1
00:00:00,620 --> 00:00:21,260
hola qué tal bienvenidos a un nuevo vídeo de la web del profe de mates en el que vamos a resolver

2
00:00:21,260 --> 00:00:28,500
el ejercicio a 2 de la convocatoria ordinaria de madrid 2022 en evau dice el ejercicio sea la

3
00:00:28,500 --> 00:00:34,060
función f de x igual veis que es una función a trozos que para el valor 0 vale 0 y para los

4
00:00:34,060 --> 00:00:40,439
valores que sean distintos de 0 vale x cubo por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado. Lo

5
00:00:40,439 --> 00:00:47,240
primero que pide es estudiar la continuidad y derivabilidad de f de x en x igual a 0. Lo segundo

6
00:00:47,240 --> 00:00:53,700
que pide es que estudiemos si f de x presenta algún tipo de simetría par o impar. El tercer apartado

7
00:00:53,700 --> 00:00:59,420
lo que dice es que calculemos la siguiente integral que es la integral entre 1 y 2 de la función f de

8
00:00:59,420 --> 00:01:05,959
x partido de x a la 6 respecto de x, diferencial de x. Muy bien, pues vamos a empezar con el

9
00:01:05,959 --> 00:01:15,920
apartado A, en el que observamos que la función f de x, que es x cubo por e elevado a menos

10
00:01:15,920 --> 00:01:26,620
1 partido de x cuadrado, es continua en todo valor que sea distinto de 0, ya que x cubo

11
00:01:26,620 --> 00:01:31,239
es un polinomio que multiplicado por una exponencial, pues entonces va a presentar continuidad

12
00:01:31,239 --> 00:01:35,159
tanto la primera función como la segunda multiplicadas, con lo cual la función producto

13
00:01:35,159 --> 00:01:39,060
va a ser continua. Así que tiene sentido que nos pregunten que qué pasa

14
00:01:39,060 --> 00:01:42,739
en el x igual a 0. Ya sabéis que f de x

15
00:01:42,739 --> 00:01:48,420
será continua en x igual a 0

16
00:01:48,420 --> 00:01:52,579
así que si el límite

17
00:01:52,579 --> 00:01:57,159
por la izquierda y por la derecha en el 0

18
00:01:57,159 --> 00:02:00,280
de la función, claro,

19
00:02:00,280 --> 00:02:09,740
coinciden, son un valor real y además son iguales que el valor de la imagen en el cero.

20
00:02:10,240 --> 00:02:14,360
Así que lo que hay que hacer es, primeramente, ¿cuánto es f de cero?

21
00:02:15,180 --> 00:02:17,599
f de cero, según lo que nos dicen, es cero.

22
00:02:18,199 --> 00:02:21,319
Ahora, segunda parte, ¿cuánto es el límite?

23
00:02:21,780 --> 00:02:26,080
Cuando x tiende a cero, me da igual por la izquierda o por la derecha,

24
00:02:26,080 --> 00:02:32,780
porque la función a la izquierda y a la derecha del cero está construida mediante la misma expresión algebraica.

25
00:02:32,780 --> 00:02:39,280
Así que el límite que va a haber que hacer es el de x cubo por e elevado a menos uno partido de x cuadrado.

26
00:02:39,479 --> 00:02:40,819
¿Qué va a pasar con este límite?

27
00:02:41,280 --> 00:02:46,979
Observar que es una multiplicación, una multiplicación en la que x cubo claramente va a ir hacia cero

28
00:02:46,979 --> 00:02:53,860
y e elevado a menos uno partido de x cuadrado, el exponente, cuando x sea cercano a cero,

29
00:02:53,860 --> 00:02:58,620
su exponente va a tender a menos infinito

30
00:02:58,620 --> 00:03:01,199
va a irse hacia menos infinito

31
00:03:01,199 --> 00:03:05,639
con lo cual elevado a un número cada vez más grande y en negativo

32
00:03:05,639 --> 00:03:07,120
va a ir también a cero

33
00:03:07,120 --> 00:03:11,840
la multiplicación de dos cosas que se van a cero es cero

34
00:03:11,840 --> 00:03:15,919
así que observar como efectivamente los límites laterales

35
00:03:15,919 --> 00:03:17,680
tanto por la izquierda como por la derecha

36
00:03:17,680 --> 00:03:21,259
ya que la función está definida del mismo modo a izquierda y a derecha del cero

37
00:03:21,259 --> 00:03:26,560
Esto coincide con la imagen de la función en el 0.

38
00:03:26,840 --> 00:03:36,129
Así que aquí podemos decir ya que f de x es continua en x igual a 0.

39
00:03:36,650 --> 00:03:39,009
¿Qué pasa con la derivabilidad en el 0?

40
00:03:39,729 --> 00:03:42,629
Porque en el resto de valores también va a ser derivable.

41
00:03:43,069 --> 00:03:43,990
Dos maneras de hacerlo.

42
00:03:44,389 --> 00:03:50,830
La primera, ¿cuál es la derivada de f siempre y cuando estemos a las afueras del 0?

43
00:03:50,830 --> 00:03:57,129
va a ser derivable porque va a ser una función que es producto de dos funciones derivables

44
00:03:57,129 --> 00:04:00,909
que no tienen ningún tipo de problema, ningún valor que no sea el 0.

45
00:04:01,509 --> 00:04:06,830
Entonces la derivada va a ser derivada del primero por el segundo sin derivar

46
00:04:06,830 --> 00:04:14,069
más el primero sin derivar por el segundo derivado

47
00:04:14,069 --> 00:04:18,329
que al tratarse de una función exponencial va a ser ella misma

48
00:04:18,329 --> 00:04:22,410
por la derivada de lo de arriba, del exponente

49
00:04:22,410 --> 00:04:25,790
que es la derivada de una fracción, x a la cuarta abajo

50
00:04:25,790 --> 00:04:30,050
0 por x cuadrado, con un menos aquí

51
00:04:30,050 --> 00:04:34,769
y luego menos, pero que sería más, 1 por 2x

52
00:04:34,769 --> 00:04:39,089
o sea, 3x cuadrado

53
00:04:39,089 --> 00:04:42,670
por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado

54
00:04:42,670 --> 00:04:47,009
más, menos 1 partido de x cuadrado

55
00:04:47,009 --> 00:04:55,810
y fijaros lo que pasa con las x, esto es 0 evidentemente, este x cuarta con este x3 se va a simplificar

56
00:04:55,810 --> 00:05:02,209
y va a quedar x abajo, pero como tenemos este x, pues entonces va a quedar un 2 nada más, así que por 2.

57
00:05:03,290 --> 00:05:09,350
Esto es siempre y cuando x sea distinto de 0, esa es la derivada en todos los valores que no sean el 0.

58
00:05:09,350 --> 00:05:19,610
¿Qué ocurrirá cuando nosotros hacemos el límite de f' de x cuando x precisamente se va a cero?

59
00:05:20,529 --> 00:05:31,649
Pues que será el límite de 3x cuadrado por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado más 2 por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado.

60
00:05:31,649 --> 00:05:40,779
si valoramos nos damos cuenta de que nuevamente esta parte de aquí esta parte primera se va a ir a 0

61
00:05:40,779 --> 00:05:46,040
se va a ir a 0 porque 3x cuadrado se va a 0 y elevado a menos 1 partido de x cuadrado

62
00:05:46,040 --> 00:05:48,399
por las razones que hemos dado antes también se va a 0

63
00:05:48,399 --> 00:05:54,620
además la segunda parte como he elevado a menos 1 partido de x cuadrado se va a 0 cuando x tiende a 0

64
00:05:54,620 --> 00:05:57,480
va a tender a 2 por 0 es decir a 0

65
00:05:57,480 --> 00:06:02,360
así que existe el límite tanto a la izquierda como a la derecha del 0 de f'

66
00:06:02,360 --> 00:06:07,879
prima y ese valor va a ser cero, con lo cual existe derivabilidad en el cero que va a ser

67
00:06:07,879 --> 00:06:15,379
precisamente cero. La otra manera de hacerlo es utilizar la definición conceptual de derivada.

68
00:06:16,240 --> 00:06:28,899
¿Cómo sería? Nosotros tomaríamos el límite cuando h tiende a cero de f de cero más h menos f de cero

69
00:06:28,899 --> 00:06:32,939
y partido de h. Eso va a ser entonces

70
00:06:32,939 --> 00:06:36,860
el límite de f de h

71
00:06:36,860 --> 00:06:40,439
menos f de 0 partido de h.

72
00:06:41,319 --> 00:06:45,649
Es decir, el límite cuando h tiende a 0

73
00:06:45,649 --> 00:06:48,889
¿de qué? ¿Cuál era la función?

74
00:06:49,569 --> 00:06:53,850
Era x cubo, que sería h cubo entonces, por e elevado

75
00:06:53,850 --> 00:06:55,930
a menos 1 partido de h cuadrado.

76
00:06:55,930 --> 00:06:59,509
menos f de 0 que era 0 y partido de h

77
00:06:59,509 --> 00:07:01,069
esto lo podemos simplificar

78
00:07:01,069 --> 00:07:06,209
quedaría entonces el límite cuando h tiende a 0

79
00:07:06,209 --> 00:07:13,310
de 1 abajo h cuadrado por e elevado a menos 1 partido de h cuadrado

80
00:07:13,310 --> 00:07:15,110
¿qué ocurre aquí?

81
00:07:15,110 --> 00:07:16,209
por lo mismo de antes

82
00:07:16,209 --> 00:07:18,269
que h cuadrado se va a ir a 0

83
00:07:18,269 --> 00:07:20,350
y que elevado a menos 1 partido de h cuadrado

84
00:07:20,350 --> 00:07:21,329
también se va a ir a 0

85
00:07:21,329 --> 00:07:22,449
con lo cual esto va a ser 0

86
00:07:22,449 --> 00:07:25,470
así que este límite es finito

87
00:07:25,470 --> 00:07:38,240
es 0 y es precisamente f' de 0. O sea que f es derivable en x igual a 0, ¿verdad? Como

88
00:07:38,240 --> 00:07:42,759
podíamos haber dicho exactamente lo mismo antes con esta segunda sección también,

89
00:07:43,379 --> 00:07:46,720
que era lo que se nos preguntaba, que si era derivable o no era derivable en x igual a

90
00:07:46,720 --> 00:08:00,300
En el apartado b se nos pedía estudiar si la función f de x es par o impar.

91
00:08:03,240 --> 00:08:16,550
Para estudiar esto sabemos que una función es par cuando f de x es igual a f de menos x.

92
00:08:16,550 --> 00:08:19,850
¿Vale? Para todo x perteneciente a los reales.

93
00:08:20,089 --> 00:08:22,290
¿Nuestra función es par? Vamos a verlo.

94
00:08:22,470 --> 00:08:23,790
¿Quién sería f de menos x?

95
00:08:24,490 --> 00:08:26,930
Donde ponga x, vamos a poner menos x.

96
00:08:27,050 --> 00:08:34,110
Menos x al cubo por e elevado a menos 1 partido de menos x al cuadrado.

97
00:08:35,250 --> 00:08:43,690
Como menos elevado al cubo es menos, entonces esto va a quedar menos x al cubo por e elevado a menos 1 partido de x al cuadrado.

98
00:08:43,690 --> 00:08:48,929
se va a quedar exactamente igual porque menos al cuadrado es más así que se va a quedar menos 1

99
00:08:48,929 --> 00:09:01,230
partido de x cuadrado eso no es no es efe de x así que efe de x no es para será impar pues una

100
00:09:01,230 --> 00:09:16,139
función es impar cuando que cuando efe de x es igual a menos efe de menos x para todo x real

101
00:09:16,139 --> 00:09:19,360
observar, por lo que hemos visto anteriormente

102
00:09:19,360 --> 00:09:25,559
que f de menos x era menos x cubo por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado

103
00:09:25,559 --> 00:09:27,559
entonces si yo le meto un menos delante

104
00:09:27,559 --> 00:09:30,299
esto cambiará más y esto sí es f de x

105
00:09:30,299 --> 00:09:36,279
así que f de x es impar

106
00:09:36,279 --> 00:09:38,799
faltaría hacer una cosa

107
00:09:38,799 --> 00:09:41,720
y es que aquí digamos que hemos estudiado

108
00:09:41,720 --> 00:09:44,919
para todos los valores que sean distintos del 0

109
00:09:44,919 --> 00:09:56,980
Pero en el caso del 0, fijaros que en el caso del 0, f de 0 es 0 y f de menos 0 sería lo mismo que f de 0, que es 0.

110
00:09:57,320 --> 00:10:01,159
Con lo cual estaría cumpliendo la situación par en el valor 0.

111
00:10:01,559 --> 00:10:10,700
Pero también estaría cumpliendo la situación impar, porque menos f de menos 0 sería menos 0, que sería 0.

112
00:10:10,700 --> 00:10:16,559
así que podríamos decir que f de 0 es igual a menos f de menos 0

113
00:10:16,559 --> 00:10:17,519
o sea es impar

114
00:10:17,519 --> 00:10:22,320
también sería par en el 0

115
00:10:22,320 --> 00:10:26,220
lo que pasa es que claro como la paridad se nos está estropeando

116
00:10:26,220 --> 00:10:28,960
y lo hemos visto en los valores que sean distintos de 0

117
00:10:28,960 --> 00:10:36,899
pues entonces la conclusión nuestra es que la función es impar para todo valor de x real

118
00:10:36,899 --> 00:10:40,559
aquí técnicamente podríamos haber dicho que x es distinto de 0

119
00:10:40,559 --> 00:10:44,919
¿no? y entonces ocurriría eso ¿verdad? sin embargo aquí

120
00:10:44,919 --> 00:10:49,139
igual x distinto de 0 nos lleva a una conclusión contraria

121
00:10:49,139 --> 00:10:51,779
es decir que si hay imparidad, no hay paridad

122
00:10:51,779 --> 00:10:56,340
vale, vamos ahora con el apartado c que nos piden hallar la integral

123
00:10:56,340 --> 00:10:59,659
entre 1 y 2 de la función

124
00:10:59,659 --> 00:11:04,440
dividida entre x a la 6 diferencial de x

125
00:11:04,440 --> 00:11:08,440
o sea que habría que hacerse la integral entre 1 y 2 de x cubo

126
00:11:08,440 --> 00:11:14,399
por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado partido de x a la serie diferencial de x.

127
00:11:14,559 --> 00:11:25,960
Vamos a simplificar y se nos queda abajo x cubo y arriba e elevado a menos 1 partido de x cuadrado entre 1 y 2.

128
00:11:26,879 --> 00:11:33,679
Recordar entonces que la integral de una función exponencial necesita de la derivada del exponente

129
00:11:33,679 --> 00:11:38,100
para poder decir que su integral es e elevado a g de x.

130
00:11:38,440 --> 00:11:58,059
Por otra parte, observar también que la derivada de menos 1 partido de x cuadrado, que lo hemos hecho antes, es menos 0 por x cuadrado menos, que sería más, 1 por 2x partido de x a la cuarta.

131
00:11:58,059 --> 00:12:02,059
O sea, 2 partido de x cubo.

132
00:12:03,059 --> 00:12:06,379
Precisamente nosotros lo que tenemos aquí es x cubo en el denominador,

133
00:12:06,500 --> 00:12:10,159
es decir, nosotros podríamos poner esto como la integral entre 1 y 2

134
00:12:10,159 --> 00:12:17,860
de e elevado a menos 1 partido de x cuadrado por, y aquí poner un x cubo, ¿veis?

135
00:12:18,580 --> 00:12:22,940
Y lo único que nos faltaría para tener la derivada del exponente sería un 2.

136
00:12:23,679 --> 00:12:28,259
Bueno, pues eso lo vamos a colocar nosotros, esto va de nuestra parte, este 2,

137
00:12:29,179 --> 00:12:34,179
Pero claro, para compensar vamos a multiplicar a la integral por 1 medio.

138
00:12:34,820 --> 00:12:46,639
De tal modo que nosotros podremos decir que esa integral será entonces 1 medio por la exponencial de menos 1 partido de x cuadrado entre los valores 1 y 2.

139
00:12:46,639 --> 00:12:59,480
Regla de barra al canto, esto quedaría entonces 1 medio por elevado a menos 1 partido de 4 menos elevado a menos 1 partido de 1.

140
00:13:00,279 --> 00:13:11,919
O dicho de otro modo, 1 medio por 1 partido de la raíz cuarta de menos 1 partido de e.

141
00:13:13,039 --> 00:13:15,360
Y ese es el resultado final, esa es la integral.

142
00:13:15,360 --> 00:13:24,240
Y hasta aquí la resolución del ejercicio A2 de la convocatoria ordinaria de la EBAU Madrid 2022 y me despido ya hasta un nuevo vídeo. Un saludo.