1 00:00:00,720 --> 00:00:06,599 Empezamos con ángulo entre dos planos que se cortan. 2 00:00:07,980 --> 00:00:17,000 Vamos a coger de vuestro libro, como decíamos ayer, el ejercicio 3 Barcelona. 3 00:00:18,760 --> 00:00:22,300 4x más y menos 3 igual a 0. 4 00:00:28,879 --> 00:00:31,600 4x más y menos 3 igual a 0. 5 00:00:31,600 --> 00:00:45,600 Y menos 3X más 2Y menos 3Z más 8 igual a 0. 6 00:00:47,609 --> 00:00:51,329 Bueno, esos son nuestros dos planos. 7 00:00:51,329 --> 00:00:55,329 No lo quiero poner con una... 8 00:00:56,890 --> 00:00:59,850 Porque son pi 1 y pi 2, ¿no? 9 00:01:00,549 --> 00:01:04,680 Pi 1 y pi 2. 10 00:01:04,739 --> 00:01:32,340 Bueno, pues vamos a meterlos en GeoGebra, 410-3, 410-3, ahí está el primer plano, como veis tenemos ya ahí el vector normal, ¿verdad? 11 00:01:32,340 --> 00:01:56,099 Que es 4, 1, 0. 4, 1, 0 es el vector normal. Fijaos que yo incluso le puedo marcar que se vea, lo único que ¿dónde le pone? Saliendo del 0, 0, ¿verdad? Saliendo del 0, 0, que no es lo que en general nosotros vamos a querer. Querríamos que saliera de un punto del plano. 12 00:01:56,939 --> 00:02:01,120 Por cierto, ¿quién me dice un punto de ese plano? 13 00:02:10,400 --> 00:02:10,599 ¿Cómo? 14 00:02:15,699 --> 00:02:17,819 1 menos 1, 0. Muy bien. 15 00:02:18,340 --> 00:02:24,000 1 menos 1, 0, por ejemplo, pues sería un punto de ese plano. 16 00:02:24,939 --> 00:02:26,280 Que hay muchísimos, ¿verdad? 17 00:02:26,919 --> 00:02:28,460 Seguramente sea el más fácil. 18 00:02:29,379 --> 00:02:34,939 Y el otro plano, hemos dicho, menos 3, 2, menos 3, 8. 19 00:02:34,939 --> 00:02:36,939 Menos 3, 8. 20 00:02:39,379 --> 00:03:02,840 2, menos 3, 8, y ahí está el otro plano, y muy bien, lo que nos piden es el ángulo que forman entre ellos, ¿lo veis?, bueno, mirad, primera cosa, GeoGebra es capaz de calcularlo directamente, 21 00:03:02,840 --> 00:03:15,039 Si nosotros cogemos la herramienta ángulo, pinchamos en un plano y luego en el otro, ya me dice el ángulo. 22 00:03:16,120 --> 00:03:21,699 Ahora, si os dais cuenta, ese ángulo que me ha dado GeoGebra, ¿cuánto dice que vale? 23 00:03:23,909 --> 00:03:25,889 121, porque mirad dónde lo ha medido. 24 00:03:25,990 --> 00:03:27,349 No lo ha medido donde yo quería. 25 00:03:28,689 --> 00:03:31,629 Lo ha medido por el otro lado. 26 00:03:31,629 --> 00:03:32,449 ¿Lo veis? 27 00:03:34,150 --> 00:03:36,069 Pero bueno, lo ha hecho. 28 00:03:37,689 --> 00:03:40,289 Ese ángulo que ha medido ahí es 121. 29 00:03:41,169 --> 00:03:44,349 Por otro lado, una cosa que sí que quiero que os deis cuenta 30 00:03:44,349 --> 00:03:48,270 es que si yo hiciera la intersección entre estos dos planos, 31 00:03:50,389 --> 00:03:56,689 dado que se cortan, ¿cuál sería la intersección siempre? 32 00:03:57,629 --> 00:04:02,449 Una recta, ya que si no, no tendría sentido preguntarse por el plano, 33 00:04:02,449 --> 00:04:04,229 o sea, por el ángulo que forma 34 00:04:04,229 --> 00:04:08,490 no vamos a hacer aquí 35 00:04:08,490 --> 00:04:09,990 el estudio de los rangos 36 00:04:09,990 --> 00:04:11,750 para demostrar que se cortan 37 00:04:11,750 --> 00:04:13,449 pero 38 00:04:13,449 --> 00:04:16,350 lo que sí que quería es que vierais 39 00:04:16,350 --> 00:04:17,910 que si yo coloco 40 00:04:17,910 --> 00:04:20,110 a ver si soy capaz 41 00:04:20,110 --> 00:04:22,370 la recta como que 42 00:04:22,370 --> 00:04:23,170 fuera un punto 43 00:04:23,170 --> 00:04:25,990 ahí más o menos 44 00:04:25,990 --> 00:04:27,990 sí, ¿no? 45 00:04:28,069 --> 00:04:29,649 lo había hecho y se me ha ido 46 00:04:29,649 --> 00:04:33,550 bueno, más o menos 47 00:04:33,550 --> 00:04:53,610 Si yo conozco la recta como si fuera un punto, ahí se ve perfectamente, ahora en este plano, vamos a decir, como que fueran dos rectas y se ve que el que estamos calculando es el grande, ¿no? Realmente el que a nosotros nos piden, ¿cuál es? El suplementario, ¿no? El suplementario. 48 00:04:53,610 --> 00:04:58,350 muy bien, vale 49 00:04:58,350 --> 00:05:05,079 pero que sería siempre en esa 50 00:05:05,079 --> 00:05:09,680 en relación perpendicular a la recta, por favor, quiero que esto 51 00:05:09,680 --> 00:05:13,779 os quede muy clarito, entre los dos 52 00:05:13,779 --> 00:05:17,259 planos digamos que yo podría, o sea, parece como que hubiera 53 00:05:17,259 --> 00:05:21,959 cualquier ángulo, porque yo podría saliendo de aquí 54 00:05:21,959 --> 00:05:24,980 irme aquí, irme allí, irme aquí abajo 55 00:05:24,980 --> 00:05:28,300 y como que hubiera muchos ángulos. 56 00:05:28,819 --> 00:05:34,019 Siempre se hace, claro, en relación a la recta con la que se corta, ¿vale? 57 00:05:34,740 --> 00:05:41,189 Siempre se hace en relación a la recta con la que se corta, ¿vale? 58 00:05:42,189 --> 00:05:48,509 Bueno, ¿y cómo se hace el producto, perdón, el ángulo que forma? 59 00:05:48,769 --> 00:05:50,230 Pues ya lo dijimos el otro día. 60 00:05:50,230 --> 00:06:23,339 Si yo saco el vector, como he sacado en GeoGebra, 4, 1, 0, y el vector, menos 3, 2, menos 3, pues puedo utilizar la definición de producto escalar para poner módulo de u, sería raíz de 17, módulo de v, que sería raíz de 22, 61 00:06:23,339 --> 00:06:43,560 y aquí el producto, menos 12 más 2 más 0, que es menos 10, con lo cual el ángulo que forman los dos vectores normales a los planos es menos 10 partido raíz de 17 raíz de 22. 62 00:06:43,560 --> 00:07:04,889 Bien. Fijaos que si yo me voy a GeoGebra, como tengo los vectores, yo puedo poner vec1 por vec2 y ¿qué me va a dar? Lógicamente, menos 10, lo que hemos hecho. 63 00:07:04,889 --> 00:07:12,850 ¿De acuerdo? Y de ahí sale el 121,14. 64 00:07:13,410 --> 00:07:26,129 Entonces aquí puedo hacer o bien el valor absoluto o bien simplemente, suponiendo que me lo pidieran, el arco coseno. 65 00:07:26,529 --> 00:07:28,990 ¿Cuánto valdría el arco coseno de esto? 66 00:07:32,379 --> 00:07:35,980 Menos 10 entre raíz de 17 por raíz de 22. 67 00:07:35,980 --> 00:07:40,959 Lógicamente 121,14 68 00:07:40,959 --> 00:07:44,660 121,14 69 00:07:44,660 --> 00:07:48,199 Bueno, esto está mal puesto 70 00:07:48,199 --> 00:07:53,139 Es 121,14 y luego lo gradito 71 00:07:53,139 --> 00:07:57,000 Vale, entonces ese es el ángulo que forman los vectores 72 00:07:57,000 --> 00:08:02,240 Pero el ángulo que forman los planos 73 00:08:02,240 --> 00:08:06,100 Lo voy a llamar beta 74 00:08:06,100 --> 00:08:09,519 sería 75 00:08:09,519 --> 00:08:11,939 180 76 00:08:11,939 --> 00:08:14,319 menos 121 77 00:08:14,319 --> 00:08:15,120 con 14. 78 00:08:16,060 --> 00:08:16,399 ¿Vale? 79 00:08:17,019 --> 00:08:18,980 O 58 80 00:08:18,980 --> 00:08:21,600 con 86. 81 00:08:21,980 --> 00:08:25,360 ¿No? Muy bien. 82 00:08:26,600 --> 00:08:27,899 Pues ya estaría. 83 00:08:28,360 --> 00:08:29,740 La respuesta tiene que ser 84 00:08:29,740 --> 00:08:31,399 entre 0 y 90. 85 00:08:32,200 --> 00:08:33,799 Vuelvo a decir que el libro 86 00:08:33,799 --> 00:08:35,580 intenta enseñaros como una 87 00:08:35,580 --> 00:08:37,620 fórmula que simplemente consiste en 88 00:08:37,620 --> 00:08:39,139 hacer el valor absoluto. 89 00:08:39,240 --> 00:08:47,700 Si vosotros hacéis el valor absoluto y hacéis el arco coseno de 10 entre raíz de 17 por raíz de 22, 90 00:08:48,659 --> 00:08:53,679 pues os hubiera salido el 58,86 automáticamente. 91 00:08:55,659 --> 00:08:59,620 ¿Entendido? ¿Alguna pregunta? 92 00:09:00,779 --> 00:09:04,620 Realmente nosotros tendríamos que coger cualquier punto de la recta, 93 00:09:04,620 --> 00:09:13,940 recta, cualquier punto de la recta, cualquier punto que pertenezca a los dos planos, pintar 94 00:09:13,940 --> 00:09:20,379 ahí los vectores para que se vieran. Pero bueno, no creo que... ¿Creéis que es interesante 95 00:09:20,379 --> 00:09:29,500 que pinten los vectores? Cada vector sería perpendicular a... Cada vector sería perpendicular 96 00:09:29,500 --> 00:09:31,320 a lo que tenemos ahí 97 00:09:31,320 --> 00:09:33,820 ¿vale? 98 00:09:34,960 --> 00:09:36,639 a los planos que tenemos ahí 99 00:09:36,639 --> 00:09:38,460 ¿lo veis o no? 100 00:09:43,509 --> 00:09:44,870 bueno, pues nada 101 00:09:44,870 --> 00:09:48,190 voy a guardar esto