1
00:00:00,000 --> 00:00:05,100
Hola, en este vídeo vamos a estudiar cómo calcular la proyección de un punto A

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00:00:05,100 --> 00:00:07,800
sobre una recta en el espacio.

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00:00:07,800 --> 00:00:09,300
La idea intuitiva

4
00:00:09,300 --> 00:00:13,380
sería trazar una recta S que pasara por A

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00:00:13,380 --> 00:00:18,260
y que cortase perpendicularmente a nuestra recta R.

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00:00:18,260 --> 00:00:21,600
Entonces llamamos proyección de A sobre R

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00:00:21,600 --> 00:00:24,020
a ese punto de intersección

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00:00:24,020 --> 00:00:28,540
entre ambas rectas.

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00:00:28,540 --> 00:00:33,380
El problema en la práctica consiste en determinar cuál es la dirección de esa

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00:00:33,380 --> 00:00:36,700
recta S sin la cual no la puedo escribir.

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00:00:36,700 --> 00:00:40,500
Si partimos de la dirección de la recta DATO, de la recta R sobre la que

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00:00:40,500 --> 00:00:41,820
queremos proyectar,

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00:00:41,820 --> 00:00:46,260
efectivamente la recta S tiene una dirección perpendicular a V.

14
00:00:46,260 --> 00:00:50,340
El problema es que las direcciones perpendiculares a V

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00:00:50,340 --> 00:00:55,260
son infinitas y obtener un vector cualquiera perpendicular a V

16
00:00:55,260 --> 00:00:56,780
muy probablemente

17
00:00:56,780 --> 00:01:00,780
no llevará la dirección de la recta S.

18
00:01:00,780 --> 00:01:02,740
Si obtenemos ese vector

19
00:01:02,740 --> 00:01:06,820
no tenemos ninguna garantía, por el hecho de que sea perpendicular a V, el

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00:01:06,820 --> 00:01:07,780
vector verde,

21
00:01:07,780 --> 00:01:09,820
de que lleve la dirección deseada.

22
00:01:09,820 --> 00:01:11,380
Esto es así

23
00:01:11,380 --> 00:01:13,900
porque en la dirección

24
00:01:16,180 --> 00:01:18,540
perpendicular a V

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00:01:18,540 --> 00:01:19,980
no hay un solo vector

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00:01:19,980 --> 00:01:23,480
sino que hay infinitos vectores.

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00:01:23,480 --> 00:01:26,580
Y por lo tanto es muy muy difícil determinar

28
00:01:26,580 --> 00:01:30,860
obteniendo un vector perpendicular a V al azar es imposible determinar si es el

29
00:01:30,860 --> 00:01:31,980
adecuado o no

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00:01:31,980 --> 00:01:36,260
para nuestra recta S.

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00:01:36,260 --> 00:01:39,980
¿Cómo podemos entonces abordar el problema de la proyección de un punto

32
00:01:39,980 --> 00:01:43,180
sobre una recta si la recta S no es fácil de encontrar?

33
00:01:43,180 --> 00:01:47,780
La solución práctica consiste en cambiar totalmente el enfoque, olvidarnos

34
00:01:47,780 --> 00:01:50,380
de buscar esa dirección difícil de encontrar,

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00:01:50,380 --> 00:01:53,980
olvidarnos de hecho de buscar la propia recta S

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00:01:53,980 --> 00:01:57,020
y buscar P por otros procedimientos.

37
00:01:57,020 --> 00:01:59,100
Lo que vamos a hacer ahora

38
00:01:59,100 --> 00:02:04,780
no es buscar una recta S que pase por A y sea perpendicular a R sino buscar

39
00:02:04,780 --> 00:02:07,100
todo un plano

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00:02:07,100 --> 00:02:10,380
que pase por A y que sea perpendicular

41
00:02:10,380 --> 00:02:11,820
a R.

42
00:02:11,820 --> 00:02:13,980
Encontrar ese plano es fácil

43
00:02:13,980 --> 00:02:15,420
porque

44
00:02:15,420 --> 00:02:18,300
al ser precisamente perpendicular a R

45
00:02:18,300 --> 00:02:19,620
podemos utilizar

46
00:02:19,620 --> 00:02:21,780
como vector normal de ese plano

47
00:02:21,780 --> 00:02:26,260
el vector director de la recta R o cualquiera que sea paralelo a él.

48
00:02:26,260 --> 00:02:28,540
Una vez obtenido ese plano

49
00:02:28,540 --> 00:02:30,460
el punto proyección buscado

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00:02:30,460 --> 00:02:32,140
se encuentra simplemente

51
00:02:32,140 --> 00:02:36,860
haciendo la intersección de ese plano con la recta R

52
00:02:36,860 --> 00:02:40,340
y observamos entonces que el punto que se obtiene,

53
00:02:40,340 --> 00:02:41,540
el punto P,

54
00:02:41,540 --> 00:02:44,380
es exactamente el mismo

55
00:02:44,380 --> 00:02:48,660
al que nos referíamos al principio, el punto proyección,

56
00:02:48,660 --> 00:02:53,140
dado que ahora sí podemos trazar esa recta S perpendicular

57
00:02:53,140 --> 00:03:00,140
por ese mismo punto.

58
00:03:10,220 --> 00:03:13,260
Vamos ahora a resolver un caso práctico

59
00:03:13,260 --> 00:03:16,820
con este punto A y esta recta R.

60
00:03:16,820 --> 00:03:19,660
Para empezar calculamos

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00:03:19,660 --> 00:03:21,180
el

62
00:03:21,180 --> 00:03:24,980
plano pi que tiene por vector normal

63
00:03:24,980 --> 00:03:26,980
el vector director de R

64
00:03:26,980 --> 00:03:29,420
que leemos en sus ecuaciones paramétricas

65
00:03:29,420 --> 00:03:35,340
y que no es otro que el (-1, 2, 4).

66
00:03:35,340 --> 00:03:38,300
Y el plano debe pasar además por el punto A,

67
00:03:38,300 --> 00:03:41,100
(-4, 1, 0).

68
00:03:41,100 --> 00:03:45,260
Las coordenadas del vector normal coinciden con los coeficientes de las

69
00:03:45,260 --> 00:03:47,580
variables en la ecuación general del plano

70
00:03:47,580 --> 00:03:50,580
y nos quedaría por determinar su término independiente,

71
00:03:50,580 --> 00:03:52,220
cosa que podemos hacer

72
00:03:52,220 --> 00:03:55,580
sustituyendo las coordenadas del punto

73
00:03:55,580 --> 00:03:59,340
x, y, z por 4, menos 1, 0

74
00:03:59,340 --> 00:04:01,100
puesto que ese punto

75
00:04:01,100 --> 00:04:03,780
tiene que estar en el plano.

76
00:04:03,780 --> 00:04:08,660
Obtenemos que D debe ser 6 y por lo tanto que el plano

77
00:04:08,660 --> 00:04:13,500
tiene que ser menos x más 2y más 4z

78
00:04:13,500 --> 00:04:16,900
más 6 igual a 0.

79
00:04:16,900 --> 00:04:21,180
Una vez obtenido el plano nos falta hallar su punto de corte con la recta R

80
00:04:21,180 --> 00:04:25,060
lo cual hacemos introduciendo las ecuaciones paramétricas de R en la

81
00:04:25,060 --> 00:04:26,380
ecuación del plano.

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00:04:26,380 --> 00:04:30,300
Así que menos x se cambia por menos 2 más lambda

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00:04:30,300 --> 00:04:33,460
más 2y se cambia por 4 lambda

84
00:04:33,460 --> 00:04:38,900
y más 4z se cambia por menos 4 más 16 lambda

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00:04:38,900 --> 00:04:41,140
más 6 igual a 0.

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00:04:41,140 --> 00:04:44,940
De aquí obtenemos que 21 lambda es 0

87
00:04:44,940 --> 00:04:46,780
de donde lambda es 0

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00:04:46,780 --> 00:04:50,140
y reintroduciendo este valor en las ecuaciones paramétricas

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00:04:50,140 --> 00:04:55,420
obtendríamos el punto P como el punto 2, 0, menos 1

90
00:04:55,420 --> 00:04:59,140
y esta es la proyección del punto A sobre la recta R.