1
00:00:00,240 --> 00:00:08,859
Teorema de Rouchet-Frobenius. Bien, ese teorema lo que nos va a ayudar es a saber discutir un sistema.

2
00:00:09,000 --> 00:00:16,260
Recordamos, discutir un sistema consistía en clasificarlo sin resolverlo. En decir, si es heterogéneo o homogéneo.

3
00:00:16,260 --> 00:00:27,160
Esto lo vamos a saber según sean los términos independientes. Heterogéneo es que los términos independientes no son todos nulos y homogéneo es que todos los términos independientes son nulos.

4
00:00:27,760 --> 00:00:34,439
Dentro de que sea heterogéneo, discutir el sistema sería clasificarlo en compatible e incompatible, tiene o no tiene solución.

5
00:00:34,820 --> 00:00:38,539
Y dentro de que tenga solución, si tiene una única o tiene infinitas soluciones.

6
00:00:38,539 --> 00:00:49,920
Y lo mismo si el sistema es homogéneo, tendré que decir que los homogéneos siempre son compatibles y tendré que saber decir si es determinado con una única solución o si es indeterminado con infinitas soluciones.

7
00:00:49,920 --> 00:00:54,200
El teorema de Rouchet-Frobenius consiste

8
00:00:54,200 --> 00:00:58,079
si consideramos un sistema de M ecuaciones lineales con N incógnitas

9
00:00:58,079 --> 00:01:00,100
un sistema escrito de esta forma

10
00:01:00,100 --> 00:01:04,379
Este sistema tiene asociadas dos matrices importantes

11
00:01:04,379 --> 00:01:07,340
la matriz de coeficientes y la matriz ampliada

12
00:01:07,340 --> 00:01:10,260
La matriz de coeficientes es la matriz donde en la primera columna

13
00:01:10,260 --> 00:01:15,040
están los coeficientes que se refieren a la primera incógnita

14
00:01:15,040 --> 00:01:15,939
Eso es de aquí

15
00:01:15,939 --> 00:01:21,060
La segunda columna, la matriz de coeficientes relacionados con la segunda incógnita, etc.

16
00:01:21,299 --> 00:01:27,379
La última columna serían los coeficientes relacionados con la incógnita xn.

17
00:01:27,739 --> 00:01:35,400
Y la matriz ampliada se formaba añadiendo a la matriz de coeficientes a una columna de términos independientes.

18
00:01:35,400 --> 00:01:54,000
La columna de términos independientes. Bueno, pues el teorema de Roche-Frobenius lo que nos dice es que la condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas sea compatible, es decir, que tenga solución, es que el rango de la matriz de coeficientes tiene que ser igual al rango de la matriz ampliada.

19
00:01:54,000 --> 00:02:02,040
Esto es, lo que afirma es que si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, sistema compatible

20
00:02:02,040 --> 00:02:07,980
Y en caso contrario, si no coincide el rango de A con el rango de la matriz ampliada, el sistema es incompatible

21
00:02:07,980 --> 00:02:13,560
Además, vamos a recordar un poquito, por ejemplo, cuando vimos la regla de Cramer

22
00:02:14,500 --> 00:02:23,659
Decíamos que si el sistema era de Cramer, era un sistema que cumplía, que tenía el mismo número de ecuaciones

23
00:02:23,659 --> 00:02:32,780
que de incógnitas y que el determinante de A era distinto del 0, es decir, que el rango de A coincidía con el número de incógnitas.

24
00:02:33,520 --> 00:02:41,520
Entonces, decíamos que el sistema de Kramer tenía solución única, es decir, un sistema compatible determinado.

25
00:02:41,520 --> 00:02:49,719
Bueno, pues, siguiendo esa línea, siguiendo esa idea, podemos decir que cuando el rango de A sea igual del rango de la ampliada,

26
00:02:49,719 --> 00:02:57,639
A, si ese rango coincide con el número de incógnitas, compatible determinado. Si ese

27
00:02:57,639 --> 00:03:02,460
rango es menor que el número de incógnitas, decimos que es compatible indeterminado y

28
00:03:02,460 --> 00:03:09,039
decimos que tiene n-r grados de libertad, es decir, que ese sistema va a depender de

29
00:03:09,039 --> 00:03:18,680
n-r parámetro. Esquematizamos, un sistema de ecuaciones puede ser incompatible cuando

30
00:03:18,680 --> 00:03:24,400
el rango de A es distinto del rango de su ampliada, compatible cuando tienen el rango

31
00:03:24,400 --> 00:03:29,180
de A y el rango de la ampliada coinciden y será determinado si además ese rango coincide

32
00:03:29,180 --> 00:03:36,000
con el número de incógnitas o será indeterminado si ese rango es menor que el número de incógnitas

33
00:03:36,000 --> 00:03:47,520
y dejemos que es determinado con n-r grados de libertad. Aplica el teorema de Rochefrobenius

34
00:03:47,520 --> 00:03:51,539
para discutir el sistema y en caso de que sea compatible, resuélvelo.

35
00:03:53,259 --> 00:03:59,180
un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas. Tiene asociada una matriz de coeficientes

36
00:03:59,180 --> 00:04:06,840
que sería en la primera columna los coeficientes de la x, 1, 2, menos 2, 1, en la segunda columna

37
00:04:06,840 --> 00:04:14,180
los coeficientes de la y, el 3, 1, menos 3, 1, en la tercera los coeficientes de z, 1,

38
00:04:14,319 --> 00:04:22,339
menos 1, 1, 1. Esta es una matriz A de orden 4 por 3, o sea, dimensión 4 por 3. Y también

39
00:04:22,339 --> 00:04:30,360
tiene asociada la matriz ampliada, que es la misma que la matriz de coeficientes, ampliándola

40
00:04:30,360 --> 00:04:39,000
con la columna de términos independientes. Ampliamos con la columna de términos independientes

41
00:04:39,000 --> 00:04:50,279
0, 1, 1, 2. Vale, que es una matriz 4x4. Vale, para decidir, para clasificar el sistema

42
00:04:50,279 --> 00:04:55,540
como compatible o incompatible, en primer lugar, y luego si es compatible como determinado

43
00:04:55,540 --> 00:05:00,579
o interminado, tenemos que estudiar el rango, tanto de A como de la ampliada. Fijaos, el

44
00:05:00,579 --> 00:05:05,720
rango de A como mucho va a ser 3, el rango de la ampliada puede ser 4. Pues vamos a empezar

45
00:05:05,720 --> 00:05:09,540
por el rango de la ampliada porque en el caso de que el rango de la ampliada me saliese

46
00:05:09,540 --> 00:05:14,920
4, ya directamente podríamos concluir que el sistema es incompatible independientemente

47
00:05:14,920 --> 00:05:19,860
de cuál fuese el rango de A, ya que nunca el rango de A va a ser 4.

48
00:05:20,420 --> 00:05:24,220
Entonces, empezamos calculando el determinante de la matriz ampliada.

49
00:05:24,939 --> 00:05:34,939
Determinante 1, 3, 1, 0, 2, 1, menos 1, 1, menos 2, menos 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2.

50
00:05:35,600 --> 00:05:41,279
Vale, para resolver este determinante vamos a intentar hacer ceros, por ejemplo, en esta columna

51
00:05:41,279 --> 00:05:43,800
y así desarrollar este determinante por esta columna.

52
00:05:43,800 --> 00:05:46,939
Vamos a hacer 0 aquí y aquí

53
00:05:46,939 --> 00:05:49,500
Vale, dejamos fija la primera columna

54
00:05:49,500 --> 00:05:51,139
1, 3, 1, 0

55
00:05:51,139 --> 00:05:54,639
Y 2, 1, menos 1, 1

56
00:05:54,639 --> 00:05:57,600
Recordad que tenemos que trabajar

57
00:05:57,600 --> 00:06:02,660
Con transformaciones que dejen invariante al determinante

58
00:06:02,660 --> 00:06:07,319
O que si lo varían tendré que tener en cuenta que variación le voy a hacer

59
00:06:07,319 --> 00:06:10,500
Vale, por ejemplo, si yo quiero aquí un 0

60
00:06:10,500 --> 00:06:13,519
Y pivoto con esta segunda fila

61
00:06:13,519 --> 00:06:15,459
Pues puedo decir que la tercera fila

62
00:06:15,459 --> 00:06:16,360
Lo que le voy a hacer es

63
00:06:16,360 --> 00:06:18,860
A la tercera fila le resto la segunda

64
00:06:18,860 --> 00:06:21,720
¿Ves? A la tercera fila le resto una combinación lineal

65
00:06:21,720 --> 00:06:22,639
De otra

66
00:06:22,639 --> 00:06:24,459
Bueno, una

67
00:06:24,459 --> 00:06:26,899
De las restantes

68
00:06:26,899 --> 00:06:28,000
Me quedaría

69
00:06:28,000 --> 00:06:30,139
La tercera menos la segunda

70
00:06:30,139 --> 00:06:32,000
Menos dos, menos dos

71
00:06:32,000 --> 00:06:34,800
Menos cuatro, menos tres, menos uno

72
00:06:34,800 --> 00:06:36,500
Menos cuatro, uno

73
00:06:36,500 --> 00:06:38,560
Menos menos uno, dos

74
00:06:38,560 --> 00:06:40,199
Y uno menos uno, cero

75
00:06:40,199 --> 00:06:41,579
Tendríamos ahí un cero

76
00:06:41,579 --> 00:06:53,540
Vale, si yo quiero aquí un 0, lo que voy a hacer es la cuarta fila la voy a transformar como la cuarta fila menos dos veces la segunda fila.

77
00:06:53,540 --> 00:07:10,740
Vale, entonces, la cuarta menos dos veces la segunda, pues 1 menos 4 menos 3, 1 menos 2 menos 1, 1 más 2, 3 y 2 menos 2, 0.

78
00:07:10,740 --> 00:07:17,120
Ahora ya lo que voy a hacer es desarrollo por la cuarta columna.

79
00:07:20,120 --> 00:07:24,319
Entonces aplicamos la definición del determinante desarrollando por la cuarta columna.

80
00:07:24,779 --> 00:07:34,720
Primero el signo, más, menos, más, menos, más, luego más el elemento 1 por el menor complementario o el adjunto,

81
00:07:34,720 --> 00:07:40,519
que sería el 1, 3, 1, eliminando segunda fila, cuarta columna,

82
00:07:40,699 --> 00:07:45,120
menos 4, menos 4, 2, menos 3, menos 1, 3.

83
00:07:45,819 --> 00:07:49,100
Calculando este determinante por la regla de Sarrus, obtenemos

84
00:07:49,100 --> 00:08:07,759
Menos 12, menos 18, más 4, menos 12, más 2 y más 36.

85
00:08:07,759 --> 00:08:12,819
Igual, vamos a sumar números positivos

86
00:08:12,819 --> 00:08:15,180
4 y 2, 6

87
00:08:15,180 --> 00:08:16,939
Y 36, 42

88
00:08:16,939 --> 00:08:19,560
Y sumamos los números negativos

89
00:08:19,560 --> 00:08:22,759
12 y 18, 30

90
00:08:22,759 --> 00:08:24,439
Y 12, 42

91
00:08:24,439 --> 00:08:26,600
Luego este determinante vale 0

92
00:08:26,600 --> 00:08:28,620
Al ser el determinante 0

93
00:08:28,620 --> 00:08:32,200
Entonces el rango de la matriz ampliada

94
00:08:32,200 --> 00:08:34,000
Va a ser como mucho 3

95
00:08:34,000 --> 00:08:35,700
Menor o igual que 3

96
00:08:35,700 --> 00:08:43,779
Bien, vamos a escoger un menor de orden 3 que sea como un tanto A como A ampliada

97
00:08:43,779 --> 00:08:47,419
Y así podremos hablar de los dos rangos a la vez

98
00:08:47,419 --> 00:08:56,100
Vale, entonces escogemos por ejemplo el menor 1, 3, 1, 2, 1, menos 1, menos 2, menos 3, 1

99
00:08:56,100 --> 00:09:09,080
Calculamos su valor, 1, menos 6, más 6, más 2, menos 3 y menos 6

100
00:09:09,080 --> 00:09:16,539
Luego nos queda, aquí simplificamos, 1 más 2, 3, 3 menos 3, 0, menos 6, distinto de 0

101
00:09:16,779 --> 00:09:23,919
Por tanto, hemos encontrado un menor de orden 3, tanto de la matriz A como de su ampliada, distinto de 0

102
00:09:23,919 --> 00:09:32,059
luego el rango de A es igual al rango de A ampliada y es igual a 3

103
00:09:32,059 --> 00:09:35,940
y además me doy cuenta que es igual al número de incógnitas

104
00:09:35,940 --> 00:09:42,080
por tanto el sistema es compatible determinado

105
00:09:42,080 --> 00:09:50,830
bien, una vez que hemos visto que el sistema es compatible determinado

106
00:09:50,830 --> 00:09:53,950
es decir que tiene solución única, vamos a pasar a resolverlo

107
00:09:53,950 --> 00:10:02,350
Para resolverlo escogemos como ecuaciones las ecuaciones que tienen como coeficientes

108
00:10:02,350 --> 00:10:09,029
los coeficientes que intervenían en ese menor de orden 3 que hemos encontrado distinto de 0.

109
00:10:09,029 --> 00:10:22,970
En este caso eran las tres primeras ecuaciones, x más 3y más z igual a 0, 2x más y menos z igual a 1 y menos 2x menos 3y más z igual a 1.

110
00:10:22,970 --> 00:10:31,090
Bueno, escogemos estas porque el determinante que tenía asociado a sus coeficientes era el que era distinto de 0

111
00:10:31,090 --> 00:10:35,110
y es el que nos asegura que esas tres ecuaciones son linealmente independientes.

112
00:10:35,870 --> 00:10:45,610
Bueno, pues si ahora llevamos, por ejemplo, B a la matriz de coeficientes de 1, 3, 1, 2, 1, menos 1, menos 2, menos 3, 1,

113
00:10:46,289 --> 00:10:50,870
el determinante de B acabamos de ver que era menos 6, distinto de 0.

114
00:10:50,870 --> 00:10:56,950
Bueno, pues podemos hacerlo por la regla de Cramer, como sabemos que tiene una solución única por la regla de Cramer.

115
00:10:57,210 --> 00:11:08,870
Entonces, la variable x, la interminable x, será el cociente en el denominador, el valor del determinante,

116
00:11:09,830 --> 00:11:18,690
y en el numerador el determinante formado, o sea, que se forma al sustituir la primera columna por la columna de términos independientes,

117
00:11:18,690 --> 00:11:23,450
Es 0, 1, 1 y la segunda y tercera columna la misma.

118
00:11:26,919 --> 00:11:38,299
Vale, pues menos 1 sexto que multiplica 0, menos 3, menos 3, menos 1, 0, menos 3.

119
00:11:38,299 --> 00:11:48,779
En este caso, menos 1 sexto que multiplica a menos 10, es decir, 10 sextos, es decir, 5 tercios.

120
00:11:48,779 --> 00:12:08,480
La indeterminada I será el cociente donde el denominador es el valor del determinante y en el numerador tenemos el determinante que se forma al sustituir la segunda columna de la matriz de coeficientes por los términos independientes.

121
00:12:08,480 --> 00:12:14,200
1, 2, menos 2, 0, 1, 1, 1, menos 1, 1.

122
00:12:15,500 --> 00:12:24,659
Resolvemos el determinante, 1, 0, 2, más 2, más 1, 0.

123
00:12:25,100 --> 00:12:29,240
Luego 4 y 2, 6, por menos un sexto, menos 1.

124
00:12:29,240 --> 00:12:38,500
Y por último, la variable z, el cociente donde el denominador es menos 6, el valor del determinante,

125
00:12:38,759 --> 00:12:45,259
y en el numerador el determinante que resulta de sustituir la tercera columna por la columna de términos independientes.

126
00:12:45,480 --> 00:12:51,679
1, 2, menos 2, 3, 1, menos 3, 1, menos 1, 1.

127
00:12:52,460 --> 00:12:54,919
Perdón, la tercera columna no la he sustituido.

128
00:12:54,919 --> 00:12:57,039
Aquí, 0, 1, 1.

129
00:12:57,039 --> 00:13:03,659
Vale, pues menos 1 sexto que multiplica, esto es un 1, ¿no?

130
00:13:04,080 --> 00:13:16,049
1, sí, esto sería 1 menos 6, 0, 0, más 3 y menos 6.

131
00:13:16,350 --> 00:13:26,429
Luego me queda menos 1 sexto, aquí sería menos 12 más 4 por menos 8, es decir, 8 sextos, 4 tercios.

132
00:13:26,429 --> 00:13:36,750
Luego la solución de este sistema es X igual a 5 tercios, Y igual a menos 1, Z igual a 4 tercios.

133
00:13:41,110 --> 00:13:47,049
Aplica el teorema de Rochefrobenius para discutir el sistema y en caso de que sea compatible, resuélvelo.

134
00:13:51,230 --> 00:13:54,370
Bien, tenemos que discutir y resolver este sistema.

135
00:13:54,370 --> 00:13:58,490
Sistema que tiene asociada como matriz de coeficientes

136
00:13:58,490 --> 00:14:01,389
La matriz 2, menos 3, 1

137
00:14:01,389 --> 00:14:04,529
Menos 1, 1, menos 1

138
00:14:04,529 --> 00:14:07,409
1, menos 3, menos 1

139
00:14:07,409 --> 00:14:12,870
Y la matriz ampliada consiste en añadir a la matriz de coeficientes

140
00:14:12,870 --> 00:14:18,950
La columna de términos independientes

141
00:14:18,950 --> 00:14:21,129
Menos 3, menos 1

142
00:14:21,129 --> 00:14:23,669
Y aquí sería 1, menos 1, 2

143
00:14:23,669 --> 00:14:28,570
Esta es una matriz 3x3 y esta es una matriz 3x4

144
00:14:28,570 --> 00:14:34,370
El rango de esta matriz con mucho 3 y el rango de esta matriz con mucho 3 también

145
00:14:34,370 --> 00:14:38,269
Entonces empezamos por ejemplo calculando el determinante de A

146
00:14:38,269 --> 00:14:47,570
Que sería el único menor de orden 3 de la matriz de coeficientes A

147
00:14:47,570 --> 00:15:11,139
Entonces, calculamos su valor, vale, nos quedaría por sárvus, nos quedaría menos 2, más 3, más 3, menos 1, menos 6 y más 3.

148
00:15:11,559 --> 00:15:19,279
Luego esto nos queda, fijaos, si sumamos términos positivos, 3 más 3, 6, más 3, 9.

149
00:15:19,279 --> 00:15:23,879
Menos, menos 2, menos 1, menos 3, menos 6, menos 9

150
00:15:23,879 --> 00:15:26,200
Luego me quedaría aquí 0

151
00:15:26,200 --> 00:15:28,320
Este determinante sería 0

152
00:15:28,320 --> 00:15:29,740
Luego el rango de A

153
00:15:29,740 --> 00:15:34,539
El rango de A como mucho puede ser 2

154
00:15:34,539 --> 00:15:37,960
Vamos a ver con la matriz ampliada

155
00:15:37,960 --> 00:15:41,159
El otro menor de orden 3 que sí que puedo formar

156
00:15:41,159 --> 00:15:43,860
O sea, hay más menores de orden 3 que sí que puedo formar

157
00:15:43,860 --> 00:15:47,240
Por ejemplo, el menor de orden 3

158
00:15:47,240 --> 00:15:56,500
A ver, menor de orden 3 de la matriz ampliada

159
00:15:56,500 --> 00:16:02,620
Por ejemplo, yo puedo coger el menor que es 2 menos 1, 1

160
00:16:02,620 --> 00:16:04,399
Menos 3, 1 menos 3

161
00:16:04,399 --> 00:16:09,419
Y en vez de poner la tercera columna de A, pongo la columna de términos independientes

162
00:16:09,419 --> 00:16:10,500
Esa de aquí

163
00:16:10,500 --> 00:16:11,879
Calculamos su valor

164
00:16:11,879 --> 00:16:22,179
4 más 3 más 3 menos 1 menos 6 y menos 6

165
00:16:22,179 --> 00:16:29,740
Vale, agrupando términos positivos me queda 10 menos 13

166
00:16:29,740 --> 00:16:34,440
Es igual a menos 3, distinto de 0

167
00:16:34,440 --> 00:16:35,779
Luego, ¿qué significa?

168
00:16:36,399 --> 00:16:40,919
Que el rango de la matriz ampliada es 3

169
00:16:40,919 --> 00:16:50,580
Entonces, resulta que el rango de A es distinto del rango de la matriz ampliada

170
00:16:50,580 --> 00:16:53,980
Por lo tanto, sistema incompatible

171
00:16:53,980 --> 00:16:58,100
Como el sistema es incompatible, no tiene solución

172
00:16:58,100 --> 00:17:00,519
Luego no habría que resolver nada