1
00:00:00,000 --> 00:00:10,000
Vamos a calcular ahora, con la mayor exactitud posible, las razones trigonométricas de 30 y 60 grados.

2
00:00:10,000 --> 00:00:16,000
Partimos en esta ocasión de un triángulo equilátero de lado 1.

3
00:00:16,000 --> 00:00:18,000
Ahí lo tenemos.

4
00:00:18,000 --> 00:00:24,000
Los tres lados miden un metro y los tres ángulos miden 60 grados.

5
00:00:24,000 --> 00:00:34,000
Si trazamos la altura de este triángulo, nosotros estamos interesados en calcular cuál es la longitud de esa altura.

6
00:00:34,000 --> 00:00:41,000
Resultaría que el lado de abajo, que media un metro, queda dividido en dos mitades exactamente iguales, de medio metro cada una,

7
00:00:41,000 --> 00:00:47,000
y el ángulo de 60 grados de arriba queda dividido también en dos mitades de 30 grados cada una.

8
00:00:47,000 --> 00:00:53,000
Si nos fijamos en este triángulo que acabamos de resaltar en rojo, resulta que nos damos cuenta que es un triángulo rectángulo

9
00:00:53,000 --> 00:00:58,000
que tiene un ángulo de 30 grados y otro de 60 grados, y eso es justo lo que nos interesa.

10
00:00:58,000 --> 00:01:03,000
Morramos lo demás, y con esto es por lo que vamos a trabajar.

11
00:01:03,000 --> 00:01:09,000
Tenemos un triángulo rectángulo, sabemos cuáles son las medidas de la hipotenusa y del cateto de abajo,

12
00:01:09,000 --> 00:01:16,000
y nos falta tan solo por calcular la medida del otro cateto, la medida del cateto A.

13
00:01:16,000 --> 00:01:20,000
Bueno, no tenemos nada más que usar el tiromé de Pitágoras, ahí lo tenemos.

14
00:01:20,000 --> 00:01:29,000
Un medio al cuadrado, que es el cateto de abajo, más A al cuadrado, el otro cateto, es igual al cuadrado de la hipotenusa, que mide 1.

15
00:01:32,000 --> 00:01:39,000
Por tanto, despejando, tendríamos que A es igual a la raíz cuadrada de 1 menos un medio al cuadrado,

16
00:01:39,000 --> 00:01:45,000
nos hemos traído el un medio al cuadrado del primer miembro, lo hemos pasado al segundo miembro restando,

17
00:01:45,000 --> 00:01:50,000
si ahora calculamos un medio al cuadrado, un medio al cuadrado es un cuarto,

18
00:01:50,000 --> 00:01:59,000
y si hacemos esa recta, uno menos un cuarto, una recta de fracciones, sencilla, que nos daría tres cuartos.

19
00:01:59,000 --> 00:02:06,000
La raíz cuadrada de una fracción es la raíz cuadrada del numerador dividido entre la raíz cuadrada del denominador,

20
00:02:06,000 --> 00:02:10,000
y eso es a lo que podemos llegar.

21
00:02:10,000 --> 00:02:15,000
La raíz cuadrada de 3, tenemos que dejarla indicada, y la raíz de 4 es 2.

22
00:02:15,000 --> 00:02:23,000
Tenemos ya, por tanto, cuánto mide el otro cateto, ahí le hemos colocado nuestro triángulo,

23
00:02:23,000 --> 00:02:31,000
mide raíz de 3 partido por 2, y ya tenemos todos los datos para poder calcular las razones trigonométricas,

24
00:02:31,000 --> 00:02:33,000
tanto de 30 como de 60 grados.

25
00:02:33,000 --> 00:02:39,000
Es además un triángulo muy fácil de trabajar porque la hipotenusa mide 1,

26
00:02:39,000 --> 00:02:46,000
y eso nos va a hacer que sea mucho más sencillo el cálculo de todas las razones trigonométricas.

27
00:02:46,000 --> 00:02:56,000
Vamos a calcular ya las razones trigonométricas de 30 y de 60, y empezamos con las de 30 grados.

28
00:02:56,000 --> 00:03:03,000
El seno de 30 grados sería cateto opuesto dividido entre hipotenusa,

29
00:03:06,000 --> 00:03:10,000
1 medio es lo que mide el cateto opuesto a 30 grados,

30
00:03:10,000 --> 00:03:14,000
y 1 es lo que mide la hipotenusa.

31
00:03:14,000 --> 00:03:18,000
Por tanto, el seno de 30 grados es igual a 1 medio.

32
00:03:18,000 --> 00:03:22,000
Ya sabemos que el seno de 30 grados es 1 medio,

33
00:03:22,000 --> 00:03:27,000
o 0,5, recordemos que es un número sin dimensiones.

34
00:03:27,000 --> 00:03:29,000
El seno de 30 grados es 1 medio.

35
00:03:29,000 --> 00:03:34,000
Así como los lados, si tienen dimensiones, por supuesto, son longitudes,

36
00:03:34,000 --> 00:03:39,000
los lados lo que nosotros estamos trabajando es con longitudes,

37
00:03:39,000 --> 00:03:43,000
pero el cociente, el resultado del cociente es un número sin dimensiones.

38
00:03:43,000 --> 00:03:47,000
El seno de 30 grados es 1 medio, o 0,5.

39
00:03:47,000 --> 00:03:54,000
Vamos ahora a por el coseno, el coseno de 30 grados sería cateto contiguo a 30 grados,

40
00:03:57,000 --> 00:04:01,000
por tanto, raíz de 3 partido por 2, es la medida de ese cateto,

41
00:04:01,000 --> 00:04:06,000
dividido entre 1, que es lo que mide la hipotenusa.

42
00:04:06,000 --> 00:04:10,000
Por tanto, el coseno de 30 grados vale raíz de 3 partido por 2.

43
00:04:10,000 --> 00:04:16,000
Este es el número exacto, coseno de 30 grados, raíz de 3 partido por 2.

44
00:04:16,000 --> 00:04:18,000
Vamos ahora a por la tangente.

45
00:04:18,000 --> 00:04:24,000
La tangente de 30 grados sería también el resultado de dividir el cateto opuesto a 30 grados,

46
00:04:27,000 --> 00:04:29,000
es decir, 1 medio,

47
00:04:29,000 --> 00:04:33,000
dividido entre el cateto contiguo,

48
00:04:35,000 --> 00:04:38,000
que mide raíz de 3 partido por 2.

49
00:04:38,000 --> 00:04:43,000
Lo hemos colocado de esta manera porque vamos a tener que hacer una división de fracciones

50
00:04:43,000 --> 00:04:48,000
y aunque podríamos haberlo puesto igual que hemos hecho con el seno y el coseno,

51
00:04:48,000 --> 00:04:50,000
pero va a ser más claro así.

52
00:04:50,000 --> 00:04:55,000
Bueno, pues para hacer la división, colocamos nuestra línea de fracción

53
00:04:55,000 --> 00:04:59,000
y tenemos que hacer la siguiente operación,

54
00:04:59,000 --> 00:05:03,000
y es multiplicar así, en cruz, recordemos cómo se dividían fracciones,

55
00:05:03,000 --> 00:05:08,000
1 por 2 nos daría 2, que viene arriba,

56
00:05:08,000 --> 00:05:13,000
y de la misma manera, 2 por raíz de 3,

57
00:05:13,000 --> 00:05:15,000
2 raíz de 3 que viene abajo.

58
00:05:15,000 --> 00:05:19,000
Eso es lo que daría el resultado de esa división.

59
00:05:19,000 --> 00:05:24,000
Si ahora simplificamos, un 2 en el numerador y un 2 en el denominador podemos simplificarlos

60
00:05:24,000 --> 00:05:29,000
y nos quedaría 1 partido raíz de 3 para la tangente de 30.

61
00:05:29,000 --> 00:05:33,000
Como hay una raíz en el denominador, pues ya sabemos que tenemos que racionalizar,

62
00:05:33,000 --> 00:05:36,000
multiplicamos por raíz de 3 arriba y abajo,

63
00:05:36,000 --> 00:05:41,000
y nos queda arriba raíz de 3 y abajo 3, ¿de acuerdo?

64
00:05:41,000 --> 00:05:46,000
Esa sería la tangente de 30 grados, raíz de 3 partido por 3,

65
00:05:46,000 --> 00:05:50,000
con toda la exactitud posible.

66
00:05:50,000 --> 00:05:53,000
Vamos ahora por la cosecante, la cosecante de 30 grados,

67
00:05:53,000 --> 00:05:56,000
hemos colocado además enfrente del seno,

68
00:05:56,000 --> 00:06:01,000
para darnos cuenta de que lo que tenemos que hacer es justamente el número inverso,

69
00:06:01,000 --> 00:06:04,000
por tanto hay que dividir 1 entre un medio,

70
00:06:04,000 --> 00:06:06,000
y eso nos daría 2.

71
00:06:06,000 --> 00:06:12,000
También simplemente darnos cuenta de que cambiamos el 2 por el 1 en el seno de 30,

72
00:06:12,000 --> 00:06:17,000
cambiamos el numerador por el denominador, pues eso nos daría 2.

73
00:06:17,000 --> 00:06:21,000
La secante de 30 grados sería el número inverso,

74
00:06:21,000 --> 00:06:27,000
el número que resulte de cambiar el numerador por el denominador en la raíz de 3 partido por 2,

75
00:06:27,000 --> 00:06:32,000
o también podemos ponerlo así, nos daría por tanto 2 dividido entre raíz de 3,

76
00:06:32,000 --> 00:06:36,000
tendríamos que racionalizar, multiplicamos por raíz de 3 arriba y abajo,

77
00:06:36,000 --> 00:06:42,000
y nos quedaría arriba 2 raíz de 3 y abajo 3.

78
00:06:42,000 --> 00:06:49,000
Por último, para la cotangente de 30 grados podemos hacerlo de varias maneras,

79
00:06:49,000 --> 00:06:54,000
la más sencilla sería simplemente fijarnos en que en uno de los pasos intermedios

80
00:06:54,000 --> 00:06:58,000
teníamos que la tangente de 30 grados era 1 partido raíz de 3,

81
00:06:58,000 --> 00:07:03,000
justo antes de racionalizar, y entonces pues nos daría que esa división,

82
00:07:03,000 --> 00:07:08,000
que es simplemente cambiar el numerador por el denominador,

83
00:07:08,000 --> 00:07:13,000
y nos daría que la cotangente de 30 grados es raíz de 3.

84
00:07:13,000 --> 00:07:16,000
Bueno, ya tenemos todas las razones trigonométricas de 30 grados,

85
00:07:16,000 --> 00:07:22,000
vamos a por las de 60 ahora.

86
00:07:22,000 --> 00:07:26,000
Vamos ahora por las de 60 grados,

87
00:07:26,000 --> 00:07:30,000
colocamos aquí nuestro triángulo para poder trabajar cómodamente,

88
00:07:30,000 --> 00:07:40,000
empezamos con el seno, el seno de 60 grados sería cateto opuesto a 60 grados,

89
00:07:40,000 --> 00:07:42,000
es decir, raíz de 3 partido por 2,

90
00:07:42,000 --> 00:07:47,000
dividido entre 1, que es lo que mide la hipotilusa,

91
00:07:47,000 --> 00:07:51,000
por tanto el seno de 60 grados es raíz de 3 partido por 2,

92
00:07:51,000 --> 00:07:54,000
justo lo que valía el coseno de 30,

93
00:07:54,000 --> 00:07:59,000
es lógico que sea así, puesto que son ángulos complementarios.

94
00:07:59,000 --> 00:08:03,000
El coseno de 60 grados sería ahora,

95
00:08:03,000 --> 00:08:08,000
lo que mide el cateto contiguo a 60 grados,

96
00:08:08,000 --> 00:08:11,000
es decir, 1 medio,

97
00:08:11,000 --> 00:08:15,000
dividido entre lo que mide la hipotilusa,

98
00:08:15,000 --> 00:08:20,000
y por tanto el coseno de 60 vale 1 medio.

99
00:08:20,000 --> 00:08:25,000
Para la tangente de 60 tendríamos que hacer una división,

100
00:08:25,000 --> 00:08:33,000
que consistiría en dividir lo que mide el cateto opuesto a 60 grados,

101
00:08:33,000 --> 00:08:35,000
es decir, raíz de 3 partido por 2,

102
00:08:35,000 --> 00:08:42,000
dividido entre 1 medio, que es lo que mide el cateto contiguo.

103
00:08:42,000 --> 00:08:47,000
Si hacemos la división, lo más sencillo sería simplificar los denominadores,

104
00:08:47,000 --> 00:08:49,000
y eso nos daría raíz de 3.

105
00:08:49,000 --> 00:08:52,000
La tangente de 60 grados vale raíz de 3,

106
00:08:52,000 --> 00:08:56,000
justamente lo mismo que medía la cotangente de 30.

107
00:08:56,000 --> 00:09:05,000
La cosecante de 60 grados sería el número inverso con respecto del seno,

108
00:09:05,000 --> 00:09:08,000
y por tanto sería 1 dividido entre raíz de 3 partido por 2,

109
00:09:08,000 --> 00:09:11,000
eso nos daría 2 partido raíz de 3,

110
00:09:11,000 --> 00:09:17,000
como vemos es simplemente cambiar el numerador por el denominador en el seno de 60,

111
00:09:17,000 --> 00:09:20,000
y como tenemos la raíz de 3 abajo,

112
00:09:20,000 --> 00:09:23,000
tenemos que hacer lo mismo que hicimos antes,

113
00:09:23,000 --> 00:09:27,000
que es racionalizar, multiplicamos por raíz de 3 arriba y abajo,

114
00:09:27,000 --> 00:09:30,000
y eso nos da 2 raíz de 3 partido por 3,

115
00:09:30,000 --> 00:09:34,000
para la cosecante de 60 grados.

116
00:09:34,000 --> 00:09:37,000
La secante de 60 grados la obtendríamos

117
00:09:37,000 --> 00:09:42,000
haciendo el número inverso de 1 medio, que es el coseno,

118
00:09:42,000 --> 00:09:45,000
y eso da 2.

119
00:09:45,000 --> 00:09:50,000
Por último, la cotangente de 60 grados la obtendríamos de

120
00:09:50,000 --> 00:09:57,000
hacer, en este caso, un medio dividido entre la raíz de 3 partido por 2.

121
00:09:57,000 --> 00:10:00,000
Hemos optado por hacerlo de esta manera para

122
00:10:00,000 --> 00:10:03,000
ver que no siempre hay que hacer las cosas exactamente igual,

123
00:10:03,000 --> 00:10:07,000
y la cotangente de 60 resultaría de dividir

124
00:10:07,000 --> 00:10:10,000
un medio entre la raíz de 3 partido por 2,

125
00:10:10,000 --> 00:10:13,000
es decir, hacer coseno dividido entre seno.

126
00:10:13,000 --> 00:10:16,000
Esa es otra forma de conseguir la cotangente.

127
00:10:16,000 --> 00:10:19,000
Un medio dividido entre la raíz de 3 partido por 2,

128
00:10:19,000 --> 00:10:22,000
hemos hecho ya estos cálculos, justamente antes,

129
00:10:22,000 --> 00:10:25,000
y nos da 2 partido 2 raíz de 3,

130
00:10:25,000 --> 00:10:28,000
ya vimos antes cómo se multiplicaba en cruz,

131
00:10:28,000 --> 00:10:30,000
al dividir dos fracciones,

132
00:10:30,000 --> 00:10:34,000
y eso da 1 partido raíz de 3, simplificando,

133
00:10:34,000 --> 00:10:38,000
y si racionalizamos, igual que hemos hecho antes,

134
00:10:38,000 --> 00:10:43,000
nos da raíz de 3 partido por 3 para la cotangente de 60.