1
00:00:01,389 --> 00:00:05,690
Bien, hoy vamos a calcular límites de funciones en el infinito.

2
00:00:06,750 --> 00:00:10,109
Vamos a comenzar viendo los límites de funciones racionales.

3
00:00:10,550 --> 00:00:13,429
El límite cuando x tiende a infinito de una función racional

4
00:00:13,429 --> 00:00:20,010
va a depender de los términos de mayor grado del numerador y del denominador.

5
00:00:20,550 --> 00:00:24,750
Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador,

6
00:00:24,929 --> 00:00:27,089
el límite es más menos infinito.

7
00:00:27,089 --> 00:00:34,710
Va a ser más o menos dependiendo del signo que tomen los términos de mayor grado del numerador y del denominador

8
00:00:34,710 --> 00:00:37,289
cuando x tiende a infinito o a menos infinito.

9
00:00:37,890 --> 00:00:46,549
Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado.

10
00:00:46,929 --> 00:00:52,829
Y si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite es cero.

11
00:00:53,530 --> 00:00:55,149
Bien, nos fijamos aquí.

12
00:00:55,149 --> 00:01:05,790
Bien, el límite cuando x tiende a infinito de este cociente de polinomios, pues como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, este límite es 0.

13
00:01:06,950 --> 00:01:14,329
El segundo límite, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite va a ser o más o menos infinito.

14
00:01:15,049 --> 00:01:25,989
Bien, nos fijamos, cuando x tiende a infinito, infinito al cubo por menos, negativo, y 2 por infinito, positivo, más entre menos, menos, pues va a ser menos infinito.

15
00:01:26,489 --> 00:01:36,310
Y este otro tiene el mismo grado, por lo tanto el límite va a ser igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado, va a ser igual a 5 tercios.

16
00:01:36,930 --> 00:01:41,269
Bien, vamos a ver ahora, en este caso, los límites cuando x tiende a menos infinito.

17
00:01:41,750 --> 00:01:46,510
Cuando x tiende a menos infinito, el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

18
00:01:46,909 --> 00:01:48,750
Por lo tanto, el límite es cero.

19
00:01:49,650 --> 00:01:56,049
En este segundo caso, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

20
00:01:57,370 --> 00:02:02,750
Por lo tanto, el límite va a ser más menos infinito.

21
00:02:03,430 --> 00:02:06,810
Menos infinito al cubo es negativo, por menos, más.

22
00:02:07,489 --> 00:02:09,969
Y 2 por menos infinito, negativo.

23
00:02:10,590 --> 00:02:14,370
Al final esto va a ser menos infinito.

24
00:02:15,150 --> 00:02:19,909
Y por último, el tercer límite, nos fijamos en los términos de mayor grado.

25
00:02:20,669 --> 00:02:21,969
Los dos tienen grado 3.

26
00:02:22,610 --> 00:02:27,090
Por lo tanto, el límite va a ser igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado.

27
00:02:27,669 --> 00:02:28,750
5 tercios.

28
00:02:31,580 --> 00:02:37,300
Bien, vamos a ver ahora cómo se resuelven las indeterminaciones infinito partido por infinito.

29
00:02:38,099 --> 00:02:49,780
Aquí tenemos un cociente de dos funciones, el límite del numerador tiende a infinito, el límite del denominador también tiende a infinito, indeterminación.

30
00:02:50,419 --> 00:02:57,259
Bien, ¿cómo se resuelven estas indeterminaciones? Pues dividiendo numerador y denominador por la potencia de mayor grado.

31
00:02:57,259 --> 00:03:10,659
Y nos quedaría el límite cuando x tiende a infinito de... ¿Cuál es la potencia de mayor grado? Aquí tengo una x, aquí tengo la x al cuadrado, pero está dentro de la raíz, por lo tanto es como si fuese una x.

32
00:03:10,659 --> 00:03:44,169
El término de mayor grado es x elevado a 1. Entonces dividimos numerador y denominador por x. Y nos queda el límite cuando x tiende a infinito de la raíz de x cuadrado partido por x cuadrado más 7 partido por x al cuadrado dividido por 2x partido por x.

33
00:03:45,090 --> 00:03:58,909
Bien, esto tiende a 1, esto tiende a 0, este tiende a 2, por lo tanto, este límite va a ser la raíz de 1, que es 1, partido por 2, 1 medio.

34
00:03:59,909 --> 00:04:03,550
Bien, ¿y cómo sería el límite cuando x tiende a menos infinito?

35
00:04:03,550 --> 00:04:22,610
Bueno, pues el límite cuando x tiende a menos infinito de la raíz de x cuadrado más 7 partido por 2x puede ser igual a infinito partido por menos infinito.

36
00:04:22,610 --> 00:04:48,029
Más entre menos, menos, por lo tanto nos tiene que quedar negativo. Esto será igual al límite cuando x tiende a menos infinito, dividimos numerador y denominador por las potencias de mayor grado, ya lo hacemos directamente, nos quedaría x cuadrado partido por x cuadrado, más 7 partido por x cuadrado, dividido por 2x partido por x.

37
00:04:48,670 --> 00:04:56,410
Esto tiende a 1, esto tiende a 0, esto tiende a 2, pues el límite tiene que ser menos 1 medio.

38
00:04:57,069 --> 00:05:01,689
¿En menos por qué? Porque esto es un cociente de infinito entre menos, infinito más entre menos.

39
00:05:02,230 --> 00:05:04,329
Por lo tanto, esto nos tenía que salir negativo.

40
00:05:05,209 --> 00:05:12,319
Bien, otra forma de hacerlo es convirtiendo este límite cuando x tiende a menos infinito

41
00:05:12,319 --> 00:05:16,819
en un límite cuando x tiende a infinito, de la siguiente forma.

42
00:05:16,819 --> 00:05:29,720
El límite cuando x tiende a menos infinito de una función f de x, pues es igual al límite cuando x tiende a infinito de f de menos x, ¿vale?

43
00:05:29,720 --> 00:05:53,680
Por tanto, procederíamos de la siguiente forma. El límite cuando x tiende a menos infinito de la raíz de x al cuadrado más 7 dividido entre x, pues será igual al límite cuando x tiende a infinito de, sustituimos x por menos x,

44
00:05:53,680 --> 00:06:05,600
Es la raíz de menos x al cuadrado más 7 partido por 2 por menos x.

45
00:06:06,740 --> 00:06:12,620
Vale, y esto que nos queda, esto nos queda menos x al cuadrado, me queda x al cuadrado.

46
00:06:12,620 --> 00:06:18,920
Y abajo, pues lo que me queda es un menos 2x.

47
00:06:18,920 --> 00:06:23,699
dividiendo numerador y denominador por la potencia de mayor grado

48
00:06:23,699 --> 00:06:31,259
que da el límite cuando x tiende a infinito

49
00:06:31,259 --> 00:06:37,040
de la raíz de x cuadrado partido por x cuadrado más 7

50
00:06:37,040 --> 00:06:40,259
entre x al cuadrado

51
00:06:40,259 --> 00:06:44,759
y dividido entre menos 2x partido por x

52
00:06:44,759 --> 00:06:48,879
y lo que hacemos es dividir numerador y denominador por la potencia de mayor grado que es x

53
00:06:48,879 --> 00:06:52,639
y al meterla dentro de la raíz pues dividimos por x al cuadrado

54
00:06:52,639 --> 00:07:05,779
Esto tiende a 1, esto tiende a 0, esto tiende a menos 2, pues el límite es raíz de 1, que es 1, partido por menos 2, que es igual a menos 1 medio.

55
00:07:08,540 --> 00:07:15,060
Bien, vamos a ver ahora cómo se resuelven las indeterminaciones infinito menos infinito.

56
00:07:15,060 --> 00:07:24,040
Siempre que tenemos una indeterminación infinito menos infinito, lo que hacemos, si aparecen diferencias de raíces, es multiplicar numerador y denominador por el conjugado.

57
00:07:24,660 --> 00:07:29,300
Si no aparecen diferencias de raíces, pues nada, operamos para intentar deshacer la indeterminación.

58
00:07:30,480 --> 00:07:32,740
Bien, en este caso, ¿qué nos queda?

59
00:07:32,740 --> 00:07:42,339
Pues el límite cuando x tiende a infinito es infinito menos infinito partido por infinito, indeterminación.

60
00:07:42,720 --> 00:07:47,899
Como tenemos infinito menos infinito, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado.

61
00:07:47,899 --> 00:08:06,100
Y nos queda el límite cuando x tiende a infinito de la raíz de x más 3 menos la raíz de x por la raíz de x más 3 más raíz de x.

62
00:08:06,100 --> 00:08:17,540
Y dividido todo por x por raíz de x más 3 más raíz de x.

63
00:08:17,540 --> 00:08:45,480
Bien, arriba que nos queda una suma por diferencia, suma por diferencia, diferencia de cuadrados, vale, nos queda el límite cuando x tiende a infinito del cuadrado del primero raíz de x más 3 al cuadrado menos el cuadrado del segundo raíz de x al cuadrado partido por x por raíz de x más 3

64
00:08:47,539 --> 00:09:11,679
más raíz de x, y esto es igual a límite cuando x tiende a infinito de x más 3, menos x partido por x por raíz de x más 3, más raíz de x.

65
00:09:12,820 --> 00:09:16,500
Esta x con esta x se van, y bueno, pues calculamos el límite.

66
00:09:17,100 --> 00:09:22,860
El límite cuando x tiende a infinito de 3, pues es 3, y abajo será infinito por infinito más infinito.

67
00:09:22,860 --> 00:09:33,059
infinito por infinito más infinito, nos queda 3 partido por infinito, y 3 partido por infinito, pues es 0.

68
00:09:33,899 --> 00:09:40,659
El límite cuando x tiende a menos infinito, pues no tiene sentido, porque la raíz de un número negativo no existe,

69
00:09:40,659 --> 00:09:43,919
por lo tanto, no tiene sentido que lo calculemos.

70
00:09:44,720 --> 00:09:51,340
Y por último, vamos a ver las indeterminaciones infinito menos infinito, cuando no aparecen diferencias de raíces.

71
00:09:51,340 --> 00:10:02,440
En estos casos lo que hacemos es operar y resolver la indeterminación, ¿vale? Bien, pues vamos a hacer este límite.

72
00:10:03,440 --> 00:10:12,019
Si hacemos el límite del primer término, como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador y el cociente de los términos de mayor grado es positivo,

73
00:10:12,019 --> 00:10:17,440
porque es más entre más, pues eso va a ser infinito menos infinito.

74
00:10:17,559 --> 00:10:20,120
Aquí ocurre lo mismo con los términos de mayor grado.

75
00:10:20,980 --> 00:10:23,639
Vuelven a ser los dos positivos cuando x tiende a infinito.

76
00:10:24,440 --> 00:10:28,320
Por tanto, es más infinito, pero como tenemos un menos, menos infinito.

77
00:10:29,299 --> 00:10:29,779
Indeterminación.

78
00:10:30,799 --> 00:10:32,759
¿Cómo la resolvemos? Pues operando.

79
00:10:33,279 --> 00:10:36,419
Es el límite cuando x tiende a infinito.

80
00:10:36,419 --> 00:10:52,299
como límite cuando x tiende a infinito de, bien, reducimos a común denominador, x cubo más 2x, menos, a ver, entre paréntesis, x por x al cuadrado,

81
00:10:52,299 --> 00:11:12,740
x cubo más x más x cuadrado más 1, entre x más 1 por x, x cuadrado más x, damos paréntesis, nos queda el límite, cuando x tiende a infinito,

82
00:11:12,740 --> 00:11:33,820
de x al cubo más 2x menos x cubo menos x menos x menos x cuadrado menos 1 partido por x cuadrado más x.

83
00:11:33,820 --> 00:11:50,879
Y nos queda pues el límite cuando x tiende a infinito de x cubo y x cubo lo podemos simplificar de menos x cuadrado más x menos 1 entre x cuadrado más x.

84
00:11:50,879 --> 00:11:59,279
Hay que ver el límite de un coeficiente de polinomios que tiene el mismo grado. Por lo tanto, el límite va a ser igual al coeficiente de los coeficientes de los términos de mayor grado.

85
00:11:59,759 --> 00:12:05,840
Menos 1 entre 1, menos 1. Menos 1 entre 1, igual a menos 1.

86
00:12:07,460 --> 00:12:11,039
Vale, ¿cómo sería el límite cuando x tiende a menos infinito?

87
00:12:11,039 --> 00:12:29,759
Bueno, pues el límite, cuando x tiende a menos infinito de esta misma función, pues sería menos, pues ¿a qué sería igual?

88
00:12:30,419 --> 00:12:40,480
Bien, el límite del primer término, como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite sería más menos infinito.

89
00:12:41,279 --> 00:12:44,919
Menos infinito al cuadrado es positivo, menos infinito es negativo, más entre menos, menos.

90
00:12:44,919 --> 00:13:01,759
Sería menos infinito, menos el límite de la otra función, pues también como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, pues el límite sería menos infinito, menos menos infinito.

91
00:13:01,759 --> 00:13:16,879
Al final nos queda menos infinito más infinito. Indeterminación. Y se resuelve exactamente igual que antes, reduciendo como un denominador y simplificando.

92
00:13:16,879 --> 00:13:40,159
Nos va a quedar exactamente lo mismo, lo hacemos ya directamente, nos va a quedar el límite cuando x tiende a menos infinito de x cubo más 2x menos x cubo menos x menos x cuadrado menos 1 entre x cuadrado más x.

93
00:13:40,159 --> 00:14:00,259
Simplificamos y nos queda el límite cuando x tiende a menos infinito de menos x cuadrado más x menos 1 entre x cuadrado más x.

94
00:14:00,259 --> 00:14:06,220
Como es el límite de una función racional que ambos términos, numerador y denominador, tienen el mismo grado

95
00:14:06,220 --> 00:14:11,559
Pues el límite es igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado

96
00:14:11,559 --> 00:14:15,620
Menos 1 entre 1 es igual a menos 1

97
00:14:15,620 --> 00:14:26,200
Bueno, pues aquí tenemos un poco distintos ejemplos de límites cuando x tiene infinito y a menos infinito