1
00:00:03,060 --> 00:00:05,679
Vamos a empezar con una función de tipo polinómico.

2
00:00:06,940 --> 00:00:09,900
Sabéis que una función polinómica, su dominio,

3
00:00:10,859 --> 00:00:14,720
el dominio de una función polinómica es todo R.

4
00:00:17,579 --> 00:00:20,460
También son funciones que van a ser siempre derivables,

5
00:00:20,600 --> 00:00:24,500
es decir, siempre en cualquier punto de la curva

6
00:00:24,500 --> 00:00:29,019
vamos a poder dibujar la recta tangente a la curva de la misma.

7
00:00:29,280 --> 00:00:31,379
La derivada existe para todo valor de X.

8
00:00:31,379 --> 00:00:37,899
Con lo cual, los posibles máximos o mínimos de la función, ¿dónde lo vamos a encontrar?

9
00:00:38,520 --> 00:00:40,380
En los que hemos llamado puntos singulares.

10
00:00:40,939 --> 00:00:50,920
Para ello, derivamos la función 3x al cuadrado menos 12x más 9, sería la primera derivada,

11
00:00:51,619 --> 00:00:57,820
la igualamos a 0 y en este caso los posibles candidatos a ser máximos o mínimos de la función

12
00:00:57,820 --> 00:01:00,799
son x igual a 3 y x igual a 1.

13
00:01:01,380 --> 00:01:04,799
Estos puntos los situamos en la recta real.

14
00:01:05,959 --> 00:01:11,659
Hemos dicho que el dominio de la función es de menos infinito a más infinito.

15
00:01:12,719 --> 00:01:17,780
Situamos esos puntos, puntos singulares, en la recta real.

16
00:01:19,480 --> 00:01:25,500
Determinando de esta manera tres intervalos, de menos infinito a uno, de uno a tres y de tres a infinito.

17
00:01:26,319 --> 00:01:30,879
En cada uno de estos intervalos tenemos que estudiar el signo de la derivada.

18
00:01:31,379 --> 00:01:39,000
¿Cómo lo estudiamos? Pues simplemente cogemos un punto de cada intervalo y sustituimos en la derivada primera.

19
00:01:42,549 --> 00:01:50,349
Y vemos el signo. Por ejemplo, de menos infinito a 1, pues hemos evaluado la primera derivada en 0,

20
00:01:50,549 --> 00:01:59,150
que es un punto de preferencia de este intervalo, y resulta que la derivada nos sale positiva, mayor que 0.

21
00:01:59,150 --> 00:02:08,469
Si la derivada primera en cero me ha salido positiva, va a ser positiva en todos los puntos del intervalo.

22
00:02:08,530 --> 00:02:18,710
Podemos coger otro, hacer la prueba y veréis que siempre para puntos de este intervalo nos va a salir igual que el signo que hemos obtenido para x igual a cero.

23
00:02:19,270 --> 00:02:23,689
Con lo cual, f de x es creciente en todos los intervalos.

24
00:02:25,610 --> 00:02:29,629
Bien, hacemos lo mismo en el intervalo que va de 1 a 3.

25
00:02:29,629 --> 00:02:39,490
Fijaros que los intervalos de monotonía se escriben siempre abiertos, porque en 1 y en 3 la derivada, hemos dicho que es 0.

26
00:02:41,919 --> 00:02:48,500
En el intervalo que va de 1 a 3, pues hemos evaluado en 2, evaluando en 2 nos ha salido negativo,

27
00:02:49,039 --> 00:02:54,840
con lo cual la derivada en todo su intervalo es negativa, la función ahí va a ser decreciente.

28
00:02:54,840 --> 00:03:01,960
Y por último, de 3 a infinito, cogemos para x igual a 4, o cualquier otro punto,

29
00:03:02,099 --> 00:03:06,659
cogemos en el intervalo que va de 3 a infinito, en el intervalo abierto de 3 a infinito,

30
00:03:07,860 --> 00:03:12,539
veremos que la derivada sale lo mismo que para 4, es decir, positiva.

31
00:03:13,120 --> 00:03:19,740
Si es positiva, eso nos está indicando que la función es creciente en ese intervalo.

32
00:03:20,620 --> 00:03:31,219
Fijaros, si la función en el intervalo que va de menos infinito a 1 primero crece y luego decrece,

33
00:03:33,099 --> 00:03:41,360
y hemos dicho que en 1 la derivada se me anulaba, significa que en x igual a 1 voy a tener un máximo de la función.

34
00:03:41,360 --> 00:03:48,340
por lo tanto hay un máximo de la función en x igual a 1

35
00:03:48,340 --> 00:03:52,400
y como se trata de un punto calculamos las coordenadas del punto

36
00:03:52,400 --> 00:03:54,780
es decir, el máximo, su coordenada x es 1

37
00:03:54,780 --> 00:03:59,400
y para obtener su coordenada y simplemente tengo que sustituir en la función

38
00:03:59,400 --> 00:04:04,669
para x igual a 1 la función vale 4

39
00:04:04,669 --> 00:04:08,750
pues en el punto de coordenadas 1, 4 tenemos un máximo de la función

40
00:04:08,750 --> 00:04:21,529
De igual manera, vemos que para x igual a 3, a la izquierda de 3 la función decrece y a la derecha la función crece.

41
00:04:22,430 --> 00:04:29,529
Si la función se me anulaba, es decir, tenía pendiente nula en x igual a 3,

42
00:04:29,970 --> 00:04:34,529
eso significa que lo que voy a tener en x igual a 3 es un mínimo de la función.

43
00:04:38,389 --> 00:04:42,730
Un mínimo de la función que tiene su coordenada x y su coordenada y.

44
00:04:42,730 --> 00:04:46,029
¿Cómo calculamos la coordenada x? Pues igual que hemos hecho antes para 1.

45
00:04:46,730 --> 00:04:52,550
Sustituimos para x igual a 3 en la función y obtenemos su imagen.

46
00:04:53,089 --> 00:04:56,670
En este caso, para x igual a 3 la función vale 0.

47
00:04:57,449 --> 00:05:01,790
Por lo tanto, tenemos un mínimo en el punto de coordenadas 3, 0.

48
00:05:01,790 --> 00:05:08,149
Bien, estamos utilizando el criterio de la derivada primera para ver si un punto crítico, un punto singular,

49
00:05:08,149 --> 00:05:12,930
un punto que anula la derivada primera, es máximo o mínimo.

50
00:05:14,110 --> 00:05:20,470
Fijaros, si el signo de la derivada no cambia a la derecha y a la izquierda de ese punto singular,

51
00:05:21,089 --> 00:05:23,370
pues la función no tendría ni máximo ni mínimo.

52
00:05:23,550 --> 00:05:27,649
En el ejemplo anterior hemos obtenido un máximo y un mínimo.

53
00:05:28,350 --> 00:05:31,149
Bien, hay otro criterio que es el de la derivada segunda.

54
00:05:31,149 --> 00:05:38,769
Lo que pasa es que nosotros, en general, pues como tenemos que hacer el estudio de los intervalos de monotonía,

55
00:05:39,370 --> 00:05:41,410
pues nos quedamos con el criterio de la derivada primera.

56
00:05:41,629 --> 00:05:46,129
Pero esto viene también muy bien saberlo, sobre todo para problemas de optimización.

57
00:05:47,689 --> 00:05:51,569
¿En qué consiste este criterio? Pues el criterio es el siguiente.

58
00:05:52,290 --> 00:05:56,829
Imaginar un punto en el cual la derivada primera se me ha hecho cero, ¿vale?

59
00:05:56,829 --> 00:06:01,509
es un punto singular y quiero saber si es un máximo o un mínimo.

60
00:06:02,509 --> 00:06:08,810
Pues va a ser un máximo relativo si cuando yo calcule la derivada segunda y evalúe en ese punto

61
00:06:08,810 --> 00:06:13,189
resulta que el signo de la derivada segunda es negativo.

62
00:06:13,670 --> 00:06:22,449
Fijaros, un máximo relativo lo voy a tener cuando al sustituir en la derivada segunda ese punto singular

63
00:06:22,449 --> 00:06:25,910
la derivada segunda me da negativa.

64
00:06:26,829 --> 00:06:36,310
Y voy a tener un mínimo relativo si ocurre lo contrario, es decir, cuando al sustituir en la derivada segunda el resultado es positivo.

65
00:06:36,889 --> 00:06:39,129
Vamos a verlo en el ejemplo que hemos hecho antes.

66
00:06:39,730 --> 00:06:44,709
Teníamos esta función polinómica, hemos derivado, hemos calculado estos puntos singulares,

67
00:06:44,709 --> 00:06:53,170
es decir, puntos que anulan la derivada primera, y quiero saber si son máximos o mínimos.

68
00:06:53,170 --> 00:07:04,930
Pues para ello tendría que calcular la derivada segunda de la función, que en este caso sería 6x menos 12 y vamos a evaluar en cada uno de los puntos.

69
00:07:06,170 --> 00:07:17,870
Evaluamos en 3. En 3 me quedaría 6 por 3, 18, ¿no? Y 18 menos 12, 6.

70
00:07:17,870 --> 00:07:21,089
Fijaros, me ha dado mayor que 0

71
00:07:21,089 --> 00:07:22,209
¿Eso qué significa?

72
00:07:22,610 --> 00:07:27,509
Que en x igual a 3 voy a tener

73
00:07:27,509 --> 00:07:31,129
Si obtenemos que es mayor que 0

74
00:07:31,129 --> 00:07:35,050
Lo que voy a obtener es un mínimo relativo de la función

75
00:07:35,050 --> 00:07:39,490
Es decir, en x igual a 3 voy a tener un mínimo relativo

76
00:07:39,490 --> 00:07:48,279
Sin embargo, en 1, cuando yo evalúe

77
00:07:48,279 --> 00:07:51,879
Pues el resultado va a ser negativo

78
00:07:51,879 --> 00:08:01,860
va a ser menos 6. ¿Eso qué significa? Que en x igual a 1 voy a tener un máximo relativo.

79
00:08:06,970 --> 00:08:13,870
Este es el criterio de la segunda derivada. Bien, vamos a coger otra función de tipo

80
00:08:13,870 --> 00:08:21,250
polinómico. Dominio sabemos que es todo r, dominio de la función es todo r, y la función

81
00:08:21,250 --> 00:08:29,449
tiene derivada en todos los puntos, es decir, si tengo máximos o mínimos de la función

82
00:08:29,449 --> 00:08:34,649
los voy a tener que obtener de los puntos singulares, calculamos la derivada primera

83
00:08:34,649 --> 00:08:49,279
e igualamos a cero, en este caso, sacando el factor común a menos 12x al cuadrado

84
00:08:49,279 --> 00:08:59,279
obtenemos dos posibles cantidades, o esto se me hace cero, es decir, para x igual a cero

85
00:08:59,279 --> 00:09:05,580
o el paréntesis es cero, es decir, x vale o.

86
00:09:06,960 --> 00:09:14,279
Hemos dicho que situamos en la recta real, en el dominio de la función, que en este caso es r,

87
00:09:15,259 --> 00:09:20,960
los puntos singulares y vamos a tener tres intervalos, el que va de menos infinito a cero,

88
00:09:21,059 --> 00:09:25,600
de cero a uno y de uno a infinito. Vamos a ver qué ocurre en cada uno de ellos.

89
00:09:25,600 --> 00:09:32,000
Para todos los x que pertenecen al intervalo abierto de menos infinito a 0

90
00:09:32,000 --> 00:09:34,679
Estudiamos la derivada primera

91
00:09:34,679 --> 00:09:38,639
En este caso podemos coger para x igual a menos 1

92
00:09:38,639 --> 00:09:41,700
Y estudiamos que pasa

93
00:09:41,700 --> 00:09:45,340
A lo mejor es el signo de la derivada primera para menos 1

94
00:09:45,340 --> 00:09:49,519
Para menos 1 esto me quedaría negativo

95
00:09:49,519 --> 00:09:51,820
Y esto también

96
00:09:51,820 --> 00:09:55,419
Con lo cual aquí la derivada sería positiva

97
00:09:55,419 --> 00:09:57,620
menos por menos, más

98
00:09:57,620 --> 00:10:00,899
eso significa que en todos los puntos

99
00:10:00,899 --> 00:10:04,700
de este intervalo, de menos infinito a cero

100
00:10:04,700 --> 00:10:08,159
el signo de la derivada es mayor que cero

101
00:10:08,159 --> 00:10:10,039
la función es creciente

102
00:10:10,039 --> 00:10:16,799
vamos a poner un pequeño esquema aquí

103
00:10:16,799 --> 00:10:20,700
aquí sabemos que la función crece

104
00:10:20,700 --> 00:10:23,919
f es creciente

105
00:10:23,919 --> 00:10:28,919
para todo x perteneciente al intervalo que va de cero a uno

106
00:10:28,919 --> 00:10:32,500
vamos a coger por ejemplo para x igual a 1 medio

107
00:10:32,500 --> 00:10:39,029
la derivada de la función pues me quedaría

108
00:10:39,029 --> 00:10:44,669
esto sería negativo y esto también sería negativo

109
00:10:44,669 --> 00:10:47,529
como cual menos por menos es más

110
00:10:47,529 --> 00:10:51,809
la derivada en 1 medio es positiva

111
00:10:51,809 --> 00:10:56,809
también en cualquier punto que yo cogiera del intervalo me va a quedar positiva

112
00:10:56,809 --> 00:11:00,610
Así que la función es creciente también

113
00:11:00,610 --> 00:11:09,820
Aquí la f crece también

114
00:11:09,820 --> 00:11:13,600
Ahora cogemos otro punto

115
00:11:13,600 --> 00:11:15,960
Ahora el intervalo de 1 a infinito

116
00:11:15,960 --> 00:11:21,389
Vamos a ver el signo que toma la derivada primera

117
00:11:21,389 --> 00:11:24,710
Podemos coger, por ejemplo, para x igual a 2

118
00:11:24,710 --> 00:11:27,649
Para x igual a 2, la derivada

119
00:11:27,649 --> 00:11:31,799
Fijaros, esto quedaría negativo

120
00:11:31,799 --> 00:11:33,320
Y esto positivo

121
00:11:33,320 --> 00:11:34,840
Menos por más es menos

122
00:11:34,840 --> 00:11:37,179
Aquí quedaría derivada negativa

123
00:11:37,179 --> 00:11:41,720
y también para cualquier punto que hubiéramos cogido, la derivada no habría salido negativa.

124
00:11:41,919 --> 00:11:46,820
Eso significa que la función en este intervalo es decreciente.

125
00:11:50,110 --> 00:11:56,379
Entonces, f decreciente.

126
00:11:57,639 --> 00:11:59,039
¿Qué es lo que vemos aquí?

127
00:11:59,519 --> 00:12:04,039
Con esta información ya podemos decir que en x igual a 0,

128
00:12:06,120 --> 00:12:09,379
que era un punto singular, un punto que anulaba la derivada primera,

129
00:12:09,379 --> 00:12:12,460
en realidad no tenemos ni máximo ni mínimo

130
00:12:12,460 --> 00:12:15,480
porque la función a la izquierda de 0 crece

131
00:12:15,480 --> 00:12:17,779
y a la derecha también crece

132
00:12:17,779 --> 00:12:23,080
entonces en 0 no podemos decir que haya ni un máximo ni un mínimo

133
00:12:23,080 --> 00:12:28,610
en x igual a 1 sí que vemos que hay un máximo

134
00:12:28,610 --> 00:12:31,850
porque la función a la izquierda de 1 crece

135
00:12:31,850 --> 00:12:34,049
y a la derecha decrece

136
00:12:34,049 --> 00:12:41,980
entonces en x igual a 1 tenemos un máximo de la función

137
00:12:41,980 --> 00:12:56,919
Y ese máximo tiene dos componentes. La primera componente es la x, 1, y la segunda componente sería el valor que yo obtengo al sustituir en mi función.

138
00:12:57,480 --> 00:13:08,179
Si sustituyo aquí para x igual a 1, tengo menos 3 más 4, 1. Así que tengo un máximo de la función en el punto 1, 1.

139
00:13:08,179 --> 00:13:12,039
Si lo hubiéramos hecho con el criterio de la derivada segunda

140
00:13:12,039 --> 00:13:20,000
Derivamos otra vez, deriva aquí

141
00:13:20,000 --> 00:13:28,409
Y me quedaría menos 36x elevado al cuadrado

142
00:13:28,409 --> 00:13:32,090
Más 24x

143
00:13:32,090 --> 00:13:38,320
Fijaros, si yo sustituyo en 0

144
00:13:38,320 --> 00:13:42,980
El resultado sería 0

145
00:13:42,980 --> 00:13:45,519
No me da ni positivo ni negativo

146
00:13:45,519 --> 00:13:47,299
No es ni máximo ni mínimo

147
00:13:47,299 --> 00:13:53,899
así que la derivada segunda no determina si es un máximo o es un mínimo

148
00:13:53,899 --> 00:14:06,750
en 1, no sé si me quedaría 36 más 24, esto es negativo

149
00:14:06,750 --> 00:14:13,309
y como es negativo, en x igual a 1 sabemos que hay un máximo

150
00:14:13,309 --> 00:14:25,120
entonces es importante recordar que no todos los puntos en los cuales se anula la derivada primera

151
00:14:25,120 --> 00:14:26,799
van a ser máximos o mínimos

152
00:14:26,799 --> 00:14:31,539
por eso decimos posibles valores candidatos a ser máximos o mínimos

153
00:14:31,539 --> 00:14:37,139
aquí tenéis otro ejemplo en el cual el punto singular que se obtiene

154
00:14:37,139 --> 00:14:41,940
cuando igualamos la primera derivada a 0 es x igual a 0

155
00:14:41,940 --> 00:14:49,299
y resulta que si estudiamos el signo de la derivada a la derecha de 0 y a la izquierda de 0

156
00:14:49,299 --> 00:14:53,080
a la izquierda de 0, por ejemplo para menos 1

157
00:14:53,080 --> 00:14:58,159
la derivada de la función es positiva

158
00:14:58,159 --> 00:15:01,059
con lo cual aquí la función va a ser creciente

159
00:15:01,059 --> 00:15:09,879
y también ocurre lo mismo cuando tomo un valor

160
00:15:09,879 --> 00:15:12,580
en el siguiente intervalo de 0 a infinito

161
00:15:12,580 --> 00:15:15,360
por ejemplo para 1 la derivada también es positiva

162
00:15:15,360 --> 00:15:20,279
con lo cual es positiva en todos los puntos de este intervalo

163
00:15:20,279 --> 00:15:23,000
entonces aquí también la función es creciente

164
00:15:23,000 --> 00:15:32,720
Eso que significa que el 0, a pesar de ser un punto singular, un punto que anulaba la derivada primera, no hay ni máximo ni mínimo