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00:00:12,400 --> 00:00:17,699
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,699 --> 00:00:22,320
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,320 --> 00:00:34,619
de la unidad AN3 dedicada a las derivadas. En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio

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00:00:34,619 --> 00:00:50,670
propuesto 1. En este ejercicio se nos pide calcular la tasa de variación media en el

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00:00:50,670 --> 00:00:56,310
intervalo 2, 6 y las tasas de variación instantánea en las abstizas x igual a 2 y x igual a 6

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00:00:56,310 --> 00:01:01,390
de varias funciones. Vamos a comenzar con la función f de x igual a 1, es una función

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00:01:01,390 --> 00:01:06,030
constante. La tasa de variación media se va a calcular como el cociente incremental

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00:01:06,030 --> 00:01:11,790
con su definición. f de 6 menos f de 2, siempre la diferencia de las imágenes en el extremo

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00:01:11,790 --> 00:01:16,650
final menos en el extremo inicial del intervalo, dividido entre 6 menos 2, la diferencia de

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00:01:16,650 --> 00:01:22,370
los orígenes, siempre extremo final menos extremo inicial. f de 6 y f de 2 son idénticamente

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00:01:22,370 --> 00:01:28,109
igual a 1, así que tenemos 1 menos 1 dividido entre 6 menos 2. 1 menos 1 es idénticamente igual a 0,

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00:01:28,269 --> 00:01:33,170
así que 0 entre 4 igual a 0. Esta tasa de variación media es igual a 0. Desde el punto de vista

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00:01:33,170 --> 00:01:39,810
geométrico, la pendiente de la recta que pasa por los puntos con abstisa x igual a 2 y x igual a 6

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00:01:39,810 --> 00:01:46,650
de la función, son los puntos 0, 1, perdón, 2, 1 y 6, 1, es la pendiente de esta recta es 0. Es una recta

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00:01:46,650 --> 00:01:51,709
constante. En cuanto a la tasa de variación instantánea, en la abstisa x igual a 2, lo que

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00:01:51,709 --> 00:01:55,790
vamos a hacer es el límite, cuando h tiende a cero, h va a ser la amplitud de un cierto

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00:01:55,790 --> 00:02:01,049
intervalo, de el intervalo que se genera, como extremo inicial vamos a poner la abstisa

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00:02:01,049 --> 00:02:07,510
x igual a 2 y como extremo final 2 más esta amplitud que sería h. Así pues, límite

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00:02:07,510 --> 00:02:12,590
cuando h tiende a cero de la tasa de variación media de ese intervalo ficticio, ese intervalo

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00:02:12,590 --> 00:02:17,969
auxiliar que nosotros vamos a construir, sería límite de cociente incremental f de 2 más

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00:02:17,969 --> 00:02:23,590
h, el extremo superior, el extremo final del intervalo, menos f de 2, dividido entre

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00:02:23,590 --> 00:02:27,729
h, entre la amplitud del intervalo, puesto que restaríamos 2 más h menos 2, nos quedaría

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00:02:27,729 --> 00:02:34,770
esta h. f de 2 más h y f de 2, ambas, son idénticamente igual a 1, así que tendríamos

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00:02:34,770 --> 00:02:40,909
límite cuando h tendrá 0 de 1 menos 1 partido por h. 1 menos 1 es idénticamente nulo, 0

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00:02:40,909 --> 00:02:45,150
entre cualquier cantidad va a ser idénticamente igual a 0, y lo que tenemos es el límite

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00:02:45,150 --> 00:02:51,050
de 0 que es igual a 0. Así pues, la recta tangente de la gráfica de la función en la abscisa x igual

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00:02:51,050 --> 00:02:56,590
a 2 va a tener pendiente 0, va a ser una recta horizontal. El mismo argumento podríamos emplear

28
00:02:56,590 --> 00:03:01,669
para deducir que la tasa de variación instantánea en la abscisa x igual a 6 va a ser también igual

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00:03:01,669 --> 00:03:07,830
a 0, al igual que cualquier tasa de variación instantánea. En el caso de la siguiente función

30
00:03:07,830 --> 00:03:12,969
f de x igual a x lo que tenemos es una recta, se trata de la bisectriz del primer y tercer

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00:03:12,969 --> 00:03:17,969
cuadrantes. La tasa de variación media se calcula con el cociente incremental que hemos mencionado

32
00:03:17,969 --> 00:03:23,270
anteriormente en el apartado anterior, f de 6 menos f de 2 dividido entre 6 menos 2. En este

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00:03:23,270 --> 00:03:29,949
caso las imágenes serían 6 y 2 puesto que f de x es igual a x. Lo que tenemos es 4 entre 4 que es

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00:03:29,949 --> 00:03:35,810
igual a 1. Así pues, en este caso lo que tenemos es que la pendiente de la recta que pasa por los

35
00:03:35,810 --> 00:03:44,349
puntos 2, 2 y 6, 6, esos dos puntos de la función f de x igual a x es igual a 1. Vamos a calcular

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00:03:44,349 --> 00:03:49,289
a continuación la tasa de variación instantánea en la abscisa x igual a 2 con el límite cuando h

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00:03:49,289 --> 00:03:55,629
tiende a 0 del cociente incremental que habíamos discutido en el apartado anterior. El límite de f

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00:03:55,629 --> 00:04:04,110
de 2 más h menos f de 2 dividido entre h. f de 2 más h es 2 más h, f de 2 es igual a 2 y en este

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00:04:04,110 --> 00:04:09,090
caso en el numerador lo que tenemos es h. Como tenemos el límite cuando h tendrá 0 de h entre

40
00:04:09,090 --> 00:04:13,090
h que es idénticamente igual a 1, lo que tenemos es que en este caso esta tasa de variación

41
00:04:13,090 --> 00:04:18,810
instantánea es igual a 1. Así pues la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función

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00:04:18,810 --> 00:04:23,870
en el punto con la abstisa x igual a 2 tiene pendiente igual a 1. Lo mismo, la misma discusión

43
00:04:23,870 --> 00:04:29,410
para el caso de la tasa de variación instantánea en la abstisa x igual a 6 y de hecho para cualquier

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00:04:29,410 --> 00:04:36,639
punto de la función. En el apartado C lo que tenemos es la función f de x igual a x al cuadrado.

45
00:04:37,180 --> 00:04:40,980
Calculamos la tasa de variación media con el cociente incremental que hemos discutido

46
00:04:40,980 --> 00:04:46,519
anteriormente. Las imágenes van a ser 6 al cuadrado y 2 al cuadrado respectivamente. En

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00:04:46,519 --> 00:04:53,000
este caso tenemos 32 entre 4 que es igual a 8. La pendiente de la recta que une los puntos 2,

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00:04:53,300 --> 00:05:00,379
4 y 6, 36 dentro de la gráfica de la función f de x igual a x al cuadrado va a tener como

49
00:05:00,379 --> 00:05:06,060
pendiente 8. Para la tasa de variación instantánea en x igual a 2 vamos a hacer

50
00:05:06,060 --> 00:05:12,420
límite cuando h tendrá 0 de f de 2 más h menos f de 2, la diferencia entre las

51
00:05:12,420 --> 00:05:17,680
abstizas de ese intervalo ficticio auxiliar, dividido entre h. Lo que tenemos

52
00:05:17,680 --> 00:05:23,860
es 2 más h elevado al cuadrado menos 2 al cuadrado. Operando en el numerador nos

53
00:05:23,860 --> 00:05:28,740
va a quedar 4h más h al cuadrado que al dividir entre h nos va a quedar el

54
00:05:28,740 --> 00:05:34,060
límite cuando h tiende a 0 de 4 más h, en este caso el límite es 4. Eso quiere decir que la recta

55
00:05:34,060 --> 00:05:38,879
tangente a la gráfica de la función igual a x al cuadrado en la abscisa x igual a 2 tiene pendiente

56
00:05:38,879 --> 00:05:45,199
4. Operando de igual manera, para determinar la tasa de variación instantánea en la abscisa x

57
00:05:45,199 --> 00:05:52,240
igual a 6, en este caso sería f de 6 más h menos f de 6 en el numerador, que sería 6 más h al cuadrado

58
00:05:52,240 --> 00:05:58,620
menos 6 al cuadrado, lo que tenemos es, en última instancia, el límite cuando h tiende a 0 de 12 más h.

59
00:05:58,740 --> 00:06:02,120
Entonces h desaparece al hacer el límite y nos va a quedar 12.

60
00:06:03,420 --> 00:06:06,980
Fijaos en algo que en este momento ya resulta interesante.

61
00:06:07,699 --> 00:06:13,920
En el caso en el que en el apartado a teníamos una función constante, la tasa de variación media era igual a 0.

62
00:06:14,100 --> 00:06:18,779
De hecho, todas las tasas de variación media, todas, independientemente de cuál sea el intervalo, iban a ser 0.

63
00:06:19,420 --> 00:06:26,740
Las tasas de variación instantánea también son 0, todas, independientemente de la abscisa, donde determinemos la tasa de variación instantánea.

64
00:06:27,740 --> 00:06:36,040
Cuando la función es una recta, todas las tasas de variación media, con independencia de cuál sea el intervalo, van a tomar el valor de la pendiente de esta recta.

65
00:06:36,040 --> 00:06:40,139
Aquí la pendiente es 1 y vemos que tenemos el valor 1.

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00:06:40,920 --> 00:06:48,439
De igual manera, todas las tasas de variación instantánea, con independencia de la abstisa, van a tomar el valor de esa pendiente, 1, como hemos podido comprobar aquí.

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00:06:49,199 --> 00:06:58,300
En cualquier otro caso, siempre que no se trate de una función que sea una recta, en este caso horizontal la pendiente es 0, en este caso oblicua y la pendiente era igual a 1,

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00:06:58,939 --> 00:07:07,579
va a ser habitual que las tasas de variación media y las tasas de variación instantánea sí dependan de cuál sea el intervalo o de cuál sea la abstisa en la cual estemos determinándolo.

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00:07:08,819 --> 00:07:13,620
Por último, para cerrar este ejercicio, tenemos la función f de x igual a x al cubo.

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00:07:14,240 --> 00:07:20,339
En cuanto a la tasa de variación instantánea, el cociente incremental nos pide calcular f de 6 menos f de 2 en el numerador.

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00:07:21,040 --> 00:07:24,259
Sería 6 al cubo menos 2 al cubo igual a 208.

72
00:07:24,680 --> 00:07:29,360
Al dividir entre 4 en el dominador, lo que obtenemos como tasa de variación media es el valor 52.

73
00:07:30,819 --> 00:07:34,399
Si calculamos la tasa de variación instantánea en la abscisa x igual a 2,

74
00:07:34,939 --> 00:07:41,819
tenemos que hacer límite cuando h tiende a 0 de el cociente incremental con el numerador f de 2 más h menos f de 2 dividido por h.

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00:07:42,439 --> 00:07:47,860
En este caso tendríamos que calcular en el numerador 2 más h al cubo menos 2 al cubo.

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00:07:48,360 --> 00:07:57,379
Desarrollando el cubo de este binomio, lo que tenemos es 12h más 6h al cuadrado más h al cubo, una vez que hemos restado 8, dividido entre h.

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00:07:58,199 --> 00:08:03,040
Así pues, tenemos que hacer límite cuando h tiende a 0 de 12 más 6h más h al cuadrado,

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00:08:03,639 --> 00:08:07,959
eliminando los términos, puesto que h tiende a 0, que contienen a la h, nos queda 12.

79
00:08:08,879 --> 00:08:20,160
Operando análogamente para la tasa de variación instantánea en x igual a 6, lo que tenemos es f de 6 más h menos f de 6 en el numerador del cociente incremental, sería 6 más h al cubo menos 6 al cubo.

80
00:08:21,100 --> 00:08:29,980
Desarrollando este binomio al cubo y restando 6 al cubo obtenemos 108h más 18h al cuadrado más h al cubo.

81
00:08:30,459 --> 00:08:38,500
Dividiendo entre h la que tenemos en el denominador tenemos límite cuando h tiende a 0 de 108 más 18h más h al cuadrado.

82
00:08:39,139 --> 00:08:44,159
Eliminando las h, puesto que hacemos el límite cuando h tiende a 0, vemos que obtenemos el valor 108.

83
00:08:44,159 --> 00:09:07,679
Algo también reseñable es que en estos casos donde las tasas de variación instantánea y las tasas de variación media van a variar, podemos comprobar cómo de alguna manera la tasa de variación media en un cierto intervalo va a tomar un valor medio, promedio, entre la tasa de variación instantánea en el extremo inicial y la tasa de variación instantánea en el extremo final.

84
00:09:07,679 --> 00:09:18,279
Fijaos que aquí en el intervalo 2, 6 la tasa de variación media es 8, la tasa de variación instantánea en 2 es 4 y en 6 es 12 y este 8 es un valor intermedio entre este 4 y este 12.

85
00:09:19,259 --> 00:09:34,659
Igualmente en este otro caso, la tasa de variación media en el intervalo 2, 6 era 52, la tasa de variación instantánea en el extremo inicial era 12, en el extremo final es 108 y este 52 toma un valor intermedio entre este 12 y este 108.

86
00:09:34,659 --> 00:09:43,250
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

87
00:09:43,990 --> 00:09:48,090
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

88
00:09:48,909 --> 00:09:53,669
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

89
00:09:54,210 --> 00:09:55,610
Un saludo y hasta pronto.