1 00:00:01,899 --> 00:00:23,039 Sí. Vale. ¿Pensáis que os puede ser útil esto? Sí. Pues sí, la verdad. Para repasar todo. Perfecto. Pues venga, ejercicio 1. Di cuál de los siguientes números son naturales. ¿Cuáles son enteros? ¿Cuáles son racionales? Esta cosa me gustaría que se quedara más pequeña, pero bueno. 2 00:00:23,039 --> 00:00:27,620 ¿Y cuáles son racionales, irracionales y cuáles son reales? 3 00:00:27,859 --> 00:00:29,739 Pues nada, esto, mirad 4 00:00:29,739 --> 00:00:34,170 A ver este, ¿este cómo es? 5 00:00:34,670 --> 00:00:36,570 Este número, el 12, ¿qué es? 6 00:00:37,950 --> 00:00:40,250 Pues es natural 7 00:00:40,250 --> 00:00:41,090 Natural 8 00:00:41,090 --> 00:00:43,549 Es entero 9 00:00:43,549 --> 00:00:45,390 ¿Es racional? 10 00:00:46,469 --> 00:00:47,030 Sí 11 00:00:47,030 --> 00:00:48,990 Porque se puede poner en forma de fracción 12 00:00:48,990 --> 00:00:50,509 12 entre 1, ¿no? 13 00:00:51,310 --> 00:00:51,570 Sí 14 00:00:51,570 --> 00:00:53,270 ¿Es irracional? 15 00:00:53,270 --> 00:00:55,829 no, porque si es racional 16 00:00:55,829 --> 00:00:56,810 es irracional 17 00:00:56,810 --> 00:00:58,329 y finalmente es real 18 00:00:58,329 --> 00:00:59,450 ¿de acuerdo? 19 00:00:59,609 --> 00:01:01,429 todo esto le pasa al número 12 20 00:01:01,429 --> 00:01:03,310 es todas estas cosas 21 00:01:03,310 --> 00:01:06,109 ¿qué le pasa a este número? 22 00:01:08,290 --> 00:01:08,849 pues que 23 00:01:08,849 --> 00:01:10,549 le ha salido nariz 24 00:01:10,549 --> 00:01:12,569 ¿qué le pasa a este número? 25 00:01:13,230 --> 00:01:14,069 pues que es 26 00:01:14,069 --> 00:01:15,629 no es natural 27 00:01:15,629 --> 00:01:18,109 y no es entero 28 00:01:18,109 --> 00:01:19,950 pero si es racional 29 00:01:19,950 --> 00:01:21,790 porque se puede poner en forma de fracción 30 00:01:21,790 --> 00:01:23,049 y si es real 31 00:01:23,049 --> 00:01:25,370 no es irracional 32 00:01:25,370 --> 00:01:26,670 ¿de acuerdo? 33 00:01:27,150 --> 00:01:27,989 y este número 34 00:01:27,989 --> 00:01:29,349 pues es 35 00:01:29,349 --> 00:01:31,650 este número es 36 00:01:31,650 --> 00:01:34,010 fijaos que 6 es 2 37 00:01:34,010 --> 00:01:35,790 esto es igual a 2 38 00:01:35,790 --> 00:01:37,209 menos entre menos más 39 00:01:37,209 --> 00:01:39,069 este número es natural 40 00:01:39,069 --> 00:01:41,409 entero 41 00:01:41,409 --> 00:01:43,349 irracional 42 00:01:43,349 --> 00:01:44,650 real 43 00:01:44,650 --> 00:01:46,890 no es irracional 44 00:01:46,890 --> 00:01:48,069 ¿vale? 45 00:01:48,269 --> 00:01:51,250 cuidado porque vienen con trapa a veces 46 00:01:51,250 --> 00:02:08,629 O sea, justamente decía que este número en realidad es igual a 2, y este, ¿a qué es igual a 6? Pues lo tiene todo, es natural, entero, racional, real, no es irracional. 47 00:02:08,629 --> 00:02:30,639 ¿Y qué pasa con la raíz de 6? Pues recordad que un número, una raíz cuadrada de un número entero que no sea resultado decimal es un número natural, mirad, o entero. 48 00:02:30,639 --> 00:02:32,259 fijaos, raíz de 9 es 3 49 00:02:32,259 --> 00:02:34,180 en este caso no es irracional 50 00:02:34,180 --> 00:02:35,900 pero si sabíamos que 51 00:02:35,900 --> 00:02:38,879 un número, una raíz cuadrada 52 00:02:38,879 --> 00:02:39,800 de un número entero 53 00:02:39,800 --> 00:02:42,599 por ejemplo 10, que dé como resultado 54 00:02:42,599 --> 00:02:44,780 algún decimal, entonces ya sabemos 55 00:02:44,780 --> 00:02:46,500 que es irracional 56 00:02:46,500 --> 00:02:49,099 este es el caso, es decir, si no es un cuadrado 57 00:02:49,099 --> 00:02:49,939 perfecto 58 00:02:49,939 --> 00:02:52,840 raíz de 9, 9 es un cuadrado perfecto 59 00:02:52,840 --> 00:02:54,719 da 3, es un número natural 60 00:02:54,719 --> 00:02:56,740 como veis, pero si no es un cuadrado 61 00:02:56,740 --> 00:02:58,400 perfecto, como es el caso 62 00:02:58,400 --> 00:03:00,219 entonces se trata de un número 63 00:03:00,219 --> 00:03:02,400 irracional siempre 64 00:03:02,400 --> 00:03:04,580 sea una raíz cuadrada 65 00:03:04,580 --> 00:03:05,259 de un número 66 00:03:05,259 --> 00:03:07,319 entero 67 00:03:07,319 --> 00:03:12,680 que no es cuadrado 68 00:03:12,680 --> 00:03:14,900 perfecto 69 00:03:14,900 --> 00:03:17,120 sabemos que es irracional 70 00:03:17,120 --> 00:03:18,659 esto es una cuestión 71 00:03:18,659 --> 00:03:19,659 que hay que conocer 72 00:03:19,659 --> 00:03:22,479 ¿de acuerdo? y por tanto 73 00:03:22,479 --> 00:03:23,919 la raíz de 6 74 00:03:23,919 --> 00:03:26,539 dado que 6 no es un cuadrado perfecto 75 00:03:26,539 --> 00:03:27,360 es un número 76 00:03:27,360 --> 00:03:29,280 irracional 77 00:03:29,280 --> 00:03:31,020 y también es real 78 00:03:31,020 --> 00:03:32,240 ¿de acuerdo? 79 00:03:32,560 --> 00:03:34,639 sabemos también 80 00:03:34,639 --> 00:03:36,159 bueno, que I 81 00:03:36,159 --> 00:03:38,580 unión Q 82 00:03:38,580 --> 00:03:40,500 los irracionales 83 00:03:40,500 --> 00:03:41,960 unión racionales son 84 00:03:41,960 --> 00:03:44,360 el conjunto de números reales 85 00:03:44,360 --> 00:03:44,520 ¿no? 86 00:03:45,699 --> 00:03:47,819 esto significa que un número real es 87 00:03:47,819 --> 00:03:49,300 o bien racional 88 00:03:49,300 --> 00:03:52,439 o bien irracional, una de las dos 89 00:03:52,439 --> 00:03:54,419 pero no se puede ser de ambos 90 00:03:54,419 --> 00:03:55,900 simultáneamente, ¿de acuerdo? 91 00:03:56,340 --> 00:03:57,860 bien, ¿qué es la raíz de menos? o sea 92 00:03:57,860 --> 00:03:59,599 menos 95 es un número entero 93 00:03:59,599 --> 00:04:02,439 es racional 94 00:04:02,439 --> 00:04:15,469 y es real. No es natural y no es irracional. ¿De acuerdo? ¿Y qué pasa con este número? No dice 95 00:04:15,469 --> 00:04:25,790 que es K, pero es 12, 12, 12. Bueno, este es el número este, ¿no? Periódico 12 y este número sabemos, 96 00:04:26,269 --> 00:04:32,670 tenemos técnicas para pasarlo a fracción y por tanto este número ha de ser necesariamente un 97 00:04:32,670 --> 00:04:33,470 Número racional. 98 00:04:33,769 --> 00:04:35,810 Conocemos la técnica para pasarlo a fracción. 99 00:04:36,410 --> 00:04:36,750 ¿De acuerdo? 100 00:04:38,050 --> 00:04:39,829 Ya este sería el ejercicio 1. 101 00:04:39,949 --> 00:04:44,360 Vamos a ver el ejercicio 2, que dice, 102 00:04:45,279 --> 00:04:50,439 calcula y simplifica al máximo estas expresiones. 103 00:04:50,980 --> 00:04:51,620 Bien, la primera. 104 00:04:53,060 --> 00:04:56,759 Fijaos, la raíz de 27 por raíz de 32 entre 81, 105 00:04:57,540 --> 00:04:59,699 ya sabemos que la técnica consiste en, 106 00:05:00,620 --> 00:05:02,939 bueno, yo podría meter todo en la misma raíz, 107 00:05:02,939 --> 00:05:04,620 dado que son de índice 2 108 00:05:04,620 --> 00:05:06,959 pero 109 00:05:06,959 --> 00:05:09,339 al final lo que consiste 110 00:05:09,339 --> 00:05:10,740 es intentar 111 00:05:10,740 --> 00:05:13,339 factorizar los radicandos 112 00:05:13,339 --> 00:05:15,459 27 113 00:05:15,459 --> 00:05:17,339 es 3 al cubo 114 00:05:17,339 --> 00:05:19,220 81 115 00:05:19,220 --> 00:05:20,379 es 3 a la cuarta 116 00:05:20,379 --> 00:05:23,019 y 32 117 00:05:23,019 --> 00:05:23,699 es 118 00:05:23,699 --> 00:05:26,199 2 a la quinta 119 00:05:26,199 --> 00:05:29,300 exactamente 2 a la quinta 120 00:05:29,300 --> 00:05:31,300 entonces se trata de simplificar 121 00:05:31,300 --> 00:05:34,100 expresándolos, radicándolos 122 00:05:34,100 --> 00:05:37,959 factorizándolos para ver si lo puedo 123 00:05:37,959 --> 00:05:40,319 expresar mediante potencias 124 00:05:40,319 --> 00:05:41,220 de la misma base 125 00:05:41,220 --> 00:05:43,660 este es el caso, ¿lo veis? 126 00:05:46,810 --> 00:05:47,790 raíz de 27 127 00:05:47,790 --> 00:05:50,449 lo tienes 128 00:05:50,449 --> 00:05:52,290 como es 129 00:05:52,290 --> 00:05:53,949 una multiplicación 130 00:05:53,949 --> 00:05:55,170 de raíces 131 00:05:55,170 --> 00:05:57,730 del mismo índice que es 2 132 00:05:57,730 --> 00:05:59,990 porque no pone nada más 2, lo puedo meter todo 133 00:05:59,990 --> 00:06:01,350 en el mismo radical 134 00:06:01,350 --> 00:06:22,649 ¿De acuerdo? Ahora factorizaríamos 27, que es 3 al cubo, 32, que es 2 a la quinta, y 81, que es 3 a la cuarta, y una vez hecho esto, es fácil comprobar que, bueno, lo puedo introducir todo lo que pueda, agrupar, en este caso, estas dos potencias. 135 00:06:23,370 --> 00:06:27,910 Lo agrupo en, fijaos, división de potencias de la misma base, 136 00:06:28,050 --> 00:06:31,129 se restan exponentes, 3 menos 4, menos 1. 137 00:06:31,470 --> 00:06:32,730 Por eso aparece abajo, ¿no? 138 00:06:32,730 --> 00:06:35,029 Porque es índice exponente menos negativo. 139 00:06:35,389 --> 00:06:39,209 O tres de aquí, tres treses de aquí se van con tres treses de aquí, 140 00:06:39,329 --> 00:06:40,870 te queda un 3, ¿de acuerdo? 141 00:06:41,329 --> 00:06:42,970 Y ya he simplificado. 142 00:06:44,029 --> 00:06:45,990 Y este es el radical, ya lo he simplificado. 143 00:06:46,629 --> 00:06:48,389 ¿Puedo extraer factores del radical? 144 00:06:48,389 --> 00:06:51,069 Pues sí, porque el índice es 2. 145 00:06:51,069 --> 00:06:54,250 y aquí tengo el exponente 5 146 00:06:54,250 --> 00:06:55,069 entonces 147 00:06:55,069 --> 00:06:57,029 el múltiplo de 2 148 00:06:57,029 --> 00:06:59,350 mayor contenido en 5 149 00:06:59,350 --> 00:07:00,310 es 2 a la 4 150 00:07:00,310 --> 00:07:02,449 así que puedo sacar 2 a la 4 fuera 151 00:07:02,449 --> 00:07:03,470 ¿cómo sale? 152 00:07:03,610 --> 00:07:05,970 4 entre 2 a 2 sale como 2 al cuadrado 153 00:07:05,970 --> 00:07:07,509 aquí lo tenemos, que es 4 154 00:07:07,509 --> 00:07:09,790 y se me ha quedado dentro un 2 155 00:07:09,790 --> 00:07:11,829 porque he sacado 2 a la 4 156 00:07:11,829 --> 00:07:12,930 pero hay 2 a la 5 157 00:07:12,930 --> 00:07:14,569 se me ha quedado aquí un 2 158 00:07:14,569 --> 00:07:15,189 ¿de acuerdo? 159 00:07:18,490 --> 00:07:19,689 ahora finalmente 160 00:07:19,689 --> 00:07:21,009 como sabéis 161 00:07:21,009 --> 00:07:22,810 se puede racionalizar 162 00:07:22,810 --> 00:07:25,629 cuando en el denominador aparecen las raíces 163 00:07:25,629 --> 00:07:26,750 multiplicaría 164 00:07:26,750 --> 00:07:29,410 arriba y abajo por raíz de 3 165 00:07:29,410 --> 00:07:31,310 se queda 166 00:07:31,310 --> 00:07:33,069 esta expresión sería 167 00:07:33,069 --> 00:07:34,750 4 por raíz de 2 168 00:07:34,750 --> 00:07:36,829 por raíz de 3 entre 169 00:07:36,829 --> 00:07:38,730 raíz de 3 por raíz de 3 170 00:07:38,730 --> 00:07:41,810 de aquí te sale la raíz de 6 171 00:07:41,810 --> 00:07:43,250 y de aquí te sale el 3 172 00:07:43,250 --> 00:07:43,850 de abajo 173 00:07:43,850 --> 00:07:46,709 vamos a ver el B 174 00:07:46,709 --> 00:07:47,550 como lo haríamos 175 00:07:47,550 --> 00:07:49,250 el B es 176 00:07:49,250 --> 00:07:53,050 Dice, simplificar, pues mirad 177 00:07:53,050 --> 00:07:57,730 Al principio en el apartado A era multiplicación de radicales 178 00:07:57,730 --> 00:07:59,870 Aquí es más sencillo cuando el índice es común 179 00:07:59,870 --> 00:08:03,370 Pero en este caso la suma de radicales es más complicado 180 00:08:03,370 --> 00:08:07,629 Yo no puedo sumar radicales, por ejemplo, por tener el mismo índice 181 00:08:07,629 --> 00:08:08,629 Yo no puedo hacer esto 182 00:08:08,629 --> 00:08:13,910 Raíz quinta de 8 más raíz quinta de 7 183 00:08:13,910 --> 00:08:18,269 Yo no puedo sumar, esto no es igual a raíz quinta de 8 más 7 184 00:08:18,269 --> 00:08:37,470 Esto es diferente. Si fuera una multiplicación, sí lo puedo meter dentro del mismo radical, pero si es humano, ¿de acuerdo? Esto me lleva a lo siguiente, a que solamente puedo sumar raíces iguales, radicales iguales. 185 00:08:37,470 --> 00:08:53,590 Por ejemplo, esto lo puedo sumar. Una de estas más tres de estas serían cuatro por raíz de tres. Es decir, cuando el radical es el mismo, puedo sumar los radicales. ¿De acuerdo? 186 00:08:53,590 --> 00:09:11,070 Bien, no es el caso. Pero lo que hacíamos era intentar extraer factores de los radicales para ver si finalmente, como veis aquí, te quedan radicales iguales. Esa es la estrategia. 187 00:09:11,070 --> 00:09:31,429 Entonces, ¿qué hacemos? Factorizamos el 75 y me va a dar 3 por 5 al cuadrado. Ahí lo tenéis. Si factorizas el 75, te da 3 por 5 al cuadrado. Si factorizas 48, te va a dar 2 a la cuarta por 3. Así que esta expresión es la misma que esta. 188 00:09:31,429 --> 00:09:33,129 ahora 189 00:09:33,129 --> 00:09:35,529 ¿qué podemos hacer? 190 00:09:35,750 --> 00:09:37,250 pues extraer factores del radical 191 00:09:37,250 --> 00:09:39,690 esto sale fuera 192 00:09:39,690 --> 00:09:41,350 5 al cuadrado 193 00:09:41,350 --> 00:09:42,889 como este es índice 2 194 00:09:42,889 --> 00:09:45,009 pues sale como 5 195 00:09:45,009 --> 00:09:46,009 aquí lo tienes 196 00:09:46,009 --> 00:09:50,110 te queda 5 por raíz de 3 197 00:09:50,110 --> 00:09:51,330 y lo tienes 198 00:09:51,330 --> 00:09:52,750 y si aquí saco 199 00:09:52,750 --> 00:09:54,110 puedo sacar 2 a la cuarta 200 00:09:54,110 --> 00:09:55,389 porque es múltiplo de 2 201 00:09:55,389 --> 00:09:58,110 que es el índice de la raíz 202 00:09:58,110 --> 00:09:59,809 sale 4 entre 2 a 2 203 00:09:59,809 --> 00:10:01,789 te va a salir como 2 al cuadrado 204 00:10:01,789 --> 00:10:03,710 que con este 2 será 205 00:10:03,710 --> 00:10:05,970 2 al cubo 206 00:10:05,970 --> 00:10:08,169 por raíz de 3 que es lo que te ha quedado dentro 207 00:10:08,169 --> 00:10:13,009 ¿se ve? aquí lo tienes 208 00:10:13,009 --> 00:10:14,909 8 por raíz de 3 209 00:10:14,909 --> 00:10:17,190 se ve al 3 210 00:10:17,190 --> 00:10:18,950 leñe 211 00:10:18,950 --> 00:10:20,450 ahí, así que 212 00:10:20,450 --> 00:10:22,769 5 raíz de 3 más 8 raíz de 3 213 00:10:22,769 --> 00:10:24,649 sería 13 raíz de 3 214 00:10:24,649 --> 00:10:26,169 aquí he podido sumar 215 00:10:26,169 --> 00:10:29,210 porque los radicales 216 00:10:29,210 --> 00:10:30,009 son iguales 217 00:10:30,009 --> 00:10:32,149 estoy sumando radicales iguales 218 00:10:32,149 --> 00:10:37,009 Y esto es fruto de haber extraído factores del radical. 219 00:10:38,250 --> 00:10:38,669 ¿De acuerdo? 220 00:10:39,669 --> 00:10:41,669 Bien, y vamos a hacer el ejercicio 3. 221 00:10:43,090 --> 00:10:45,710 El apartado C, perdón, de este ejercicio. 222 00:10:46,750 --> 00:10:49,070 Dice, bueno, este es más sencillo, ¿no? 223 00:10:49,070 --> 00:10:50,909 Bueno, no más sencillo, pero digamos, 224 00:10:52,549 --> 00:10:59,029 veíamos que lo que tenemos que hacer es racionalizar, 225 00:10:59,149 --> 00:11:01,090 dado que en el denominador hay radicales, 226 00:11:01,090 --> 00:11:05,070 Hay que racionalizar, que era bajar todos los radicales arriba. 227 00:11:05,289 --> 00:11:10,210 Eso es simplificar una fracción de este tipo, en la que el denominador tiene radicales. 228 00:11:10,809 --> 00:11:13,590 Pues lo que hacemos es racionalizar. 229 00:11:14,149 --> 00:11:17,809 En este caso, multiplicamos por el conjugado de 2 menos raíz de 2. 230 00:11:18,669 --> 00:11:24,830 Quedaría 2 raíz de 2, por el conjugado de 2 menos raíz de 2, que es 2 más raíz de 2. 231 00:11:28,860 --> 00:11:32,960 Este por... O sea, lo que estoy haciendo es multiplicar arriba y abajo por lo mismo. 232 00:11:32,960 --> 00:11:43,220 ¿Recordáis? Y ahora, este producto va a hacer que desaparezca la raíz, aplicando producto notable de suma por diferencia. 233 00:11:43,659 --> 00:11:51,120 Diferencia de cuadrados. ¿Recordáis? A más B por A menos B sería al cuadrado menos B al cuadrado. 234 00:11:52,460 --> 00:12:00,299 Me va a quedar, por un lado aquí, es 2 más raíz de 2 al cuadrado, que es la misma cosa, ¿no? 235 00:12:00,299 --> 00:12:07,379 Y abajo, cuadrado del primero, que es 2 al cuadrado, menos el cuadro del segundo, raíz de 2 al cuadrado. 236 00:12:07,539 --> 00:12:09,419 Fijaos, aquí es cuando se va la raíz. 237 00:12:14,100 --> 00:12:17,860 Partido 4 menos 2, que da 2. 238 00:12:18,759 --> 00:12:25,000 Fijaos, la estrategia es multiplicar siempre por el conjugado justamente para aplicar esta fórmula. 239 00:12:25,840 --> 00:12:28,220 Porque el conjugado de este, ¿quién es? Este. 240 00:12:28,919 --> 00:12:30,980 Y el conjugado de este, ¿quién es? Este. 241 00:12:30,980 --> 00:12:33,559 por eso la estrategia 242 00:12:33,559 --> 00:12:35,100 para factorizar 243 00:12:35,100 --> 00:12:36,740 perdona, para racionalizar 244 00:12:36,740 --> 00:12:39,080 una fracción de este tipo en la que abajo 245 00:12:39,080 --> 00:12:41,720 aparece A más B o A menos B 246 00:12:41,720 --> 00:12:43,240 como es el caso 247 00:12:43,240 --> 00:12:44,980 es multiplicar por el conjugado 248 00:12:44,980 --> 00:12:47,299 para que mediante el producto notable de suma 249 00:12:47,299 --> 00:12:49,559 por diferencia me eleve al cuadrado 250 00:12:49,559 --> 00:12:50,879 esa raíz dichosa 251 00:12:50,879 --> 00:12:52,100 que quiero que se vaya 252 00:12:52,100 --> 00:12:54,240 y al elevar al cuadrado se va 253 00:12:54,240 --> 00:12:55,299 ¿se ha entendido? 254 00:12:56,919 --> 00:12:58,059 a ver 255 00:12:58,059 --> 00:12:59,720 sí 256 00:12:59,720 --> 00:13:03,080 bien, voy a parar la grabación 257 00:13:03,080 --> 00:13:04,759 para que no sea demasiado larga 258 00:13:04,759 --> 00:13:06,419 y luego continuaría 259 00:13:06,419 --> 00:13:08,000 grabando, a ver si 260 00:13:08,000 --> 00:13:09,399 logro