1
00:00:01,010 --> 00:00:07,009
Bien, vamos a explicar el ejercicio 1 del tema 4 de trigonometría.

2
00:00:09,339 --> 00:00:16,359
En el apartado A nos piden pasar a radianes los siguientes ángulos, los ángulos 210 y 70.

3
00:00:17,920 --> 00:00:25,739
Vamos a dar un repaso teórico antes en los apuntes de trigonometría complementarios que tenéis dentro del tema.

4
00:00:25,739 --> 00:00:33,320
Podéis observarlo, o abrirlo y voy a explicar a partir de esos apuntes

5
00:00:33,320 --> 00:00:36,659
Bien, en estos apuntes la primera parte es

6
00:00:36,659 --> 00:00:45,320
Pues en el recordatorio de trigonometría podéis observar

7
00:00:45,320 --> 00:00:50,700
Bueno, pues los ángulos se pueden medir con dos tipos de unidades

8
00:00:50,700 --> 00:00:52,740
Grados y radianes

9
00:00:52,740 --> 00:01:13,480
Efectivamente, un ángulo en general lo hemos estado midiendo nosotros con ángulos, con grados, 90 grados, el ángulo 45 sería este, la mitad, 45 grados.

10
00:01:13,480 --> 00:01:23,980
Pues bien, hay otras unidades que podemos utilizar para medir ángulos, que son los radianes.

11
00:01:24,159 --> 00:01:26,939
Vamos a ver exactamente qué es un radian.

12
00:01:26,939 --> 00:01:44,219
En primer lugar, sin dar la definición que veremos luego, pero en primer lugar, observemos que hay una transformación de unas unidades a otras.

13
00:01:44,859 --> 00:01:45,879
Hay una equivalencia.

14
00:01:46,659 --> 00:01:51,700
En principio, esto es empezar la casa por el tejado, pero bueno, os lo muestro ya.

15
00:01:51,700 --> 00:01:57,739
Pues el ángulo 90 grados corresponde al ángulo pi medios radianes.

16
00:01:58,420 --> 00:01:59,819
Luego veremos por qué.

17
00:02:01,500 --> 00:02:12,340
Pero con esta transformación ya puedo realmente pasar de grados a radianes y de radianes a grados.

18
00:02:12,340 --> 00:02:26,180
Supongamos que quiero pasar, por ejemplo, saber cuántos radianes serían 45 grados

19
00:02:26,180 --> 00:02:30,180
Pues entonces puedo hacer una regla de 3 para aplicar la transformación

20
00:02:30,180 --> 00:02:35,020
90 grados, que corresponde a pi medios radianes

21
00:02:35,020 --> 00:02:39,639
Pues 45 grados, pues x, que en realidad es la mitad

22
00:02:39,639 --> 00:02:44,400
pero podríamos hacer 45 por pi medios entre 90

23
00:02:44,400 --> 00:02:47,180
que es la mitad de pi medios que es pi cuartos

24
00:02:47,180 --> 00:02:53,800
¿de acuerdo? es decir que ya solamente con este dato

25
00:02:53,800 --> 00:02:59,319
de la equivalencia que hay entre los 90 grados y los radianes que son pi medios

26
00:02:59,319 --> 00:03:04,780
pues ya puedo hacer cualquier conversión

27
00:03:04,780 --> 00:03:08,080
de la misma manera pues podemos observar fácilmente que

28
00:03:08,080 --> 00:03:13,039
180 grados son pi radianes

29
00:03:13,039 --> 00:03:19,900
Porque si ya sabemos que 90 grados son pi medios, pues 180 que es el doble, pues serán pi radianes.

30
00:03:20,139 --> 00:03:31,000
Pero bien, como digo, esto es empezar la casa por el tejado porque en realidad lo que nos interesa es deducir esto mismo a partir de la definición de radian.

31
00:03:31,740 --> 00:03:34,000
Que es la cuestión interesante aquí.

32
00:03:34,680 --> 00:03:35,460
¿Qué es un radian?

33
00:03:38,500 --> 00:03:40,300
Pues esto, ¿qué es un radian?

34
00:03:41,960 --> 00:03:44,479
Mirad, aquí tenemos la definición de radian.

35
00:03:44,479 --> 00:03:54,180
Un radian es el ángulo que intercepta en la circunferencia un arco de igual longitud que el radio

36
00:03:54,180 --> 00:04:01,979
Esta definición es interesante, vamos a darle alguna vuelta

37
00:04:01,979 --> 00:04:07,699
Así que decimos que un radian es, tenemos aquí el esquema

38
00:04:07,699 --> 00:04:12,719
Si genero una circunferencia de radio R como esta

39
00:04:12,719 --> 00:04:18,720
pues el radian es este ángulo, este arco

40
00:04:18,720 --> 00:04:26,160
que hace que la longitud de la circunferencia mida R

41
00:04:26,160 --> 00:04:37,120
Imaginemos que, por ejemplo, dibujo la circunferencia de radio 2

42
00:04:37,120 --> 00:04:41,500
pues un radian va a ser, tendremos que medir en el arco

43
00:04:41,500 --> 00:04:45,759
decía que, imaginemos que tengo

44
00:04:45,759 --> 00:04:49,180
dibujo la circunferencia de radio 2

45
00:04:49,180 --> 00:04:51,720
pues un radian

46
00:04:51,720 --> 00:04:54,220
para construir el radian habría que

47
00:04:54,220 --> 00:04:56,620
medir la longitud

48
00:04:56,620 --> 00:04:59,660
sobre la longitud de la circunferencia

49
00:04:59,660 --> 00:05:05,639
la unidad de 2 centímetros o metros

50
00:05:05,639 --> 00:05:07,779
lo que sea, en función de lo que esté

51
00:05:07,779 --> 00:05:09,839
expresado el radio

52
00:05:09,839 --> 00:05:13,019
pues bien, este arco

53
00:05:13,019 --> 00:05:15,360
Sería un radian

54
00:05:15,360 --> 00:05:20,600
Dos radianes, pues sería el arco que hace

55
00:05:20,600 --> 00:05:25,899
O sea, el ángulo bajo el cual el arco

56
00:05:25,899 --> 00:05:29,879
Son el doble del radio

57
00:05:29,879 --> 00:05:31,920
O sea, en este 4, 4 centímetros

58
00:05:31,920 --> 00:05:32,639
En este caso

59
00:05:32,639 --> 00:05:34,680
Estos serían dos radianes

60
00:05:34,680 --> 00:05:41,649
¿Qué pasa si dibujo una circunferencia de radio 3?

61
00:05:41,649 --> 00:05:42,649
Por ejemplo

62
00:05:42,649 --> 00:06:26,319
Pues si dibujo una circunferencia de radio 3, el radian, si este radio mide 3, pues el radian sería a partir de aquí, a partir de aquí medir 3 unidades y el ángulo, este sería un radian.

63
00:06:26,319 --> 00:06:45,040
Y la pregunta es, parece que la definición de radian está sujeta a la circunferencia que utilices y esto nos llevaría a pensar que es una definición inconsistente.

64
00:06:45,040 --> 00:06:57,920
En el sentido de que si depende de la circunferencia utilizada, pues evidentemente un radian en una circunferencia de radio 3 o en una circunferencia de radio 2 sería diferente.

65
00:06:58,079 --> 00:07:08,160
Pero la respuesta es que no, que es una definición consistente porque es independiente de la circunferencia que utilice.

66
00:07:08,160 --> 00:07:23,850
Si yo utilizara una circunferencia de radio 2, sabemos que, si esto mide 2, pues que en la apertura de un radian este va a ser 2 unidades.

67
00:07:24,370 --> 00:07:39,129
Y si utilizara una circunferencia de radio 4, que sería esta, pues el arco barrido por el radian es 4 unidades.

68
00:07:39,129 --> 00:07:45,910
Por lo tanto, lo que quiero decir es que es indiferente del radio de la circunferencia utilizado.

69
00:07:47,550 --> 00:07:55,629
El radian siempre va a definir un arco en la circunferencia que mide exactamente igual que el radio

70
00:07:55,629 --> 00:08:04,990
y que es invariable el ángulo que no depende de la circunferencia utilizada, del tamaño de la circunferencia.

71
00:08:05,149 --> 00:08:06,149
¿De acuerdo?

72
00:08:06,149 --> 00:08:29,230
De esta misma manera, dos radianes serán el ángulo bajo el cual la circunferencia, el ángulo que define sobre la circunferencia, un arco de circunferencia que mide el doble del radio, o sea, dos radios.

73
00:08:29,230 --> 00:08:58,639
En este caso sería dos radianes y tres radianes, pues el arco que sobre la circunferencia, que a mí se me haya antojado trabajar, porque ya digo que es indistinto, pues tres radianes sería el arco sobre el cual el arco de la circunferencia, el ángulo sobre el cual el arco de la circunferencia mire tres radianes, tres radios.

74
00:08:58,639 --> 00:09:06,919
Pues bien dicho esto, lo que podemos observar es que, por ejemplo, en una circunferencia

75
00:09:06,919 --> 00:09:15,080
que mide, en una circunferencia la longitud es 2pi por r

76
00:09:15,080 --> 00:09:16,820
Esto es algo ya sabido

77
00:09:16,820 --> 00:09:21,559
Y en consecuencia, la pregunta que nos podemos hacer es

78
00:09:21,559 --> 00:09:23,080
en esa circunferencia

79
00:09:23,080 --> 00:09:26,330
de radio R

80
00:09:26,330 --> 00:09:33,129
¿cuántos radianes serían

81
00:09:33,129 --> 00:09:36,139
toda la vuelta?

82
00:09:36,379 --> 00:09:38,279
o sea, los 360 grados

83
00:09:38,279 --> 00:09:43,149
¿cuántos radianes son 360 grados?

84
00:09:45,799 --> 00:09:47,000
pues si el

85
00:09:47,000 --> 00:09:48,259
radian es

86
00:09:48,259 --> 00:09:53,500
el ángulo

87
00:09:53,500 --> 00:09:55,139
bajo el cual

88
00:09:55,139 --> 00:09:58,600
o sea, para medir un radian

89
00:09:58,600 --> 00:10:00,639
perdón, para medir un ángulo

90
00:10:00,639 --> 00:10:01,620
en radianes

91
00:10:01,620 --> 00:10:04,879
según lo explicado hasta ahora

92
00:10:04,879 --> 00:10:10,740
lo que haríamos es, por ejemplo, este ángulo, ¿qué radianes son?

93
00:10:11,720 --> 00:10:21,779
Pues habría que medir esta longitud, esta longitud, habría que medirla,

94
00:10:24,379 --> 00:10:36,700
habría que medir esta longitud, y la medida de esta longitud serían los radianes de este ángulo.

95
00:10:37,580 --> 00:10:43,179
Por lo tanto, si quiero medir cuántos radianes son 360 grados,

96
00:10:43,179 --> 00:10:51,970
Si quiero conocer los 360 grados, pues podríamos, por ejemplo, dibujar cualquier circunferencia.

97
00:10:54,159 --> 00:11:01,259
Como los 360 grados son la vuelta entera, si esta circunferencia mide de radio R,

98
00:11:01,600 --> 00:11:10,120
pues se consistirá en medir lo que mide la longitud entera de la circunferencia.

99
00:11:10,120 --> 00:11:16,659
Esos serán los radianes que corresponden a 360 grados y eso es 2 pi r.

100
00:11:17,379 --> 00:11:26,279
Por esto aquí en la explicación nos dicen, como la circunferencia mide 2 pi r y corresponde al ángulo 360 grados,

101
00:11:26,820 --> 00:11:30,840
podemos usar una regla de 3 para cambiar de unidades.

102
00:11:31,840 --> 00:11:37,039
O sea, podemos usar como dato que 360 grados son 2 pi radianes.

103
00:11:37,039 --> 00:12:17,080
Por esta razón, por ejemplo, en una circunferencia, este ángulo son dos pi radianes, o sea, 360 grados corresponden a dos pi radianes, pues podemos hacer, por ejemplo, que 90 grados corresponde a X,

104
00:12:17,080 --> 00:12:24,799
que es, visualmente es claro, es la cuarta parte de 2pi

105
00:12:24,799 --> 00:12:28,740
por lo tanto es 2pi entre 4 que es pi medios

106
00:12:28,740 --> 00:12:33,039
algo ya que habíamos observado con anterioridad

107
00:12:33,039 --> 00:12:39,759
pero la manera general de hacerlo sería a partir de una regla de 3

108
00:12:39,759 --> 00:12:45,259
90 por 2pi entre 360

109
00:12:45,259 --> 00:12:55,139
con esta fórmula podemos transformar un ángulo en grados, pasarlo a radianes.

110
00:12:57,379 --> 00:13:00,139
O mejor dicho, con esta regla de 3.

111
00:13:02,450 --> 00:13:08,429
Si quiero pasar, por ejemplo, a radianes el ángulo 32 grados,

112
00:13:09,769 --> 00:13:15,629
pues entonces lo pongo aquí, digo 360 grados se equivalen a 2pi radianes, pues 32 grados a x.

113
00:13:15,629 --> 00:13:26,470
Y no tengo más que despejar esa x de la regla de 3, 32 por 2pi partido 360.

114
00:13:30,639 --> 00:13:34,120
Y ahora, según lo he explicado, pues perfectamente podríamos...

115
00:13:37,259 --> 00:13:47,509
Bueno, decía que según lo he explicado, pues podemos perfectamente hacer los ejercicios 1, 2 y 3 del tema.

116
00:13:49,549 --> 00:13:55,539
Copiar, hacedlo sin mirar, en 1 y 2, perdón, del tema.

117
00:13:55,539 --> 00:13:57,799
Pasar a radianes los siguientes ángulos

118
00:13:57,799 --> 00:13:59,259
250 y 70

119
00:13:59,259 --> 00:14:00,919
Pues es una simple regla de 3

120
00:14:00,919 --> 00:14:03,580
Hacemos 1, por ejemplo

121
00:14:03,580 --> 00:14:07,159
Sabemos que vamos a pasar a radianes

122
00:14:07,159 --> 00:14:09,360
El ángulo 210

123
00:14:09,360 --> 00:14:15,320
Pues si 360 grados corresponde a 2pi radianes

124
00:14:15,320 --> 00:14:19,600
Pues entonces 210 grados corresponde a x

125
00:14:19,600 --> 00:14:22,120
x es igual a 210

126
00:14:22,120 --> 00:14:26,279
10 por 2pi partido de 360.

127
00:14:27,000 --> 00:14:35,399
Haciendo esta operación obtendríamos lo que son los 210 grados en radianes.

128
00:14:38,389 --> 00:14:41,950
También observad que podemos usar como regla de 3,

129
00:14:42,129 --> 00:14:47,929
pues en lugar de ese dato de que 360 grados es 2pi,

130
00:14:47,929 --> 00:14:53,269
pues que 180 grados es pi radianes.

131
00:14:53,269 --> 00:15:05,169
Y por tanto, pues de esa misma manera, pues 210 grados sería x, que despejando es x igual a 210 por pi entre 180, que es lo que tenemos aquí.

132
00:15:06,690 --> 00:15:13,169
Aquí lo han hecho mediante este dato de conversión, pero da igual el que utilices.

133
00:15:13,169 --> 00:15:19,830
¿De acuerdo? ¿Cómo hacemos el paso de radianes a grados?

134
00:15:19,830 --> 00:15:24,690
Pues exactamente igual, con la misma regla de 3

135
00:15:24,690 --> 00:15:28,389
O sea, 180 grados son pi radianes

136
00:15:28,389 --> 00:15:33,129
Pues 7 pi sextos, pues pongo aquí 7 pi sextos

137
00:15:33,129 --> 00:15:39,210
Corresponde a x, y entonces es utilizar la proporcionalidad

138
00:15:39,210 --> 00:15:46,529
Es 7 pi sextos por 180 entre pi

139
00:15:46,529 --> 00:15:54,740
y así sucesivamente

140
00:15:54,740 --> 00:15:55,440
¿de acuerdo?

141
00:15:55,960 --> 00:15:58,220
para hacer el ejercicio 2, completar la tabla

142
00:15:58,220 --> 00:16:00,679
pues es lo mismo, es pasar de grados a radianes

143
00:16:00,679 --> 00:16:02,980
pues utilizando esta regla de 3

144
00:16:02,980 --> 00:16:04,340
que os he explicado aquí antes

145
00:16:04,340 --> 00:16:04,860
¿de acuerdo?

146
00:16:05,960 --> 00:16:06,379
ya está