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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos a este vídeo, a esta serie de vídeos en los que vamos a resolver problemas de álgebra, de matrices y de determinantes.

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00:00:08,740 --> 00:00:13,619
Vamos a resolver tres exámenes de estos dos temas de Matemáticas 2.

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00:00:13,939 --> 00:00:15,539
Vamos con el primero de ellos.

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00:00:16,140 --> 00:00:19,140
En esta ocasión tenemos, fijaos, una cuestión teórica.

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00:00:19,379 --> 00:00:22,519
Nos dicen que una matriz cuadrada 3x3 su determinante es 2

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00:00:22,519 --> 00:00:30,379
y nos piden determinar si son verdaderas o falsas esas afirmaciones que tenéis ahí.

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00:00:30,379 --> 00:00:37,880
Entonces, venga, vamos con ello. Para empezar, si nos están diciendo que el determinante de la matriz es 2, sabemos que es distinto de 0, ¿verdad?

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00:00:38,340 --> 00:00:43,600
Y por lo tanto, aquí nos están hablando de que todos los menores de orden 2 de la matriz son distintos de 0.

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00:00:44,000 --> 00:00:52,020
¿Todos tienen que ser distintos de 0? Pues, a ver, el hecho de que sepamos que el determinante de la matriz 3x3 es no nulo,

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00:00:52,020 --> 00:01:00,460
quiere decir que el rango de la matriz va a ser máximo, va a ser 3, y eso no implica que todos los menores de orden 2 son 0.

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00:01:00,920 --> 00:01:11,739
Implica que al menos uno, al menos un menor 2 por 2 es no nulo.

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00:01:15,040 --> 00:01:17,700
Habrá más de uno seguro, pero no necesariamente todos.

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00:01:17,700 --> 00:01:39,739
Por ejemplo, la matriz siguiente, 1, 2, 3. Vamos a poner una matriz cuyo determinante sea no nulo. Por ejemplo, menos 1, 2, 3 y 0, 0, 1. Es probable que podamos modificar esta matriz para que el determinante sea 2.

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00:01:39,739 --> 00:01:58,319
Pero desde luego es una matriz que tiene rango 3 y hay un menor nulo. Tiene un menor 2 por 2 nulo. Puede tener un menor 2 por 2 nulo y sin embargo tener rango 3.

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00:01:58,519 --> 00:02:08,819
O es igual, puede tener rango 3 porque el determinante es 2 distinto de 0 y sin embargo alguno de los menores puede ser 0. Perfectamente, sin problemas.

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00:02:08,819 --> 00:02:25,639
O sea que la primera de ellas sería falsa. Esto respecto a la primera. Vamos con la segunda. Nos dicen que todos los menores de orden 2 de la matriz son 0. Esto también es falso. ¿Por qué?

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00:02:26,060 --> 00:02:50,650
Porque si todos los menores de orden 2 fuesen 0, entonces ¿qué ocurriría? Pues que el rango de la matriz sería 1. Pero esto es imposible porque me están diciendo que el determinante es 2,

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00:02:50,650 --> 00:03:09,439
que es distinto de 0 y por lo tanto el rango de la matriz es 3, al ser determinante de A distinto de 0.

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00:03:10,139 --> 00:03:15,979
Así que la 2 también es falsa. Vamos con la 3. La matriz 3 por A es invertible. Vamos a ver.

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00:03:17,520 --> 00:03:27,460
¿La matriz 3 por A es invertible? Pues será invertible si su determinante es distinto de 0. Si no, no.

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00:03:27,460 --> 00:03:34,919
Pero ¿cuánto vale el determinante de 3A? Pues el determinante de 3A valdrá 3 elevado a 3 por el determinante de A.

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00:03:35,020 --> 00:03:44,039
Y como el determinante de A vale 2, pues esto será 3 por 3, 9 por 3, 27, 27 por 2 igual a 54, que es distinto de 0.

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00:03:44,360 --> 00:03:50,150
Con lo cual, 3A sí es invertible, sí tiene inversa.

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Bien, vamos con la siguiente. La matriz no puede ser simétrica.

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00:03:58,039 --> 00:04:15,099
Ahora, ¿se os ocurre una matriz de determinante 2 simétrica? ¿Existen? Pues claro que sí. Fijaos, esta matriz 1, 2, 1 es una matriz diagonal y por lo tanto su determinante, ¿cuál va a ser?

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El determinante de la matriz esta va a ser 1 por 2 por 1, 2. Es un determinante como las del enunciado y sin embargo esta matriz es simétrica. Luego sí que puede ser simétrica.

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Hemos encontrado una matriz simétrica y el determinante 2 sí que es posible. Luego, el apartado 4 sería falso. Y hasta aquí el ejercicio número 1. Enseguida nos ponemos con los siguientes ejercicios. ¡Hasta ahora!