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00:00:02,540 --> 00:00:12,560
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de Matemáticas II en el bloque de matrices,

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00:00:12,939 --> 00:00:15,119
segundo vídeo que dedicamos a la matriz inversa.

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00:00:15,859 --> 00:00:21,640
El método de Gauss-Jordan sirve para calcular la matriz inversa de la siguiente forma.

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00:00:22,140 --> 00:00:27,859
Colocamos al lado de la matriz la matriz identidad y después, mediante transformaciones de filas,

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00:00:27,859 --> 00:00:36,780
hay que conseguir que a la izquierda pase la matriz de identidad, de modo que a la derecha nos quedará la matriz inversa.

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00:00:37,100 --> 00:00:39,399
¿Cómo hacemos esto con una matriz 3x3?

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00:00:39,939 --> 00:00:43,240
Sencillo, en tres pasos, columna a columna.

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00:00:43,719 --> 00:00:47,740
Primer término que cambiamos es el a11 y lo tenemos que transformar en un 1.

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00:00:48,420 --> 00:00:51,820
Después transformaremos los dos de abajo en ceros.

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00:00:52,159 --> 00:00:54,579
De esa forma habremos acabado con la primera columna.

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00:00:54,579 --> 00:01:03,719
Siguiente término, el a sub 2, 2 y después los ceros arriba y abajo, de manera que la segunda columna estaría concluida.

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00:01:05,379 --> 00:01:15,120
Al término de este paso, empezaríamos con la tercera columna, transformaríamos el elemento a 3, 3 en un 1 y después ceros arriba.

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00:01:15,659 --> 00:01:20,040
La matriz que nos haya quedado a la derecha será la matriz inversa.

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00:01:20,620 --> 00:01:24,459
Comencemos con un ejercicio en el que hay que utilizar la matriz inversa.

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00:01:24,920 --> 00:01:27,760
Este ejercicio apareció en la EBAU de Madrid de 2018.

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00:01:28,219 --> 00:01:31,680
En el segundo apartado necesita calcular la matriz A a la menos 1.

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00:01:32,799 --> 00:01:39,879
Ahora, en este problema lo que nos piden es calcular dos productos A por B y A a la menos 1 por B,

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00:01:40,359 --> 00:01:44,879
siendo A una matriz 3 por 3 y B una matriz columna 3 por 1.

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00:01:45,519 --> 00:01:48,120
La primera cuestión es muy sencilla.

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00:01:48,120 --> 00:01:52,040
la segunda requiere del cálculo de la inversa.

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00:01:52,599 --> 00:01:55,060
Comencemos calculando el más sencillo, que es A por B.

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00:01:55,819 --> 00:01:58,760
Para calcular A por B no hay más que multiplicar,

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00:01:59,099 --> 00:02:01,719
teniendo en cuenta que nos dan que la M vale 0.

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00:02:03,739 --> 00:02:04,299
Multiplicamos.

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00:02:09,680 --> 00:02:12,620
Lo más importante es no equivocarnos con el resultado,

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00:02:12,879 --> 00:02:14,360
qué dimensión ha de tener.

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00:02:15,759 --> 00:02:19,580
La dimensión del producto será una matriz 3 por 1.

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00:02:22,289 --> 00:02:23,550
Y listo. Muy sencillo.

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00:02:24,050 --> 00:02:28,310
Vamos ahora con la segunda cuestión para la que tenemos que calcular a la menos 1.

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00:02:28,430 --> 00:02:29,289
Eso llevará más trabajo.

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00:02:30,650 --> 00:02:36,169
Vamos con el segundo apartado, a calcular a la menos 1 por b.

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00:02:36,530 --> 00:02:38,830
Para ello primero calculemos a la menos 1.

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00:02:38,930 --> 00:02:44,370
La inversa de una matriz se puede calcular por determinantes con una fórmula que veremos en el siguiente bloque,

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00:02:44,810 --> 00:02:47,449
pero también se puede utilizar la forma de Jordan.

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00:02:47,449 --> 00:03:02,229
De esta forma consiste en coger la matriz A, adjuntarle la matriz identidad y mediante operaciones entre filas conseguir pasar la matriz identidad de la derecha a la izquierda.

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00:03:02,990 --> 00:03:10,370
De forma que lo que vamos a obtener aquí, a la derecha, será la matriz A a la menos 1.

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00:03:11,469 --> 00:03:15,949
Comenzamos. Para ello tenemos que conseguir en primer lugar ahí un 1.

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00:03:15,949 --> 00:03:27,870
Para conseguir un 1 tendremos que, por ejemplo, mediante operaciones de filas, a la fila 1 le sumamos la mitad de la fila 2.

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00:03:32,280 --> 00:03:36,699
Y quedará, las otras filas se dejan iguales.

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00:03:43,060 --> 00:03:51,879
Perdón, aquí tenemos que poner un menos para que fila 1 menos menos 2 por un medio, 1.

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00:03:55,349 --> 00:03:56,069
Correcto.

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00:03:56,710 --> 00:04:07,590
Ahora, siguiente paso. Tenemos que convertir esos en ceros. Este ya lo tenemos. Para convertir este en un cero, le podemos sumar el doble de la fila 1.

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00:04:08,030 --> 00:04:21,329
Siempre vamos a partir del 1 que hemos construido como pivote, como elemento en pivote. Es decir, la fila 2 le vamos a sumar el doble de la fila 1.

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00:04:21,329 --> 00:04:27,329
esta tercera fila la dejamos igual porque hay un 0 ya

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00:04:27,329 --> 00:04:32,189
y la primera fila se queda igual porque es la fila con la que jugamos

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00:04:32,189 --> 00:04:34,269
la fila pivote

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00:04:34,269 --> 00:04:43,209
y ahora vamos a hacer esta operación de aquí

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00:04:43,209 --> 00:04:56,519
muy bien, ya hemos acabado la tercera parte del ejercicio

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00:04:56,519 --> 00:05:01,519
porque tenemos aquí 1 0 0 que es la primera columna de la identidad

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00:05:01,519 --> 00:05:05,139
necesitamos aquí convertir las dos siguientes columnas

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00:05:05,139 --> 00:05:16,339
Siguiente paso, pues lo que tenemos que hacer es, ahí tenemos que obtener un 1 y en las casillas de los extremos, ceros.

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00:05:16,339 --> 00:05:21,339
Y ese será el segundo tercio del ejercicio de calcular la inversa. Vamos con ello.

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00:05:22,720 --> 00:05:27,720
Las filas con las que no operamos se dejan iguales, que son la primera y la tercera.

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00:05:27,720 --> 00:05:43,800
Para obtener aquí un 1, podemos sumar fila 2 más fila 3 y obtendremos ahí un 1.

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00:05:51,410 --> 00:05:58,160
Bien, y ahora lo que tenemos que hacer es conseguir en estas dos casillas ceros.

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00:05:58,660 --> 00:06:00,259
Para ello, operaciones de filas.

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00:06:00,759 --> 00:06:05,560
La fila de medio se deja quieta y sustituimos las extremas.

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00:06:05,560 --> 00:06:34,470
Ahora, para obtener ahí un 0, sumamos fila 1 más doble de fila 2. Y ahora aquí podemos restar fila 2 menos fila 3. Y ahí obtendremos un 0.

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00:06:34,470 --> 00:06:43,959
Hemos acabado ya con el paso 2, vamos al paso 3

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00:06:43,959 --> 00:06:48,639
Necesitamos otra vez aquí convertir un 1 y después hacer ceros aquí

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00:06:48,639 --> 00:06:54,079
Fácil, dividimos la fila 3 entre 4

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00:06:54,079 --> 00:07:04,560
Ya tengo el 1 que es el elemento digamos pivote

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00:07:04,560 --> 00:07:10,060
Y ahora con ese elemento tengo que hacer ceros aquí y aquí

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00:07:10,060 --> 00:07:18,060
Con lo cual a esta fila le restaré el triple de esta y a esta fila el 8 veces la tercera

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00:07:18,060 --> 00:07:53,889
Ya he obtenido aquí la identidad. En definitiva, he concluido que esta es la matriz identidad. Esto acaba el cálculo, veis que es un tanto largo y sobre todo es muy fácil equivocarse en uno de los pasos y que ya esta inversa esté mal.

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00:07:53,889 --> 00:08:05,129
Por eso va a ser conveniente calcular la inversa por determinantes. En cualquier caso, lo tenemos calculado ya, con lo que ahora terminaremos el ejercicio calculando a a menos 1 por b.

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00:08:17,019 --> 00:08:19,459
Y esto concluiría el ejercicio.

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00:08:20,220 --> 00:08:22,720
Espero que os haya gustado. Nos vemos en el siguiente vídeo.

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00:08:23,019 --> 00:08:23,399
¡Hasta luego!