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00:00:00,620 --> 00:00:23,949
¡Hola! Bienvenidos a la web del Profe de Mates. Vamos a resolver el ejercicio B3 de la convocatoria

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00:00:23,949 --> 00:00:29,089
ordinaria junio 2022 de Matemáticas 2 de la Comunidad de Madrid. Este ejercicio dice

3
00:00:29,089 --> 00:00:35,049
lo siguiente. Sea en el plano pi que es x más y más z igual a 1 y la recta R1 que viene

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00:00:35,049 --> 00:00:39,929
dada por paramétricas x es igual a 1 más lambda y igual a 1 menos lambda y z igual

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00:00:39,929 --> 00:00:45,130
a menos 1 con lambda perteneciente a los reales. Y también tenemos el punto P que viene dado por

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00:00:45,130 --> 00:00:51,369
las coordenadas 0, 1, 0. Apartado A nos piden verificar que la recta R sub 1 está contenida

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00:00:51,369 --> 00:00:58,009
en el plano pi y que el punto P pertenece al mismo plano, o sea, al plano pi. El apartado B nos pide

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00:00:58,009 --> 00:01:03,789
hallar una ecuación de la recta contenida en el plano pi que pase por el punto P y sea perpendicular

9
00:01:03,789 --> 00:01:11,469
a r sub 1 y el apartado c que es el que más vale calcule una ecuación de la recta r sub 2 que pase

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00:01:11,469 --> 00:01:19,930
por p y sea paralela a r sub 1 y dice luego halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados

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00:01:19,930 --> 00:01:25,810
sobre las rectas r sub 1 y r sub 2 comenzamos pues con el apartado a en el que vemos que

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00:01:25,810 --> 00:01:33,150
representando la figura pues de lo que se trata es de comprobar que el plano contiene a la recta

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00:01:33,150 --> 00:01:38,469
de tal modo que por ejemplo el punto vamos a llamarle p prima que p prima puede ser veis las

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00:01:38,469 --> 00:01:45,329
paramétricas verdad pues el punto que define esas paramétricas es el punto 1 1 menos 1 bueno pues

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00:01:45,329 --> 00:01:50,849
eso primera cosa que vamos a comprobar es que pertenece al plano pi para pertenecer al plano

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00:01:50,849 --> 00:01:56,969
pi lo que necesitamos ver es que cumple con la ecuación del plano pi vamos a sustituir x y z

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00:01:56,969 --> 00:02:07,510
en la ecuación que define al plano, x más y más z, que sería menos 1, 1 más 1 menos 1, eso da 2 menos 1, que eso es 1,

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00:02:07,989 --> 00:02:18,729
con lo cual efectivamente x más y más z termina dando 1. Así que el punto P' pertenece a pi.

19
00:02:19,289 --> 00:02:25,349
Segunda cosa que vamos a verificar es que dado un vector director de la recta R1, por ejemplo,

20
00:02:25,349 --> 00:02:34,330
pues viendo las paramétricas vemos que un vector de r sub 1 serían las coordenadas 1 menos 1 0 ya

21
00:02:34,330 --> 00:02:41,330
que como podéis observar lambda estaría multiplicado por 1 menos 1 y 0 en cada una de las coordenadas

22
00:02:41,330 --> 00:02:50,449
este vector tiene que ser a la fuerza perpendicular con el vector normal del plano pi y cuál es el

23
00:02:50,449 --> 00:02:58,129
vector normal del plano pi y cuáles son las coordenadas de ese vector normal al plano pi

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00:02:58,129 --> 00:03:04,930
pues es muy fácil observamos la ecuación de pi que es x más y más z igual a 1 los coeficientes de x

25
00:03:04,930 --> 00:03:13,229
de y de z es un vector normal al plano pi así que lo que vamos a comprobar es que el vector

26
00:03:13,229 --> 00:03:21,210
director de la recta 1, ese que hemos tomado, es perpendicular al vector normal al pi. ¿Y eso cómo

27
00:03:21,210 --> 00:03:29,830
se hace? Pues multiplicando escalarmente a un vector por otro. Si eso nos da 0, es que son

28
00:03:29,830 --> 00:03:43,169
perpendiculares muy bien pues vamos allá sería 1 menos 1 0 por 1 1 1 eso nos va a dar 1 por 1 que

29
00:03:43,169 --> 00:03:51,129
sería 1 menos 1 por 1 que sería menos 1 y 0 por 1 que sería 0 esto da 1 menos 1 que es 0 así que

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00:03:51,129 --> 00:03:57,930
efectivamente se cumple que el ángulo que forman estos dos vectores en 90 grados así que conclusión

31
00:03:57,930 --> 00:04:06,090
un vector director de la recta R1 es perpendicular al vector normal del plano pi. Con estas dos

32
00:04:06,090 --> 00:04:16,930
condiciones ya verificadas, podemos asegurar que entonces la recta R está incluida en el plano pi.

33
00:04:17,310 --> 00:04:26,069
Si recordáis, también se nos preguntó si el punto P, que era 0, 1, 0, pertenecía al plano pi. Bueno,

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00:04:26,069 --> 00:04:29,170
Pues eso es muy fácil, vamos a hacer exactamente lo mismo que hicimos con P'.

35
00:04:29,170 --> 00:04:35,930
El punto P, que tiene de coordenadas 0, 1, 0, pertenecerá al plano pi,

36
00:04:36,569 --> 00:04:42,949
si y solo si, sustituido en la ecuación del plano, la verifica.

37
00:04:43,509 --> 00:04:46,930
La ecuación del plano era x más y más z igual a 1,

38
00:04:47,470 --> 00:04:52,910
si sustituimos la x por 0, la y por 1 y la z por 0, efectivamente da 1.

39
00:04:52,910 --> 00:04:59,949
Así que conclusión de todo esto es que el punto P sí pertenece al plano pi, que era lo que se pedía.

40
00:05:00,370 --> 00:05:06,250
Vamos entonces con el apartado B, que nos pide hallar una ecuación de la recta contenida en el plano pi

41
00:05:06,250 --> 00:05:10,750
que pase por P y sea perpendicular a R1.

42
00:05:12,550 --> 00:05:16,490
Vamos a representar la situación. Aquí tenemos, imaginaros el plano pi otra vez.

43
00:05:16,490 --> 00:05:28,720
la recta R1 y vamos a tener que calcular la recta R2 que hace 90 grados con la recta R1 y que pasa

44
00:05:28,720 --> 00:05:34,399
por el punto P. Aquí tendríamos el punto P. Recordar que una manera de representar una recta

45
00:05:34,399 --> 00:05:40,500
en el espacio es mediante la intersección de dos planos. R2 pertenece ya directamente al plano

46
00:05:40,500 --> 00:05:48,879
x más y más z igual a 1. Necesitaríamos otro plano para poder determinarla. ¿Qué plano podemos

47
00:05:48,879 --> 00:05:57,420
tomar? Podemos tomar el plano que sea perpendicular al plano pi y por ende a la recta r sub 1 y que

48
00:05:57,420 --> 00:06:03,639
pasa por el punto p. ¿Y cuál es la ecuación de este plano que le vamos a llamar pi prima? Como es un

49
00:06:03,639 --> 00:06:11,420
plano, que es perpendicular a la recta R1, su vector normal es el vector director de

50
00:06:11,420 --> 00:06:35,629
la recta R1. Un vector perpendicular o normal a pi' es cualquier vector director de R1.

51
00:06:35,629 --> 00:06:54,230
Como un vector director de R1 era, lo dijimos antes, 1, menos 1, 0, la ecuación de un plano pi prima que sea perpendicular a R1 tendrá por ecuaciones x menos y igual a k.

52
00:06:54,870 --> 00:06:56,490
¿De dónde vamos a sacar la k?

53
00:06:56,949 --> 00:07:03,829
Pues hemos dicho que el plano pi prima tiene que tener al punto p como uno de sus puntos.

54
00:07:04,069 --> 00:07:06,370
Así que tiene que verificar sus ecuaciones.

55
00:07:06,709 --> 00:07:13,769
Si x menos y es igual a k, entonces como el punto p, acordaros que sus coordenadas eran 0, 1, 0,

56
00:07:14,910 --> 00:07:17,470
pues tiene que verificar que 0 menos 1 es igual a k.

57
00:07:17,470 --> 00:07:19,769
O sea que la k es menos 1.

58
00:07:19,769 --> 00:07:26,430
Así que el plano pi' tendrá por ecuación x menos y igual a menos 1.

59
00:07:26,910 --> 00:07:37,269
Este plano nos serviría como plano para describir a la recta R2, lo voy a poner aquí, x menos y igual a menos 1,

60
00:07:37,269 --> 00:07:42,410
ya que la intersección de x más y más z igual a 1 y x menos y igual a menos 1

61
00:07:42,410 --> 00:07:47,009
produciría una recta que estaría contenida en el plano pi

62
00:07:47,009 --> 00:07:51,389
y que sería perpendicular a la recta R sub 1.

63
00:07:51,670 --> 00:07:54,990
Así que con esto tenemos ya resuelto el apartado B.

64
00:07:54,990 --> 00:07:59,230
Si os habéis fijado, técnicamente el apartado no está bien descrito

65
00:07:59,230 --> 00:08:02,230
porque dice haya una ecuación, ¿lo veis?

66
00:08:02,230 --> 00:08:12,490
Hay una ecuación, no, una recta siempre está definida en el espacio por dos ecuaciones, de planos, lógicamente, pero bueno, vamos a dejarlo ahí.

67
00:08:13,209 --> 00:08:24,769
Vamos a ver el apartado C, dice, calcule una ecuación de la recta R2, seguimos con la matraca, fijaros, una ecuación, las rectas en R3 están definidas por dos ecuaciones,

68
00:08:24,769 --> 00:08:28,529
que pase por P y sea paralela a R1.

69
00:08:28,829 --> 00:08:34,330
Y luego ya nos dicen, hay el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas R1 y R2.

70
00:08:34,750 --> 00:08:37,990
Para que la recta R2 sea paralela a la recta R1,

71
00:08:38,309 --> 00:08:44,529
el espacio de dirección de la recta R2 tiene que ser el mismo que el espacio de direcciones de R1.

72
00:08:44,629 --> 00:08:50,669
Es decir, que los vectores directores de R2 son los mismos que los vectores directores de R1,

73
00:08:50,909 --> 00:08:52,370
o en dado caso, proporcionales.

74
00:08:52,370 --> 00:08:58,649
Así que si tomamos las paramétricas de R1, la primera de las preguntas es muy sencilla.

75
00:08:59,549 --> 00:09:08,889
Porque se trataría de establecer las mismas paramétricas, pero ahora variando el punto de incidencia de la recta.

76
00:09:09,070 --> 00:09:15,970
Que ahora ya no va a ser 1, 1, menos 1, sino que va a ser el 0, 1, 0, que era el punto P.

77
00:09:15,970 --> 00:09:22,350
El vector director que vamos a establecer en estas paramétricas va a ser exactamente el mismo que para R1.

78
00:09:22,370 --> 00:09:39,769
El punto es lo único que varía. R2 es una recta paralela a R1 y que pasa por P.

79
00:09:40,909 --> 00:09:43,370
Vale, pues ya tenemos resuelto lo primero.

80
00:09:44,090 --> 00:09:57,090
Lo segundo, nos dicen que calculemos el área de cualquier cuadrado que se pueda crear a partir de R1 y R2, que son paralelas.

81
00:09:57,090 --> 00:10:03,509
Y ese cuadrado tiene que tener uno de sus lados sobre la recta R1 y otro de sus lados sobre la recta R2.

82
00:10:03,870 --> 00:10:10,789
Así que, si por ejemplo tomamos que este sea el punto P, que ya sabéis que es el 0, 1, 0,

83
00:10:11,870 --> 00:10:18,590
el cuadrado vendrá dado por el lado que va a ser la distancia entre R1 y R2.

84
00:10:18,870 --> 00:10:20,190
Ese sería el cuadrado.

85
00:10:20,769 --> 00:10:25,889
Así que vamos a calcularnos la distancia entre el punto P y la recta R1.

86
00:10:25,889 --> 00:10:29,850
el lado del cuadrado

87
00:10:29,850 --> 00:10:40,299
es la distancia de R1

88
00:10:40,299 --> 00:10:43,000
a R2

89
00:10:43,000 --> 00:10:47,399
¿vale? o sea que L, L es el lado del cuadrado

90
00:10:47,399 --> 00:10:53,539
es igual a la distancia entre R1 y R2

91
00:10:53,539 --> 00:10:57,039
o lo que es lo mismo es la distancia entre R1

92
00:10:57,039 --> 00:11:01,460
y P, para ello lo que voy a hacer es en vez de seguir

93
00:11:01,460 --> 00:11:09,100
fórmulas lo que voy a calcularme es el plano que es perpendicular a r1 y r2 y que pasa por el punto

94
00:11:09,100 --> 00:11:15,179
p que le vamos a llamar pi prima porque es el mismo plano que hemos calculado en el apartado b

95
00:11:15,179 --> 00:11:24,309
recordar que calculamos en el apartado b en el apartado b lo que calculamos fue un plano que

96
00:11:24,309 --> 00:11:31,070
que era perpendicular a R1, lo veis, y que tenía P como uno de sus puntos,

97
00:11:31,230 --> 00:11:36,090
o sea que ese plano es pi prima, que es x menos y, igual a menos 1.

98
00:11:37,149 --> 00:11:44,450
Así que sea pi prima, que es x menos y, igual a menos 1,

99
00:11:44,570 --> 00:11:48,009
que es este plano que hemos dibujado aquí, x menos y, igual a menos 1.

100
00:11:48,009 --> 00:11:50,870
Pasa por el punto P y es perpendicular a la recta R1.

101
00:11:50,870 --> 00:11:57,929
Pues vamos a intersecar ahora al plano pi prima, x menos y igual a menos 1, con la recta R1.

102
00:11:58,230 --> 00:12:01,370
¿Cuáles serán las paramétricas de la recta R1?

103
00:12:01,690 --> 00:12:08,409
Pues las tenemos en el propio enunciado, con lo cual, si queremos calcular pi prima intersección R1,

104
00:12:09,330 --> 00:12:18,690
que vamos a llamar ese punto Q, lo único que tenemos que hacer es sustituir las paramétricas de R1 en la ecuación del plano.

105
00:12:18,690 --> 00:12:25,210
Que sería 1 más lambda menos 1 menos lambda igual a menos 1.

106
00:12:25,370 --> 00:12:33,149
Calculamos lambda, que sería 1 más lambda menos 1 más lambda igual a menos 1.

107
00:12:33,409 --> 00:12:35,730
O sea que el 1 y el menos 1 se largan.

108
00:12:36,409 --> 00:12:42,690
Quedaría 2 lambda igual a menos 1, así que lambda es menos 1 medio.

109
00:12:43,509 --> 00:12:47,889
Para el valor de lambda menos 1 medio, encontramos al punto Q.

110
00:12:47,889 --> 00:12:53,889
entonces el punto Q tendrá por coordenadas la sustitución de lambda en las paramétricas de R1

111
00:12:53,889 --> 00:12:59,409
es decir, 1 menos 1 medio, que sería 1 medio, o sea 0,5

112
00:12:59,409 --> 00:13:06,870
1 menos menos 1 medio, que sería 3 medios, o sea 1,5

113
00:13:06,870 --> 00:13:10,350
y la tercera coordenada lógicamente va a ser menos 1

114
00:13:10,350 --> 00:13:17,789
total, que el lado L del cuadrado, que era la distancia, acordaros

115
00:13:17,789 --> 00:13:20,070
de la recta R1 al punto P

116
00:13:20,070 --> 00:13:23,190
es igual que la distancia entre el punto Q

117
00:13:23,190 --> 00:13:24,169
vamos a poner Q aquí

118
00:13:24,169 --> 00:13:25,250
y el punto P

119
00:13:25,250 --> 00:13:29,730
o sea, lo que es el módulo del vector PQ

120
00:13:29,730 --> 00:13:33,570
raíz cuadrada

121
00:13:33,570 --> 00:13:35,210
¿de quién?

122
00:13:35,490 --> 00:13:36,970
pues restamos las coordenadas

123
00:13:36,970 --> 00:13:41,529
sería 0,5 menos 0 al cuadrado

124
00:13:41,529 --> 00:13:46,830
más 1,5 menos 1 al cuadrado

125
00:13:46,830 --> 00:13:53,070
y la tercera coordenada sería menos 1 menos 0 al cuadrado.

126
00:13:54,129 --> 00:13:59,289
Echamos la cuenta, sería la raíz cuadrada de 0,5 al cuadrado que sería 0,25

127
00:13:59,289 --> 00:14:05,850
1,5 menos 1 que sería 0,5 al cuadrado, otra vez 0,25

128
00:14:05,850 --> 00:14:11,750
y menos 1 menos 0 que sería menos 1 al cuadrado sería 1.

129
00:14:11,750 --> 00:14:18,450
Así que el lado del cuadrado sería la raíz cuadrada de 1,5.

130
00:14:18,590 --> 00:14:36,769
Como el área de cualquier cuadrado es el lado al cuadrado, el área del cuadrado será L al cuadrado, es decir, 1,5 unidades cuadradas.

131
00:14:37,269 --> 00:14:37,889
Y ahí lo tenemos.

132
00:14:38,549 --> 00:14:43,570
Ese es el resultado del apartado C de este ejercicio de geometría analítica.

133
00:14:43,570 --> 00:14:51,309
Y con esto acabamos el ejercicio B3 de la convocatoria ordinaria de Madrid 2022 en Matemáticas 2.

134
00:14:51,549 --> 00:14:52,769
Espero que lo hayáis entendido.

135
00:14:53,389 --> 00:15:01,230
Efectivamente, y lo sé, hay otras maneras diferentes de resolver el apartado B, el apartado C, sobre todo, mediante una fórmula.

136
00:15:01,389 --> 00:15:07,330
Sí, sé que muchos de vosotros os sabéis esa fórmula, pero lo que digo siempre, ¿esa fórmula la vas a llevar toda tu vida en la cabeza?

137
00:15:07,529 --> 00:15:10,289
No, no la vas a llevar en tu cabeza toda tu vida.

138
00:15:10,990 --> 00:15:15,009
Es más, es probable que de aquí a un año quizá no la recuerdes.

139
00:15:15,009 --> 00:15:21,110
Sin embargo, estos razonamientos que he hecho yo en el apartado C, esos sí que los puedes llevar tú siempre en la cabeza.

140
00:15:21,429 --> 00:15:32,870
Razonamiento lógico, razonamiento deductivo, con lo cual podrías llegar a resolver el problema sin necesidad de estar aprendiéndote fórmulas que luego probablemente las olvides igual que yo.

141
00:15:33,289 --> 00:15:36,830
Me despido ya, emplazándote a un nuevo vídeo de la web del Profe de Mates.

142
00:15:37,250 --> 00:15:39,429
Un saludo, hasta el próximo vídeo.

143
00:15:40,289 --> 00:16:10,269
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