1
00:00:00,000 --> 00:00:13,000
Derivada de una función. Tres consideraciones. La primera, para hacer la derivada de una función, lo primero que necesito es la función.

2
00:00:13,000 --> 00:00:24,000
La pueden expresar mediante la letra i o mediante la letra f de x. Esto simboliza la función y esto simboliza la función derivada.

3
00:00:24,000 --> 00:00:35,000
Fíjate que encima de la letra aparece este símbolo que se lee i'. i' y f' representan la derivada de la función.

4
00:00:35,000 --> 00:00:47,000
Segundo punto. Vamos a ver un montón de fórmulas que de momento no las creemos como si fuera un recetario de cocina y las aplicamos sin más consideraciones.

5
00:00:47,000 --> 00:01:00,000
Más adelante veremos cómo se deducen esas fórmulas. Y tercero, la conocida como regla de la cadena. Es la parte más compleja en el proceso de las derivadas.

6
00:01:00,000 --> 00:01:10,000
Y es conveniente que vayas paso a paso en el estudio de la derivada porque si no es absolutamente imposible saber derivar.

7
00:01:10,000 --> 00:01:21,000
Empezamos con las derivadas más básicas que os vais a encontrar y que nos van a permitir básicamente derivar polinomios.

8
00:01:21,000 --> 00:01:33,000
Me dan una función i igual a una constante, su derivada es igual a cero. La función i igual a x, su derivada vale uno.

9
00:01:33,000 --> 00:01:44,000
Me dan una función que es una potencia donde hay un numerito simbolizado por a que multiplica y su derivada es igual.

10
00:01:44,000 --> 00:01:58,000
m por a, el exponente por el coeficiente, por la misma expresión elevado a uno menos, u a la m menos uno y por la derivada de la base.

11
00:01:58,000 --> 00:02:03,000
Más adelante haremos ejercicios con la aplicación de estas fórmulas.

12
00:02:03,000 --> 00:02:15,000
Y por último, si yo me encuentro una función en la que aparecen expresiones que suman o restan, i igual a u menos v más w, etc.

13
00:02:15,000 --> 00:02:27,000
La derivada de esta función, i prima, es igual a la derivada de cada una de las expresiones que suman o restan en la función.

14
00:02:27,000 --> 00:02:34,000
Y que la aplicación de esa fórmula nos va a permitir derivar polinomios.

15
00:02:34,000 --> 00:02:45,000
Entonces conviene que tengas a mano derivada de una constante cero, derivada de x igual a uno, derivada de una potencia a esta expresión

16
00:02:45,000 --> 00:02:51,000
y la derivada de expresiones que suman o restan igual a esa expresión.

17
00:02:51,000 --> 00:02:56,000
Empezamos en la siguiente lámina con ejercicios muy sencillos.

18
00:02:56,000 --> 00:03:01,000
Vamos a derivar las funciones que aparecen en esta lámina.

19
00:03:01,000 --> 00:03:11,000
i igual a siete es una constante, luego i prima, la derivada de esa función, igual a cero.

20
00:03:11,000 --> 00:03:20,000
i igual a menos un tercio es una constante, su derivada es igual a cero.

21
00:03:20,000 --> 00:03:23,000
i igual cinco x a la tres.

22
00:03:23,000 --> 00:03:38,000
Recuerda, tenemos una potencia y su derivada sería i prima igual tres por cinco quince por x elevado a uno menos, por x elevado al cuadrado

23
00:03:38,000 --> 00:03:49,000
y teóricamente por la derivada de la base, que en este caso la derivada de x, recuerda que vale uno, luego no es necesario ponerlo.

24
00:03:49,000 --> 00:03:54,000
Segunda función, misma historia, una potencia.

25
00:03:54,000 --> 00:04:06,000
Su derivada, cuatro por menos un medio menos cuatro medios, por la misma expresión elevada a una menos, por x a la tres

26
00:04:06,000 --> 00:04:17,000
y por la derivada de la base, la base es x, su derivada, repetimos que vale uno y no sería necesario ponerlo.

27
00:04:17,000 --> 00:04:30,000
Derivada de un polinomio, recordemos la fórmula, expresiones que suman o restan, la derivada de esta función es la derivada de cada una de las expresiones.

28
00:04:30,000 --> 00:04:42,000
i prima es igual, derivada de esta expresión, dos por tres seis, por x elevado a uno menos, es decir, por x a la uno que es x

29
00:04:42,000 --> 00:04:48,000
y por la derivada de x que vale uno y que a partir de ahora no vamos a poner más.

30
00:04:48,000 --> 00:04:54,000
Luego quedaría, derivada de esta expresión, seis x a la uno.

31
00:04:54,000 --> 00:05:02,000
Derivada de esta expresión, se supone x elevado a la uno, uno por menos cinco menos cinco

32
00:05:02,000 --> 00:05:13,000
Si al exponente de x lo quitamos uno, uno menos uno cero, x a la cero uno, la derivada de menos cinco x es igual a menos cinco.

33
00:05:13,000 --> 00:05:18,000
Y derivada de esta expresión, que evidentemente vale cero.

34
00:05:18,000 --> 00:05:25,000
No es necesario poner, pero en las primeras derivadas yo os voy a indicar todos los pasos.

35
00:05:26,000 --> 00:05:35,000
Derivada de esta expresión, una expresión, dos expresiones y tres expresiones que suman o restan.

36
00:05:35,000 --> 00:05:51,000
Derivada de esa función, multiplico menos tres por dos menos seis, por x elevado a uno menos y menos tres menos uno quedaría menos cuatro.

37
00:05:51,000 --> 00:05:58,000
Por la derivada de la base, que repetimos, dado que es x y vale uno, no vamos a expresar.

38
00:05:58,000 --> 00:06:11,000
Derivada de la segunda expresión, dos por menos cinco menos diez, por x elevado a uno menos, por x a la uno, por la derivada de x que vale uno, más

39
00:06:11,000 --> 00:06:18,000
derivada de esta expresión, la derivada de x dijimos que era igual a uno.

40
00:06:18,000 --> 00:06:26,000
Derivada de esta función y prima, tres expresiones que suman o restan.

41
00:06:26,000 --> 00:06:29,000
La derivada de cada una de ellas.

42
00:06:29,000 --> 00:06:42,000
Derivamos este monomio, menos dos por menos tres seis, por x elevado a uno menos, y cuidado, menos dos menos uno, menos tres.

43
00:06:42,000 --> 00:06:55,000
Más la derivada de esta expresión, se supone x a la uno, uno por más un medio, más un medio, por x elevado a uno menos, x a la uno menos uno,

44
00:06:55,000 --> 00:07:04,000
x a la cero que vale uno, luego más un medio, y menos la derivada de una constante que es igual a cero.

45
00:07:04,000 --> 00:07:15,000
Entonces, hemos hecho las primeras derivadas, muy sencillitas, avanzamos con derivadas un poquito más complicadas.

46
00:07:15,000 --> 00:07:21,000
Nos dan esta función, y es evidente que es una potencia.

47
00:07:21,000 --> 00:07:41,000
Aplico la fórmula para derivar la potencia, y nos queda, y prima, igual cuatro que multiplica al coeficiente, por la misma expresión, elevado a una menos, cinco x cubo, menos cuatro x cuadrado, elevado al cubo,

48
00:07:41,000 --> 00:07:48,000
y atención, por la derivada de la base, que en este caso no es x, y no vale uno.

49
00:07:48,000 --> 00:08:03,000
Entonces, por la derivada de la base, un polinomio cuya derivada sería, quince x cuadrado, quince x elevado al cuadrado, menos ocho x elevado a la uno.

50
00:08:03,000 --> 00:08:12,000
Dos por menos cuatro menos ocho, y x elevado a una menos, dos menos uno, menos ocho x.

51
00:08:12,000 --> 00:08:16,000
Segunda función, mismo planteamiento.

52
00:08:16,000 --> 00:08:24,000
Nos encontramos una potencia, esta expresión está elevada al cubo, y con un coeficiente que multiplica.

53
00:08:24,000 --> 00:08:37,000
Derivada de la expresión, tres por tres nueve, por la misma expresión, elevada a uno menos, cuatro x cuadrado, menos cinco x elevado al cuadrado,

54
00:08:37,000 --> 00:08:54,000
y por derivada de la base, que en este caso sería, dos por cuatro, ocho, x elevado a uno, es decir, ocho x, y la derivada de menos cinco x sería,

55
00:08:54,000 --> 00:09:07,000
ponemos x elevado a la uno, uno por menos cinco menos cinco, x a la uno, restamos uno, uno menos uno cero, x a la cero uno, derivada resuelta.

56
00:09:07,000 --> 00:09:15,000
Y último paso, vamos con la derivada de esta expresión, que tiene el mismo tratamiento que las anteriores.

57
00:09:15,000 --> 00:09:32,000
Y prima, igual, exponente por coeficiente, menos cuatro tercios, por la misma expresión, elevada a uno menos, tres x a la menos cuatro, menos un medio de x cuadrado,

58
00:09:32,000 --> 00:09:50,000
x más cinco, elevado a uno menos que es tres, y por la derivada de la base, que en este caso es un polinomio, menos doce x a la menos cinco, repetimos,

59
00:09:50,000 --> 00:10:01,000
multiplico exponente por coeficiente, menos cuatro por tres menos doce, y x elevado a uno menos, menos cuatro menos uno, a la menos cinco.

60
00:10:01,000 --> 00:10:17,000
Mismo razonamiento, dos por menos un medio, menos dos medios, por x elevado a uno, es decir, x, y la derivada de esa constante, que valdría cero, derivada resuelta.

61
00:10:17,000 --> 00:10:29,000
Entonces, hemos hecho las primeras derivadas, muy sencillitas, que nos van a permitir avanzar a derivadas un poquito más complejas.

62
00:10:29,000 --> 00:10:31,000
Derivadas resueltas.