1
00:00:02,540 --> 00:00:12,980
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos a este nuevo vídeo de mi canal. En él vamos a estudiar cómo calcular

2
00:00:12,980 --> 00:00:19,199
la distancia entre dos rectas. La distancia entre una recta R y una recta S se puede entender como

3
00:00:19,199 --> 00:00:27,019
la menor de las distancias posibles entre un punto de R y un punto de S. Vamos a ver que esta distancia

4
00:00:27,019 --> 00:00:29,460
dependerá de la posición relativa de las rectas.

5
00:00:29,899 --> 00:00:35,539
Si las rectas son paralelas, en realidad nos basta con calcular la distancia que hay

6
00:00:35,539 --> 00:00:37,960
de un punto de una de ellas a la otra.

7
00:00:38,539 --> 00:00:41,840
Y esto lo hemos visto en el cálculo de la distancia de un punto a una recta

8
00:00:41,840 --> 00:00:44,140
que tenemos un vídeo para ello en este canal.

9
00:00:44,880 --> 00:00:49,840
Si las dos rectas, en cambio, se cortan, pues la distancia va a ser cero.

10
00:00:50,899 --> 00:00:55,500
Así que, en realidad, nos vamos a dedicar solo al caso en el que las dos rectas se cruzan.

11
00:00:56,140 --> 00:00:59,359
¿Quieres saber cómo se calcula esta distancia? Pues adelante.

12
00:01:00,060 --> 00:01:04,340
Bueno, vamos a ver cómo determinar la distancia entre dos rectas en el espacio que se cruzan.

13
00:01:04,879 --> 00:01:09,379
Para ello, consideremos una primera recta dada por un vector director U y un punto posición A,

14
00:01:09,640 --> 00:01:15,560
y una segunda recta S, que vamos a llamar a su vector director V y a su punto posición B.

15
00:01:16,180 --> 00:01:19,920
A partir de estos dos puntos posición, nosotros podemos determinar un tercer vector,

16
00:01:19,920 --> 00:01:23,799
que es el que une los puntos posición al vector AB, que vamos a llamar W.

17
00:01:23,799 --> 00:01:34,079
Los dos vectores, si nos fijamos, los dos vectores directores determinan un paralelogramo, si las dos rectas se cruzan, y los tres vectores u, v y w, un paralelopípedo.

18
00:01:35,159 --> 00:01:37,620
¿Qué relación hay entre este paralelopípedo y la distancia buscada?

19
00:01:38,079 --> 00:01:44,019
Bueno, pues si nos fijamos en la figura, la altura de este paralelopípedo coincide con esta distancia.

20
00:01:44,379 --> 00:01:46,500
Entonces lo que tenemos que buscar es esta altura del paralelopípedo.

21
00:01:47,040 --> 00:01:56,140
Para ello, recordemos que el volumen de un paralelopípedo se puede calcular como la altura de ese paralelopípedo multiplicada por el área de la base.

22
00:01:56,959 --> 00:02:03,200
Entonces, si dividimos despejando, resultará que la altura buscada será el volumen partido por el área de la base.

23
00:02:03,879 --> 00:02:11,740
Y ahora recordemos cómo se puede calcular el volumen del paralelopípedo mediante el producto mixto, es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.

24
00:02:11,740 --> 00:02:23,740
Y, además, el área de la base es el módulo del producto vectorial de los vectores directores, porque es un paralogramo.

25
00:02:25,060 --> 00:02:30,060
Entonces, con esto en cuenta, podemos calcular la distancia mediante esa fórmula,

26
00:02:30,740 --> 00:02:38,340
dividiendo el producto mixto en valor absoluto partido por el producto vectorial en módulo de los vectores directores de las dos rectas.

27
00:02:39,080 --> 00:02:42,300
Vamos a ver cómo utilizar esta fórmula en un ejemplo.

28
00:02:42,539 --> 00:02:43,479
Veis que es muy sencillo.

29
00:02:43,840 --> 00:02:47,460
Supongamos que tenemos esas dos rectas de ahí que están dadas en forma continua

30
00:02:47,460 --> 00:02:52,680
y para ello, bueno, pues lo primero de todo es extraer los datos, la información de cada una de las dos rectas.

31
00:02:53,800 --> 00:02:58,360
El vector director será el 2, 4, 1, los denominadores de esas ecuaciones,

32
00:02:58,840 --> 00:03:01,120
y el punto de posición, en este caso, el 1, menos 3, 0.

33
00:03:01,340 --> 00:03:02,539
Esos son los datos de la recta R.

34
00:03:02,900 --> 00:03:06,620
Y de la recta S, bueno, pues vamos a tener un vector director que será el menos 1, 3, 2

35
00:03:06,620 --> 00:03:08,919
y un punto de posición en el menos 1, 2, menos 4.

36
00:03:09,460 --> 00:03:14,659
Vamos a calcular de momento, primero vamos a empezar calculando el denominador de la fórmula de la distancia.

37
00:03:14,860 --> 00:03:19,120
Para ello, calculemos el producto vectorial de los vectores y directores u por v.

38
00:03:20,060 --> 00:03:24,039
Mediante ese determinante, el producto vectorial quedaría 5 menos 5, 10.

39
00:03:24,719 --> 00:03:31,280
El módulo de este vector nos va a resultar raíz de 150 y ese va a ser el denominador de la distancia de la fórmula.

40
00:03:32,259 --> 00:03:35,439
Ahora vamos a calcular el numerador, es decir, el producto mixto.

41
00:03:35,439 --> 00:03:44,860
Para ello calculamos primero el vector que une los puntos posición, en nuestro caso, restando las coordenadas de B menos las de A, tendríamos menos 2, 5 menos 4.

42
00:03:45,439 --> 00:03:50,840
Y ahora, calculando ese determinante, obtendríamos menos 75, es el producto mixto.

43
00:03:51,280 --> 00:04:01,379
Con lo cual, dada la fórmula, pues tendremos que sustituir simplemente y obtendremos que la distancia entre las dos rectas será valor absoluto de menos 75 partido por raíz de 150.

44
00:04:01,379 --> 00:04:06,879
50, simplificando nos queda 15 partido por raíz de 6, es decir, aproximadamente 6 con 12.

45
00:04:08,780 --> 00:04:13,560
Bueno, y esta fórmula solo se puede utilizar cuando las dos rectas no son paralelas, porque si las dos

46
00:04:13,560 --> 00:04:19,259
rectas son paralelas el producto vectorial es 0 y estaríamos dividiendo por 0. En este caso lo único

47
00:04:19,259 --> 00:04:23,379
que tenemos que hacer es coger un punto de una de las dos rectas y calcular la distancia de ese punto

48
00:04:23,379 --> 00:04:28,980
a la otra recta. Tenéis algún vídeo en el canal sobre el cálculo de la distancia de un punto a

49
00:04:28,980 --> 00:04:36,209
una recta. Así que se tendría que hacer de esa otra forma. Y una vez que tenemos la

50
00:04:36,209 --> 00:04:40,290
fórmula para determinar la distancia entre las dos rectas, puede que nos pidan calcular

51
00:04:40,290 --> 00:04:45,269
estos dos puntos, los puntos cuya distancia es precisamente la de las dos rectas. Para

52
00:04:45,269 --> 00:04:50,389
ello tendremos que calcular la recta perpendicular común a ambas rectas. ¿Quieres saber cómo?

53
00:04:50,889 --> 00:04:59,519
Pues lo vamos a ver en un ejemplo. Bueno, hemos visto que la distancia es 6,12 entre

54
00:04:59,519 --> 00:05:03,819
estas dos rectas, pero ¿cómo calcularíamos los dos puntos de las dos rectas que están

55
00:05:03,819 --> 00:05:09,680
exactamente a esa distancia, 6,12. Es decir, cómo calculamos la recta perpendicular común

56
00:05:09,680 --> 00:05:14,120
a estas dos rectas, a nuestras dos rectas R y S, de manera que calculando la intersección

57
00:05:14,120 --> 00:05:17,920
con cada una de ellas, calcularíamos estos dos puntos. Bueno, vamos a hacerlo con un

58
00:05:17,920 --> 00:05:23,959
ejemplo, con el ejemplo nuestro, el ejemplo de antes. Vamos a coger la recta R, la dibujamos

59
00:05:23,959 --> 00:05:30,420
y la recta S, la dibujamos. Y entonces, nuestro objetivo es buscar una recta T que corte perpendicularmente

60
00:05:30,420 --> 00:05:36,060
a la vez a r y a s. ¿Qué vector director va a tener esta recta? Fácil, va a ser el

61
00:05:36,060 --> 00:05:40,279
producto vectorial de los vectores directores de r y s porque va a ser perpendicular a la

62
00:05:40,279 --> 00:05:46,500
vez, es decir, producto vectorial w. Pero eso es tan sencillo como coger los vectores

63
00:05:46,500 --> 00:05:51,579
directores de las dos rectas, calcular el producto vectorial, nos da 5 menos 5, 10 y

64
00:05:51,579 --> 00:05:56,439
bueno, pues podemos coger este vector o podemos coger uno proporcional al suyo que sea más

65
00:05:56,439 --> 00:06:01,360
sencillas luego las cuentas. El vector 1 menos 1, 2 nos valdría. Bueno, muy bien, tenemos el vector

66
00:06:01,360 --> 00:06:07,860
director W de esta recta T, pero ¿cuál va a ser el punto posición? Bueno, pues tenemos un problema.

67
00:06:08,100 --> 00:06:13,279
No podemos calcular de forma sencilla el punto posición porque no sabemos dónde corta la recta

68
00:06:13,279 --> 00:06:17,660
R y a la recta S. No tenemos ni idea de dónde están estos dos puntos. Entonces, ¿qué hacer? Bueno, pues

69
00:06:17,660 --> 00:06:23,100
podemos dar la recta T de otra forma. ¿Cómo? Pues intersección de dos planos que la contengan.

70
00:06:23,579 --> 00:06:25,720
Entonces vamos a buscar dos planos que contienen a la recta T.

71
00:06:26,360 --> 00:06:31,439
El primero de ellos va a ser el plano que contiene a la recta R y también a la dirección W.

72
00:06:32,139 --> 00:06:34,279
¿Por qué este plano contiene a la recta T?

73
00:06:34,660 --> 00:06:38,860
Bueno, pues porque contiene a un punto, el punto de intersección de R con T, que no sabemos dónde está,

74
00:06:39,379 --> 00:06:41,120
y contiene a su vector director al W.

75
00:06:42,060 --> 00:06:44,259
Entonces vamos a calcular este plano, que es muy sencillo de calcular.

76
00:06:44,259 --> 00:06:49,360
¿Cómo? Pues ese plano que tenéis ahí dibujado se calculará de la siguiente forma la ecuación.

77
00:06:49,360 --> 00:07:03,439
Cogemos el vector director de la recta R, ese vector va a ser un vector director del plano, cogemos el vector W y el punto posición de la recta R nos vale como punto posición del plano, el 1, menos 3, 0.

78
00:07:04,120 --> 00:07:10,439
Desarrollándose el determinante tendremos la ecuación del plano, muy fácil, 3X menos Y menos 2Z menos 6 igual a 0.

79
00:07:10,740 --> 00:07:12,639
Ese sería el primero de los dos planos.

80
00:07:13,040 --> 00:07:14,660
¿Qué vamos a calcular ahora? ¿Cuál va a ser el otro?

81
00:07:14,660 --> 00:07:22,079
Bueno, pues lo simétrico, pero respecto de S. Es decir, vamos a calcular el plano que contiene a S y a la dirección W.

82
00:07:22,660 --> 00:07:28,819
De nuevo, cogemos el vector director de S, menos 1, 3, 2, y el vector W, el 1, menos 1, 2.

83
00:07:28,899 --> 00:07:36,439
Esos van a ser nuestros vectores directores. Y ahora, el punto de posición de S, que sería el menos 1, 2, menos 4.

84
00:07:37,019 --> 00:07:40,819
Y ahora, desarrollando ese determinante, obtendremos la ecuación de nuestro segundo plano, pi sub S.

85
00:07:40,819 --> 00:07:47,300
simplificando queda 4x más 2y menos z menos 4 igual a 0. Ya tenemos las dos ecuaciones y por

86
00:07:47,300 --> 00:07:52,579
tanto nuestra recta t está ya calculada, es la intersección de estos dos planos. Si lo que

87
00:07:52,579 --> 00:07:59,079
queremos es calcular la intersección entre la recta t y las dos rectas r y s porque nos interesa

88
00:07:59,079 --> 00:08:04,579
saber qué puntos están a la mínima distancia entre la recta r y la recta s tendremos que hacer

89
00:08:04,579 --> 00:08:09,620
unas pocas cuentas porque habrá que calcular primero la intersección de la recta r con la

90
00:08:09,620 --> 00:08:13,740
recta T. Calculando, resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones, resulta que ese

91
00:08:13,740 --> 00:08:18,959
punto es 9 quintos menos 7 quintos, 2 quintos. Lo podéis comprobar. Luego habría que calcular

92
00:08:18,959 --> 00:08:23,439
la otra intersección, S con T, que nos da ese otro punto. Y después, por último, para

93
00:08:23,439 --> 00:08:27,420
comprobar que efectivamente esta distancia coincide con la distancia entre las dos rectas,

94
00:08:27,579 --> 00:08:32,080
calcularemos la distancia entre los dos puntos y justo nos da 6 con 12. Bueno, esto solo

95
00:08:32,080 --> 00:08:36,899
hace falta calcularlo si nos lo piden explícitamente normalmente para calcular la distancia entre

96
00:08:36,899 --> 00:08:42,259
las dos rectas con aplicar la fórmula es suficiente. Bueno y esto ha sido todo. Espero

97
00:08:42,259 --> 00:08:48,720
que os haya gustado. Tenéis más contenidos como este en la página web matesatulado.com. Hasta la próxima.