1
00:00:04,660 --> 00:00:10,279
Bien, a ver, vamos a ver qué pasa con este caso especial de sistemas homogéneos.

2
00:00:10,419 --> 00:00:16,699
Recordamos que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema homogéneo si todos los términos independientes son nulos.

3
00:00:16,859 --> 00:00:20,940
Un sistema de esta forma, donde todos los términos independientes son cero.

4
00:00:22,620 --> 00:00:31,260
Vale, los sistemas homogéneos van a ser siempre compatibles, puesto que la matriz ampliada lo único que aporta es una columna de todo cero.

5
00:00:31,260 --> 00:00:39,320
el determinante de la matriz ampliada, o el rango de la matriz ampliada, va a ser siempre el mismo que el de la matriz de coeficientes,

6
00:00:39,520 --> 00:00:42,340
ya que no me aporta ningún elemento anudo.

7
00:00:43,259 --> 00:00:47,640
Entonces, los sistemas homogéneos decimos que son todos compatibles.

8
00:00:47,920 --> 00:00:57,359
Y de hecho, todos tienen al menos una solución, que es la solución nula, donde todas las incógnitas valgan cero.

9
00:00:57,359 --> 00:01:12,500
Es decir, que X1 valga 0, que X2 valga 0, que Xn valga 0. Si yo sustituyo en cada una de estas ecuaciones las incógnitas por 0, se van a cumplir todas las ecuaciones porque todos van a ser 0.

10
00:01:13,280 --> 00:01:22,040
Luego, todos los sistemas homogéneos son compatibles. Todos tienen al menos la solución nula, que es la que conoceremos como solución trivial.

11
00:01:22,040 --> 00:01:31,219
Entonces, en este caso, como todos tienen la solución trivial, aquí el estudio se centra en saber si además de la solución trivial tienen otras

12
00:01:31,219 --> 00:01:36,840
Es decir, en saber, en averiguar si los sistemas son indeterminados

13
00:01:36,840 --> 00:01:47,239
Diremos que un sistema homogéneo es compatible e indeterminado cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas

14
00:01:47,239 --> 00:01:59,230
Dado el siguiente sistema homogéneo, estudia el número de soluciones y resuélvelo

15
00:01:59,230 --> 00:02:06,599
Vale, aquí tenemos un sistema homogéneo

16
00:02:06,599 --> 00:02:11,280
Todos los términos independientes son nulos

17
00:02:11,280 --> 00:02:12,520
Sistema homogéneo

18
00:02:12,520 --> 00:02:16,639
Este sistema solo tiene asociada realmente la matriz de coeficientes

19
00:02:16,639 --> 00:02:19,439
Puesto que la matriz ampliada es la misma que la matriz A

20
00:02:19,439 --> 00:02:22,039
Ya que solo aportaría una columna de todos ceros

21
00:02:22,039 --> 00:02:38,020
Luego sería 1, menos 1, 2, 1, menos 1, 3, 0, 2, 2, 0, 1, menos 1, menos 2, 3, 1, 4.

22
00:02:38,180 --> 00:02:39,699
Esta sería la matriz de coeficientes.

23
00:02:40,319 --> 00:02:45,599
Bien, los sistemas homogéneos recordamos que son todos compatibles,

24
00:02:45,599 --> 00:02:51,939
todos tienen al menos la solución trivial que la solución que la x, la y, la z y la t

25
00:02:51,939 --> 00:02:55,120
fuesen todos ceros, esa sería la solución trivial

26
00:02:55,120 --> 00:02:58,639
lo único que hay que estudiar es si es compatible determinado

27
00:02:58,639 --> 00:03:01,840
entonces la solución trivial sería la única solución del sistema

28
00:03:01,840 --> 00:03:05,560
o si es compatible indeterminado

29
00:03:05,560 --> 00:03:08,719
y entonces habría infinitas soluciones

30
00:03:08,719 --> 00:03:12,419
vale, para eso lo que hacemos es estudiar el determinante de A

31
00:03:12,419 --> 00:03:14,879
calculamos el determinante de A

32
00:03:14,879 --> 00:03:18,080
Determinante de 1, menos 1, 2, 1

33
00:03:18,080 --> 00:03:20,659
Menos 1, 3, 0, 2

34
00:03:20,659 --> 00:03:23,120
2, 0, 1, menos 1

35
00:03:23,120 --> 00:03:25,580
Menos 2, 3, 1, 4

36
00:03:25,580 --> 00:03:27,180
Vamos a intentar eso

37
00:03:27,180 --> 00:03:28,479
Hacer ceros debajo de

38
00:03:28,479 --> 00:03:32,840
O sea, que en una columna o una fila haya 3 ceros

39
00:03:32,840 --> 00:03:35,000
Y solo un término no nulo

40
00:03:35,000 --> 00:03:36,599
Y desarrollamos por adjuntos

41
00:03:36,599 --> 00:03:38,840
Podríamos, venga, dejamos

42
00:03:38,840 --> 00:03:40,759
Vamos a pivotar con esta

43
00:03:40,759 --> 00:03:44,219
Entonces, dejamos la tercera fila fija

44
00:03:44,219 --> 00:03:47,539
Y entonces lo que voy a hacer

45
00:03:47,539 --> 00:03:49,719
A la primera fila

46
00:03:49,719 --> 00:03:51,060
Le voy a calcular

47
00:03:51,060 --> 00:03:53,680
A realizar la transformación

48
00:03:53,680 --> 00:03:56,539
La primera fila menos dos veces la tercera

49
00:03:56,539 --> 00:03:57,240
Por ejemplo

50
00:03:57,240 --> 00:03:59,860
Entonces la primera menos dos veces esta

51
00:03:59,860 --> 00:04:02,479
La primera uno menos cuatro

52
00:04:02,479 --> 00:04:03,740
Menos tres

53
00:04:03,740 --> 00:04:05,120
Menos uno

54
00:04:05,120 --> 00:04:08,219
Ahora sería dos

55
00:04:08,219 --> 00:04:10,780
Menos dos

56
00:04:10,780 --> 00:04:11,460
Cero

57
00:04:11,460 --> 00:04:14,919
Y ahora sería 1 más 2, 3

58
00:04:14,919 --> 00:04:18,279
Venga, esta de aquí se quedaría igual

59
00:04:18,279 --> 00:04:19,939
Porque tengo todos ceros

60
00:04:19,939 --> 00:04:24,759
Y la cuarta fila, por ejemplo

61
00:04:24,759 --> 00:04:26,860
Sería la cuarta menos la tercera

62
00:04:26,860 --> 00:04:30,379
Menos 2, menos 2, menos 4

63
00:04:30,379 --> 00:04:31,720
3 menos 0, 3

64
00:04:31,720 --> 00:04:33,100
1 menos 1, 0

65
00:04:33,100 --> 00:04:36,279
Y 4 menos 1, 5

66
00:04:36,279 --> 00:04:38,319
Vale, pues ahora desarrollo

67
00:04:38,319 --> 00:04:41,839
por la tercera columna

68
00:04:41,839 --> 00:04:45,540
entonces esquema de signos

69
00:04:45,540 --> 00:04:47,920
más, menos, más, menos, más

70
00:04:47,920 --> 00:04:49,339
luego el 1 que multiplica

71
00:04:49,339 --> 00:04:51,480
al menos que resulta

72
00:04:51,480 --> 00:04:52,819
de suprimir

73
00:04:52,819 --> 00:04:54,980
los elementos de la tercera fila

74
00:04:54,980 --> 00:04:55,860
tercera columna

75
00:04:55,860 --> 00:04:58,540
luego me queda el menos 3, menos 1, 3

76
00:04:58,540 --> 00:05:00,800
menos 1, 3, 2

77
00:05:00,800 --> 00:05:03,019
menos 4, 3, 5

78
00:05:03,019 --> 00:05:04,660
este determinante

79
00:05:04,660 --> 00:05:06,339
que lo desarrollamos

80
00:05:06,339 --> 00:05:07,180
y nos queda

81
00:05:07,180 --> 00:05:09,720
menos 45

82
00:05:09,720 --> 00:05:12,180
Más 8

83
00:05:12,180 --> 00:05:14,139
Menos 9

84
00:05:14,139 --> 00:05:17,439
Más 36

85
00:05:17,439 --> 00:05:20,800
Más 18

86
00:05:20,800 --> 00:05:22,660
Y menos 5

87
00:05:22,660 --> 00:05:24,339
Venga, agrupamos

88
00:05:24,339 --> 00:05:25,560
Términos negativos

89
00:05:25,560 --> 00:05:26,540
Menos 5

90
00:05:26,540 --> 00:05:28,540
O sea, menos 45, menos 5

91
00:05:28,540 --> 00:05:30,779
Menos 50, menos 59

92
00:05:30,779 --> 00:05:33,180
Y más, y ahora ponemos aquí

93
00:05:33,180 --> 00:05:35,500
8 más 36

94
00:05:35,500 --> 00:05:37,120
44

95
00:05:37,120 --> 00:05:38,600
44

96
00:05:38,600 --> 00:05:59,139
4 y 18, 62, luego esto me queda 3, distinto de 0, hemos encontrado que el rango de esta matriz, o sea, el rango de la matriz A es 4,

97
00:05:59,139 --> 00:06:04,740
porque hemos encontrado un menor de orden 4 que es distinto de 0.

98
00:06:05,220 --> 00:06:14,860
Por lo tanto, sistema, y es igual al número de incógnitas, que os lo he dicho, perdón, incógnitas,

99
00:06:15,459 --> 00:06:18,300
por lo tanto, sistema compatible determinado.

100
00:06:19,019 --> 00:06:22,879
Luego, la única solución sería la solución trivial.

101
00:06:23,100 --> 00:06:28,779
Sería la solución x igual a 0, y igual a 0, z igual a 0, t igual a.

102
00:06:29,139 --> 00:06:31,379
Cero. Y esa sería la única solución.