1 00:00:00,000 --> 00:00:02,240 Hola de nuevo, gentes matemáticas. 2 00:00:02,600 --> 00:00:06,360 Hoy voy a hablaros de una cosa súper chula, pero dificililla. 3 00:00:06,519 --> 00:00:07,320 Los fractales. 4 00:00:12,289 --> 00:00:13,769 Mirad estas cosas tan raritas. 5 00:00:13,990 --> 00:00:14,990 Estos son los fractales. 6 00:00:19,730 --> 00:00:23,730 Seguro que si os enseño dibujos o fotos de cosas fractales y de cosas que no lo son, 7 00:00:23,890 --> 00:00:27,429 más o menos me podríais decir cuáles son fractales y cuáles no. 8 00:00:27,510 --> 00:00:31,609 Pero si os pidiera definir qué es un fractal, la cosa se pone más chunga, ¿verdad? 9 00:00:31,710 --> 00:00:35,329 Bueno, pues aquí estamos en Derivando para ayudaros un poquito. 10 00:00:35,710 --> 00:00:37,770 Estas son algunas de sus características. 11 00:00:38,070 --> 00:00:40,990 Primero, los fractales tienen autosimilaridad. 12 00:00:41,189 --> 00:00:41,869 ¿Cómo te quedas? 13 00:00:42,170 --> 00:00:43,149 Esa palabra me encanta. 14 00:00:43,350 --> 00:00:49,390 La autosimilaridad quiere decir que si miramos una parte del fractal a mayor escala, parece igual. 15 00:00:49,609 --> 00:00:51,170 No distinguimos el cambio de escala. 16 00:00:51,310 --> 00:00:54,310 Esto en algunos se da de forma exacta, pero no en todos. 17 00:00:54,590 --> 00:00:55,229 Mira los ejemplos. 18 00:00:55,350 --> 00:00:56,270 El copo de Koch. 19 00:00:56,729 --> 00:00:58,130 El triángulo de Sierpinski. 20 00:00:58,409 --> 00:01:00,630 Estos son exactamente autosimilares. 21 00:01:00,630 --> 00:01:03,469 Otros no lo son exactamente, pero se parecen mucho. 22 00:01:03,469 --> 00:01:10,709 Como el fractal de Mandelbrot, que por cierto, que Mandelbrot fue el que inventó la palabra fractal, que significa roto. 23 00:01:11,049 --> 00:01:13,010 Mira qué pelillos más graciosos tiene el hombre. 24 00:01:13,189 --> 00:01:21,109 Bueno, otra característica que tiene que tener un objeto para ser fractal es que su dimensión fractal tiene que ser mayor que su dimensión topológica. 25 00:01:21,450 --> 00:01:23,650 Vamos a ver si puedo explicar esto sin liarte mucho. 26 00:01:23,890 --> 00:01:25,790 La dimensión topológica es la de toda la vida. 27 00:01:25,969 --> 00:01:30,969 Una línea tiene dimensión 1, un círculo, un cuadrado, dimensión 2, la esfera 3 y así. 28 00:01:30,969 --> 00:01:36,590 Y la dimensión fractal, pues hay varias definiciones distintas y no todas equivalentes siempre. 29 00:01:36,689 --> 00:01:41,090 Así que vamos a usar una más o menos sencilla de ver, una que se llama deconteo de cajas. 30 00:01:41,269 --> 00:01:42,430 ¡Qué horror de nombre, ¿verdad? 31 00:01:42,730 --> 00:01:44,109 Bueno, vamos a ver cómo funciona. 32 00:01:44,329 --> 00:01:47,170 Mira, tengo una línea recta. No es fractal, ¿verdad? 33 00:01:47,370 --> 00:01:51,569 Divido el papel en en no es cuantas cajas y cuento cuántas de ellas tocan la línea. 34 00:01:52,209 --> 00:01:57,829 Ahora divido el tamaño de las cajas en un factor de dos y cuento cuántas cajas tocan ahora mi línea. 35 00:01:57,829 --> 00:02:02,670 Si sigo así, al dividir el tamaño de las cajas entre 2, doblaré el número que tocan la línea. 36 00:02:02,849 --> 00:02:09,509 Las cajas tienen dimensión 2, topológica de toda la vida, y el número de cajas que tocan se multiplica por 2, que es 2 elevado a 1. 37 00:02:09,750 --> 00:02:12,090 Y ese 1 es la dimensión de cajas de la línea. 38 00:02:12,409 --> 00:02:20,629 Si en lugar de la línea lo hacemos con una figura plana, pongamos un cuadrado, resulta que el número de cajas que lo tocan en cada paso se multiplica por 4. 39 00:02:21,169 --> 00:02:25,810 Y 4 es 2 elevado a 2, que es la dimensión de cajas del cuadrado. 40 00:02:26,210 --> 00:02:31,310 Como ves, para el cuadrado y para la línea, la dimensión de cajas coincide con la de toda la vida. 41 00:02:31,530 --> 00:02:34,189 Bueno, pues para los fractales no coincide. ¡Ripa! 42 00:02:34,729 --> 00:02:38,930 Por ejemplo, la dimensión de cajas del triángulo de Sierpinski, ese que hemos visto, 43 00:02:39,110 --> 00:02:42,990 es logaritmo de 3 partido por logaritmo de 2, que es más o menos 1,58. 44 00:02:43,289 --> 00:02:50,389 Bueno, y la última cosa que tiene que tener un fractal es que los fractales no son diferenciables en ningún punto. 45 00:02:50,750 --> 00:02:51,449 ¿Cómo te quedas? 46 00:02:51,849 --> 00:02:55,250 Esto es una cosa más bien técnica, pero que algunos igual podéis pillar bastante. 47 00:02:55,250 --> 00:03:04,409 A los que os suene lo que es una derivada, sabéis que hay funciones que tienen derivada en todos sus puntos y otras que no, que tienen piquitos, puntos especiales donde no existe derivada. 48 00:03:04,509 --> 00:03:12,189 Pues bueno, en un fractal todos los puntos son piquitos, puntos raros, vaya, que desde el punto de vista de las curvas los fractales son mega raros. 49 00:03:12,430 --> 00:03:18,530 Bueno, pues ya nos hemos hecho idea de qué son los fractales y tú estás como, venga, ¿y esto para qué me sirve a mí? 50 00:03:18,629 --> 00:03:22,509 Pues para un montón de cosas que no sabías y que mejoran tu vida. 51 00:03:22,509 --> 00:03:27,310 Se utilizan para estudiar muchos fenómenos, desde el estudio de las enzimas a los terremotos, 52 00:03:27,550 --> 00:03:31,490 desde los movimientos de la bolsa hasta la compresión de imágenes de ordenador, 53 00:03:31,669 --> 00:03:33,849 desde la neurociencia a los sistemas dinámicos. 54 00:03:33,949 --> 00:03:36,650 Y aunque yo te los he presentado desde el punto de vista matemático, 55 00:03:36,949 --> 00:03:41,110 lo cierto es que tienen también representación en la naturaleza y en el arte. 56 00:03:41,389 --> 00:03:45,430 ¿Sabías que incluso se ha intentado usar el estudio de la dimensión fractal 57 00:03:45,430 --> 00:03:49,810 para determinar la autenticidad de los cuadros de Pollock, que valen millones de euros? 58 00:03:49,810 --> 00:03:56,590 En fin, que los fractales son mucho más que unas formas curiosas que quedan guay como fondo de pantalla friki en el ordenador. 59 00:03:57,469 --> 00:04:00,370 ¿Sabes qué relación tienen el número Pi con el Quijote? 60 00:04:00,789 --> 00:04:03,750 ¿O el pintor del Renacimiento Durero con los cuadrados mágicos? 61 00:04:04,590 --> 00:04:06,469 Suscríbete y te enterarás de todo.