1
00:00:25,140 --> 00:00:31,679
Hola, muy buenas. Vamos a estudiar en este punto algo que no vimos en clase.

2
00:00:32,340 --> 00:00:37,359
Vamos a hablar sobre la interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales.

3
00:00:38,000 --> 00:00:41,100
Antes de comenzar, un poquito de repaso.

4
00:00:42,399 --> 00:00:46,179
Teníamos sistemas de ecuaciones lineales, ya lo sabemos.

5
00:00:47,520 --> 00:00:52,439
Hemos estudiado ya qué tipo de sistemas de ecuaciones lineales, la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales que podemos tener.

6
00:00:53,420 --> 00:01:01,359
Podemos hablar de sistemas de ecuaciones lineales compatibles e incompatibles, compatibles determinados, compatibles indeterminados.

7
00:01:02,399 --> 00:01:08,060
Recordad que para eso hablábamos de la matriz de coeficientes y hablábamos de la matriz ampliada.

8
00:01:08,879 --> 00:01:10,640
Y entonces teníamos las siguientes circunstancias.

9
00:01:11,079 --> 00:01:20,000
Cuando los rangos coincidían y eran igual al número de incógnitas, resulta que teníamos un sistema de ecuaciones compatible determinado.

10
00:01:20,000 --> 00:01:28,079
Si los rangos de las matrices de coeficientes ampliadas no coinciden, estamos ante un sistema incompatible.

11
00:01:29,439 --> 00:01:37,299
Que los rangos coinciden pero es inferior al número de incógnitas, estamos ante un sistema compatible indeterminado.

12
00:01:38,140 --> 00:01:42,939
Vamos a ver todos esos casos geométricamente cómo se interpretan.

13
00:01:42,939 --> 00:01:59,120
Visto esto, vamos a apoyarnos en un programa de software libre que se llama GeoGebra. Se puede instalar en cualquier plataforma, pero además tiene otra gran ventaja y es que se puede manejar directamente en la web.

14
00:01:59,120 --> 00:02:12,860
Puede trabajar online. Entonces introducimos en nuestro navegador la URL geogebra.org, nos lleva a la página de GeoGebra y allí podemos manejar directamente GeoGebra en tres dimensiones.

15
00:02:12,860 --> 00:02:22,120
Este es el aspecto que presenta GeoGebra cuando estamos trabajando en tres dimensiones.

16
00:02:22,400 --> 00:02:25,500
GeoGebra puede trabajar en dos dimensiones.

17
00:02:26,740 --> 00:02:29,719
Todas las posibilidades que tiene las tenemos aquí.

18
00:02:31,939 --> 00:02:33,240
Vamos a ver en vista.

19
00:02:33,699 --> 00:02:39,719
Puede trabajar, bueno, tiene su vista algebraica, que es esta parte de aquí de la izquierda,

20
00:02:39,719 --> 00:02:42,319
en donde vamos a ir metiendo nuestras ecuaciones

21
00:02:42,319 --> 00:02:46,520
tiene para trabajar con cálculos simbólicos, tiene una vista gráfica

22
00:02:46,520 --> 00:02:49,719
dos vistas gráficas de dos dimensiones, por ejemplo

23
00:02:49,719 --> 00:02:54,159
bueno, si necesitamos la de tres dimensiones

24
00:02:54,159 --> 00:02:58,219
vamos a tridimensional, tenemos esta en donde podremos

25
00:02:58,219 --> 00:03:02,659
directamente dibujar funciones en dos dimensiones, rectas o lo que sea

26
00:03:02,659 --> 00:03:06,439
necesario, si volvemos a nuestras gráficas en tres dimensiones

27
00:03:06,439 --> 00:03:19,719
Bueno, lo primero, vamos a comprobar que efectivamente una ecuación lineal en tres dimensiones nos da un plano.

28
00:03:19,719 --> 00:03:29,439
Vamos a meter, por ejemplo, 2x menos y más 3z igual a menos 1.

29
00:03:29,439 --> 00:03:37,919
Bueno, acabamos de ver este plano, no lo acabo de dibujar

30
00:03:37,919 --> 00:03:42,120
Este plano en gris que está aquí es simplemente el plano XY

31
00:03:42,120 --> 00:03:46,520
X es el eje rojo y es el eje verde

32
00:03:46,520 --> 00:03:49,120
Cuidadín porque está puesto un poco al revés, ¿vale?

33
00:03:49,120 --> 00:03:51,319
Aquí está en la parte delantera están los números negativos

34
00:03:51,319 --> 00:03:54,020
En la parte de atrás, digamos, los positivos

35
00:03:54,020 --> 00:03:57,919
Entonces tenemos eje X, eje Y, eje Z

36
00:03:57,919 --> 00:04:04,280
Y entonces tenemos aquí nuestro plano de ecuación 2x menos y más 3z igual a 1.

37
00:04:05,699 --> 00:04:14,060
Cualquier cosa que hagamos que sea lineal, si es en dos dimensiones va a ser una recta, si es en tres dimensiones va a ser un plano.

38
00:04:14,819 --> 00:04:21,800
Si es en más dimensiones ya no se puede interpretar geométricamente dibujándolo, lo llamarían hiperplanos, estamos hablando de otro tipo de superficies.

39
00:04:21,800 --> 00:04:34,269
Voy a borrarla, eliminamos esta superficie porque no la vamos a utilizar

40
00:04:34,269 --> 00:04:37,910
Vuelvo un momentito al libro

41
00:04:37,910 --> 00:04:43,660
Ya que hemos visto que la ecuación lineal nos da un plano

42
00:04:43,660 --> 00:04:49,060
Bueno, pues vamos a estudiar cuáles son las distintas posibilidades y lo vamos a tener que observar

43
00:04:49,060 --> 00:04:56,220
Tenemos que los rangos de las matrices de coeficientes y de las matrices ampliadas sean iguales y sean a 3

44
00:04:56,220 --> 00:05:08,040
Es decir, quiere decir que las tres ecuaciones son linealmente independientes, por lo tanto tendremos tres planos linealmente independientes entre sí.

45
00:05:09,040 --> 00:05:13,540
Por lo tanto, como indica aquí este pequeño graficito, son tres planos que se van a cortar en un punto.

46
00:05:14,800 --> 00:05:18,720
Este punto va a ser la única solución que tiene el sistema.

47
00:05:19,279 --> 00:05:23,259
El sistema compatible determinado, un punto, una solución.

48
00:05:23,259 --> 00:05:41,500
Si los rangos son 2 y 3, lo que me está diciendo es, bien, aquí tengo rango 2, es decir, tengo una ecuación cuyos coeficientes son linealmente dependientes de los anteriores,

49
00:05:41,500 --> 00:05:45,579
pero en el momento en el que le meto el término independiente ya no

50
00:05:45,579 --> 00:05:50,779
es decir, no cumple la misma regla, digamos, de dependencia

51
00:05:50,779 --> 00:05:54,060
el término independiente con los coeficientes

52
00:05:54,060 --> 00:05:58,180
porque tanto el sistema no puede ser compatible bajo ningún concepto

53
00:05:58,180 --> 00:06:02,420
puesto que para que fuera compatible tendría que tener los cuatro elementos la misma regla

54
00:06:02,420 --> 00:06:05,079
entonces nos podemos encontrar con esta situación

55
00:06:05,079 --> 00:06:07,339
¿qué vamos a tener?

56
00:06:07,339 --> 00:06:20,800
Bueno, pues dependiendo del caso, dependiendo de la combinación lineal, podemos tener dos planos paralelos y uno que se corta, ambos, o podemos tener tres planos que están formando como una especie de triángulo en el espacio.

57
00:06:21,259 --> 00:06:28,800
Si os fijáis, las intersecciones son o bien dos rectas paralelas o bien tres rectas paralelas.

58
00:06:29,399 --> 00:06:35,500
Como esas rectas son paralelas entre sí, no se van a cortar nunca, el sistema no va a tener nunca una solución.

59
00:06:37,339 --> 00:06:48,439
Nos podemos encontrar con un sistema de ecuaciones compatible pero indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones definidas por un parámetro.

60
00:06:49,740 --> 00:07:04,839
Nuevamente dos situaciones, los planos, los tres planos se cortan en un mismo eje o hay dos planos que coinciden y un tercero que corta en un mismo eje.

61
00:07:07,620 --> 00:07:12,839
Siempre la solución va a ser ese eje de corte, que son los puntos que tienen en común los tres planos.

62
00:07:14,240 --> 00:07:20,139
Luego podemos encontrarnos con que el rango de la matriz de coeficiente sea 1 y el rango de la matriz ampliada sea 2.

63
00:07:20,720 --> 00:07:23,259
Estamos en una situación parecida a la anterior.

64
00:07:24,300 --> 00:07:35,199
De aquí tenemos dos ecuaciones linealmente dependientes de una tercera, pero que difieren en el término independiente.

65
00:07:35,199 --> 00:07:39,519
Luego necesariamente lo que vamos a tener van a ser como mínimo dos planos paralelos.

66
00:07:40,540 --> 00:07:43,600
El tercero puede ser paralelo al anterior o coincidente.

67
00:07:44,000 --> 00:07:49,100
En cualquier caso son planos que no se van a cruzar nunca, luego no van a tener ningún punto de corte.

68
00:07:50,759 --> 00:07:58,240
Y si las tres ecuaciones son en realidad las mismas, son proporcionales, es decir, el rango de la decoficiente y el rango de la ampliada es igual a 1,

69
00:07:58,379 --> 00:08:02,339
estamos en esta situación, en realidad los tres planos que me van a definir son los mismos.

70
00:08:02,339 --> 00:08:08,439
Es decir, la solución depende aquí de dos parámetros, puesto que es una superficie.

71
00:08:09,759 --> 00:08:13,420
Bueno, vamos a ver en GeoGebra, vamos a resolver este ejemplo.

72
00:08:13,540 --> 00:08:19,540
Nos dice el ejercicio, estudia la existencia de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiendo del parámetro m.

73
00:08:20,600 --> 00:08:32,049
Pues vamos a introducir en GeoGebra las tres ecuaciones anteriores.

74
00:08:32,049 --> 00:08:36,110
En GeoGebra tenemos una herramienta muy útil

75
00:08:36,110 --> 00:08:38,809
Pero necesito verla en dos dimensiones

76
00:08:38,809 --> 00:08:40,190
Aunque luego la utilizaremos en tres

77
00:08:40,190 --> 00:08:42,309
Que es lo que se llama un deslizador

78
00:08:42,309 --> 00:08:43,470
Es un parámetro

79
00:08:43,470 --> 00:08:45,529
Lo que en clase hemos llamado un parámetro

80
00:08:45,529 --> 00:08:47,169
Entonces vamos a colocar un deslizador

81
00:08:47,169 --> 00:08:50,169
Que le voy a llamar M

82
00:08:50,169 --> 00:08:52,690
Le voy a fijar en 0

83
00:08:52,690 --> 00:08:54,009
Aunque lo vamos a ir a poder variar

84
00:08:54,009 --> 00:08:55,529
Desde menos 5 hasta 5

85
00:08:55,529 --> 00:08:56,929
Con eso sería suficiente

86
00:08:56,929 --> 00:08:58,009
Podríamos modificarlo

87
00:08:58,009 --> 00:09:12,769
Y una vez que ya lo tenemos, vamos a introducir nuestras ecuaciones dependiendo del parámetro.

88
00:09:12,769 --> 00:09:44,240
X más Y más MZ igual a 1, ya nos ha dibujado el primer plano, X más Y más Z igual a M, nos ha dibujado el segundo plano, lo que sale si nos fijamos es una línea, ahora déjame que termine de meter la ecuación y os cuento lo que ha pasado, porque sale en realidad una línea, es una casualidad.

89
00:09:45,039 --> 00:09:54,639
luego la tercera ecuación y menos mz igual a 2m vale ya tenemos el tercer plano voy a cambiarles

90
00:09:54,639 --> 00:10:00,940
de color para que se puedan ver un poquitín mejor entonces aquí podemos en configuración

91
00:10:00,940 --> 00:10:14,039
vamos a cambiar el color vamos a poner un color vistoso rojo nos ha cambiado el color de esta

92
00:10:14,039 --> 00:10:22,269
línea y vamos a este plano vamos a ponerle un color listo si yo

93
00:10:24,789 --> 00:10:25,649
un morado

94
00:10:29,990 --> 00:10:38,529
tenemos la herramienta rota gráfica y lo que pasa lo tenemos aquí o punto en realidad era

95
00:10:38,529 --> 00:10:44,230
un plano lo ocurre que lo teníamos justo de perfil a ver si vuelvo a conseguir nada

96
00:10:45,549 --> 00:10:48,350
Bueno, casi casi, pero se ve que es un plano.

97
00:10:49,789 --> 00:10:57,350
Se observa que los tres planos con el parámetro en cero, en igual a cero, lo tenemos que se cortan en un punto.

98
00:10:58,289 --> 00:11:00,710
Vamos a dibujar las intersecciones de los planos.

99
00:11:02,049 --> 00:11:06,850
Para eso vamos a utilizar el comando interseca.

100
00:11:08,070 --> 00:11:09,769
Vamos a decir el plano P y el plano Q.

101
00:11:09,769 --> 00:11:18,730
que nos dibuja precisamente la recta de intersección

102
00:11:18,730 --> 00:11:23,629
aquí se ve, del plano P y del plano Q

103
00:11:23,629 --> 00:11:26,990
y ahora vamos a dibujar la recta de intersección

104
00:11:26,990 --> 00:11:33,750
por ejemplo, del plano Q y del plano R

105
00:11:33,750 --> 00:11:36,830
interseca Q y F

106
00:11:36,830 --> 00:11:42,070
y aquí tenemos esta recta de intersección que se ve muy claramente

107
00:11:42,070 --> 00:11:43,909
y además se cortan en un punto

108
00:11:43,909 --> 00:11:49,950
si ponemos interseca y ahora F y G

109
00:11:49,950 --> 00:11:54,820
nos sale el punto A aquí

110
00:11:54,820 --> 00:11:58,059
que es justo la solución que tendría el sistema de coordenadas

111
00:11:58,059 --> 00:11:59,960
para el parámetro M igual a 0

112
00:11:59,960 --> 00:12:03,179
vamos a modificar un poquito en la vista

113
00:12:03,179 --> 00:12:07,240
se sigue viendo bien aquí donde está el punto

114
00:12:07,240 --> 00:12:09,000
a ver si puedo quitar el plano

115
00:12:09,000 --> 00:12:11,220
gris, un momentito

116
00:12:11,220 --> 00:12:12,039
a ver si

117
00:12:12,039 --> 00:12:13,879
sale

118
00:12:13,879 --> 00:12:18,620
donde era

119
00:12:18,620 --> 00:12:23,620
aquí, vale, si dejamos

120
00:12:23,620 --> 00:12:24,480
solo los ejes

121
00:12:24,480 --> 00:12:26,299
vale, aquí tengo

122
00:12:26,299 --> 00:12:32,379
mis tres planos

123
00:12:32,379 --> 00:12:34,360
los tres ejes, bueno la verdad que casi que se ven

124
00:12:34,360 --> 00:12:36,299
mejor con el

125
00:12:36,299 --> 00:12:37,139
plano, voy a ver

126
00:12:37,139 --> 00:12:39,080
si lo vuelvo a dejar

127
00:12:39,080 --> 00:12:42,440
vale, que nos sirve

128
00:12:42,440 --> 00:12:43,419
de referencia un poco

129
00:12:43,419 --> 00:12:48,399
vamos a variar el parámetro a ver que es lo que va pasando

130
00:12:48,399 --> 00:12:52,500
si vamos variando el parámetro

131
00:12:52,500 --> 00:12:55,480
los planos van girando, van cambiando los planos

132
00:12:55,480 --> 00:12:58,500
porque en realidad las ecuaciones van cambiando

133
00:12:58,500 --> 00:13:02,419
si dejo el parámetro m igual a menos uno

134
00:13:02,419 --> 00:13:05,860
los planos han cambiado

135
00:13:05,860 --> 00:13:07,980
sigue habiendo una única solución

136
00:13:07,980 --> 00:13:11,039
sigue siendo sistema compatible determinado

137
00:13:11,039 --> 00:13:14,799
vamos hacia el otro lado

138
00:13:14,799 --> 00:13:25,629
A ver qué pasa. Si nos vamos acercando, fijaos cómo hay dos planos que se van a ir acercando.

139
00:13:25,830 --> 00:13:34,129
El rojo y el azul se están aproximando entre sí. Están girando uno sobre el otro. 07, 08, 09, 1.

140
00:13:35,250 --> 00:13:40,370
Y en 1, justo en 1, en realidad los dos planos son el mismo.

141
00:13:40,370 --> 00:13:46,750
Ha desaparecido un plano y solo tengo una recta de intersección entre los tres planos.

142
00:13:46,750 --> 00:13:49,389
A ver si quito ahora el plano gris.

143
00:13:52,720 --> 00:13:54,840
Y aquí se ve la recta de intersección.

144
00:13:55,159 --> 00:14:03,120
Es decir, tengo infinitas soluciones porque los dos planos, el plano P y Q, coinciden.

145
00:14:04,700 --> 00:14:08,220
Y el plano R interseca con ellos.

146
00:14:08,220 --> 00:14:15,659
Y entonces la solución que tienes es esta solución infinita, que es precisamente esta recta.

147
00:14:15,659 --> 00:14:21,789
si seguimos modificando el parámetro

148
00:14:21,789 --> 00:14:23,690
vuelven a estar

149
00:14:23,690 --> 00:14:25,870
separados los planos

150
00:14:25,870 --> 00:14:27,750
a ser diferentes y nos vuelve a aparecer

151
00:14:27,750 --> 00:14:28,970
el punto único

152
00:14:28,970 --> 00:14:30,730
de solución

153
00:14:30,730 --> 00:14:35,490
vamos otra vez al parámetro

154
00:14:35,490 --> 00:14:36,570
m igual a 1

155
00:14:36,570 --> 00:14:39,629
bueno, colocarlo a ver si es cierto

156
00:14:39,629 --> 00:14:40,970
vale, estupendo

157
00:14:40,970 --> 00:14:43,090
y voy a hacer una pequeña modificación

158
00:14:43,090 --> 00:14:45,710
de una de las ecuaciones

159
00:14:45,710 --> 00:14:48,129
si yo no toco

160
00:14:48,129 --> 00:14:49,990
la parte de coeficientes

161
00:14:49,990 --> 00:14:54,809
pero si toco la parte de término independiente

162
00:14:54,809 --> 00:14:59,210
en realidad lo que estoy haciendo ahí es que el rango de la matriz de coeficientes

163
00:14:59,210 --> 00:15:02,450
no cambie, sigue haciendo 2, pero el rango de la matriz ampliada

164
00:15:02,450 --> 00:15:03,970
sí cambie

165
00:15:03,970 --> 00:15:21,090
¿Qué es lo que tenemos? Al modificar el término independiente

166
00:15:21,090 --> 00:15:25,639
lo que conseguimos son planos paralelos

167
00:15:25,639 --> 00:15:29,480
entonces voy a dibujar aquí abajo

168
00:15:29,480 --> 00:15:32,379
la recta de intersección entre el plano morado

169
00:15:32,379 --> 00:15:33,340
que es R

170
00:15:33,340 --> 00:15:35,759
y el plano azul que es T

171
00:15:35,759 --> 00:15:45,159
y fijaos como nos salen

172
00:15:45,159 --> 00:15:46,700
dos rectas paralelas

173
00:15:46,700 --> 00:15:48,779
estas dos rectas no se van a cortar jamás

174
00:15:48,779 --> 00:15:50,379
una baleja

175
00:15:50,379 --> 00:15:52,080
el sistema no tiene solución

176
00:15:52,080 --> 00:15:54,159
es un sistema incompatible

177
00:15:54,159 --> 00:15:56,080
bueno

178
00:15:56,080 --> 00:15:58,559
jugar con el programa GeoGebra

179
00:15:58,559 --> 00:16:01,139
jugar primero online

180
00:16:01,139 --> 00:16:02,460
si le coges el tranquillo

181
00:16:02,460 --> 00:16:03,820
pues os lo instaláis si queréis

182
00:16:03,820 --> 00:16:06,960
las funcionalidades son exactamente las mismas

183
00:16:06,960 --> 00:16:08,259
¿vale?

184
00:16:08,620 --> 00:16:10,840
y ya veis que es muy visual

185
00:16:10,840 --> 00:16:12,559
cuesta un poquito ver

186
00:16:12,559 --> 00:16:14,440
las tres dimensiones porque

187
00:16:14,440 --> 00:16:16,740
la pantalla, igual que la pizarra

188
00:16:16,740 --> 00:16:19,139
sigue siendo una superficie en dos dimensiones

189
00:16:19,139 --> 00:16:20,159
y es muy complicado

190
00:16:20,159 --> 00:16:22,279
dibujar nada en tres dimensiones

191
00:16:22,279 --> 00:16:24,720
pero bueno, con un poquito

192
00:16:24,720 --> 00:16:26,419
de maña

193
00:16:26,419 --> 00:16:27,259
girando

194
00:16:27,259 --> 00:16:30,740
viendo bajo qué ángulo se ven un poquito mejor

195
00:16:30,740 --> 00:16:32,700
los planos, ya veis que estos dos planos son

196
00:16:32,700 --> 00:16:34,500
perfectamente paralelos, se ven las

197
00:16:34,500 --> 00:16:36,440
intersecciones, bueno

198
00:16:36,440 --> 00:16:38,159
se puede jugar con todo ello

199
00:16:38,159 --> 00:16:40,240
y hacer cosas

200
00:16:40,240 --> 00:16:42,279
muy chulas, vale

201
00:16:42,279 --> 00:16:44,860
bueno, espero que os haya sido de utilidad

202
00:16:44,860 --> 00:16:46,559
para vuestra tranquilidad

203
00:16:46,559 --> 00:16:48,860
este punto no va a entrar ni en

204
00:16:48,860 --> 00:16:49,899
en evau

205
00:16:49,899 --> 00:16:52,679
vamos, no he visto todavía ningún ejercicio

206
00:16:52,679 --> 00:16:54,720
en evau de los últimos años que tenga

207
00:16:54,720 --> 00:16:56,919
que ver con esto, ni yo lo voy a preguntar

208
00:16:56,919 --> 00:16:57,899
en un examen de

209
00:16:57,899 --> 00:17:00,080
del curso, de acuerdo

210
00:17:00,080 --> 00:17:03,659
bueno, nos vemos en clase, hasta luego