379 --> 00:03:11,400
esto es menos x coseno de x

49
00:03:11,400 --> 00:03:13,599
los dos menos

50
00:03:13,599 --> 00:03:15,759
menos con menos me hace más

51
00:03:15,759 --> 00:03:17,639
y la integral del coseno

52
00:03:17,639 --> 00:03:20,000
es el seno

53
00:03:20,000 --> 00:03:21,099
seno de x

54
00:03:21,099 --> 00:03:23,039
diferencial de x

55
00:03:23,039 --> 00:03:24,539
ui diferencial de x

56
00:03:24,539 --> 00:03:27,479
que es lo que tenemos que poner

57
00:03:27,479 --> 00:03:29,020
la k

58
00:03:29,020 --> 00:03:30,319
que se me ha ido

59
00:03:30,319 --> 00:03:32,819
vale, y ya estaría hecha la integral

60
00:03:32,819 --> 00:03:33,699
la 43

61
00:03:33,699 --> 00:03:38,379
Vale, para la 44 hacemos exactamente lo mismo

62
00:03:38,379 --> 00:03:42,020
Mi u va a ser el x más 5

63
00:03:42,020 --> 00:03:49,240
Y la derivada de u va a seguir siendo diferencial de x

64
00:03:49,240 --> 00:03:52,000
Porque la derivada de x es 1 y la de 5 es 0

65
00:03:52,000 --> 00:03:58,460
Y como diferencial de v va a ser el coseno de x diferencial de x

66
00:03:58,460 --> 00:04:03,259
Por lo tanto mi v va a ser el seno de x

67
00:04:03,259 --> 00:04:13,479
sustituimos y me queda u por v sería x más 5 por el seno de x

68
00:04:13,479 --> 00:04:24,279
menos la integral de seno de x diferencial de x

69
00:04:24,279 --> 00:04:28,980
seno de x diferencial de x

70
00:04:29,540 --> 00:04:33,759
vale pues esta también es inmediata esto sería el x más 5

71
00:04:33,759 --> 00:04:37,259
por el seno de x

72
00:04:37,259 --> 00:04:40,339
y ahora la integral del seno es el menos coseno

73
00:04:40,339 --> 00:04:42,660
como tengo este menos delante

74
00:04:42,660 --> 00:04:44,399
un menos con el menos me hace más

75
00:04:44,399 --> 00:04:47,759
más coseno de x

76
00:04:47,759 --> 00:04:49,480
más k

77
00:04:49,480 --> 00:04:50,079
¿vale?

78
00:04:50,680 --> 00:04:54,720
os recuerdo lo que he dicho es que la integral del seno es menos coseno

79
00:04:54,720 --> 00:04:57,399
el menos con este menos de aquí

80
00:04:57,399 --> 00:04:58,100
¿vale?

81
00:04:58,620 --> 00:05:00,279
se me transforma en el más

82
00:05:00,279 --> 00:05:07,680
vale, la del seno, esta integral seno por el logaritmo neperiano de x

83
00:05:07,680 --> 00:05:10,399
no, perdón, no es seno por el logaritmo neperiano

84
00:05:10,399 --> 00:05:13,579
es el seno del logaritmo neperiano de x diferencial de x

85
00:05:13,579 --> 00:05:16,839
obviamente no es una integral inmediata, no tengo un producto

86
00:05:16,839 --> 00:05:18,860
pero entonces ¿qué es lo que vamos a llamar?

87
00:05:18,860 --> 00:05:22,579
bueno, pues mi función u va a ser la única que tengo

88
00:05:22,579 --> 00:05:26,519
el seno del logaritmo neperiano de x

89
00:05:26,519 --> 00:05:29,480
porque eso no lo sé integrar, pero sí lo sé derivar

90
00:05:29,480 --> 00:05:41,160
Su derivada, u', ¿quién va a ser? La derivada del seno, que es el coseno del logaritmo neperiano de x, ¿vale?

91
00:05:42,040 --> 00:05:50,459
¿Por la derivada de quién? La derivada de lo de dentro del logaritmo neperiano, que es 1 partido por x.

92
00:05:50,459 --> 00:05:59,500
y me falta poner, uy, ¿por qué? Pues todo, U', sí, U', a ver, es que normalmente no le llamo U',

93
00:05:59,500 --> 00:06:06,319
le llamamos diferencial de U, ¿verdad? En los anteriores también he ido poniendo U', no diferencial de U, vale.

94
00:06:08,500 --> 00:06:13,720
Disculpad, llega un momento que me pierdo, daría lo mismo, ¿vale?

95
00:06:13,740 --> 00:06:18,800
Pero para que la fórmula esté bien escrita, para que no nos liemos, esto es diferencial de U.

96
00:06:18,800 --> 00:06:34,860
Y aquí tengo que poner el diferencial de x. Y ahora mi diferencial de v va a ser mi diferencial de x. Por lo tanto, v va a ser directamente x.

97
00:06:34,860 --> 00:06:49,560
Bien, pues vamos a sustituir, aplicarla a la fórmula u por v, es decir, x por el seno del logaritmo neperiano de x,

98
00:06:49,560 --> 00:07:08,579
¿Vale? Y que me falta menos la integral, a ver, me sale la integral un poco rara, de v diferencial de u, es decir, v es x, voy a poner primero el 1 partido por x, y aquí pongo el coseno, ¿de quién?

99
00:07:08,579 --> 00:07:12,740
del logaritmo neperiano de x, diferencial de x, ¿vale?

100
00:07:14,240 --> 00:07:14,759
Iguala.

101
00:07:15,980 --> 00:07:16,959
¿Qué ocurre?

102
00:07:17,860 --> 00:07:21,579
Que hemos obtenido prácticamente lo mismo que teníamos inicialmente, ¿no?

103
00:07:21,579 --> 00:07:26,379
Porque este x por 1 partido por x es directamente 1.

104
00:07:27,199 --> 00:07:28,379
Entonces, ¿qué voy a tener que hacer?

105
00:07:28,480 --> 00:07:31,540
Vamos a tener que volver a aplicar la integración por partes.

106
00:07:32,339 --> 00:07:35,180
Este es el típico que va a ser cíclico, ¿vale?

107
00:07:35,180 --> 00:07:39,079
Porque cuando lo haga vamos a obtener justamente lo que teníamos inicialmente.

108
00:07:40,139 --> 00:07:43,019
Esto que he puesto, esto sería 1, ¿vale?

109
00:07:43,100 --> 00:07:45,379
Entonces de eso me olvido, por no volverlo a escribir.

110
00:07:45,839 --> 00:07:48,839
Volvemos a hacer otra vez la integración por partes,

111
00:07:48,839 --> 00:07:55,480
llamando u, en este caso, al coseno del logaritmo neperiano de x, ¿vale?

112
00:07:56,120 --> 00:07:59,720
Y por lo tanto, diferencial de u va a ser,

113
00:07:59,720 --> 00:08:15,220
Ahora vamos a tener un menos menos el seno del logaritmo neperiano de x por la derivada del logaritmo que es 1 partido por x, diferencial de x.

114
00:08:16,220 --> 00:08:25,040
Y como diferencial de v va a seguir siendo el diferencial de x, por lo tanto v va a ser simplemente x.

115
00:08:25,040 --> 00:08:28,560
aplicamos la integración por partes

116
00:08:28,560 --> 00:08:31,579
pero ojo que no se me olvide esta primera parte

117
00:08:31,579 --> 00:08:36,080
de aquí voy a seguir aquí abajo

118
00:08:36,080 --> 00:08:41,610
y me queda que eso es igual a lo que tenía inicialmente

119
00:08:41,610 --> 00:08:47,610
que era x por el seno del logaritmo neperiano de x

120
00:08:47,610 --> 00:08:49,230
menos

121
00:08:49,230 --> 00:08:52,850
y ahora tengo que poner esta integral

122
00:08:52,850 --> 00:08:55,490
por lo tanto pongo el menos y pongo un paréntesis

123
00:08:55,490 --> 00:09:04,529
para poner otra vez la integración por partes que es u por v, es decir, x por el coseno del logaritmo neperiano de x

124
00:09:04,529 --> 00:09:16,129
menos la integral de du por v, v es x, pongo el menos de du menos el 1 partido por x

125
00:09:16,129 --> 00:09:26,570
y me queda aquí directamente el seno del logaritmo neperiano de x, diferencial de x, ¿vale?

126
00:09:26,870 --> 00:09:33,070
He puesto primero esta x, he puesto este menos y el 1 partido por x lo he puesto después, ¿vale?

127
00:09:33,549 --> 00:09:39,509
Entonces igual que pasaba antes, tengo aquí este x por 1 partido por x, esto es 1.

128
00:09:40,009 --> 00:09:43,750
Y aquí tengo un menos con un menos que se me va a transformar en más.

129
00:09:44,269 --> 00:09:47,990
¿Qué no he cerrado? El paréntesis, ¿vale?

130
00:09:49,190 --> 00:09:54,190
Entonces lo voy a volver a escribir, desarrollando los paréntesis.

131
00:09:54,190 --> 00:10:00,990
Esto sería x por el seno del logaritmo neperiano de x

132
00:10:00,990 --> 00:10:07,230
Quito este menos, un menos delante del paréntesis me cambia todo de signo

133
00:10:07,230 --> 00:10:13,490
Y me queda menos x por el coseno del logaritmo neperiano de x

134
00:10:13,490 --> 00:10:18,169
Y ahora que habíamos dicho que este menos con este menos se nos transforma en más

135
00:10:18,169 --> 00:10:20,889
Pero tengo un menos delante, luego me queda menos

136
00:10:20,889 --> 00:10:32,129
la integral del seno del logaritmo neperiano de x diferencial de x, ¿vale?

137
00:10:32,330 --> 00:10:33,669
¿Qué es lo que hemos obtenido?

138
00:10:34,370 --> 00:10:38,990
A ver, si miro la integral inicial que había puesto en morado, ¿vale?

139
00:10:39,370 --> 00:10:47,519
El enunciado, esto, bueno, no sé qué he hecho con el lápiz,

140
00:10:47,600 --> 00:10:49,860
que se me ha ido borrando una de las cosas que estaba teniendo, ¿veis?

141
00:10:49,940 --> 00:10:53,899
Ahora de repente me vuelve a escribir solo, ¿vale?

142
00:10:53,899 --> 00:11:01,139
lo que os estaba diciendo. Bueno, cuando consiga que esto me funcione. Queda bonito, ¿verdad?

143
00:11:01,220 --> 00:11:05,799
A ver, que lo voy a pausar otra vez. Vale, creo que ahora ya sí que me funciona. A ver,

144
00:11:05,840 --> 00:11:11,539
lo que os estaba comentando es que la integral inicial, lo que tengo aquí en morado, es

145
00:11:11,539 --> 00:11:17,700
justamente la última integral que yo acabo de conseguir, ¿vale? Por eso esta es la forma

146
00:11:17,700 --> 00:11:25,559
de hacerlo de manera cíclica. Entonces si a esta integral yo le llamo y, esta integral

147
00:11:25,559 --> 00:11:32,320
de aquí también es y, y lo que me queda, voy a volver a ponerlo en rojo, ya que lo

148
00:11:32,320 --> 00:11:41,480
estaba resolviendo en rojo, me queda la ecuación y es igual a x por el seno del logaritmo

149
00:11:41,480 --> 00:11:50,299
neperiano de x, menos x por el coseno del logaritmo neperiano de x, menos y, ¿vale?

150
00:11:50,539 --> 00:11:55,700
Y entonces ahora lo único que tenemos que hacer es resolver esa ecuación. Lo que yo

151
00:11:55,700 --> 00:12:02,039
quiero calcular es el valor de la y. Bueno, pues paso esta y a la izquierda y me quedarían

152
00:12:02,039 --> 00:12:09,639
2y es igual a x, que puedo hasta sacarle factor común, y me queda aquí seno, esto da lo

153
00:12:09,639 --> 00:12:20,440
lo mismo sacar factor común o no, ¿vale? Pero ya puestos, menos coseno del logaritmo neperiano, logaritmo neperiano de x, ¿vale?

154
00:12:21,659 --> 00:12:32,399
Y, por último, despejo la y y que me queda x por, que aquí lo podríamos haber hecho directamente y me evito hacer esto, escribir esto dos veces, ¿vale?

155
00:12:32,399 --> 00:12:36,460
menos el coseno del logaritmo de periano de x

156
00:12:36,460 --> 00:12:37,860
todo ello

157
00:12:37,860 --> 00:12:40,879
partido por 2

158
00:12:40,879 --> 00:12:43,340
¿y qué es lo que se me está olvidando?

159
00:12:44,519 --> 00:12:46,000
bueno, como lo estaba poniendo de esta manera

160
00:12:46,000 --> 00:12:46,799
lo hacemos ya al final

161
00:12:46,799 --> 00:12:48,960
y esta sería la integral más k

162
00:12:48,960 --> 00:12:50,139
como siempre, ¿vale?

163
00:12:50,940 --> 00:12:52,340
entonces este es el típico ejemplo

164
00:12:52,340 --> 00:12:54,480
de una cíclica

165
00:12:54,480 --> 00:12:56,720
voy a cortar este vídeo

166
00:12:56,720 --> 00:12:58,259
y luego sigo con las 5 siguientes

167
00:12:58,259 --> 00:13:00,000
porque si no van a ser muy largos