1 00:00:00,000 --> 00:00:04,879 Bueno, revisamos un poco, hacemos un esquema o os hago un esquema de toda la parte, 2 00:00:05,019 --> 00:00:09,179 lo que hemos ido dando en matrices y determinantes. 3 00:00:11,359 --> 00:00:18,920 Entonces, empezamos con matrices. 4 00:00:21,620 --> 00:00:25,600 Matrices hemos visto definición y tipos. 5 00:00:27,879 --> 00:00:34,880 Vimos que una matriz era una serie de datos puestos y escritos en forma de tabla, 6 00:00:34,880 --> 00:00:39,979 en forma de columnas con filas y columnas, que el número de filas y columnas podría ser cualquiera 7 00:00:39,979 --> 00:00:45,939 y que el número de filas y columnas de una matriz define lo que conocemos como dimensión. 8 00:00:45,939 --> 00:01:03,000 La dimensión de una matriz siempre vendrá dada m por n, donde m es el número de filas y n el número de columnas. 9 00:01:03,000 --> 00:01:21,920 Bien, vimos que si tiene el mismo número de filas que de columnas, la matriz se llama cuadrada y entonces en vez de hablar de dimensión no hablamos de orden, es una nomenclatura específica para matrices cuadradas que se dice en vez de decir que es una matriz de 3x3, pues se dice que es una matriz de orden 3. 10 00:01:21,920 --> 00:01:27,319 Y con eso ya directamente nos están diciendo que es una matriz cuadrada de 3x3. 11 00:01:28,400 --> 00:01:35,739 Ya de las matrices cuadradas sale una específica y muy eso que son las matrices identidad. 12 00:01:37,219 --> 00:01:47,680 Una matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos cero exceptuando la diagonal principal que son 1. 13 00:01:47,680 --> 00:02:05,099 Entonces estas matrices de identidad además se nombran de otra manera todavía más específica, se nombran como I2 o I3 o I4 etcétera, donde el subíndice nos dice el orden de la matriz, 14 00:02:05,099 --> 00:02:17,539 es decir que una matriz de identidad de orden 2 sería la matriz, es una matriz de 2 por 2 que tiene todos los elementos 0 exceptuando su diagonal principal. 15 00:02:17,680 --> 00:02:24,060 ¿De acuerdo? Bueno, después de la definición y tipos, vimos las operaciones que se pueden hacer con matrices. 16 00:02:24,199 --> 00:02:35,189 Entonces, vimos que se podían sumar y restar, y para poderla sumar y restar sabemos que tienen que tener la misma dimensión. 17 00:02:35,189 --> 00:02:42,370 Yo no puedo sumar ni restar dos matrices que no tengan exactamente el mismo número de filas y el mismo número de columnas. 18 00:02:42,810 --> 00:02:48,969 En el momento en que eso cambien, uno de ellos, eso significa que no se puede hacer esa operación. 19 00:02:49,629 --> 00:02:54,250 Y si tenemos dos matrices con la misma dimensión, sumar y restar no tiene ningún problema. 20 00:02:54,710 --> 00:03:00,590 Se suma o se resta los elementos a elementos que están en la misma posición. 21 00:03:00,990 --> 00:03:01,469 ¿Me seguís? 22 00:03:02,889 --> 00:03:06,990 Vimos también cómo se, el producto por un número. 23 00:03:08,669 --> 00:03:18,719 Si yo multiplico una matriz por un número, el que sea, para hacer eso lo puedo hacer sea cual sea la matriz. 24 00:03:18,719 --> 00:03:25,680 y esto se hace también muy sencillo, multiplico todos los elementos de la matriz por ese número, no tiene mayor. 25 00:03:26,020 --> 00:03:34,719 Por último vimos el producto entre matrices, para multiplicar dos matrices también tenía su dimensión, 26 00:03:35,400 --> 00:03:43,400 tenían que cumplir una característica y es que el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda, 27 00:03:43,400 --> 00:03:57,379 Es decir que si yo quiero multiplicar dos matrices, una de dimensión m por n, la otra tiene que tener estos dos números iguales, si no, no se puede multiplicar. 28 00:03:57,379 --> 00:04:13,300 Es decir que en el caso de las matrices no pasa como con los números, todos los números se pueden sumar y restar, todos los números se pueden multiplicar, bueno pues no, en el caso de las matrices no, en el caso de las matrices solamente se puede sumar y restar si tienen la misma dimensión. 29 00:04:13,300 --> 00:04:21,040 y solamente se puede multiplicar si sucede esto, que el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda 30 00:04:21,040 --> 00:04:35,379 y la dimensión del producto, de ese producto, es precisamente m por p, es decir, el número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda. 31 00:04:35,379 --> 00:04:43,459 Eso quiere decir que aquí sale una propiedad importantísima del producto de matrices y es que no es conmutativo. 32 00:04:43,459 --> 00:04:52,920 El producto de matrices, de aquí sale que A por B, si estos son dos matrices, es distinto de B por A. 33 00:04:53,540 --> 00:04:59,480 No pasa como con los números, los números, si yo multiplico dos números me da lo mismo multiplicar 2 por 3 que 3 por 2. 34 00:04:59,779 --> 00:05:05,199 En este caso, en el caso de multiplicación por matrices, no da lo mismo, ¿de acuerdo? 35 00:05:05,379 --> 00:05:13,819 Es más, hay veces que puedes hacer A por B y sin embargo no puedes hacer B por A, porque no cumple esta condición. 36 00:05:15,220 --> 00:05:21,459 Bueno, vimos que para multiplicar dos matrices, estuvimos viendo, hicimos algunos ejercicios sobre cómo se multiplica. 37 00:05:21,459 --> 00:05:35,259 Para multiplicar dos matrices, cada uno de los elementos de la matriz resultante se calculan multiplicando la fila de su subíndice por la columna de su subíndice. 38 00:05:35,379 --> 00:05:46,500 Es decir, que si yo quiero calcular un elemento que es el A3,4, tendría que multiplicar la tercera fila de la primera por la cuarta columna de la segunda. 39 00:05:46,860 --> 00:05:47,199 ¿De acuerdo? 40 00:05:47,939 --> 00:05:54,779 Bueno, como haremos ejercicios, esto así explicado es un poco rollo, pero la cuestión es saber hacerlo una vez que es. 41 00:05:54,779 --> 00:06:18,410 ¿Vale? Bueno, otra operación extraña que ya se hace solo con matrices es la transposición de matrices, que consiste en cambiar las filas por las columnas de una matriz. 42 00:06:18,410 --> 00:06:27,029 Yo tengo una matriz A y cambio sus filas por sus columnas, la convierto en la traspuesta de la matriz que se escribe de esta manera. 43 00:06:27,029 --> 00:06:45,339 Y ya por último la otra operación que hicimos con matrices fue la triangulación de una matriz por el método de Gauss 44 00:06:45,339 --> 00:06:55,389 ¿En qué consiste esto? 45 00:06:55,389 --> 00:07:00,389 Esta operación consiste en que si yo tengo una matriz, la que sea 46 00:07:00,389 --> 00:07:20,649 triangular a una matriz significa coger su diagonal principal 47 00:07:20,649 --> 00:07:26,949 y convertir en ceros todos los elementos que hay por debajo o por encima 48 00:07:26,949 --> 00:07:33,629 esto se hace calculando, haciendo combinaciones de sumas 49 00:07:33,629 --> 00:07:39,610 de multiplicaciones y sumas y vamos convirtiendo estos elementos en cero 50 00:07:39,610 --> 00:07:42,290 eso ya tenemos hecho unos cuantos 51 00:07:42,290 --> 00:07:51,769 Entonces, con estas operaciones de aquí sacamos también lo que era el rango de una matriz. 52 00:07:56,509 --> 00:08:06,149 El rango de una matriz nosotros lo calculábamos, hay otras maneras de calcularlo y ahora lo vemos que es con el trabajo con determinantes, 53 00:08:06,149 --> 00:08:15,329 pero si trabajo con matrices, el rango de una matriz es el número de filas distintas de cero que quedan cuando he triangulado la matriz. 54 00:08:15,709 --> 00:08:26,449 Si al triangular la matriz a mí me quedan tres filas, en este caso serían tres filas que no tienen todos sus elementos cero, pues el rango es tres. 55 00:08:26,910 --> 00:08:31,250 Si solamente hay dos, el rango es dos y si solamente hay una, pues el rango es uno. 56 00:08:32,190 --> 00:08:35,769 ¿Para qué utilizaremos el rango de la matriz? Pues de momento para nada. 57 00:08:35,769 --> 00:08:45,389 Cuando la semana que viene empecemos a ver ya las aplicaciones directas de las matrices, o sea, cómo vamos a utilizar las matrices, 58 00:08:45,710 --> 00:08:50,110 O sea, ¿qué tipo de ejercicios nos van a caer en el examen sobre matrices? 59 00:08:50,389 --> 00:08:54,129 Pues entonces ya veremos para qué utilizamos el rango de una matriz. 60 00:08:54,730 --> 00:09:00,149 Bueno, esto es, en resumen, todas las cosas que hemos visto sobre matrices. 61 00:09:01,129 --> 00:09:03,309 Todo esto está en el aula virtual. 62 00:09:03,690 --> 00:09:12,769 Ya os comenté el otro día que yo el aula virtual, a partir del momento en que ha sucedido todo este caos, 63 00:09:12,769 --> 00:09:32,929 Lo he rehecho y entonces he puesto una serie de secciones que son conocimientos previos, que es lo que habíamos dado los que estaban haciendo matemáticas inicialmente conmigo las semanas anteriores. 64 00:09:32,929 --> 00:09:41,590 Y hemos empezado lo que he llamado semana 1, que es la semana pasada y ahí tenéis todo esto, ¿de acuerdo? 65 00:09:42,769 --> 00:09:47,590 Y luego está lo que vimos la semana pasada, que son los determinantes. 66 00:09:48,409 --> 00:10:00,470 Bueno, los determinantes es una operación que se hace en una matriz, pero ojo, esto se hace solo y exclusivamente, solo para matrices cuadradas. 67 00:10:00,809 --> 00:10:04,509 Las matrices que no son cuadradas no tienen determinantes. 68 00:10:05,090 --> 00:10:08,070 Entonces, solo para matrices cuadradas. 69 00:10:08,070 --> 00:10:27,710 El determinante, vimos que el determinante de una matriz es un número y se realiza de forma distinta según que la matriz tenga, sea de orden 2 o sea de orden 3 o sea de distinto orden. 70 00:10:27,710 --> 00:10:34,570 Nosotros ya os dije que en principio íbamos a trabajar con matrices hasta orden 3 71 00:10:34,570 --> 00:10:42,070 Porque las matrices de orden 4 ya el trabajo es sencillo pero es muchísimo más largo 72 00:10:42,070 --> 00:10:46,850 Y en principio yo creo que una matriz de más de un orden 3 no os va a salir 73 00:10:46,850 --> 00:10:50,950 ¿Cómo se hace el determinante de una matriz de orden 2? 74 00:10:50,950 --> 00:11:01,009 Lo primero es, se escribe, la matriz se escribe, el determinante de una matriz se escribe con los elementos de la matriz entre dos líneas 75 00:11:01,009 --> 00:11:04,730 La matriz se escribe entre dos paréntesis y el determinante entre dos líneas 76 00:11:04,730 --> 00:11:31,639 Entonces, si yo tengo una matriz de 2 por 2, el determinante de esto se hace esta multiplicación, es decir, a1,1 por a2,2 menos esta de aquí, a1,2 por a2,1. 77 00:11:31,639 --> 00:11:58,399 Y en la matriz de orden 3 la cosa se complica un poco, bueno, vimos que lo tenéis también en el aula habitual, la regla de Sharpe que dice que el determinante este se calcula, 78 00:11:58,399 --> 00:12:10,940 primero calculo esto por esto por esto, luego esto por esto por esto y luego esto por esto y por esto, ¿de acuerdo? 79 00:12:10,940 --> 00:12:20,940 ¿De acuerdo? ¿Vale? Y ahora, una vez hecho eso, le tengo que restar, le tengo que restar, 80 00:12:38,289 --> 00:12:42,210 Le tengo que restar, si antes lo he hecho en esta dirección, ahora en esto. 81 00:12:42,450 --> 00:12:49,190 Esto por esto por esto, esto por esto por eso de ahí arriba y esto por esto por esto de aquí abajo. 82 00:12:50,210 --> 00:12:53,370 El resultado de esta operación es un número. 83 00:12:54,830 --> 00:12:58,870 Y eso sería si es el determinante de esa matriz. 84 00:12:59,570 --> 00:13:06,629 Así se calcula, lo tenéis en el este, es una cosa muy sencilla, es una cosa totalmente, siempre está igual. 85 00:13:06,629 --> 00:13:13,389 que no tiene mayor interés, nada más que aprendérselo, hacer unos cuantos y aprenderse cómo se hace y ya está. 86 00:13:14,009 --> 00:13:17,129 Ahora veremos alguno y veréis que es muy sencillo. 87 00:13:17,830 --> 00:13:24,289 Esto es lo que vimos el otro día, también vimos que, ¿para qué utilizamos los determinantes? 88 00:13:24,409 --> 00:13:27,830 Pues los determinantes los utilizamos para dos cosas importantes, 89 00:13:28,029 --> 00:13:35,330 que luego vamos a utilizar bastante en las aplicaciones de trabajo con matrices. 90 00:13:35,330 --> 00:13:41,070 El determinante de una matriz lo utilizamos para calcular el rango de la matriz. 91 00:13:46,600 --> 00:13:56,419 Hemos dicho antes que si yo quiero calcular el rango de una matriz, que insisto es una cosa que vamos a tener que utilizar cuando hagamos las aplicaciones, los ejercicios de matrices, 92 00:13:57,299 --> 00:14:03,600 entonces yo puedo hacerlo, el rango de una matriz lo puedo hacer por el método que se conoce como el método de Gauss. 93 00:14:03,600 --> 00:14:16,779 El método de Gauss que consiste, ya hemos hecho algún ejercicio sobre esto, consiste en triangular la matriz y una vez triangulada ver el número de filas distintas de cero que me quedan y ese es el rango de la matriz. 94 00:14:16,779 --> 00:14:21,539 Pero también hay otra manera de calcular el rango, que es por su determinante. 95 00:14:21,799 --> 00:14:45,620 El rango de una matriz es el orden del mayor de sus determinantes distintos de cero. 96 00:14:46,480 --> 00:14:47,759 ¿Qué quiere decir esto? 97 00:14:47,759 --> 00:15:03,330 Quiere decir que yo si tengo una matriz de 2 por 2, ahí dentro hay un determinante de 2 por 2 y 4 determinantes de un elemento. 98 00:15:03,330 --> 00:15:19,789 A ver, si yo tengo una matriz 3, 4, 5, 7, yo de aquí puedo sacar un determinante que sería este 99 00:15:19,789 --> 00:15:26,230 y cuatro determinantes de uno que sería este, ¿no? 100 00:15:27,289 --> 00:15:28,789 ¿A lo de separar por un grupo? 101 00:15:29,289 --> 00:15:32,889 Claro, por determinantes de orden 1 y de orden 2. 102 00:15:33,330 --> 00:15:46,269 ¿No? Entonces, yo aquí puedo calcular este determinante, este determinante es 3 por 7 menos 5 por 4, esto es igual a 21 menos 20 a 1. 103 00:15:46,389 --> 00:15:57,590 Como veis, dentro de esta matriz hay un determinante de 2 por 2 que es distinto de 1, luego su rango es 2, el rango de esta matriz es 2. 104 00:15:57,590 --> 00:16:13,779 Hemos dicho que el rango de una matriz es el orden del mayor determinante que es distinto de cero, que hay dentro de la matriz. 105 00:16:13,779 --> 00:16:26,539 Yo he dicho que dentro de la matriz, si yo cojo sus elementos de 1 en 1, luego de 2 en 2, o sea, no de 2, de 1 en 1, luego de 4 en 4, luego de 9 en 9, 106 00:16:26,539 --> 00:16:31,259 O sea, voy creando determinantes con los elementos de la matriz. 107 00:16:31,820 --> 00:16:39,080 Entonces, si yo calculo esos determinantes, el que sea distinto, si tiene alguno que es distinto de cero, 108 00:16:39,299 --> 00:16:45,059 el mayor de esos, o sea, el orden del mayor de esos es el rango de la matriz. 109 00:16:45,460 --> 00:16:48,360 Por ejemplo, vamos con una de 3x3. 110 00:16:49,440 --> 00:16:54,440 2, 1, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 2. 111 00:16:54,440 --> 00:16:58,100 Por ejemplo, esta matriz, yo quiero saber el rango de esta matriz. 112 00:16:58,679 --> 00:17:05,220 Entonces yo, en esta matriz, lo primero que tengo es un determinante de 3x3, que es cogiendo todos sus elementos. 113 00:17:05,680 --> 00:17:11,200 Eso es lo primero. Siempre empiezo por los grandes, porque así me evito el tenerme que hacer todos los demás. 114 00:17:11,619 --> 00:17:16,059 Voy a calcular el determinante de 3x3 que hay aquí, que es este, ¿no? 115 00:17:16,180 --> 00:17:17,319 ¿Dónde está vuestro componente? 116 00:17:17,799 --> 00:17:20,759 Mira, dime cómo lo haces tú, tú, que me... 117 00:17:20,759 --> 00:17:22,099 Es que él tiene un método distinto. 118 00:17:22,440 --> 00:17:25,420 Y a lo mejor a vosotros se os da mejor el método suyo o el mío. 119 00:17:25,980 --> 00:17:27,480 Es un método de magia que yo no había visto en mi vida. 120 00:17:28,680 --> 00:17:29,960 ¿Cómo haces este determinante? 121 00:17:30,740 --> 00:17:33,779 Yo voy copiando todo otra vez aquí abajo. 122 00:17:37,779 --> 00:17:42,819 Voy copiando 2 por 0 por 2. 123 00:17:44,380 --> 00:17:46,720 Y ahora vemos cómo lo haces. 124 00:17:47,319 --> 00:17:48,619 0 por 1 por 4. 125 00:17:48,619 --> 00:17:50,900 por 4 126 00:17:50,900 --> 00:17:51,640 y ahora qué? 127 00:17:52,599 --> 00:17:53,079 2 128 00:17:53,079 --> 00:17:55,140 por 0 129 00:17:55,140 --> 00:17:58,259 por 2 130 00:17:58,259 --> 00:18:00,759 ahora multiplico este 131 00:18:00,759 --> 00:18:02,220 aquí me da 0 132 00:18:02,220 --> 00:18:03,779 0 también 133 00:18:03,779 --> 00:18:06,420 y 0 134 00:18:06,420 --> 00:18:09,059 ahora multiplico este también 135 00:18:09,059 --> 00:18:10,839 que este me da 0 aquí 136 00:18:10,839 --> 00:18:12,799 20, 40 137 00:18:12,799 --> 00:18:14,599 a ver, a ver 138 00:18:14,599 --> 00:18:15,380 a ver que ya me entere 139 00:18:15,380 --> 00:18:16,980 A ver que ya me entero 140 00:18:16,980 --> 00:18:19,660 O sea, tú lo repites esto y haces primero 141 00:18:19,660 --> 00:18:21,660 Este por este, este por este, este por este 142 00:18:21,660 --> 00:18:23,720 Y esos son los positivos 143 00:18:23,720 --> 00:18:25,980 Claro, si él en vez de hacer el triángulo 144 00:18:25,980 --> 00:18:26,660 Hace esto 145 00:18:26,660 --> 00:18:27,680 Y luego 146 00:18:27,680 --> 00:18:32,779 Y luego resta 147 00:18:32,779 --> 00:18:35,380 Este, este, este 148 00:18:35,380 --> 00:18:36,380 Y este 149 00:18:36,380 --> 00:18:37,519 A ver 150 00:18:37,519 --> 00:18:40,440 Yo, vuelvo 151 00:18:40,440 --> 00:18:41,920 Ahora ya sé como lo hace 152 00:18:41,920 --> 00:18:44,519 Hago moviola, vale 153 00:18:44,519 --> 00:18:46,720 A lo mejor os resulta más sencillo hacerlo 154 00:18:46,720 --> 00:18:54,960 así, fijaros, yo lo que hago es, es aplicar directamente la regla de Sarro que es esto 155 00:18:54,960 --> 00:19:04,799 0, 5, 2, entonces yo digo, lo que va en la dirección, en esta dirección que es la dirección 156 00:19:04,799 --> 00:19:12,779 principal, este por este por este, 2 por 0 por 2 más, ahora sigo en la dirección, este 157 00:19:12,779 --> 00:19:17,900 por este y ahora salto ahí arriba para hacer el triángulo y entonces multiplico por 0, 158 00:19:18,279 --> 00:19:25,940 sería 3 por 5 por 0, este por este y por este, ¿vale? Y ahora sigo, lo otro que me 159 00:19:25,940 --> 00:19:35,079 queda es esta por esta más 1 por 4 y ahora salto aquí para hacerlo por 0, digo por el 160 00:19:35,079 --> 00:19:59,759 vale, de acuerdo, en vez de hacer esto, lo que hace es esto, coge su, y lo vuelve a escribir aquí abajo, y ahora hace esto, este por este por este, este por este por este, 161 00:19:59,759 --> 00:20:04,569 Este por este por este 162 00:20:04,569 --> 00:20:08,329 Este por este por este 163 00:20:08,329 --> 00:20:12,869 Y ya está 164 00:20:12,869 --> 00:20:13,910 ¿De acuerdo? 165 00:20:14,130 --> 00:20:16,569 ¿Pero las rayitas me las pasas a ver para que multiplicas? 166 00:20:16,609 --> 00:20:18,509 Tú las rayitas en el examen ni si te ocurra poner 167 00:20:18,509 --> 00:20:19,990 Ahorita las pongo para que veáis vosotros 168 00:20:19,990 --> 00:20:21,009 Pero si las ponemos para que veáis 169 00:20:21,009 --> 00:20:23,490 Bueno, pero es que las haces en sucio 170 00:20:23,490 --> 00:20:26,309 Tú las rayitas las pones en sucio 171 00:20:26,309 --> 00:20:28,829 Pero tú no te puedas hacer rayitas en el examen 172 00:20:28,829 --> 00:20:30,789 Es que con las rayitas me he rayado 173 00:20:30,789 --> 00:20:31,549 Que flipas 174 00:20:31,549 --> 00:20:37,730 No hay nada más lógico que rayarse con la rayita, es lo más lógico. 175 00:20:37,950 --> 00:20:39,750 A ver, yo este lo pongo para que veáis por qué. 176 00:20:41,609 --> 00:20:43,430 No, no, pero sigue viendo rayita, escúchame. 177 00:20:43,990 --> 00:20:50,109 Mira, mira, tú sigue con la rayita, verás, porque ahora, no hemos acabado, no hemos acabado. 178 00:20:52,269 --> 00:20:57,650 Entonces, esto es 2, 1, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 2. 179 00:20:57,650 --> 00:21:04,990 Y ahora, a lo que da aquí, hay que restarle lo que da en el otro sentido 180 00:21:04,990 --> 00:21:15,349 Este por este por este, más este por este por ese de ahí arriba 181 00:21:15,349 --> 00:21:21,309 Más este por este y por ese de ahí arriba 182 00:21:21,309 --> 00:21:25,509 Y en su caso 183 00:21:25,509 --> 00:21:28,490 Hace lo mismo pero multiplica 184 00:21:28,490 --> 00:21:29,750 Este por este por este 185 00:21:29,750 --> 00:21:31,069 Este por este por este 186 00:21:31,069 --> 00:21:32,369 Este por este por este 187 00:21:32,369 --> 00:21:33,670 Y este por este por este 188 00:21:33,670 --> 00:21:35,109 ¿De acuerdo? 189 00:21:36,009 --> 00:21:37,609 Y lo resta 190 00:21:37,609 --> 00:21:40,970 No sé cuál de las dos queréis que utilicemos habitualmente 191 00:21:40,970 --> 00:21:41,470 A mí me da bastante 192 00:21:41,470 --> 00:21:43,549 A mí se me ha quedado la que dijiste tú 193 00:21:43,549 --> 00:21:44,970 Pero me da bastante 194 00:21:44,970 --> 00:21:49,349 De todas maneras esto lo tenéis en el aula habitual 195 00:21:49,349 --> 00:21:49,950 Lo tenéis 196 00:21:49,950 --> 00:21:54,990 O sea, tenéis exactamente hecho el esquema de lo que hay que hacer. 197 00:21:55,369 --> 00:22:10,589 Entonces, si yo hago esto, si yo hago esto, esto es 0 y esto es 3 por 2, 6, 6 más 5 por 4, 20, 40, esto es 46. 198 00:22:10,589 --> 00:22:16,970 Que si lo resto, ese determinante vale menos 46, ¿de acuerdo? 199 00:22:16,970 --> 00:22:20,829 calculo el determinante, que es a lo que iba yo fundamentalmente, 200 00:22:21,130 --> 00:22:24,230 el determinante yo para saber el rango de esta matriz, 201 00:22:24,809 --> 00:22:28,210 calculo el determinante de 3 por 3 que hay ahí dentro, 202 00:22:28,950 --> 00:22:34,349 y me da 46 o menos 46, luego el rango de esta matriz es 3. 203 00:22:38,619 --> 00:22:39,859 Eso ya sigue volviendo. 204 00:22:40,299 --> 00:22:42,480 Claro, yo lo que no entiendo es... 205 00:22:42,480 --> 00:22:44,400 Eso, o sea, no entiendo eso. 206 00:22:45,359 --> 00:22:49,220 ¿Por qué? Pues porque dentro de esta matriz hay un determinante que es este, 207 00:22:49,500 --> 00:22:52,240 Que es distinto de 0 y el... 208 00:22:52,240 --> 00:22:54,660 O sea, que si la dimensión fuera 4 sería rango 4. 209 00:22:55,140 --> 00:23:00,500 Sí, pero de 4 no vamos a trabajar porque el determinante de 4 por 4 no te ha enseñado cómo se calcula. 210 00:23:00,599 --> 00:23:02,279 Se calcula de otra manera distinta. 211 00:23:02,759 --> 00:23:05,880 Entonces, ¿qué pasaría si esto fuera 0? 212 00:23:06,099 --> 00:23:09,059 Si aquí me hubiese dado 0, pues que el rango ya no sería 3. 213 00:23:10,740 --> 00:23:16,660 Sería 2 si yo encuentro aquí dentro algún determinante de 2 por 2. 214 00:23:16,660 --> 00:23:25,240 yo puedo coger este, este no es 0, luego si eso me hubiese dado 0, el rango de esta sería 2. 215 00:23:26,019 --> 00:23:32,819 Yo voy diciendo, dentro de una matriz puede haber una matriz de 3x3 que estamos trabajando, 216 00:23:32,980 --> 00:23:36,579 hay un determinante, solo un determinante de 3x3, yo lo calculo. 217 00:23:37,059 --> 00:23:40,420 ¿Que es distinto de 0? Yo ya sé que el rango de la matriz es 3. 218 00:23:40,420 --> 00:23:42,059 ¿qué es cero? 219 00:23:42,339 --> 00:23:44,680 tengo que buscar un determinante 220 00:23:44,680 --> 00:23:46,500 ahí dentro, o sea, coger cuatro 221 00:23:46,500 --> 00:23:48,799 elementos de eso 222 00:23:48,799 --> 00:23:49,900 que me den 223 00:23:49,900 --> 00:23:52,440 distinto de cero, que todos 224 00:23:52,440 --> 00:23:54,619 los que pruebe y todos los que hay ahí 225 00:23:54,619 --> 00:23:56,480 son cero, pues ya el rango 226 00:23:56,480 --> 00:23:57,420 es uno, ¿de acuerdo? 227 00:23:57,420 --> 00:23:58,759 es decir, vamos 228 00:23:58,759 --> 00:24:01,119 ¿puedes repetir eso? 229 00:24:03,720 --> 00:24:05,200 ¿estos son matemáticas? 230 00:24:07,140 --> 00:24:08,480 no os asustéis 231 00:24:08,480 --> 00:24:14,759 Ni con las rayas, ni con las rayitas, ni con los números, son matemáticas, son matemáticas. 232 00:24:15,640 --> 00:24:21,140 Seguro que Raffo se ha puesto muchos menos números, pero muchas más letras que yo. 233 00:24:21,140 --> 00:24:39,119 A ver, insisto, insisto, el rango de una matriz, el rango de una matriz es un número, es decir, que como máximo, como máximo es un número de filas. 234 00:24:39,119 --> 00:24:57,940 Es decir, una matriz que tiene tres filas no puede tener, o sea, tiene que tener, bueno, tres filas y tres columnas, es decir, si tiene tres filas o tres columnas, su rango es como máximo tres, pero puede ser dos o puede ser uno, nunca puede ser cuatro. 235 00:24:57,940 --> 00:25:05,920 En una matriz de tres filas o de tres columnas, el rango puede ser tres, nunca puede ser cuatro, ¿de acuerdo? 236 00:25:06,400 --> 00:25:13,880 Entonces, yo el rango de una matriz lo puedo calcular de dos maneras, de hecho, vais a tener que calcularlo de dos maneras, 237 00:25:14,059 --> 00:25:22,160 o sea, los ejercicios de aplicación de la teoría de matrices y determinantes, vais a tener que, dependiendo del ejercicio y el tipo de ejercicio, 238 00:25:22,160 --> 00:25:26,099 vais a tener que hacerlo de dos, aprender a hacerlo de las dos maneras. 239 00:25:26,799 --> 00:25:36,059 La primera manera es triangulando la matriz y una vez triangulada ver el número de filas distintas de cero que os quedan. 240 00:25:36,519 --> 00:25:40,299 Y entonces el número de filas distintas de cero es el rango de la matriz. 241 00:25:40,940 --> 00:25:46,519 ¿Qué trianguláis os quedan tres distintas de cero? Matriz de rango tres. 242 00:25:46,519 --> 00:25:48,819 que trianguléis y os queda la matriz 243 00:25:48,819 --> 00:25:49,700 con 2 244 00:25:49,700 --> 00:25:52,920 matriz de rango 2 245 00:25:52,920 --> 00:25:54,559 y que os queda solo una 246 00:25:54,559 --> 00:25:55,779 matriz de rango 1 247 00:25:55,779 --> 00:25:58,559 una matriz que como esa 248 00:25:58,559 --> 00:26:00,900 puede tener rango 3, rango 2 o rango 1 249 00:26:00,900 --> 00:26:02,140 ¿de acuerdo? ¿vale? 250 00:26:02,839 --> 00:26:04,140 y hay otra manera de hacerlo 251 00:26:04,140 --> 00:26:05,019 lo mismo 252 00:26:05,019 --> 00:26:08,559 que es dentro de la matriz 253 00:26:08,559 --> 00:26:10,059 dentro de la matriz 254 00:26:10,059 --> 00:26:12,039 ver lo primero 255 00:26:12,039 --> 00:26:14,240 si tengo una matriz 256 00:26:14,240 --> 00:26:15,599 de 3 filas a 3 columnas 257 00:26:15,599 --> 00:26:17,839 ver si dentro, si con sus elementos 258 00:26:17,839 --> 00:26:19,900 puedo formar un determinante 259 00:26:19,900 --> 00:26:21,759 cuyo valor sea distinto de 0 260 00:26:21,759 --> 00:26:23,700 si es así, el rango es 3 261 00:26:23,700 --> 00:26:26,039 que el determinante 262 00:26:26,039 --> 00:26:27,920 de 3 es 0, entonces tengo que pasar 263 00:26:27,920 --> 00:26:29,799 a ver si es de rango 2, para eso 264 00:26:29,799 --> 00:26:31,619 tengo que buscar dentro de la matriz 265 00:26:31,619 --> 00:26:32,960 organizar 266 00:26:32,960 --> 00:26:35,700 determinantes de 2 por 2 267 00:26:35,700 --> 00:26:37,740 de manera que alguna me dé distinto 268 00:26:37,740 --> 00:26:39,579 de 0, si todos me diesen 269 00:26:39,579 --> 00:26:41,579 0, entonces la matriz sería 270 00:26:41,579 --> 00:26:42,440 de rango 1 271 00:26:42,440 --> 00:26:44,039 ¿de acuerdo? 272 00:26:45,599 --> 00:26:57,259 Pero si, nos quedaría mucho para llegar a esa conclusión 273 00:26:57,259 --> 00:26:59,420 Vamos a ir despacito 274 00:26:59,420 --> 00:27:04,960 Por ejemplo 275 00:27:04,960 --> 00:27:09,460 Por ejemplo, vamos a calcular 276 00:27:09,460 --> 00:27:12,000 El rango, me piden el rango 277 00:27:12,000 --> 00:27:13,039 De la matriz 278 00:27:13,039 --> 00:27:15,400 1 menos 2 279 00:27:15,400 --> 00:27:23,680 Tres menos dos, cero, uno, cinco, menos dos, uno. 280 00:27:24,900 --> 00:27:26,420 Me piden el rango de esa matriz. 281 00:27:26,700 --> 00:27:31,819 Esa matriz puede tener rango tres, rango dos o rango uno. 282 00:27:32,359 --> 00:27:34,460 ¿De acuerdo? Eso lo tenéis claro, ¿no? 283 00:27:34,700 --> 00:27:37,839 Tenéis claro que esa matriz nunca puede ser de rango cuatro. 284 00:27:38,279 --> 00:27:41,680 Porque para que fuese de rango cuatro tendría que tener cuatro filas o cuatro columnas. 285 00:27:41,680 --> 00:27:43,119 Y solo tiene tres, ¿vale? 286 00:27:43,720 --> 00:27:48,059 Entonces, voy a hacerlo por el método de Gauss, voy a aplicar los dos métodos. 287 00:27:48,680 --> 00:27:58,039 Por el método de Gauss, yo tengo, si esta es mi diagonal principal, si esta es la diagonal principal de esa matriz, 288 00:27:58,579 --> 00:28:05,839 tengo que convertir en ceros estos tres elementos, es decir, tengo que triangular la matriz, ¿vale? 289 00:28:05,839 --> 00:28:08,119 Tengo que triangular esa matriz, ¿vale? 290 00:28:08,119 --> 00:28:34,599 Ok, entonces voy a empezar con este elemento, voy a empezar con este elemento, voy a convertir en cero este elemento y entonces para convertir en cero ese elemento yo digo, como el elemento está en la primera columna tengo que trabajar con la primera fila y esta, es decir, con F1 y con F2. 291 00:28:34,599 --> 00:28:44,480 Y además multiplico cruzado, cruzado, esta por menos 2 y esta por 1 y lo resto 292 00:28:44,480 --> 00:28:52,880 ¿Eso qué es? Tengo que multiplicar por menos 2 la fila de arriba y me quedaría menos 2, 4 y menos 6 293 00:28:52,880 --> 00:28:58,400 Y por 1 la fila de abajo, menos 2, 0 y 1 294 00:28:58,400 --> 00:29:04,279 Y ahora los resto, esto me queda 0, esto me queda 4 y esto me queda menos 7 295 00:29:04,279 --> 00:29:18,039 Luego, 1, menos 2, 3, 0, 4, menos 7, 5, menos 2, 1. 296 00:29:18,519 --> 00:29:18,940 ¿De acuerdo? 297 00:29:19,940 --> 00:29:21,740 Lo estoy grabando, ¿eh? 298 00:29:23,180 --> 00:29:26,259 O sea que si no queréis copiar, lo estoy grabando. 299 00:29:26,259 --> 00:29:28,279 No, no, yo solo grabo la pizarra y mi voz. 300 00:29:28,619 --> 00:29:30,079 Bueno, y tú, y las voces vuestras. 301 00:29:30,680 --> 00:29:32,000 No, no, no tiene cámara. 302 00:29:32,000 --> 00:29:34,640 no, no hay cámaras, no se os graba a vosotros 303 00:29:34,640 --> 00:29:36,500 ni a mí, se graba la pizarra 304 00:29:36,500 --> 00:29:37,680 y mi voz y la apuestas 305 00:29:37,680 --> 00:29:40,420 bueno, están subidos los vídeos 306 00:29:40,420 --> 00:29:42,680 de la semana pasada, si los queréis ver están ahí 307 00:29:42,680 --> 00:29:43,400 bueno 308 00:29:43,400 --> 00:29:46,119 hemos convertido esto en cero 309 00:29:46,119 --> 00:29:48,240 vamos a convertir este 310 00:29:48,240 --> 00:29:50,519 entonces 311 00:29:50,519 --> 00:29:52,859 como está en la primera columna 312 00:29:52,859 --> 00:29:55,039 voy a trabajar también con la primera fila 313 00:29:55,039 --> 00:29:56,119 vale, y una pregunta 314 00:29:56,119 --> 00:29:58,920 ¿por qué vas a, como has dicho, a convertir 315 00:29:58,920 --> 00:30:00,700 ese punto 5 316 00:30:00,700 --> 00:30:03,380 y no en uno de arriba y abajo 317 00:30:03,380 --> 00:30:04,859 pues por lo que te he dicho al principio 318 00:30:04,859 --> 00:30:06,500 porque 319 00:30:06,500 --> 00:30:08,059 yo voy a triangular 320 00:30:08,059 --> 00:30:11,000 triangular es coger la diagonal principal 321 00:30:11,000 --> 00:30:12,759 y convertir en cero 322 00:30:12,759 --> 00:30:14,420 es más difícil 323 00:30:14,420 --> 00:30:16,680 es igual pero se complica más la vida 324 00:30:16,680 --> 00:30:19,259 visualmente es más complicado 325 00:30:19,259 --> 00:30:21,140 es más fácil hacerlo con los de abajo 326 00:30:21,140 --> 00:30:22,759 bueno, entonces 327 00:30:22,759 --> 00:30:25,079 he convertido este 328 00:30:25,079 --> 00:30:26,160 ahora me toca este 329 00:30:26,160 --> 00:30:28,680 entonces yo siempre digo, miro lo mismo 330 00:30:28,680 --> 00:30:49,880 El método es, yo cojo, esto está en la primera columna, el elemento que yo quiero cambiar está en la primera columna, luego tengo que trabajar esa fila y la primera fila y ahora multiplico cruzado, es decir, la primera fila lo multiplico por ese 5 y la tercera fila lo multiplico por ese 1 y luego la resto. 331 00:30:49,880 --> 00:31:07,059 Entonces si multiplico la de arriba por 5 esto me queda 5 menos 10 y 15 y la de abajo me queda 5 menos 2 y 1 y si los restos me queda 0 menos 8 y 14. 332 00:31:07,059 --> 00:31:24,599 Y entonces, esta fila, esta fila, esta fila la sustituyo por esto, es decir, me queda 1, menos 2, 3, 0, 4, menos 7 y esta fila donde está el elemento que quiero hacer 0, lo sustituyo por lo que me ha dado aquí. 333 00:31:24,599 --> 00:31:31,440 Y ahora por último voy a convertir en cero este, que es el otro que me queda. 334 00:31:32,200 --> 00:31:40,259 Entonces, como está en la segunda columna, tengo que trabajar con la segunda fila, es decir, f2 y f3. 335 00:31:40,720 --> 00:31:48,039 Y multiplico cruzado, la de arriba la multiplico por menos 8 y la de abajo por 4 y lo resto. 336 00:31:48,039 --> 00:31:55,819 Si multiplico la de arriba por menos 8 me queda 0, menos 32 y 56, ¿no? 337 00:31:56,480 --> 00:31:58,079 Este es un 7, ¿vale? 338 00:31:59,079 --> 00:32:01,019 Multiplicando por 8, estoy haciendo esta operación. 339 00:32:01,640 --> 00:32:05,099 Multiplicar la fila 2 por menos 8 y la de abajo por 4. 340 00:32:05,660 --> 00:32:09,839 0, 4 por menos 8 menos 32. 341 00:32:11,640 --> 00:32:18,019 Y 14 por 4 es 4, 16, 4, 56. 342 00:32:18,039 --> 00:32:19,140 vale 343 00:32:19,140 --> 00:32:22,059 cuidado, esto queda 0 344 00:32:22,059 --> 00:32:23,740 esto 345 00:32:23,740 --> 00:32:25,819 me queda 0 346 00:32:25,819 --> 00:32:27,759 y esto me queda 0 347 00:32:27,759 --> 00:32:29,480 fijaros que me quedan todas 0 348 00:32:29,480 --> 00:32:31,759 porque has multiplicado, o sea, la fila 349 00:32:31,759 --> 00:32:32,839 3 350 00:32:32,839 --> 00:32:35,279 yo las cambio, las cambio 351 00:32:35,279 --> 00:32:36,839 o sea, yo empiezo diciendo 352 00:32:36,839 --> 00:32:38,519 si, si, pero que porque no las he multiplicado 353 00:32:38,519 --> 00:32:40,180 que es que no lo veo, ah, esto, ah, un 4 354 00:32:40,180 --> 00:32:42,960 o sea, es, las multiplico cruzadas 355 00:32:42,960 --> 00:32:44,740 la de arriba por esta y la de abajo 356 00:32:44,740 --> 00:32:46,700 por esta, o sea, yo siempre si estoy trabajando con 357 00:32:46,700 --> 00:32:55,259 dos filas, multiplico cruzado. Siempre. ¿De acuerdo? Entonces, resulta que tengo que poner 358 00:32:55,259 --> 00:33:11,000 1, menos 2, 3, 0, 4, menos 7 y 0, 0, 0. La tengo triangular. ¿Cuántas filas distintas 359 00:33:11,000 --> 00:33:18,359 de 0 hay aquí? 2. Luego el rango de esta matriz. Pues yo haciéndolo de otra forma 360 00:33:18,359 --> 00:33:23,920 me salía 3. ¿De qué forma? De la otra de los... Ah, de los determinantes. Sí. Vamos 361 00:33:23,920 --> 00:33:28,940 a ver. Vamos a ver. No, no, se lo habré liado yo para ahí, pero... No, vamos a ver. Vale, 362 00:33:29,119 --> 00:33:35,480 está claro cómo se calcula el rango de una matriz triangulándola y sobre todo cómo 363 00:33:35,480 --> 00:33:40,759 se triangula una matriz, porque la triangulación de matrices la vamos a utilizar para la 364 00:33:40,759 --> 00:33:42,420 resolución de sistemas de ecuaciones. 365 00:33:43,200 --> 00:33:43,920 Dos cosas. 366 00:33:44,700 --> 00:33:47,180 ¿El rango lo saca 367 00:33:47,180 --> 00:33:48,460 porque has cambiado dos filas, no? 368 00:33:48,740 --> 00:33:50,559 No. El rango lo saco porque 369 00:33:50,559 --> 00:33:52,460 una vez que yo he triangulado la matriz 370 00:33:52,460 --> 00:33:54,160 resulta que miro 371 00:33:54,160 --> 00:33:56,619 las filas distintas de cero, es decir, 372 00:33:56,680 --> 00:33:58,599 las filas en que hay algún 373 00:33:58,599 --> 00:34:00,640 elemento distinto de cero y ese es 374 00:34:00,640 --> 00:34:02,500 el rango de la matriz. De estas 375 00:34:02,500 --> 00:34:04,259 tres filas, esta es todo cero. 376 00:34:04,420 --> 00:34:06,779 No me entra. No entra. Entonces entrarían 377 00:34:06,779 --> 00:34:08,579 estas dos que son distintas de cero. 378 00:34:08,659 --> 00:34:09,719 Ese es el rango de la matriz. 379 00:34:09,719 --> 00:34:14,320 ¿Y la fila esa 3, lo que te había preguntado de 4, por qué las multiplica por 4? 380 00:34:14,420 --> 00:34:19,980 Porque yo lo que hago es, estoy trabajando, a ver, el proceso una vez que está escrito lo repito. 381 00:34:20,860 --> 00:34:25,500 Yo lo primero que hago es ver qué elementos tengo que convertir en ceros. 382 00:34:25,860 --> 00:34:37,119 Entonces, tengo que convertir en ceros, cojo la diagonal principal y los elementos que hay por debajo tengo que convertirlos en ceros. 383 00:34:37,119 --> 00:34:46,679 Eso es lo que tengo primero. Y entonces ahora empiezo y digo, voy con un poco de orden y digo, bueno, pues ahora voy a empezar, ¿por cuál voy a empezar? Voy a empezar por este. 384 00:34:48,199 --> 00:34:54,480 Entonces yo siempre actúo de la misma manera. Digo, ¿dónde está el elemento ese? En la primera columna, ¿no? 385 00:34:55,280 --> 00:35:01,440 Pues entonces, como está en la primera columna, yo voy a trabajar con esa fila, la fila 2 y con la fila 1. 386 00:35:01,440 --> 00:35:09,900 y entonces pongo fila 1 y las voy a restar, pero tengo que, para que aquí me quede un 0, tengo que multiplicar las cruzadas, 387 00:35:09,900 --> 00:35:20,019 es decir, esta lo multiplico por menos 2 y esta por 1, ¿veis? y lo resto, yo lo hago aquí y entonces me queda esto, 388 00:35:20,219 --> 00:35:27,760 esto que me queda aquí es lo que voy a poner en vez de la fila donde está el elemento que yo quiero ceros, ¿vale? 389 00:35:27,760 --> 00:35:35,960 Yo las otras dos las dejo igual y esta fila, esta fila la cambio por esto, ¿vale? 390 00:35:36,719 --> 00:35:37,699 Primer elemento. 391 00:35:38,579 --> 00:35:39,920 Segundo elemento, ahora este. 392 00:35:40,539 --> 00:35:48,340 Este elemento está en la primera columna, sigo trabajando con la primera fila y entonces digo fila 1 y fila 3 y ahora vuelvo a hacer lo mismo. 393 00:35:49,179 --> 00:35:52,079 Este por 5 y este por 1, es decir, no tengo nada que pensar. 394 00:35:52,840 --> 00:35:55,500 No tengo nada que pensar, yo los multiplico cruzados. 395 00:35:55,500 --> 00:36:03,659 Lo hago, multiplico la fila 1 por 5, la fila 2, digo la fila 3 por 1 y lo resto. 396 00:36:04,099 --> 00:36:07,760 Y me queda esto. Bueno, pues esta fila la sustituyo por esta. 397 00:36:09,659 --> 00:36:10,960 Sería menos 10 menos 12. 398 00:36:10,960 --> 00:36:11,760 Estoy restando. 399 00:36:11,860 --> 00:36:13,079 Menos 10 menos menos 12. 400 00:36:13,199 --> 00:36:15,400 Claro. Estoy restando, no estoy sumando. 401 00:36:15,940 --> 00:36:20,920 Si estuviese sumando, sí, si estuviese sumando serían menos 10 más menos 2 serían menos 12. 402 00:36:21,280 --> 00:36:23,639 Pero que estoy restando, es menos 10 menos menos. 403 00:36:23,639 --> 00:36:27,679 A ver, esto no tiene ninguna importancia. 404 00:36:28,860 --> 00:36:32,039 Esto no tiene ninguna importancia porque tenéis una calculadora. 405 00:36:32,880 --> 00:36:34,639 Es decir, aquí... 406 00:36:37,940 --> 00:36:44,820 También os digo que la calculadora más vale que os empecéis a traer la que vais a utilizar en el examen. 407 00:36:45,380 --> 00:36:50,099 Porque si no, yo no hago más que deciroslo, cuando lleguéis al examen no vais a saber manejar la calculadora. 408 00:36:50,099 --> 00:36:51,300 Esto se permite, ¿no? 409 00:36:51,719 --> 00:36:53,179 La científica no se lo haría. 410 00:36:53,179 --> 00:36:54,139 Pero esta no. 411 00:36:55,360 --> 00:36:56,340 ¿Esta no vale? 412 00:36:56,539 --> 00:36:57,019 No, no. 413 00:36:57,119 --> 00:37:00,320 Entonces tiene la forma de datos que es horrible. 414 00:37:01,119 --> 00:37:03,699 Introduces las fracciones, las introduces. 415 00:37:04,159 --> 00:37:06,719 La que es de la científica de toda la vida, esa no vale. 416 00:37:07,860 --> 00:37:09,699 ¿Pero de qué vida? ¿De toda la vida cuál? 417 00:37:11,539 --> 00:37:14,300 Esta tampoco. Tiene que ser la que tiene José Luis. 418 00:37:14,840 --> 00:37:23,039 La importante es que la tecla de las fracciones la tenga en forma de fracción. 419 00:37:23,179 --> 00:37:34,059 ¿Vale? Bueno, habéis visto cómo se calcula el rango de una matriz mediante Gauss, ¿vale? 420 00:37:34,280 --> 00:37:37,219 Vamos a hacer ahora lo mismo, pero con determinante. 421 00:37:38,280 --> 00:37:39,559 A ver, uy, madre mía. 422 00:37:40,679 --> 00:37:51,380 Bueno, tenemos esa matriz, entonces yo en esa matriz tengo 1, menos 2, 3, menos 2, 0, 1, 5, menos 2, 1. 423 00:37:51,380 --> 00:38:03,960 Bueno, yo en esta matriz, que es una matriz cuadrada, solo hay un determinante de 3 por 3, entonces voy a ver si ese determinante me da distinto de 0, entonces la matriz tendría rango 3. 424 00:38:03,960 --> 00:38:25,079 Voy a ver, lo hago, esto es, este por este por este, 1 por 0 por 1, más este por este por este, menos 2 por menos 2 por 3, más este por este por este, menos 2 por 1 y por 5. 425 00:38:25,079 --> 00:38:44,440 Y ahora, por el otro lado, este por este por este, 5 por 0 por 3, más este por este por este, menos 2 por 1 y por 1, y más menos 2 por menos 2 por 1. 426 00:38:44,440 --> 00:38:49,639 esto sin varias rayitas 427 00:38:49,639 --> 00:38:51,000 ¿vale? 428 00:38:51,199 --> 00:38:52,179 ¿habéis visto como lo he hecho? 429 00:38:53,000 --> 00:38:54,940 ¿sí? os aseguro 430 00:38:54,940 --> 00:38:57,599 que si en casa os ponéis con un poco de tranquilidad 431 00:38:57,599 --> 00:38:59,079 y os hacéis un par de ellos 432 00:38:59,079 --> 00:39:01,099 hechos dos, hechos todos 433 00:39:01,099 --> 00:39:03,039 son todos iguales 434 00:39:03,039 --> 00:39:05,519 no te vas a ir a por la ventana, yo no he contenido ningún alumno 435 00:39:05,519 --> 00:39:07,079 que para aprender determinantes 436 00:39:07,079 --> 00:39:08,300 tenga que tirarse por la ventana 437 00:39:08,300 --> 00:39:11,320 eso no, habrá otras cosas 438 00:39:11,320 --> 00:39:13,320 a lo mejor si por hacer determinantes 439 00:39:13,320 --> 00:39:14,880 no he visto a nadie que se pide por la ventana 440 00:39:14,880 --> 00:39:27,039 Entonces aquí calculo esto, esto es 0, esto es 4 por 3, 12 y esto es 2, luego esto es menos 10, o sea que son 2, ¿vale? 441 00:39:27,260 --> 00:39:37,480 Y estos son 0, estos son menos 2 y esto es 4, luego esto es 2, luego 2 menos 2, 0. 442 00:39:38,420 --> 00:39:43,760 Luego, este matriz no tiene orden 3, o sea, no tiene rango 3. 443 00:39:43,880 --> 00:39:49,599 ¿Por qué? Porque el único determinante de 3 por 3 que hay dentro es 0. 444 00:39:49,880 --> 00:39:52,239 Voy a ver si ahora tengo que ver si tiene rango 2. 445 00:39:52,239 --> 00:39:57,679 Para eso, ¿qué hago? Empiezo a coger, yo empiezo como quiera, digo, bueno, voy a coger estos 4. 446 00:39:57,679 --> 00:40:09,659 A ver, 1 menos 2, menos 2, 0. Esto es 1 por 0 menos menos 2 por menos 2. Esto es menos 4. 447 00:40:10,099 --> 00:40:17,000 Efectivamente, hay un determinante de orden 2, luego el rango de esta matriz. 448 00:40:17,000 --> 00:40:27,500 A ver, yo aquí dentro, con estos elementos, con estas filas y estas columnas, yo solo tengo un determinante. 449 00:40:27,679 --> 00:40:29,599 que es este. No puedo hacerlo 450 00:40:29,599 --> 00:40:31,179 de otra manera. ¿De acuerdo? 451 00:40:32,219 --> 00:40:33,639 ¿Vale? Porque, 452 00:40:34,000 --> 00:40:35,699 a ver, para hacer los determinantes 453 00:40:35,699 --> 00:40:37,199 yo no puedo, o sea, yo no puedo 454 00:40:37,199 --> 00:40:39,559 enjuagar esto, ¿eh? O sea, yo tengo 455 00:40:39,559 --> 00:40:41,219 que cogerlos en su sitio. 456 00:40:41,280 --> 00:40:43,440 De cuadrado a cuadrado. O sea, 457 00:40:43,619 --> 00:40:43,800 ¿cómo? 458 00:40:45,840 --> 00:40:46,559 Sí, claro. 459 00:40:46,619 --> 00:40:49,039 Es que no me voy a explicar. 460 00:40:49,699 --> 00:40:51,559 A ver, el de 3 por 3 461 00:40:51,559 --> 00:40:52,820 está claro que solo hay ese. 462 00:40:54,820 --> 00:40:55,800 ¿Cómo que 3 por 3? 463 00:40:56,380 --> 00:40:57,579 3 por 3 es 464 00:40:57,579 --> 00:41:08,480 A ver, chicos y chicas, estamos hablando de matrices, por lo tanto, estamos hablando de dimensiones de número de filas por número de columnas. 465 00:41:08,739 --> 00:41:12,940 Cuando yo digo 3 por 3 es porque es un determinante de 3 filas y 3 columnas. 466 00:41:13,300 --> 00:41:16,579 Dentro de esta matriz solo hay este. 467 00:41:19,219 --> 00:41:20,659 Yo veo mucho un número. 468 00:41:21,199 --> 00:41:22,920 Pero de 3 por 3 solo hay este. 469 00:41:23,519 --> 00:41:24,460 Ah, claro, tiene un número. 470 00:41:24,460 --> 00:41:26,000 O sea, 3 filas y 3 columnas. 471 00:41:26,000 --> 00:41:26,280 Ah, ahí va. 472 00:41:26,820 --> 00:41:27,320 Solo hay este. 473 00:41:27,579 --> 00:41:43,880 Solo hay esto, ¿de acuerdo? Ahora, de 2 por 2 hay muchos, porque de 2 por 2 yo puedo coger, y volvemos a las rayitas, yo puedo coger esto y tengo un determinante de 2 por 2, ¿vale? 474 00:41:43,880 --> 00:42:08,780 Yo puedo coger este, ¿no? Y tengo un determinante de 2 por 2 también, ¿no? Yo puedo coger esto y tengo otro determinante de 2 por 2 que hay ahí dentro, ¿no? Luego puedo coger este y es otro. Es decir, si el primero que cojo me da 0, tendría que ir cogiendo más a ver si hay alguno ahí dentro. También puedo coger esto con esto, ¿no? 475 00:42:08,780 --> 00:42:13,719 De ahí dentro hay muchos 476 00:42:13,719 --> 00:42:15,980 Es que en una matriz de 3x3 477 00:42:15,980 --> 00:42:18,159 De 2 hay muchos 478 00:42:18,159 --> 00:42:19,599 Vale, y si yo quiero coger 479 00:42:19,599 --> 00:42:22,239 S5 y S-2 puedo 480 00:42:22,239 --> 00:42:24,659 Depende para qué 481 00:42:24,659 --> 00:42:26,219 Tú tienes que coger 4 elementos 482 00:42:26,219 --> 00:42:29,059 Y no puedes cambiarlos de sitio 483 00:42:29,059 --> 00:42:31,199 Es decir, yo puedo coger 484 00:42:31,199 --> 00:42:32,340 Yo no los puedo cambiar de sitio 485 00:42:32,340 --> 00:42:33,340 Yo puedo coger este 486 00:42:33,340 --> 00:42:34,840 Con este 487 00:42:34,840 --> 00:42:39,400 claro, o sea, no podrías coger ese 5 488 00:42:39,400 --> 00:42:40,619 con ese menos 2 y luego 489 00:42:40,619 --> 00:42:43,380 el de ahí arriba con el 1 abajo 490 00:42:43,380 --> 00:42:45,199 no, tiene que ser de la misma fila 491 00:42:45,199 --> 00:42:46,699 vale, efectivamente 492 00:42:46,699 --> 00:42:49,719 de acuerdo 493 00:42:49,719 --> 00:42:53,539 claro, tú lo que haces es 494 00:42:53,539 --> 00:42:55,380 quitas esta y coges 495 00:42:55,380 --> 00:42:57,900 esta con esta, esta con esta, esta con esta 496 00:42:57,900 --> 00:42:59,579 y ya está, luego quitas esta 497 00:42:59,579 --> 00:43:01,139 y coges esta con esta 498 00:43:01,139 --> 00:43:02,940 sabes, o sea, eso es lo que 499 00:43:02,940 --> 00:43:08,539 Así es como se hace, se va quitando las filas, una fila o una columna y vas más, más. 500 00:43:10,039 --> 00:43:15,480 Si alguno de esos determinantes nos da distinto de cero, que es el caso, porque este me ha dado distinto de cero, 501 00:43:15,840 --> 00:43:21,239 he visto que el determinante de 3 por 3 da cero, luego eso no tiene rango 3. 502 00:43:21,920 --> 00:43:27,300 Pero ya tengo un determinante de orden 2, que tiene luego el rango de esta matriz, es 2. 503 00:43:27,820 --> 00:43:29,539 ¿Pero y por qué es 2 si hay una matriz 4? 504 00:43:30,260 --> 00:43:38,559 Porque yo no estoy diciendo que el rango de la matriz sea el valor del determinante, sino el orden del determinante. 505 00:43:38,619 --> 00:43:48,679 Como ese determinante es de orden 2, escúchame, como el determinante es de orden 2, entonces el rango es 2. 506 00:43:49,300 --> 00:43:57,300 Yo no he dicho que juguemos con este valor en absoluto, sino con el orden del determinante que es distinto. 507 00:43:57,300 --> 00:44:12,619 ¿De acuerdo? ¿Vale? Bueno, eso es para calcular el rango. Y por último, que era lo que yo quería que viéramos hoy, hay muchísimo más. Así que no os vengáis abajo que no pasa nada. 508 00:44:12,619 --> 00:44:38,800 Es decir, estáis haciendo un nivel de segundo de bachillerato, el nivel de segundo de bachillerato y es lo que hay, y el temario es muy amplio, pero rebajaros y disfrutad haciéndolo. 509 00:44:38,800 --> 00:44:58,539 No tiene ningún, de verdad que no tiene ningún, lo vais haciendo con mucha tranquilidad, tenéis los apuntes en el aula virtual, tenéis las clases grabadas, tenéis ejercicios, podéis por el aula virtual preguntarme cosas, es decir, a veces sí os tenéis que sentar a trabajar, eso sí. 510 00:44:58,539 --> 00:45:22,099 O sea, con lo que yo os explico aquí, lo único que vais a hacer, si solamente os quedáis aquí, liaros, pues claro, esto va aumentando, pero sí, después de que yo os doy la clase, no os digo mañana, pero sí a lo largo de la semana, os sentáis media hora a hacer unos cuantos, veréis que la cosa no está complicada, es bastante sencillo, bastante sencillo. 511 00:45:22,099 --> 00:45:32,000 Bueno, entonces, última, última, última, lo diré, última aplicación de los determinantes. 512 00:45:32,000 --> 00:45:36,579 Es inversa de una matriz. 513 00:45:41,820 --> 00:45:51,679 Bueno, esto también se aplica, además es lógico pensarlo, puesto que vamos a trabajar con determinantes, 514 00:45:52,099 --> 00:45:54,260 Solo para matrices cuadradas. 515 00:45:55,019 --> 00:46:00,039 Las matrices que no son cuadradas no tienen determinante y no tienen inversa. 516 00:46:00,519 --> 00:46:03,099 Entonces, solo matrices cuadradas. 517 00:46:03,099 --> 00:46:13,559 Entonces, se llama inversa de una matriz A y se escribe como A elevado a menos uno de mi cabeza. 518 00:46:13,840 --> 00:46:14,900 Esta salió de mi cabeza. 519 00:46:15,480 --> 00:46:17,340 Yo podría poner en vez de A, puedo ponerte B. 520 00:46:18,760 --> 00:46:20,940 O C, o D, o E. 521 00:46:22,099 --> 00:46:23,219 como tú te dé la gana 522 00:46:23,219 --> 00:46:25,980 las matrices en matemáticas siempre se nombran 523 00:46:25,980 --> 00:46:27,619 con una letra mayúscula 524 00:46:27,619 --> 00:46:30,139 o sea las matrices cuando os la den en los ejercicios 525 00:46:30,139 --> 00:46:32,199 veréis que os dicen dada la matriz A 526 00:46:32,199 --> 00:46:33,340 dada la matriz B 527 00:46:33,340 --> 00:46:34,500 dada la matriz C 528 00:46:34,500 --> 00:46:36,119 que se nombran así 529 00:46:36,119 --> 00:46:39,980 entonces si te dan una matriz cualquiera 530 00:46:39,980 --> 00:46:41,260 cuadrada 531 00:46:41,260 --> 00:46:43,820 por supuesto porque ya os he dicho 532 00:46:43,820 --> 00:46:45,860 que solamente tienen 533 00:46:45,860 --> 00:46:47,460 inversa las matrices cuadradas 534 00:46:47,460 --> 00:46:48,900 y no todas 535 00:46:48,900 --> 00:46:50,659 y no todas 536 00:46:50,659 --> 00:47:11,900 No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Se dice que dada una matriz A, la matriz A elevada a menos 1 es su inversa si al multiplicarlas lo que nos da es la matriz identica. 537 00:47:11,900 --> 00:47:15,639 ¿Cómo se llamaba la matriz de identidad? 538 00:47:15,780 --> 00:47:17,940 Ah, la diagonal principal, ¿de acuerdo? 539 00:47:19,000 --> 00:47:21,320 No, no conviene, o sea, lo de la identidad. 540 00:47:21,460 --> 00:47:25,280 Sí, claro, por eso, es una matriz de identidad. 541 00:47:25,780 --> 00:47:31,639 Entonces, ¿cuál es la inversa de 3? 542 00:47:33,639 --> 00:47:36,739 ¿Cuál es el inverso, el número inverso de 3? 543 00:47:36,739 --> 00:47:40,599 Es el opuesto, 1 partido de 3. 544 00:47:41,900 --> 00:47:43,500 ¿Por qué? 545 00:47:44,300 --> 00:47:44,639 ¿Por qué? 546 00:47:46,099 --> 00:47:46,460 ¿Por qué? 547 00:47:49,420 --> 00:47:50,079 ¿Por qué? 548 00:47:51,480 --> 00:47:52,179 ¿Por qué? 549 00:47:53,179 --> 00:47:54,400 Y ahora yo no estoy hablando de matices 550 00:47:54,400 --> 00:47:56,219 ¿Por qué? 551 00:47:56,599 --> 00:47:57,719 ¿Cuál es? 552 00:47:58,599 --> 00:47:59,820 Es 1 553 00:47:59,820 --> 00:48:01,679 Es 1 554 00:48:01,679 --> 00:48:03,539 Es 1 555 00:48:03,539 --> 00:48:05,920 Entonces, la inversa de algo 556 00:48:05,920 --> 00:48:08,179 Es aquello, la inversa de un número 557 00:48:08,179 --> 00:48:10,460 Es aquel número que multiplicado por él 558 00:48:10,460 --> 00:48:11,320 Da 1 559 00:48:11,320 --> 00:48:13,579 el opuesto es el número 560 00:48:13,579 --> 00:48:14,719 que es sumado a cero 561 00:48:14,719 --> 00:48:17,139 y esos son conceptos 562 00:48:17,139 --> 00:48:19,000 que permanecen 563 00:48:19,000 --> 00:48:21,780 esos son conceptos que permanecen 564 00:48:21,780 --> 00:48:24,260 a lo largo de todas las matemáticas 565 00:48:24,260 --> 00:48:25,739 el inverso de algo 566 00:48:25,739 --> 00:48:27,699 es aquello que multiplicado por él 567 00:48:27,699 --> 00:48:28,960 da la unidad 568 00:48:28,960 --> 00:48:32,039 en el caso de los números es el uno 569 00:48:32,039 --> 00:48:33,559 en el caso de las matrices 570 00:48:33,559 --> 00:48:35,260 es la matriz identidad 571 00:48:35,260 --> 00:48:37,659 el inverso 572 00:48:37,659 --> 00:48:38,639 de un 573 00:48:38,639 --> 00:48:41,320 es el inverso de un número 574 00:48:41,320 --> 00:48:43,059 o del inverso de la matriz 575 00:48:43,059 --> 00:48:45,280 o el inverso del seno 576 00:48:45,280 --> 00:48:46,719 o el inverso de lo que sea 577 00:48:46,719 --> 00:48:48,820 es aquello que multiplicado 578 00:48:48,820 --> 00:48:50,820 ya está 579 00:48:50,820 --> 00:48:52,800 pero que seno, eso ahora que es 580 00:48:52,800 --> 00:48:54,679 ya está, tú si no entiendes 581 00:48:54,679 --> 00:48:56,360 tú escúchame, tú escúchame 582 00:48:56,360 --> 00:48:59,500 porque estás más a decir que no sabes 583 00:48:59,500 --> 00:49:00,920 que aprender 584 00:49:00,920 --> 00:49:01,360 entonces 585 00:49:01,360 --> 00:49:05,420 si tú, claro, que da la unidad 586 00:49:05,420 --> 00:49:06,960 entonces si multiplicas 587 00:49:06,960 --> 00:49:12,739 Una matriz, por su inversa, te da la unidad de matriz, que es la matriz identidad. 588 00:49:13,179 --> 00:49:13,599 ¿De acuerdo? 589 00:49:14,599 --> 00:49:15,760 ¿Pero eso no se lo ha dividido? 590 00:49:16,559 --> 00:49:17,000 ¿El qué? 591 00:49:17,059 --> 00:49:17,900 ¿Eso ya ha dividido? 592 00:49:18,119 --> 00:49:18,440 ¿El qué? 593 00:49:18,659 --> 00:49:20,800 Lo de la inversa, claro. 594 00:49:21,920 --> 00:49:31,059 El inverso de un número, o de una matriz, o de algo, es aquello que multiplicado por él da la unidad. 595 00:49:31,500 --> 00:49:35,219 No dividido, que multiplicado por él da la unidad. 596 00:49:35,260 --> 00:49:35,980 ¿Y la unidad qué es? 597 00:49:35,980 --> 00:49:39,019 ¿De acuerdo? La unidad si estamos hablando de números es 1. 598 00:49:39,739 --> 00:49:42,659 Si estamos hablando de matrices es la matriz de identidad. 599 00:49:43,059 --> 00:49:50,860 ¿De acuerdo? Entonces, ¿cómo se calcula la inversa de una matriz? 600 00:49:50,860 --> 00:49:55,320 No todas las matrices tienen inversa. 601 00:49:55,900 --> 00:50:02,320 De hecho, hay un problema típico, un ejercicio típico de examen que es 602 00:50:02,320 --> 00:50:05,840 decir si una matriz 603 00:50:05,840 --> 00:50:07,320 tiene inversa, si esta matriz 604 00:50:07,320 --> 00:50:08,940 una determinada matriz tiene inversa 605 00:50:08,940 --> 00:50:10,579 o lo que es lo mismo 606 00:50:10,579 --> 00:50:12,400 es invertible 607 00:50:12,400 --> 00:50:15,500 que tenga inversa y que sea invertible 608 00:50:15,500 --> 00:50:16,280 es lo mismo 609 00:50:16,280 --> 00:50:19,260 ¿de acuerdo? entonces hay un ejercicio 610 00:50:19,260 --> 00:50:21,039 típico del examen que es 611 00:50:21,039 --> 00:50:22,380 dar a la matriz no sé qué 612 00:50:22,380 --> 00:50:25,179 decir si es invertible o no 613 00:50:25,179 --> 00:50:26,460 ¿y cómo sabemos? 614 00:50:26,820 --> 00:50:28,420 ¿cómo sabemos? pues primero 615 00:50:28,420 --> 00:50:31,219 ¿cómo se calcula la matriz inversa? 616 00:50:31,219 --> 00:50:48,460 La matriz inversa, la matriz inversa de una matriz es, tú copiadlo, copiadlo, copiadlo, adjunta, adj, adjunta, matriz adjunta de A, 617 00:50:49,159 --> 00:50:53,900 traspuesta y dividida por el determinante de A. 618 00:50:54,420 --> 00:50:55,860 ¿Y adjunta se refiere a qué es? 619 00:50:55,860 --> 00:50:58,559 Ahora os digo lo que es la rata, que todavía no lo hemos visto. 620 00:50:58,559 --> 00:51:10,400 Para poder calcular esto tengo que decir lo que es la matriz adjunta porque lo que es transponer ya sabemos lo que es transponer y el determinante de A ya sabemos calcularlo, es el determinante como lo hemos sabido calcular. 621 00:51:10,400 --> 00:51:20,699 Entonces fijaros, primera cosa, para que esto sea algo, esto tiene que ser distinto de cero porque no puedes dividir una cosa por cero. 622 00:51:20,699 --> 00:51:49,440 Entonces, la condición para que, lo primero que tiene que pasar para que una matriz tenga inversa, no te desesperes, para que exista la inversa tiene que pasar que el determinante de la matriz sea distinto de cero. 623 00:51:49,440 --> 00:52:01,340 Si una matriz, esa es la forma de calcular cuando a ti te preguntan en el examen, decir si la matriz tiene inversa, tú calculas el determinante y si el determinante es 0, la matriz de 0 sí tiene inversa. 624 00:52:01,800 --> 00:52:11,559 ¿De acuerdo? Saber si una matriz tiene inversa es muy sencillo, te limitas a calcular su determinante y dependiendo de su valor, tiene inversa o no tiene inversa. 625 00:52:11,559 --> 00:52:13,360 ¿De acuerdo? Vale. 626 00:52:14,480 --> 00:52:19,519 Entonces, de todo esto, lo único que no sabemos calcular es la adjunta de una matriz. 627 00:52:19,519 --> 00:52:49,630 Entonces, la adjunta de una matriz es la matriz en que se sustituye cada elemento por su determinante adjunto, 628 00:52:49,630 --> 00:53:20,920 que es, determinante adjunto, que es el que queda después de quitar su fila y su columna. 629 00:53:24,150 --> 00:53:26,070 Voy a hacer una para que veáis. 630 00:53:26,070 --> 00:53:28,989 Yo tengo una matriz 631 00:53:28,989 --> 00:53:30,809 Por ejemplo, esta 632 00:53:30,809 --> 00:53:33,769 1, 1, 1 633 00:53:33,769 --> 00:53:36,610 0, 1, 1 634 00:53:36,610 --> 00:53:38,730 1, 1, 2 635 00:53:38,730 --> 00:53:39,809 Quiero hacer la adjunta 636 00:53:39,809 --> 00:53:41,510 Entonces, si esto es la matriz A 637 00:53:41,510 --> 00:53:43,530 Voy a hacer el determinante de A 638 00:53:43,530 --> 00:53:44,550 Siempre lo primero 639 00:53:44,550 --> 00:53:46,269 Yo calculo su determinante 640 00:53:46,269 --> 00:53:47,989 Para ver si me da 0 o no 641 00:53:47,989 --> 00:53:50,570 Insisto, si da 0, ahí se ha acabado el problema 642 00:53:50,570 --> 00:53:52,130 Esta matriz no tiene inversa 643 00:53:52,130 --> 00:53:55,389 Entonces, yo para calcular esto 644 00:53:55,389 --> 00:54:05,889 calculo este por este por este, 1 por 1 por 2, más 0 por 1 por 1, más 1 por 1 por 1. 645 00:54:07,309 --> 00:54:17,690 Y del otro lado, 1 por 1 por 1, más 1 por 1 por 1, más 0 por 1 por 2. 646 00:54:17,690 --> 00:54:22,710 Esto es 2 más 1, 3 647 00:54:22,710 --> 00:54:25,030 Y esto es 2 648 00:54:25,030 --> 00:54:29,769 Luego 3 menos 2 igual a 1 649 00:54:29,769 --> 00:54:33,869 El determinante de A vale 1 650 00:54:33,869 --> 00:54:35,769 Luego esta matriz sí tiene inversa 651 00:54:35,769 --> 00:54:37,170 ¿Vale? 652 00:54:38,170 --> 00:54:42,250 Bueno, voy a calcular ahora la matriz adjunta 653 00:54:42,250 --> 00:54:45,269 Fijaros cómo se calcula la matriz adjunta de esta matriz 654 00:54:45,269 --> 00:54:45,969 Primera cosa 655 00:54:45,969 --> 00:54:55,250 Yo, la matriz adjunta de A, yo cojo un elemento, un elemento, ¿no? 656 00:54:55,670 --> 00:55:02,489 Y quito su gira y su columna, voy a coger este, ¿no? El primero, quito este y este 657 00:55:02,489 --> 00:55:09,909 Y pongo aquí el determinante que me queda, ¿vale? Este, quito este y este 658 00:55:09,909 --> 00:55:14,610 Y me queda este determinante, 0, 1, 1, ¿vale? 659 00:55:14,610 --> 00:55:39,250 yo cada elemento lo sustituyo por su determinante adjunto, el determinante adjunto de un elemento es el determinante que queda cuando le quito su fila y su columna, es decir, si yo quiero saber ahora el determinante adjunto de este elemento, yo quito la columna y quito la fila y me queda 0, 1, 1, 1, ¿vale? 660 00:55:39,250 --> 00:55:45,969 Ahora este, quito esto y esto, y me queda 1, 1, 1, 2. 661 00:55:47,130 --> 00:55:48,349 ¿Pero hay que hacerlo con todos? 662 00:55:48,750 --> 00:55:51,289 Con todos, y esa es la matriz adjunta. 663 00:55:51,690 --> 00:55:57,050 A ver, esto se hace de cabeza, una vez que has hecho 3 o 4, tú no pones ese determinante, 664 00:55:57,210 --> 00:56:00,489 tardo más en poner ahí todo eso que en hacerlo. 665 00:56:00,829 --> 00:56:03,329 ¿Cuánto vale este determinante? ¿Alguien me lo dice? 666 00:56:03,650 --> 00:56:04,269 ¿Cuál, cuál? 667 00:56:04,469 --> 00:56:05,170 Este primero. 668 00:56:05,449 --> 00:56:05,750 ¿1? 669 00:56:05,750 --> 00:56:08,369 uno, ¿no? porque es uno por dos 670 00:56:08,369 --> 00:56:09,530 dos menos uno por uno 671 00:56:09,530 --> 00:56:12,170 queda uno, es decir, que se hace de cabeza 672 00:56:12,170 --> 00:56:14,070 ¿vale? 673 00:56:14,889 --> 00:56:16,210 desde luego si no has hecho ninguno 674 00:56:16,210 --> 00:56:18,150 es imposible, pero cuando hagas tres 675 00:56:18,150 --> 00:56:19,889 ya los haces de cabeza 676 00:56:19,889 --> 00:56:22,369 ahora este, tengo que quitar 677 00:56:22,369 --> 00:56:24,250 esta fila y esa fila 678 00:56:24,250 --> 00:56:25,989 y esa columna, luego ese es 679 00:56:25,989 --> 00:56:28,409 uno, uno, uno, dos 680 00:56:28,409 --> 00:56:29,730 ahora este 681 00:56:29,730 --> 00:56:31,730 este y este 682 00:56:31,730 --> 00:56:34,070 uno, uno 683 00:56:34,070 --> 00:56:35,429 uno, uno 684 00:56:35,429 --> 00:56:59,630 a ver, ahora este, este y este, 1, 1, 1, 1, ahora este, ¿cuál es este?, a ver, 1, 1, 0, 1, y por último, este, que me queda, 1, 1, 0, 1, ¿vale?, 685 00:56:59,630 --> 00:57:04,750 Y ahora, eso sí, una cosa importantísima que tenéis que hacer. 686 00:57:05,190 --> 00:57:06,650 A la adjunta hay que ponerle signos. 687 00:57:07,070 --> 00:57:16,010 Empezamos, más, menos, más, y aquí para abajo, menos, más, más, menos, menos, más. 688 00:57:16,969 --> 00:57:18,010 Siempre salteados. 689 00:57:18,449 --> 00:57:26,070 Empezamos con el más y tiramos para acá, menos, más, tiramos para abajo, menos, más, aquí, menos, más, menos, más, menos, más. 690 00:57:26,250 --> 00:57:27,070 Siempre salteados. 691 00:57:27,730 --> 00:57:28,030 ¿De acuerdo? 692 00:57:28,030 --> 00:57:30,550 Bueno, y ahora entonces ya lo hago 693 00:57:30,550 --> 00:57:32,489 Lo que tenía que haber hecho de cabeza 694 00:57:32,489 --> 00:57:35,309 Esta es una de los por dos 695 00:57:35,309 --> 00:57:37,150 Es decir, es en este sentido 696 00:57:37,150 --> 00:57:38,829 Y luego menos en este sentido 697 00:57:38,829 --> 00:57:40,849 Luego esta es una por dos, dos 698 00:57:40,849 --> 00:57:42,769 Menos una, uno 699 00:57:42,769 --> 00:57:44,090 Luego esto es un uno 700 00:57:44,090 --> 00:57:44,989 ¿Cómo? 701 00:57:46,730 --> 00:57:48,130 He hecho esos determinantes 702 00:57:48,130 --> 00:57:49,610 Ahora calculo esos determinantes 703 00:57:49,610 --> 00:57:51,309 Son determinantes de dos por dos 704 00:57:51,309 --> 00:57:53,449 Pues así 705 00:57:53,449 --> 00:57:55,369 Determinante de orden dos 706 00:57:55,369 --> 00:57:57,949 este por este menos este por este 707 00:57:57,949 --> 00:57:59,789 terminantes de orden 2 son muy fáciles 708 00:57:59,789 --> 00:58:01,590 claro 709 00:58:01,590 --> 00:58:03,989 ahora este, esto es 0 710 00:58:03,989 --> 00:58:06,409 por 2, 0, menos 1 por 1 711 00:58:06,409 --> 00:58:08,369 1, luego menos 1 712 00:58:08,369 --> 00:58:10,150 como tengo un menos delante se me queda 713 00:58:10,150 --> 00:58:12,409 un 1 también, este 0 por 1 714 00:58:12,409 --> 00:58:14,329 1, menos 1, menos 1 715 00:58:14,329 --> 00:58:16,530 este 716 00:58:16,530 --> 00:58:18,190 1 por 2, 2 717 00:58:18,190 --> 00:58:20,369 menos 1, 1, como tiene el menos 718 00:58:20,369 --> 00:58:21,869 delante, menos 1 719 00:58:21,869 --> 00:58:24,510 1 por 2, 2, menos 1, 1 720 00:58:24,510 --> 00:58:43,809 1 por 1, 1, 0, y este 0, y este 0, 1 menos 0, 1, como tiene el menos delante, menos 1, y este 1, 1, esa es la matriz, ¿vale? 721 00:58:43,809 --> 00:58:57,030 Luego, la inversa de A es, vuelvo a repetir, la junta de A transpuesta y partida por el determinante de A. 722 00:58:58,489 --> 00:59:09,690 Luego, esto es, esa si la transpongo, esto es 1, 1, menos 1, menos 1, 1, 0, 0, menos 1, 1. 723 00:59:09,690 --> 00:59:12,730 dividido por el determinante que es 1 724 00:59:12,730 --> 00:59:13,829 luego todo es 725 00:59:13,829 --> 00:59:21,119 esa es la entidad 726 00:59:21,119 --> 00:59:23,480 no tiene mucho, os lo aseguro de verdad 727 00:59:23,480 --> 00:59:25,739 no os voy a engañar 728 00:59:25,739 --> 00:59:27,599 yo entiendo la dificultad que puede suponer 729 00:59:27,599 --> 00:59:29,460 para alguien que no ha hecho esto nunca 730 00:59:29,460 --> 00:59:30,860 o que lo hace mucho que no lo ha hecho 731 00:59:30,860 --> 00:59:33,599 pero realmente si os ponéis 732 00:59:33,599 --> 00:59:35,539 tranquilamente, eso sí, tranquilamente 733 00:59:35,539 --> 00:59:37,679 vosotros, si tenéis alguna 734 00:59:37,679 --> 00:59:39,199 duda me la consultáis 735 00:59:39,199 --> 00:59:42,159 y de verdad que es muy sistemático 736 00:59:42,159 --> 00:59:43,559 todo, no tiene mayor 737 00:59:43,559 --> 00:59:44,980 problema. Y con esto 738 00:59:44,980 --> 00:59:47,619 hemos acabado la teoría 739 00:59:47,619 --> 00:59:49,360 de matrices y determinantes. 740 00:59:49,840 --> 00:59:51,800 No, vamos a empezar ya con... 741 00:59:51,800 --> 00:59:53,360 No, vamos a empezar. 742 00:59:53,460 --> 00:59:54,980 Vamos a empezar de ejercicios. 743 00:59:55,599 --> 00:59:57,559 Bueno, eso sí, pero yo digo lo de trigonometría... 744 00:59:58,559 --> 00:59:59,639 Eso después, eso después. 745 01:00:00,000 --> 01:00:01,039 ¿Ahora? Sí, sí, después. 746 01:00:01,199 --> 01:00:03,239 Pero sí, eso es precioso. A ver, ¿qué? 747 01:00:05,199 --> 01:00:07,619 Vamos, que lo del uno se hace por hacer porque se queda 748 01:00:07,619 --> 01:00:08,139 igual, ¿no? 749 01:00:09,519 --> 01:00:11,099 Claro, si divides entre uno, 750 01:00:11,099 --> 01:00:12,460 todo se queda igual. 751 01:00:12,460 --> 01:00:14,940 si tú imagínate 752 01:00:14,940 --> 01:00:16,340 que aquí un 2 753 01:00:16,340 --> 01:00:18,940 pues entonces aquí te quedaría un medio menos un medio 754 01:00:18,940 --> 01:00:20,440 cero, un medio, un medio 755 01:00:20,440 --> 01:00:21,800 o sea si 756 01:00:21,800 --> 01:00:24,719 tú lo tienes que dividir por el valor 757 01:00:24,719 --> 01:00:25,420 del determinante 758 01:00:25,420 --> 01:00:29,059 tienes que dividir todos los elementos 759 01:00:29,059 --> 01:00:30,500 por el valor del determinante 760 01:00:30,500 --> 01:00:31,679 ¿esto es la inversa? 761 01:00:32,360 --> 01:00:34,739 esto es a menos uno, es la inversa de esa 762 01:00:34,739 --> 01:00:36,059 se supone 763 01:00:36,059 --> 01:00:38,320 si salvo error o omisión 764 01:00:38,320 --> 01:00:40,320 que si yo multiplicase 765 01:00:40,320 --> 01:00:42,820 Cada elemento por sí mismo daría eso, ¿no? 766 01:00:42,920 --> 01:00:44,639 No, cada elemento por sí mismo no. 767 01:00:45,000 --> 01:00:52,280 Si yo multiplico la matriz 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2 768 01:00:52,280 --> 01:01:00,159 y la multiplico por la 1, menos 1, 0, 1, 1, menos 1, menos 1, 0, 1 769 01:01:00,159 --> 01:01:02,900 esto me va a dar la matriz 770 01:01:02,900 --> 01:01:08,119 esto es A 771 01:01:08,119 --> 01:01:11,599 esto es A menos 1 772 01:01:11,599 --> 01:01:13,480 y esta es la matriz identidad. 773 01:01:16,199 --> 01:01:22,619 Hemos dicho, esto empieza diciendo que la inversa de una matriz 774 01:01:22,619 --> 01:01:26,159 es aquella que multiplicada por ella da la matriz identidad. 775 01:01:26,679 --> 01:01:31,420 Entonces, si yo he calculado la matriz inversa a la matriz A, 776 01:01:32,280 --> 01:01:36,619 significa que si yo multiplico A por esta matriz, por su inversa, 777 01:01:36,980 --> 01:01:40,099 lo que me da es la matriz identidad de orden 3, 778 01:01:40,099 --> 01:01:41,639 Puesto que estoy trabajando con oro 779 01:01:41,639 --> 01:01:44,039 Hago esta misma operación pero más sencillo 780 01:01:44,039 --> 01:01:45,780 Con una matriz de 2 por 2 781 01:01:45,780 --> 01:01:47,280 Que es la otra posibilidad 782 01:01:47,280 --> 01:01:50,800 Es la posibilidad de que la matriz que os den sea de 3 por 3 783 01:01:50,800 --> 01:01:52,980 Puede ser que os den una de 2 por 2 784 01:01:52,980 --> 01:01:55,119 Si os dan una matriz de 2 por 2 785 01:01:55,119 --> 01:01:56,880 Pues por ejemplo la matriz 786 01:01:56,880 --> 01:02:02,340 Yo siempre lo primero que hago es calcular el determinante 787 01:02:02,340 --> 01:02:08,559 El determinante de esto es 1 por 5 menos 2 menos 3 por 2 788 01:02:08,559 --> 01:02:19,360 es decir, es menos 1, ¿de acuerdo? Luego esa matriz tiene inversa, ¿por qué? Porque su determinante no es 0, ya sé que puedo seguir con el ejercicio, 789 01:02:19,519 --> 01:02:24,519 porque su determinante no es 0, por lo tanto tiene inversa, esa matriz es invertible. 790 01:02:25,219 --> 01:02:32,539 Ahora lo que tengo que calcular es la adjunta de A, pero en este caso es mucho más sencillo, 791 01:02:32,539 --> 01:02:38,280 Porque fijaros que si yo quito esto y esto, solo me queda un número. 792 01:02:38,659 --> 01:02:40,900 Es decir, que aquí me quedaría el 5. 793 01:02:41,179 --> 01:02:44,019 A esto, si quito esto y esto, aquí me quedaría el 2. 794 01:02:44,519 --> 01:02:46,480 Ahora este, aquí me quedaría el 3. 795 01:02:46,760 --> 01:02:48,960 Y si quito esto, aquí me quedaría un 1. 796 01:02:49,360 --> 01:02:52,480 Esto es más, esto es menos, esto es menos y eso es más. 797 01:02:57,019 --> 01:02:59,280 Hacedlo en casa, de verdad lo digo, tranquilamente. 798 01:02:59,300 --> 01:03:00,800 Pero hay que hacer algo más, ya está, ¿no? 799 01:03:00,800 --> 01:03:03,139 No, no, aquí sí, es que ella está copiando. 800 01:03:03,139 --> 01:03:05,139 Es que eso lo acabas de hacer ahí abajo que digo... 801 01:03:06,900 --> 01:03:11,059 No, hombre, lo de A menos uno igual a adjunto, 802 01:03:11,380 --> 01:03:13,880 lo que hay al lado, no sé cómo lo ha hecho. 803 01:03:14,099 --> 01:03:14,420 ¿Por qué? 804 01:03:15,519 --> 01:03:17,519 O sea, eso... 805 01:03:17,519 --> 01:03:19,820 ¿El adjunto de A transpuesto? 806 01:03:19,880 --> 01:03:20,960 Eso, no me he enterado. 807 01:03:21,000 --> 01:03:22,460 ¿Has enterado cómo he hecho el adjunto? 808 01:03:22,559 --> 01:03:23,699 Sí, pero dije que sí. 809 01:03:23,920 --> 01:03:26,260 Bueno, y entonces, transponer, ¿qué es? 810 01:03:26,380 --> 01:03:28,440 Es cambiar filas por columnas. 811 01:03:28,440 --> 01:03:30,340 yo tengo esta, esta es la adjunta 812 01:03:30,340 --> 01:03:32,340 y para transponerla, esta fila 813 01:03:32,340 --> 01:03:34,460 la convierto en columna, esta fila en columna 814 01:03:34,460 --> 01:03:35,539 y esta fila en columna 815 01:03:35,539 --> 01:03:38,500 transponer es cambiar las filas por las columnas 816 01:03:38,500 --> 01:03:53,480 a ver, yo, esta 817 01:03:53,480 --> 01:03:55,760 es la fórmula 818 01:03:55,760 --> 01:03:57,940 de la matriz inversa 819 01:03:57,940 --> 01:04:19,840 Entonces yo, lo primero que hago es a calcular el determinante, entonces yo he calculado el determinante, es un determinante de 3 por 3, lo he calculado y me sale 1, con lo cual sé que puedo seguir con el ejercicio, puesto que la matriz tiene, entonces lo siguiente en esta fórmula es calcular la adjunta de la matriz, entonces, ¿cuál es la adjunta de una matriz? 820 01:04:19,840 --> 01:04:22,139 aquella que cada elemento 821 01:04:22,139 --> 01:04:23,619 está sustituido 822 01:04:23,619 --> 01:04:25,900 por el determinante adjunto, es decir 823 01:04:25,900 --> 01:04:27,920 aquel que sale de quitar su fila 824 01:04:27,920 --> 01:04:29,940 y su columna, este elemento lo tengo 825 01:04:29,940 --> 01:04:31,679 que cambiar por este determinante 826 01:04:31,679 --> 01:04:34,019 porque si quito esto y esto, me sale 827 01:04:34,019 --> 01:04:35,920 este determinante, y eso 828 01:04:35,920 --> 01:04:37,920 es esto, y lo único que 829 01:04:37,920 --> 01:04:39,800 tenéis que acordaros es que en la adjunta 830 01:04:39,800 --> 01:04:41,960 luego hay que poner signos, empezando por el más 831 01:04:41,960 --> 01:04:43,659 más, menos, más, etc. 832 01:04:44,420 --> 01:04:45,980 y me sale esto 833 01:04:45,980 --> 01:04:48,159 y ahora para aplicar la fórmula 834 01:04:48,159 --> 01:04:53,820 esa matriz la tengo que transponer, es decir, tengo que cambiar sus filas por sus columnas y me sale esta. 835 01:04:54,260 --> 01:04:57,119 Y luego lo divido por el valor del determinante que es 1. 836 01:04:57,500 --> 01:05:01,199 Y esto es la matriz inversa de aquello. 837 01:05:02,500 --> 01:05:03,820 ¿Qué quiere decir que es inversa? 838 01:05:03,840 --> 01:05:10,260 Que si yo hiciese esta multiplicación me tendría que dar, me tiene que dar esta matriz, la matriz identidad. 839 01:05:10,880 --> 01:05:14,599 Estaba haciendo un ejercicio más sencillo que es lo mismo pero en 2x2. 840 01:05:14,599 --> 01:05:17,619 en 2x2 lo bueno que tiene es que la adjunta 841 01:05:17,619 --> 01:05:19,900 si yo quito fila y columna 842 01:05:19,900 --> 01:05:21,440 solo me queda un elemento 843 01:05:21,440 --> 01:05:24,059 no me queda un determinante 844 01:05:24,059 --> 01:05:25,940 con lo cual es mucho más sencillo 845 01:05:25,940 --> 01:05:26,579 entonces 846 01:05:26,579 --> 01:05:30,119 esta sería la adjunta de esta 847 01:05:30,119 --> 01:05:31,599 yo he cambiado cada elemento 848 01:05:31,599 --> 01:05:34,659 por lo que me queda quitar la fila y la columna 849 01:05:34,659 --> 01:05:36,860 y luego he puesto más menos menos más 850 01:05:36,860 --> 01:05:38,139 esta es la adjunta 851 01:05:38,139 --> 01:05:41,139 luego para calcular la inversa 852 01:05:41,139 --> 01:05:42,820 tengo que transponer esta 853 01:05:42,820 --> 01:06:09,059 es decir, 5 menos 2 y menos 3, 1, cambio filas por columnas y lo tengo que dividir entre menos 1, que es el valor de su determinante, es decir, que si yo divido 5, esto me quedaría menos 5, 3, 2 y menos 1, porque al dividir por menos 1 me cambia el signo y esta sería la matriz inversa de este, ¿de acuerdo? 854 01:06:09,059 --> 01:06:26,360 ¿Sí? Bueno, ya sabéis que mañana no hay clase, entonces con esto hemos acabado la teoría, ahora vamos a ver los ejercicios para aplicarla, 855 01:06:26,360 --> 01:06:28,480 qué tipo de ejercicios os pueden poner 856 01:06:28,480 --> 01:06:30,159 para aplicar toda esta teoría 857 01:06:30,159 --> 01:06:32,519 tenéis ejercicios 858 01:06:32,519 --> 01:06:33,880 resueltos 859 01:06:33,880 --> 01:06:36,739 algunos veréis que son más complicados 860 01:06:36,739 --> 01:06:38,380 pero hay otros más sencillos 861 01:06:38,380 --> 01:06:40,219 los tenéis resueltos, no con solución 862 01:06:40,219 --> 01:06:41,760 sino resueltos paso a paso 863 01:06:41,760 --> 01:06:44,159 en el aula virtual 864 01:06:44,159 --> 01:06:46,539 cogerlos, echarles un vistazo 865 01:06:46,539 --> 01:06:49,039 trabajar un poco sobre eso, las dudas me las planteáis 866 01:06:49,039 --> 01:06:50,760 si queréis, o bien por 867 01:06:50,760 --> 01:06:52,280 el aula virtual o bien 868 01:06:52,280 --> 01:06:54,480 me las planteáis directamente el próximo día 869 01:06:54,480 --> 01:06:55,860 el lunes que viene 870 01:06:55,860 --> 01:07:10,820 Y vamos a empezar ya a hacer ejercicios, veréis que son una cosa bastante sencilla, de verdad que es sencilla, os lo aseguro que he hecho un hecho, no os voy a engañar, si hacéis 10 ejercicios de cada una de estas cosas, ya está. 871 01:07:10,820 --> 01:07:12,699 Eso sí, lo que pasa es que es como mulioso. 872 01:07:13,019 --> 01:07:14,199 Y este último sobre todo. 873 01:07:14,599 --> 01:07:16,679 O sea, hay demasiadas cosas que hacer en lo último. 874 01:07:17,679 --> 01:07:21,280 Bueno, es que os tenéis que aprender muchas cosas. 875 01:07:21,440 --> 01:07:23,860 Pero las matemáticas se aprenden haciéndolas. 876 01:07:24,019 --> 01:07:24,860 Se aprenden haciéndolas. 877 01:07:25,159 --> 01:07:28,719 Porque si pretendes quedarte todo en la cabeza, es imposible. 878 01:07:34,719 --> 01:07:36,519 Esa estima teniendo un día a la semana.