1 00:00:05,490 --> 00:00:09,310 En este vídeo vamos a ver las operaciones con números enteros. 2 00:00:09,730 --> 00:00:16,350 Recordad que el conjunto de los números enteros que se escribe con una Z con una doble banda 3 00:00:16,350 --> 00:00:23,390 es el conjunto de los números que no tienen parte decimal y que pueden ser positivos o negativos. 4 00:00:24,890 --> 00:00:29,829 Lo primero que vamos a ver es cuáles son las posibilidades de sumas y restas 5 00:00:29,829 --> 00:00:32,250 que nos encontramos con los números enteros. 6 00:00:32,250 --> 00:00:48,929 Entre las conocidas tenemos 12 más 5, que sabemos que es una suma de números positivos y sabemos que se hace añadiendolos y nos da 17. 7 00:00:51,390 --> 00:01:00,570 También conocemos 12 menos 5, es lo que conocemos como una resta de números positivos y al grande le quitamos el pequeño y nos queda 7. 8 00:01:00,570 --> 00:01:12,909 Entre las desconocidas vamos a tener menos 12 más 5, aquí el número que resta, porque lleva el menos delante, es más grande que el positivo. 9 00:01:13,310 --> 00:01:17,030 No sabemos muy bien cómo quitarle a una cosa pequeña a una cosa más grande. 10 00:01:17,750 --> 00:01:22,209 Y también nos encontramos esta otra, los dos están con signo menos. 11 00:01:22,209 --> 00:01:41,549 Mirad, el objetivo al que queremos llegar es que toda resta de números enteros, no naturales, sino enteros, no es más que una suma de números negativos. 12 00:01:42,010 --> 00:01:55,849 Para ello, lo que queremos es transformar estas restas, estas dos restas que tenemos aquí, las queremos transformar en sumas de números de distintos signos. 13 00:01:56,950 --> 00:02:05,650 Una vez que tengamos eso, podremos afirmar exactamente lo que queríamos, que todas las restas son sumas de números de distintos signos. 14 00:02:05,650 --> 00:02:11,509 Pero primero tenemos que establecer algunos resultados. 15 00:02:12,729 --> 00:02:17,050 Queremos ver cómo quitamos paréntesis cuando estamos con números enteros. 16 00:02:17,509 --> 00:02:25,310 Bien, para quitar paréntesis lo primero que tengo que tener dentro del paréntesis es un único número. 17 00:02:26,229 --> 00:02:32,849 Cuando tengo dentro del paréntesis un único número me fijo en el símbolo que hay delante del paréntesis. 18 00:02:33,590 --> 00:02:40,409 En este punto vamos a ver solamente cuando delante del paréntesis tengo o un signo más o un signo menos. 19 00:02:40,930 --> 00:02:46,909 El caso en el que delante del paréntesis tenga un símbolo de división o un símbolo de producto 20 00:02:46,909 --> 00:02:52,430 lo vamos a ver en este mismo vídeo pero más adelante, más avanzado. 21 00:02:53,210 --> 00:02:54,330 Entonces, empezamos. 22 00:02:55,090 --> 00:03:01,270 Si delante del paréntesis tenemos un signo más, lo que está dentro del paréntesis se queda igual. 23 00:03:01,270 --> 00:03:14,069 Observa, tengo un menos nueve dentro del paréntesis y delante un más. Ese más desaparece y el paréntesis también desaparece. 24 00:03:14,810 --> 00:03:28,840 Y lo que nos queda es lo que hay dentro del paréntesis tal cual. Si dentro del paréntesis tengo un más nueve, el más de fuera desaparece y el paréntesis también desaparece. 25 00:03:28,840 --> 00:03:30,379 Y me va a quedar un más nueve. 26 00:03:31,159 --> 00:03:33,159 Bueno, todavía puedo dar un paso más. 27 00:03:33,460 --> 00:03:33,759 ¿Por qué? 28 00:03:35,219 --> 00:03:40,219 Porque los signos positivos se ven muy pocas veces. 29 00:03:40,719 --> 00:03:45,439 Hay muchas veces en las que el signo positivo del número puede no verse. 30 00:03:45,680 --> 00:03:47,379 Eso no ocurre con los números negativos. 31 00:03:48,039 --> 00:03:50,919 A los números negativos se les tiene que ver el menos siempre. 32 00:03:51,620 --> 00:03:52,939 En todas las circunstancias. 33 00:03:54,060 --> 00:03:58,000 Vale, ¿qué ocurre si delante del paréntesis tenemos un signo menos? 34 00:03:58,000 --> 00:04:01,560 Pues entonces lo que está dentro del paréntesis va a cambiar de signo. 35 00:04:02,039 --> 00:04:07,659 Observad, ahora dentro del paréntesis seguimos teniendo el menos nueve, pero delante tengo un menos. 36 00:04:08,240 --> 00:04:10,819 El menos de delante desaparece y el paréntesis también. 37 00:04:11,639 --> 00:04:13,939 Y el menos de dentro también. 38 00:04:14,699 --> 00:04:20,660 Hay gente que esto lo ve como, y lo ve con clic, está bien visto, es realmente lo que ocurre. 39 00:04:21,300 --> 00:04:24,839 Lo analiza diciendo menos por menos, más. 40 00:04:24,839 --> 00:04:30,860 Y es cierto, también más adelante en el vídeo veremos por qué ocurre eso. 41 00:04:32,500 --> 00:04:37,060 Bien, ese más nueve podemos dar un paso más y quitarle ese signo positivo. 42 00:04:37,459 --> 00:04:38,019 No pasa nada. 43 00:04:38,959 --> 00:04:42,399 Si lo que tenemos dentro del paréntesis es un más y lo que tenemos delante es un menos, 44 00:04:43,079 --> 00:04:48,620 el menos desaparece, el paréntesis desaparece y el signo más se convierte en un menos. 45 00:04:51,000 --> 00:04:53,500 Una vez que tenemos controlado esto, lo vamos a utilizar. 46 00:04:54,060 --> 00:04:59,579 Mirad, vamos otra vez a la suma y resta y queremos transformar esas restas en sumas. 47 00:05:00,180 --> 00:05:04,740 Vamos a utilizar las propiedades de la diapositiva anterior, pero visto al revés. 48 00:05:06,120 --> 00:05:09,180 Teníamos esta resta, una resta que sabemos hacer perfectamente, 49 00:05:09,180 --> 00:05:11,920 pero ahora no queremos hacerla, queremos transformarla en suma. 50 00:05:12,399 --> 00:05:18,720 Y lo podemos hacer utilizando una de las propiedades que hemos visto anteriormente. 51 00:05:18,720 --> 00:05:29,439 Yo puedo poner este 12 menos 5 como un 12 más menos 5, que le va a hacer ese más a lo que está dentro del paréntesis, dejarlo igual. 52 00:05:30,379 --> 00:05:40,939 Y ahora el signo menos del 5, o sea, el signo de menos 5 va a funcionar de operador, es la resta. 53 00:05:41,600 --> 00:05:46,139 Mirad en este otro ejemplo que teníamos, menos 12 menos 5, vamos a hacer lo mismo. 54 00:05:46,839 --> 00:05:49,939 Ahora vamos a tener menos 12 más menos 5. 55 00:05:50,100 --> 00:05:52,420 Una suma de números negativos. 56 00:05:52,879 --> 00:05:53,240 ¿De acuerdo? 57 00:05:53,819 --> 00:06:00,199 Así que sí, podemos afirmar que efectivamente la resta es la suma de números de distintos números. 58 00:06:01,019 --> 00:06:05,459 Y ahora sí, vamos a ver cómo se suman los números enteros. 59 00:06:05,579 --> 00:06:07,720 Ya no hablamos de restar números enteros. 60 00:06:08,180 --> 00:06:10,740 Ya vamos a hablar de sumar números enteros. 61 00:06:10,740 --> 00:06:14,019 Es como si la resta de números enteros no existiese. 62 00:06:14,879 --> 00:06:15,480 Vamos a ver. 63 00:06:16,420 --> 00:06:18,740 Tenemos estos dos casos. 64 00:06:18,740 --> 00:06:26,980 Nosotros cuando sumemos números enteros vamos a transformar todas las expresiones, 65 00:06:27,519 --> 00:06:33,500 vamos a quitar todos los paréntesis y vamos a sumar solamente cuando estemos en situaciones como estas. 66 00:06:34,000 --> 00:06:44,779 Es decir, podemos tener dos números positivos sumándose o podemos tener dos números negativos. 67 00:06:45,540 --> 00:06:49,459 Así que lo primero que nos vamos a preguntar es ¿cómo son los signos? 68 00:06:50,079 --> 00:06:59,459 En este dibujo, en esta ilustración de los números en verde, los signos son en ambos casos iguales. 69 00:07:00,199 --> 00:07:08,019 En el primer caso tenemos menos más 12 más 5. El signo del 12 es positivo y el signo del 5 es positivo. 70 00:07:08,480 --> 00:07:14,660 Y en el segundo caso tenemos menos 12 menos 5. En ambos casos el signo es negativo. 71 00:07:15,439 --> 00:07:17,620 Los signos, por lo tanto, son iguales. 72 00:07:17,759 --> 00:07:18,600 ¿Qué es lo que voy a hacer? 73 00:07:18,720 --> 00:07:21,779 Voy a sumar los números en valor absoluto. 74 00:07:22,439 --> 00:07:25,819 Es decir, en ambos casos voy a sumar el 12 y el 5. 75 00:07:26,019 --> 00:07:27,879 Y en ambos casos me va a quedar 17. 76 00:07:28,600 --> 00:07:29,420 ¿Y el signo? 77 00:07:29,660 --> 00:07:34,259 ¿Cómo voy a calcular el signo o cómo voy a determinar el signo del resultado? 78 00:07:35,040 --> 00:07:37,740 Al resultado le voy a poner siempre el signo del mayor. 79 00:07:38,319 --> 00:07:41,240 En el primer caso, el mayor es el 12, tiene signo positivo. 80 00:07:41,240 --> 00:07:48,220 y en el segundo caso el mayor es el 12 que tiene signo negativo 81 00:07:48,220 --> 00:07:51,240 porque comparo los números en valor absoluto. 82 00:07:52,939 --> 00:07:54,180 Mirad en el siguiente ejemplo. 83 00:07:54,899 --> 00:08:00,779 En el siguiente ejemplo, el 12 y el 5 tienen signo negativo y contrario. 84 00:08:01,160 --> 00:08:03,980 12 es positivo y menos 5 es negativo. 85 00:08:04,879 --> 00:08:10,399 Y en el último, menos 12 más 5 también tiene un signo contrario. 86 00:08:10,399 --> 00:08:16,399 Así que cuando los signos son distintos, lo que hago es que resto los números en valor absoluto. 87 00:08:17,360 --> 00:08:21,620 Es decir, al grande, al 12, le quito el pequeño, el 5. 88 00:08:22,279 --> 00:08:23,839 En ambos casos me quedará 7. 89 00:08:24,139 --> 00:08:26,300 Y ahora, ¿cómo determino el signo del resultado? 90 00:08:26,920 --> 00:08:28,699 Pongo el signo del mayor. 91 00:08:31,779 --> 00:08:34,240 Vamos a ver el producto de números enteros. 92 00:08:35,820 --> 00:08:38,220 Tenemos que aplicar la regla de los signos. 93 00:08:39,120 --> 00:08:41,500 Mirad, vamos a separar en dos casos. 94 00:08:41,500 --> 00:08:45,080 Si los signos son iguales, el resultado es positivo 95 00:08:45,080 --> 00:08:47,860 Y entonces me va a quedar más por más, más 96 00:08:47,860 --> 00:08:50,320 Menos por menos, más 97 00:08:50,320 --> 00:08:54,379 Esto es lo que decíamos de los paréntesis 98 00:08:54,379 --> 00:08:59,179 Cuando tengo un menos delante de un paréntesis 99 00:08:59,179 --> 00:09:00,919 Y dentro tengo un signo negativo 100 00:09:00,919 --> 00:09:03,379 El menos de fuera con el menos de dentro 101 00:09:03,379 --> 00:09:05,419 Se me convierte en positivo 102 00:09:05,419 --> 00:09:11,100 El otro caso es cuando los signos sean distintos 103 00:09:11,100 --> 00:09:14,580 Y cuando los signos son distintos, el resultado es negativo. 104 00:09:14,899 --> 00:09:18,759 Más por menos es menos, y menos por más, que también es menos. 105 00:09:20,139 --> 00:09:22,580 Para multiplicar los números lo hacemos normalmente. 106 00:09:23,679 --> 00:09:25,659 7 por 5 siempre va a ser 35. 107 00:09:26,080 --> 00:09:33,240 Pero ahora, dependiendo de los signos, me va a quedar ese 35 positivo o negativo. 108 00:09:33,799 --> 00:09:38,799 Si lo que tengo es menos 7 por menos 5, menos por menos, más. 109 00:09:39,379 --> 00:09:43,539 Si lo que tengo es menos 7 por 5, menos por más, menos. 110 00:09:44,120 --> 00:09:48,840 Y si lo que tengo es 7 por menos 5, más por menos, menos. 111 00:09:49,379 --> 00:09:49,679 ¿De acuerdo? 112 00:09:50,860 --> 00:09:54,960 Para la división de los números enteros es exactamente igual. 113 00:09:55,480 --> 00:09:57,740 Aplicamos la regla de los signos que no cambia. 114 00:09:58,419 --> 00:10:01,039 Si los signos son iguales, el resultado es positivo. 115 00:10:01,639 --> 00:10:02,899 Más entre más, más. 116 00:10:03,320 --> 00:10:04,700 Menos entre menos, más. 117 00:10:04,700 --> 00:10:08,440 Si los signos son distintos, el resultado es negativo. 118 00:10:08,799 --> 00:10:12,399 Más entre menos, menos, y menos entre más, menos. 119 00:10:13,200 --> 00:10:20,679 Dividimos los números normalmente, siempre 45 entre 9 va a ser 5, pero ahora depende de los casos. 120 00:10:21,500 --> 00:10:27,399 Menos entre menos me dará más, así que menos 45 entre menos 9 será 5 también. 121 00:10:27,399 --> 00:10:35,220 Menos 45 entre 9 será menos 5 y 45 entre menos 9 será menos 5. 122 00:10:35,220 --> 00:10:39,460 Vamos a ver cómo quitamos paréntesis con números enteros 123 00:10:39,460 --> 00:10:42,659 Y ya vemos que, porque lo hemos dicho antes 124 00:10:42,659 --> 00:10:47,799 Que para quitar paréntesis lo primero que tengo que tener es dentro del paréntesis un único número 125 00:10:47,799 --> 00:10:52,000 Y entonces me fijo en lo que tengo delante 126 00:10:52,000 --> 00:10:57,100 Si delante del paréntesis tengo un símbolo por, un símbolo entre 127 00:10:57,100 --> 00:11:00,259 Y dentro del paréntesis hay un signo positivo 128 00:11:00,259 --> 00:11:02,519 Sí puedo quitar el paréntesis 129 00:11:02,519 --> 00:11:03,000 ¿Por qué? 130 00:11:03,000 --> 00:11:08,379 voy a poder quitar el paréntesis porque voy a poder quitar ese más. 131 00:11:09,240 --> 00:11:15,440 Ese 9 no hace falta que tenga el signo positivo delante, visible, para que sepamos que es positivo. 132 00:11:16,279 --> 00:11:20,899 De hecho, los números son positivos salvo que tengan un menos que indique lo contrario. 133 00:11:22,019 --> 00:11:26,600 Así que 7 por más 9 es lo mismo que 7 por 9. 134 00:11:26,600 --> 00:11:32,659 Y 18 entre más 9 es lo mismo que 18 entre 9. 135 00:11:33,000 --> 00:11:38,960 Ahora, si delante del paréntesis tenemos un símbolo por o entre 136 00:11:38,960 --> 00:11:44,820 y dentro del paréntesis hay un signo negativo, aquí no se puede quitar el paréntesis. 137 00:11:45,360 --> 00:11:48,460 Si yo tengo 6 por menos 9, no lo puedo quitar. 138 00:11:48,460 --> 00:11:55,039 El problema es que los símbolos por y menos no se pueden tocar. 139 00:11:56,440 --> 00:11:59,059 Hay que poner un paréntesis que los separe. 140 00:11:59,059 --> 00:12:07,799 Exactamente que si tengo una división seguida de un número negativo 141 00:12:07,799 --> 00:12:09,279 Tampoco se pueden quitar 142 00:12:09,279 --> 00:12:11,940 No pueden tocarse el entre y el menos 143 00:12:11,940 --> 00:12:16,379 Y por último vamos a recordar la prioridad de operaciones 144 00:12:16,379 --> 00:12:23,159 Recordad que la prioridad de operaciones me dice el orden en el que tengo que realizar las operaciones 145 00:12:23,159 --> 00:12:29,360 y la visualizamos como una escalera donde vamos bajando desde arriba hacia abajo. 146 00:12:29,659 --> 00:12:36,539 Lo primero que hacemos son las potencias y las raíces, después quitamos los paréntesis y los corchetes. 147 00:12:36,980 --> 00:12:39,899 Hay autores que estos dos primeros escalones los ponen al contrario. 148 00:12:40,679 --> 00:12:44,639 Realmente no cambia demasiado la cosa. 149 00:12:45,419 --> 00:12:47,600 Está tan aceptado lo uno como lo otro. 150 00:12:48,700 --> 00:12:52,139 Lo que sí es importante es no cambiar el orden de los dos siguientes. 151 00:12:52,139 --> 00:13:06,480 Lo tercero que tenemos que hacer son productos y divisiones y siempre, siempre, siempre lo último son las sumas y las restas de izquierda a derecha según se leen si las operaciones están en el mismo escalón. 152 00:13:06,919 --> 00:13:12,919 ¿De acuerdo? Pues hasta aquí hemos llegado con las operaciones de números enteros.