1
00:00:00,690 --> 00:00:07,849
En este ejercicio nos dan una función y nos piden calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento,

2
00:00:08,410 --> 00:00:13,029
o lo que es lo mismo, la monotonía, y también calcular los máximos y mínimos relativos si los tiene.

3
00:00:14,070 --> 00:00:20,269
Entonces, vamos a empezar. Para empezar, lo primero que tenemos que ver es posibles asíntotas verticales,

4
00:00:20,550 --> 00:00:25,429
o el dominio de la función, ¿vale? Entonces, miramos para ver el dominio de la función,

5
00:00:25,429 --> 00:00:29,929
donde no existe esta función, pues lo que hacemos es, como es una fracción algebraica,

6
00:00:29,929 --> 00:00:40,179
Mirad donde el denominador x cuadrado menos 1 es igual a 0.

7
00:00:41,200 --> 00:00:52,420
Entonces eso sale x cuadrado igual a 1, x es igual a más menos la raíz de 1, es decir, más 1 y menos 1.

8
00:00:53,039 --> 00:00:57,159
Esos valores no pertenecen al dominio.

9
00:01:01,750 --> 00:01:06,549
Por tanto, los tenemos que tener en cuenta para el estudio del crecimiento y el decrecimiento.

10
00:01:07,629 --> 00:01:14,310
Como si sustituimos, es 1 al cuadrado partido por 0 y menos 1 al cuadrado partido por 0, son los dos,

11
00:01:14,909 --> 00:01:16,510
vemos que son asíndotas verticales.

12
00:01:16,650 --> 00:01:20,689
Podríamos decir que son asíndotas verticales, aunque en este caso no nos lo piden.

13
00:01:21,790 --> 00:01:29,049
Una vez que ya tenemos que estos dos valores, x cuadrado más 1, x igual a más 1 y x igual a menos 1,

14
00:01:29,049 --> 00:01:34,989
no pertenecen al dominio, pasamos a hacer la derivada de la función

15
00:01:34,989 --> 00:01:40,010
para poder estudiar el crecimiento.

16
00:01:40,250 --> 00:01:42,230
De crecimiento, los máximos y los mínimos.

17
00:01:42,709 --> 00:01:44,189
Entonces, ¿qué hacemos? La derivada de la función.

18
00:01:44,750 --> 00:01:46,790
Como es una función, que es una fracción algebraica,

19
00:01:48,129 --> 00:01:52,810
hacemos la regla del cociente, el denominador lo elevamos al cuadrado

20
00:01:52,810 --> 00:02:05,650
y arriba hacemos derivada de lo de arriba por lo de abajo sin derivar, menos lo de arriba sin derivar por la derivada de lo de abajo.

21
00:02:07,290 --> 00:02:18,110
Operando, tenemos 2x cubo menos 2x menos 2x cubo partido por x cuadrado menos 1 al cuadrado.

22
00:02:18,110 --> 00:02:24,930
Y eso es igual a menos 2x partido por x cuadrado menos 1 al cuadrado.

23
00:02:26,639 --> 00:02:35,939
A ver, ahora, una vez que hayamos hecho la derivada, tenemos la derivada, igualamos la derivada a 0 para encontrar los posibles máximos o mínimos.

24
00:02:35,939 --> 00:02:44,439
f' de x es igual a 0 cuando menos 2x partido por x cuadrado menos 1 al cuadrado es igual a 0

25
00:02:44,439 --> 00:02:52,159
o lo que es lo mismo cuando menos 2x es igual a 0 o lo que es lo mismo cuando la x vale 0.

26
00:02:52,840 --> 00:03:01,110
Entonces este es el posible máximo o mínimo relativo.

27
00:03:01,509 --> 00:03:08,370
Una vez que ya tenemos esto, que es el posible máximo o mínimo relativo,

28
00:03:08,370 --> 00:03:11,409
nos vamos a hacer la tabla con los tres valores que hemos obtenido.

29
00:03:11,909 --> 00:03:21,069
Vamos a hacer una tabla donde vamos a poner el menos uno, el cero y el uno.

30
00:03:21,969 --> 00:03:26,050
Y vamos a rellenar con desde menos infinito hasta el menos uno,

31
00:03:27,669 --> 00:03:29,110
desde el menos uno hasta el cero,

32
00:03:30,310 --> 00:03:31,409
desde el cero hasta el uno,

33
00:03:32,610 --> 00:03:34,469
desde el uno hasta el infinito.

34
00:03:34,469 --> 00:03:40,810
y vamos a ir viendo que si no tiene la derivada de la función.

35
00:03:41,969 --> 00:03:48,469
Bueno, la forma de ver la derivada de la función es sustituyendo.

36
00:03:48,689 --> 00:03:52,849
Voy a hacer solamente para uno de ellos y el resto lo voy a explicar de otra forma.

37
00:03:53,009 --> 00:03:58,870
Por ejemplo, si queremos para ver para este intervalo de menos infinito hasta el menos uno,

38
00:03:58,870 --> 00:04:04,789
Elegimos un valor para la f' que esté en ese intervalo, por ejemplo el menos 2

39
00:04:04,789 --> 00:04:09,310
Y sustituimos en f' de x

40
00:04:09,310 --> 00:04:16,569
Es decir, ponemos menos 2 por menos 2 partido por menos 2 al cuadrado

41
00:04:16,569 --> 00:04:19,649
Menos 1, todo ello al cuadrado

42
00:04:19,649 --> 00:04:22,550
Lo de arriba, menos 2 por menos 2 son más 4

43
00:04:22,550 --> 00:04:29,709
Lo de abajo es 4 menos 1, 3, partido por 2, elevado a 2, perdón, 9

44
00:04:29,709 --> 00:04:34,430
Lo que nos interesa es que esto es mayor que 0, es decir, que esto es positivo

45
00:04:34,430 --> 00:04:37,449
Podríamos hacer eso con todos

46
00:04:37,449 --> 00:04:43,550
O podríamos darnos cuenta que, por ejemplo, el denominador x cuadrado menos 1 al cuadrado

47
00:04:43,550 --> 00:04:48,029
Como está elevado al cuadrado, es siempre mayor que 0

48
00:04:48,029 --> 00:04:52,050
Y ahora solamente nos tenemos que fijar en el numerador, menos 2x

49
00:04:52,050 --> 00:04:58,889
Como x es más pequeño que 0, no va a salir también positivo entre menos 1 y el 0.

50
00:04:59,189 --> 00:05:07,329
Entre 0 y 1, la x es positiva, negativo por positivo, negativo, negativo por positivo, negativo.

51
00:05:07,829 --> 00:05:09,509
Entonces ya tenemos de esta forma.

52
00:05:10,069 --> 00:05:17,750
Tenemos que en este intervalo la función crece, también crece, aquí decrece, decrece.

53
00:05:18,149 --> 00:05:25,889
Con esto, pues ya tenemos la respuesta a las dos preguntas.

54
00:05:26,149 --> 00:05:34,939
aquí, eso era una asíntota vertical en el menos 1, otra asíntota vertical en el 1,

55
00:05:35,319 --> 00:05:42,899
y en el 0 era como hace, como la función crece y luego decrece, eso es un máximo negativo.

56
00:05:43,680 --> 00:05:51,180
Entonces vamos a decir ahora, la solución crece desde el menos infinito hasta el menos 1,

57
00:05:51,180 --> 00:05:53,959
y desde el menos 1 al 0.

58
00:05:55,300 --> 00:06:01,699
Decrece desde el 0 hasta el 1

59
00:06:01,699 --> 00:06:04,540
y desde el 1 hasta el infinito.

60
00:06:05,319 --> 00:06:06,779
Y esa es la solución del apartado A.

61
00:06:07,199 --> 00:06:10,500
En el apartado B nos dice que calculemos los máximos y los mínimos.

62
00:06:11,060 --> 00:06:13,079
Sabemos que hay un máximo en x igual a 0.

63
00:06:14,040 --> 00:06:15,079
Eso sería el apartado A.

64
00:06:15,740 --> 00:06:22,370
Para el apartado B sabemos que hay un máximo en x igual a 0.

65
00:06:22,569 --> 00:06:25,149
Pero para decir el máximo tenemos que decir el punto.

66
00:06:25,149 --> 00:06:38,889
Entonces tenemos que ver cuánto vale f de 0. Como la función es x cuadrado, 0 al cuadrado, partido por 0 al cuadrado, menos 1, pues eso vale 0.

67
00:06:39,529 --> 00:06:56,449
Por tanto, el máximo es el punto 0, 0. Y aquí tenemos la solución al ejercicio 1.