1
00:00:01,139 --> 00:00:20,140
Vamos a estudiar intervalos. Igualmente es algo que ya se vio el año pasado, con lo cual vamos a ir observando el libro, he cogido los apuntes directamente, para ver cómo definíamos el intervalo.

2
00:00:20,140 --> 00:00:35,079
A ver, un intervalo lo que hacíamos era, tenía dos extremos a y b y es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre a y b, siendo a más pequeñito que b.

3
00:00:35,640 --> 00:00:46,219
Y teníamos, si recordáis, varios tipos. El abierto se ponía con un paréntesis y en el dibujo que poníamos sobre la recta real aparecía un agujero.

4
00:00:46,219 --> 00:00:56,259
En este caso sería todos los X que pertenecen a R, de todos los números reales, tal que el conjunto real es tal que X está comprendido entre A y B.

5
00:00:56,899 --> 00:00:58,780
Así lo poníamos también el año pasado.

6
00:00:59,640 --> 00:01:06,739
Cuando es cerrado, entran en este caso las desigualdades, se conviertan en menor o igual.

7
00:01:07,019 --> 00:01:15,659
Esta sería también menor o igual, es decir, son todos los X que pertenecen a R, tal que X está comprendido entre A y B,

8
00:01:15,659 --> 00:01:24,579
pudiéndose alcanzar tanto A como B y aquí en este caso aparece el intervalo, el punto, ¿verdad?

9
00:01:24,579 --> 00:01:32,760
Está cerrado. Luego estaba semiabierto, por la izquierda abierto y por la derecha cerrado.

10
00:01:33,359 --> 00:01:39,739
En el A hay un agujero y en el B no lo hay. Y el semiabierto al revés, en este caso cerrado por la izquierda

11
00:01:39,739 --> 00:01:44,500
y abierto por la derecha. Y lo único que hacemos es que cuando es abierto no está incluido.

12
00:01:45,359 --> 00:01:49,620
Digamos el extremo, entonces aquí sería menor estricto y aquí sería menor o igual.

13
00:01:50,140 --> 00:01:56,500
Cuando es al revés, aquí está incluido, sería el menor o igual y aquí iría el estricto.

14
00:01:58,480 --> 00:02:02,819
Bueno, abierto el extremo no pertenece al intervalo y cerrado sí pertenece.

15
00:02:04,040 --> 00:02:08,000
¿Qué pasa cuando tengo semirrectas?

16
00:02:08,060 --> 00:02:12,460
Semirrectas es un extremo, el extremo no está abierto, ¿vale?

17
00:02:13,199 --> 00:02:24,800
Entonces, como no está abierto, lo que vamos a tener va a ser, puede estar abierto por la derecha y, perdón, abierto por la derecha y por el otro lado sería infinito.

18
00:02:25,460 --> 00:02:26,800
En este caso sería de este estilo.

19
00:02:27,199 --> 00:02:29,939
Esto es una semirrecta donde no está incluido el a.

20
00:02:30,439 --> 00:02:40,199
Y sería todos los x pertenecientes a r tal que, o bien, a, cualquier punto, es mayor que x.

21
00:02:40,199 --> 00:02:45,439
Bueno, al revés, esto no está bien escrito

22
00:02:45,439 --> 00:02:49,080
Yo creo que lo dijimos el año pasado igualmente

23
00:02:49,080 --> 00:02:52,539
O este año al comentarlo

24
00:02:52,539 --> 00:02:55,919
Aquí son todos los X pertenecientes a R

25
00:02:55,919 --> 00:02:58,319
Tal que los X están por aquí

26
00:02:58,319 --> 00:03:01,479
Estos X de aquí

27
00:03:01,479 --> 00:03:05,659
Lo borro aquí porque no daría lugar

28
00:03:05,659 --> 00:03:07,599
Estos X de aquí, ¿qué pasa?

29
00:03:07,599 --> 00:03:14,039
Pues que son mayores que a, solo que lo mismo, a es más pequeñito que los x.

30
00:03:14,479 --> 00:03:25,719
Aquí ocurre lo mismo, los x, ¿qué pasaría? Los x están por aquí, pues en este caso pondríamos que x es mayor o igual que a.

31
00:03:25,719 --> 00:03:38,340
Y aquí ocurre lo siguiente, esto está bien, los x son más pequeñitos que b y aquí los x están por aquí, son menores o en el posible extremo pues alcanzan el valor de b.

32
00:03:38,879 --> 00:03:51,580
Entonces esto sería, se escribe desde menos infinito hasta b, digamos esta representación, aquí el b iría en forma de corchete, aquí el b iría abierto porque no está incluido

33
00:03:51,580 --> 00:03:56,159
y desde menos infinito, hemos dicho, hasta b, b abierto.

34
00:03:56,879 --> 00:04:00,020
Y aquí desde menos infinito hasta b, b cerrado.

35
00:04:00,479 --> 00:04:04,699
Y aquí ¿desde dónde? Pues empezaría en a abierto hasta más infinito

36
00:04:04,699 --> 00:04:07,439
y aquí en a cerrado hasta más infinito.

37
00:04:07,939 --> 00:04:08,620
Es notación.

38
00:04:09,319 --> 00:04:13,939
Y claro, aquí te dice que bueno, que escribes todos los x que están comprendidos

39
00:04:13,939 --> 00:04:15,639
entre menos 3 y 2.

40
00:04:15,639 --> 00:04:17,259
Pues bueno, es esto.

41
00:04:17,980 --> 00:04:19,680
Aquí está el menos 3, va incluido.

42
00:04:19,680 --> 00:04:23,160
el 2 no va incluido, hacemos un agujero, pues serían todos estos

43
00:04:23,160 --> 00:04:26,939
y así se pintarían como una especie de segmentos

44
00:04:26,939 --> 00:04:32,800
ahora vamos a ver cómo se calcula tanto la unión de intervalos

45
00:04:32,800 --> 00:04:37,779
es decir, la suma, la unión se escribe en la forma intermedia

46
00:04:37,779 --> 00:04:41,060
sería u de unión, cuando tengo dos intervalos

47
00:04:41,060 --> 00:04:44,379
dice por ejemplo, haya la unión de estos dos intervalos

48
00:04:44,379 --> 00:04:48,399
el intervalo cerrado, menos 4, perdón, menos 4, 2

49
00:04:48,399 --> 00:04:57,060
que iría desde aquí hasta el 2, que va de todo este tramo aquí hasta el 2, ambos son cerrados, están incluidos.

50
00:04:57,660 --> 00:05:06,699
Y luego cogería el otro intervalo que va desde el menos 2, que es abierto, este no está incluido, hasta el 4 de aquí, que es cerrado.

51
00:05:07,360 --> 00:05:16,420
Entonces, ¿la unión cuál va a ser? Pues la unión sería, lo señalo aquí, sería todo este tramo, sería este tramo, ¿verdad?

52
00:05:16,420 --> 00:05:27,100
en este todo se solapa más este tramo, entonces sería desde menos 4 incluido hasta 4, esta sería la unión, ¿vale?

53
00:05:27,279 --> 00:05:35,620
A unión B sería justo este tramo desde menos 4 hasta 4, que es donde hay valores tanto de uno como de otro.

54
00:05:36,279 --> 00:05:43,019
Ahora, ¿qué pasaría con la intersección? Pues la intersección solamente está en estos valores donde se unen

55
00:05:43,019 --> 00:05:49,019
Y justo, si os dais cuenta, aquí, aunque aquí está vacío, aquí ¿qué pasa? Que aquí estaría lleno.

56
00:05:49,319 --> 00:05:52,220
¿Tienen en común el menos 2? No, el menos 2 no es tan común.

57
00:05:52,699 --> 00:05:56,540
Entonces la intersección, si os dais cuenta, el menos 2 está abierto.

58
00:05:57,019 --> 00:06:07,160
¿Y el 2 qué pasa? El 2 está cerrado, puesto que en la intersección el 2 en ambos está a la vez ese valor presente.

59
00:06:07,160 --> 00:06:12,660
De modo que la intersección sería este trozo y la unión sería todo este trozo.

60
00:06:13,019 --> 00:06:36,279
Y así lo vamos comprobando con el resto. No tiene más dificultad que ir haciendo los intervalos que nos van dando los números, marcándolos y viendo dónde se solapan o dónde estarían todos los valores de ambos intervalos.

61
00:06:36,279 --> 00:06:57,920
Cuando no hay nada en común, cuando la intersección no hay nada en común, se dice que es el conjunto vacío, ¿vale? Imaginaos que os dan de intervalos de intersección, yo que sé, el 1,2, ¿vale? Intersección con el, por ejemplo, 5,6. ¿Qué tienen en común estos? Nada.

62
00:06:57,920 --> 00:07:02,800
la unión, o sea la intersección, sería el conjunto vacío

63
00:07:02,800 --> 00:07:09,459
y la unión va a ser ambos intermalos a la vez, es decir, no van a estar pegados

64
00:07:09,459 --> 00:07:14,819
sino vamos a tener desde el 1 hasta el 2 por aquí, estoy haciendo todos así

65
00:07:14,819 --> 00:07:21,379
y luego desde el 5 aquí iría hasta el 6, la unión sería tal cual dibujado esto

66
00:07:21,379 --> 00:07:47,300
Voy ahora a resolver el ejercicio 23, vamos a calcular la unión y la intersección de estos intervalos, entonces el a que sería el intervalo menos 5,1 cerrado por la derecha, vamos a hacer la unión, ¿la unión con quién? Con estos que he cerrado 0,2.

67
00:07:47,300 --> 00:07:50,459
Bueno, en primer lugar lo que vamos a hacer es gráficamente

68
00:07:50,459 --> 00:07:54,660
Gráficamente lo que hacemos es dibujarnos una recta

69
00:07:54,660 --> 00:07:58,420
En este caso vamos a tomarnos esta recta tal que así

70
00:07:58,420 --> 00:08:00,199
Sería la recta real

71
00:08:00,199 --> 00:08:04,220
Y sería desde, bueno, la graduamos

72
00:08:04,220 --> 00:08:09,540
El 0, 1, 2, 3, 4, etc.

73
00:08:09,540 --> 00:08:16,040
Aquí para este lado, menos 1, menos 2, menos 3, menos 4, menos 5

74
00:08:16,040 --> 00:08:25,300
Bueno, de esta manera. Y sobre ella vamos a pintar en color rojo este intervalo que sería el menos 5 menos 1.

75
00:08:25,680 --> 00:08:32,860
Menos 5 menos 1 que va a ser el menos 5, es decir, desde aquí abierto hasta el menos 1.

76
00:08:32,960 --> 00:08:35,860
El menos 1 iría cerrado. Aquí lo situaría.

77
00:08:36,720 --> 00:08:44,879
Y luego vamos a pintar en verde desde el 0, el 0 cerrado, hasta el 2.

78
00:08:44,879 --> 00:08:59,580
El 2 también cerrado. Bueno, la unión de estos dos, pues obviamente de manera gráfica sería la imagen de roja, el de color rojo, más el intervalo verde.

79
00:09:00,159 --> 00:09:12,360
Y la unión de esta manera, digamos, descrita, me quedaría, no me queda de otra que escribirla tal que así, porque es la suma de estos dos intervalos.

80
00:09:12,360 --> 00:09:28,679
Y para expresar la intersección de los dos intervalos, menos 5, menos 1, intersección 0, 2, en este caso, ¿qué tienen en común los dos intervalos?

81
00:09:28,940 --> 00:09:34,539
Como vemos, no se solapan, entonces en este caso sería el conjunto vacío.

82
00:09:34,539 --> 00:09:41,519
Vamos a ver ahora la intersección, perdón, la unión de estos dos

83
00:09:41,519 --> 00:09:44,039
Dibujo mi recta real

84
00:09:44,039 --> 00:09:50,639
La graduo, pues bueno, empiezo con el 0, el menos 1, menos 2, etc.

85
00:09:50,639 --> 00:09:54,799
Para aquí el 1, 2, 3, 4, 5

86
00:09:54,799 --> 00:09:57,080
Porque veo que va a llegar hasta el 5

87
00:09:57,080 --> 00:09:58,100
Y empiezo

88
00:09:58,100 --> 00:10:03,340
En color rojo voy a pintar este, que es un intervalo abierto

89
00:10:03,340 --> 00:10:08,059
¿Entre quién? Entre el menos 1 y el 5

90
00:10:08,059 --> 00:10:10,379
Abierto por los dos lados

91
00:10:10,379 --> 00:10:12,000
Y el verde con este de aquí

92
00:10:12,000 --> 00:10:15,539
Que sería entre el 1, que el 1 sería cerrado

93
00:10:15,539 --> 00:10:17,139
Y el 2

94
00:10:17,139 --> 00:10:21,759
De manera que aquí, ¿cuál va a ser la unión de estos dos?

95
00:10:21,759 --> 00:10:27,820
Pues la unión de estos dos intervalos sería justo

96
00:10:27,820 --> 00:10:31,960
Voy a escribirlo aquí, sería este tramo

97
00:10:31,960 --> 00:10:34,919
aquí se solapan pero bueno sería este tramo

98
00:10:34,919 --> 00:10:41,039
con lo cual tendría que la unión sería justo abierto aquí

99
00:10:41,039 --> 00:10:44,620
desde menos 1 hasta 5

100
00:10:44,620 --> 00:10:45,580
esta es la unión

101
00:10:45,580 --> 00:10:51,980
y lo puedo también escribir como todos los x que pertenecen a R

102
00:10:51,980 --> 00:10:57,500
tal que x está entre menos 1 y 5

103
00:10:57,500 --> 00:11:02,139
Esa sería la otra manera de escribirlo algebraicamente

104
00:11:02,139 --> 00:11:03,919
¿Y cómo va a ser la intersección?

105
00:11:04,740 --> 00:11:06,580
Pues la intersección es justo donde se solapan

106
00:11:06,580 --> 00:11:11,399
Menos 1,5, intersección con 1,2

107
00:11:11,399 --> 00:11:17,700
En este caso sería donde se solapan

108
00:11:17,700 --> 00:11:20,379
Que es en este trocito que tenemos aquí en conjunto

109
00:11:20,379 --> 00:11:26,539
Entonces aquí escribiré que sería justo el intervalo 1,2

110
00:11:26,539 --> 00:11:31,279
o escrito en forma algebraica serían todos los X pertenecientes a R

111
00:11:31,279 --> 00:11:34,200
tal que la X está entre ¿quién?

112
00:11:34,799 --> 00:11:37,100
entre incluidos, ¿vale?

113
00:11:37,379 --> 00:11:40,679
el 1 y el 2

114
00:11:40,679 --> 00:11:42,679
y ahí estaría