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00:00:16,429 --> 00:00:22,289
¿Qué tal chicos? Hoy os vengo a presentar a continuación un teorema sorprendente que

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00:00:22,289 --> 00:00:29,429
relaciona dos formas de ver las cónicas. Por un lado, podemos pensar una cónica como

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00:00:29,429 --> 00:00:37,049
la curva que genera un plano al cortar un cono. Sabemos que hay distintas maneras en

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00:00:37,049 --> 00:00:43,090
las que un plano puede cortar a un cono. Puede cortar a las dos hojas del cono y entonces

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00:00:43,090 --> 00:00:48,049
Entonces genera una curva de dos hojas llamada hipérbola.

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00:00:49,469 --> 00:01:00,109
Puede cortar a una de las dos hojas del cono, a una de las dos mitades, y puede ser oblicuo a la generatriz, no paralelo a esta.

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00:01:00,829 --> 00:01:05,090
Entonces lo que se genera es una curva cerrada conocida como elipse.

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00:01:05,090 --> 00:01:17,450
Sin embargo, si el plano es paralelo a la generatriz del cono, el cono es cortado en una curva abierta de una sola hoja que se llama parábola.

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00:01:18,489 --> 00:01:21,609
Aquí tenemos nuestro cono. Está representado en gris.

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00:01:22,290 --> 00:01:25,209
Vamos a seccionarlo mediante un plano.

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00:01:26,590 --> 00:01:27,590
Aquí tenéis el plano.

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00:01:28,849 --> 00:01:33,109
En función de la inclinación del plano respecto de la horizontal, es decir, este ángulo beta,

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00:01:33,109 --> 00:01:40,329
vamos a determinar una curva de corte que puede ser o bien una elipse como la que tenéis aquí, ¿veis?

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00:01:40,569 --> 00:01:41,010
Una elipse.

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00:01:46,829 --> 00:01:51,109
Cortando de manera paralela al cono tendríamos una parábola.

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00:01:51,930 --> 00:01:52,849
Aquí tenéis la parábola.

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00:01:55,700 --> 00:02:04,799
O bien, si la inclinación es tal que corta a las dos ramas, obtendríamos una hiperbola.

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00:02:05,079 --> 00:02:06,980
Aquí tenéis las dos ramas de la hiperbola.

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00:02:07,659 --> 00:02:15,139
Por otro lado, tenemos la expresión de las cónicas como lugares geométricos del plano,

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00:02:15,780 --> 00:02:20,080
aquellos puntos en el plano que vienen definidos por una propiedad dada.

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00:02:20,819 --> 00:02:29,219
Por ejemplo, la elipse, el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

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00:02:29,219 --> 00:02:38,439
Pues bien, un matemático francés en el siglo XIX, en 1822, demostró un teorema sorprendente

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00:02:38,439 --> 00:02:42,860
que relaciona de una manera muy sencilla estas dos maneras de ver las conas.

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00:02:43,300 --> 00:02:47,180
Vamos a ver esto a continuación, demostrando este maravilloso teorema.

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00:02:49,439 --> 00:02:53,699
Bien, vamos al caso que nos ocupa, que es el de la elipse.

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00:02:54,020 --> 00:02:54,960
Tenemos nuestra elipse.

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00:02:55,379 --> 00:03:03,169
Vamos a inscribir dos esferas tangentes al cono y al plano simultáneamente.

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00:03:03,990 --> 00:03:08,469
Cada una de las esferas va a estar en lados contrarios del plano.

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00:03:09,150 --> 00:03:14,669
Una de ellas va a quedar por encima y otra de ellas, la segunda, va a quedar por debajo.

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00:03:15,729 --> 00:03:19,370
Cada una de las esferas es tangente al cono en un círculo,

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00:03:20,449 --> 00:03:25,909
vertical al eje y va a ser tangente al plano en un punto.

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00:03:31,449 --> 00:03:33,930
Tomemos ahora un punto de la elipse.

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00:03:34,550 --> 00:03:37,250
Un punto cualquiera de la elipse, aquí lo tenemos.

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00:03:40,360 --> 00:03:45,300
Vamos a calcular la distancia de ese punto a los dos focos de dos maneras distintas.

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00:03:45,780 --> 00:03:49,860
Una de ellas es como aparece en la figura, uniéndolos directamente con los focos.

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00:03:50,000 --> 00:03:52,879
Tenemos el segmento naranja y el segmento rojo.

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00:03:54,319 --> 00:04:00,759
Estos dos segmentos están contenidos en el plano de sección, así que son tangentes a las esferas.

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00:04:00,759 --> 00:04:06,219
de forma que si yo trazo las otras tangentes exteriores a las esferas

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00:04:06,219 --> 00:04:10,780
consigo dos segmentos que son de igual longitud

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00:04:10,780 --> 00:04:14,900
y podéis ver estos segmentos a los que me refiero

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00:04:14,900 --> 00:04:17,439
pintados del color correspondiente

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00:04:17,439 --> 00:04:24,100
los dos segmentos rojos son segmentos tangentes a la esfera pequeña

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00:04:24,100 --> 00:04:27,360
por un punto exterior, por tanto son de igual longitud

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00:04:28,199 --> 00:04:31,959
Para entender esto yo puedo pensar en un helado de cucurucho.

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00:04:32,740 --> 00:04:41,540
La distancia que hay desde el pico del cucurucho hasta la bola del helado es la misma desde cualquier segmento del cucurucho que yo elija.

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00:04:48,819 --> 00:04:52,680
Lo mismo ocurre con la esfera superior y los segmentos naranjas.

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00:04:52,680 --> 00:05:13,490
Por ello podemos deducir que la suma de distancias desde un punto de la elipse cualquiera a los dos focos coincide con la distancia que hay entre los dos círculos de tangencia medida sobre una de las generatrices del cono.

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00:05:14,490 --> 00:05:20,250
Y como los círculos están situados sobre planos paralelos, esta distancia va a ser constante.

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00:05:23,920 --> 00:05:26,839
Todo lo visto hasta ahora se puede resumir de la siguiente manera.

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00:05:27,519 --> 00:05:37,139
Si cortamos un cono con un plano que sea oblicuo tanto a la generatriz como a su eje, se genera una curva cerrada llamada elipse.

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00:05:37,779 --> 00:05:44,300
La suma de las distancias entre cada punto de la elipse y dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

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00:05:44,879 --> 00:05:54,379
Estos dos puntos fijos se encuentran en los puntos de tangencia que determinan las esferas inscritas al cono y al plano de sección.

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00:05:54,379 --> 00:05:59,000
Bueno, chicos, hasta aquí ha llegado la demostración del teorema de Dandelion.

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00:05:59,180 --> 00:06:00,800
Espero que os haya gustado.

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00:06:01,360 --> 00:06:10,879
Esta es la manera más sencilla de demostrar la conexión entre cónica como sección del cono y cónica como lugar genético.

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00:06:11,399 --> 00:06:15,199
Hasta el siglo XIX no se conocía una demostración más sencilla.

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00:06:16,819 --> 00:06:19,680
Bueno, nos vemos en otra ocasión. Espero que os haya gustado el vídeo.

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00:06:20,060 --> 00:06:21,220
Un saludo. Hasta luego.