1 00:00:00,000 --> 00:00:04,960 Este es un problema típico de trigonometría que se resuelve a través de las tangentes. 2 00:00:06,240 --> 00:00:13,560 ¿Qué nos dice el enunciado? El enunciado nos dice que observamos el punto más alto de una torre 3 00:00:13,560 --> 00:00:16,719 bajo un ángulo de 72 grados sobre la horizontal. 4 00:00:17,480 --> 00:00:22,879 Si nos alejamos 350 metros, lo vemos bajo un ángulo de 31 grados. 5 00:00:23,160 --> 00:00:28,460 ¿A qué altura se muestra esta torre? Pues lo primero que tenemos que hacer es su representación gráfica. 6 00:00:28,460 --> 00:00:51,759 Si nosotros, esta es nuestra torre y esta es la horizontal, esta es la torre que mide, vamos a decir, h, nosotros estamos a una distancia x, no lo sabemos, y lo único que sabemos es que desde donde estamos nosotros, al punto más alto, hay 72 grados respecto a la horizontal. 7 00:00:51,759 --> 00:01:10,379 Luego, ¿qué nos indican? Pues que si nosotros nos alejamos de la torre 350 metros, pues el ángulo que se forma ahora con el punto más alto de la torre, en vez de ser 72, es 31 grados. 8 00:01:10,379 --> 00:01:36,079 ¿De acuerdo? Entonces nosotros aquí lo importante es ver que tenemos dos triángulos rectángulos. Tenemos este triángulo donde esto mide h, esto mide 350 más x y estos son 31 grados y luego tenemos otro donde esto mide 72 grados, esto mide x y esto mide h. 9 00:01:36,079 --> 00:01:44,900 Si recordamos las fórmulas para los ángulos agudos, pues vemos que el seno de alfa es cateto opuesto partido de hipotenusa. 10 00:01:45,040 --> 00:01:52,180 Recordamos que en un triángulo rectángulo los catetos son los que forman el ángulo recto. 11 00:01:52,280 --> 00:01:54,540 Este es un cateto y este otro cateto. 12 00:01:54,900 --> 00:01:58,480 Y el lado que queda es la hipotenusa. 13 00:01:59,459 --> 00:02:00,719 La hipotenusa. 14 00:02:00,719 --> 00:02:08,500 Si para nosotros este es alfa, pues el cateto opuesto que es este de aquí, este es el cateto opuesto 15 00:02:08,500 --> 00:02:14,460 Y el cateto continuo es aquel que forma precisamente el ángulo alfa 16 00:02:14,460 --> 00:02:27,919 Si nosotros, por ejemplo, estuviéramos en este ángulo beta, pues este sería el opuesto y este de aquí sería el contiguo a beta 17 00:02:27,919 --> 00:02:43,180 ¿De acuerdo? Entonces, el seno de alfa, ¿cómo se define? Como cateto opuesto partido de hipotenusa. El coseno de alfa es el cateto contiguo partido de hipotenusa. 18 00:02:43,180 --> 00:03:00,740 Pero aquí vemos en nuestros triángulos que no solo las hipotenusas, no sabemos lo que vale. El cateto opuesto es h y el cateto contiguo es 300 más x, con lo cual aquí, pues con el seno y con el coseno poco podemos hacer. 19 00:03:00,740 --> 00:03:18,240 Aquí también, esta hipotenusa, la desconocemos cuánto vale. Por lo tanto, la única función, la única ecuación que nos podría valer es la tangente. ¿De acuerdo? La tangente se define el seno partido del coseno. 20 00:03:18,240 --> 00:03:24,819 Al hacer esto partido de esto, como las hipotenusas se van, quedan cateto opuesto y cateto contiguo. 21 00:03:25,759 --> 00:03:28,919 Con lo cual, nosotros, ¿qué es lo que tenemos? 22 00:03:29,280 --> 00:03:44,219 Pues nosotros tenemos este triángulo rectángulo, donde este cateto opuesto a alfa, que es 31 grados, es h, y el cateto contiguo es 350 más x. 23 00:03:44,219 --> 00:03:59,139 Y en este triángulo rectángulo tenemos alfa que mide 72, h es el cateto opuesto al ángulo y x es el cateto contiguo. 24 00:03:59,439 --> 00:04:02,120 Con lo cual, ¿cómo nos queda nuestra fórmula? 25 00:04:02,360 --> 00:04:12,580 Pues de este triángulo vemos que tangente de 31 grados es igual al cateto opuesto, que es h, partido de 350 más x, que es el cateto contiguo. 26 00:04:12,580 --> 00:04:19,600 Y tangente de 32, vemos que es h, que es el cateto opuesto partido del cateto contiguo. 27 00:04:19,779 --> 00:04:26,199 ¿Qué es lo que tenemos común en ambas ecuaciones? Pues la h. 28 00:04:26,379 --> 00:04:35,579 Con lo cual despejamos de aquí h, h es igual a la tangente de 31 que multiplica a 350 más x. 29 00:04:35,579 --> 00:04:42,579 Y de aquí h, que es igual a tangente de 72 grados, que multiplica x. 30 00:04:43,360 --> 00:04:49,160 Como h es la altura de la torre, h es la altura de la torre, que es lo que queremos saber, altura de la torre, 31 00:04:51,959 --> 00:04:58,500 y vemos que es igual a esto y es igual a esto, cuando nosotros tenemos que a es igual a b y b es igual a c, 32 00:04:59,180 --> 00:05:01,660 entonces a es igual a c, ¿verdad? 33 00:05:01,660 --> 00:05:18,790 Como h es igual que esto y h es igual a esto, podemos decir que la tangente de 31 grados por 350 más x es igual a la tangente de 72 grados por x. 34 00:05:18,790 --> 00:05:45,120 Si yo distribuyo aquí, tengo tangente de 31 por 350 más tangente de 31 por x igual a tangente de 72 grados por x. 35 00:05:45,120 --> 00:06:02,379 Me llevo esto al segundo miembro y me queda tangente de 31 grados por 350 es igual a tangente de 72 grados por X menos tangente de 31 grados por X. 36 00:06:02,379 --> 00:06:14,220 Si yo aquí saco factor común X, tengo X que multiplica a tangente de 72 grados menos tangente de 31 grados. 37 00:06:14,220 --> 00:06:28,399 ¿Cuánto vale x? Pues x es tangente de 31 por 350 partido de tangente de 72 menos tangente de 31. 38 00:06:29,160 --> 00:06:31,319 Esto lo hago con la calculadora. 39 00:06:31,319 --> 00:06:34,699 esto lo hago con la calculadora 40 00:06:34,699 --> 00:06:40,220 si lo hacemos con la calculadora 41 00:06:40,220 --> 00:06:42,699 vemos que esto nos sale 42 00:06:42,699 --> 00:06:49,240 un resultado de 84,9 metros 43 00:06:49,240 --> 00:06:50,339 pero esto que era 44 00:06:50,339 --> 00:06:53,180 era la distancia a la cual yo estaba originalmente 45 00:06:53,180 --> 00:06:56,199 distanciada de la torre 46 00:06:56,199 --> 00:06:57,819 esta es mi X 47 00:06:57,819 --> 00:07:00,240 entonces de esta fórmula de aquí 48 00:07:00,240 --> 00:07:02,519 podemos saber que 49 00:07:02,519 --> 00:07:14,319 h es igual a x por la tangente de 72 grados, es decir, h es igual a 84,9 por el 3,07 y esto 50 00:07:14,319 --> 00:07:24,759 ¿cuánto nos da? Pues nos da 261,3 metros. Recopilando, nosotros estábamos a una distancia 51 00:07:24,759 --> 00:07:32,579 a X, esta es la altura de la torre, luego desde donde nosotros estamos al punto más 52 00:07:32,579 --> 00:07:41,019 alto de la torre hay 72 grados, nos alejamos 350 metros de la torre y vemos que el ángulo 53 00:07:41,019 --> 00:07:46,079 ahora desde donde nosotros estamos respecto a la horizontal al punto más alto de la torre 54 00:07:46,079 --> 00:07:52,439 pasa de 72 a 31 grados. Aquí no nos queda más remedio que utilizar las tangentes de 55 00:07:52,439 --> 00:07:57,079 los dos ángulos, puesto que la hipotenusa, tanto esta de aquí como esta de aquí, son 56 00:07:57,079 --> 00:08:03,720 desconocidas. ¿De acuerdo? Tenemos dos triángulos rectángulos, aplicamos la definición de 57 00:08:03,720 --> 00:08:11,540 tangente, vemos que tienen en común esa h y la igualamos. Obtenemos primero la x, que 58 00:08:11,540 --> 00:08:17,819 es la distancia a la cual estoy de la torre, y después de cualquiera de estas dos ecuaciones 59 00:08:17,819 --> 00:08:23,120 Vemos que de esta es más rápida, pues hallamos el valor de X. 60 00:08:23,519 --> 00:08:27,639 Y al final la torre mide 261,3 metros. 61 00:08:28,579 --> 00:08:34,019 Este es un problema súper típico de trigonometría.