1
00:00:00,000 --> 00:00:12,560
Vamos a utilizar GeoGebra para comprobar la existencia del balicentro y estudiar su propiedad

2
00:00:12,560 --> 00:00:13,880
fundamental.

3
00:00:13,880 --> 00:00:18,760
Al finalizar la construcción dinámica veremos que la existencia de este punto y su propiedad

4
00:00:18,760 --> 00:00:24,480
no dependen de la forma del triángulo.

5
00:00:24,480 --> 00:00:29,960
Partimos de un triángulo cualquiera en el plano que no tenga especiales características.

6
00:00:29,960 --> 00:00:45,440
Vamos a dibujar los lados de este triángulo y vamos a nombrarlos correctamente.

7
00:00:45,440 --> 00:00:51,400
Este lado F es el que está frente al vértice C y por tanto lo debemos nombrar con una c

8
00:00:51,400 --> 00:00:52,400
minúscula.

9
00:00:53,400 --> 00:01:00,680
El lado G lo debemos renombrar con una letra a minúscula al estar enfrente del vértice

10
00:01:00,680 --> 00:01:08,600
A y este lado H lo podemos renombrar con una b minúscula al ser el lado que está opuesto

11
00:01:08,600 --> 00:01:14,080
al vértice.

12
00:01:14,080 --> 00:01:17,520
Una vez que tenemos dibujado este triángulo, que como digo es un triángulo que no tiene

13
00:01:17,520 --> 00:01:23,360
especiales características, no es un triángulo rectángulo, no es un triángulo equilátero,

14
00:01:23,360 --> 00:01:29,160
es un triángulo en principio cualquiera, recordamos cuál es la definición de balicentro.

15
00:01:29,160 --> 00:01:33,160
El balicentro de un triángulo de vértices A, B y C es el punto en el que se cortan las

16
00:01:33,160 --> 00:01:34,160
medianas.

17
00:01:34,160 --> 00:01:38,860
Bien, y recordamos también que la mediana es la recta que une cada vértice con el punto

18
00:01:38,860 --> 00:01:40,760
medio del lado opuesto.

19
00:01:40,760 --> 00:01:45,080
Entonces para dibujar estas medianas lo primero que vamos a calcular es el punto medio de

20
00:01:45,080 --> 00:01:50,040
cada uno de los lados del triángulo.

21
00:01:50,040 --> 00:01:56,480
Seleccionamos entonces la herramienta de punto medio y calculamos el punto medio del lado

22
00:01:56,480 --> 00:02:03,360
AB, el punto medio del lado BC y el punto medio del lado AC.

23
00:02:03,360 --> 00:02:15,720
Bien, nuevamente vamos a etiquetar correctamente estos puntos.

24
00:02:15,720 --> 00:02:23,280
Este punto D lo vamos a renombrar como el punto medio con la ley mayúscula del lado

25
00:02:23,280 --> 00:02:41,360
A, este punto F lo vamos a renombrar como el punto medio del lado B y este punto E

26
00:02:41,360 --> 00:03:00,160
lo vamos a renombrar como el punto medio del lado C.

27
00:03:00,160 --> 00:03:06,000
Con los lados correctamente etiquetados y los puntos medios correctamente etiquetados

28
00:03:06,000 --> 00:03:08,280
construimos ahora las medianas.

29
00:03:08,280 --> 00:03:12,920
Las medianas son aquellas rectas que pasan por cada uno de los vértices y el punto medio

30
00:03:12,920 --> 00:03:13,920
del lado opuesto.

31
00:03:13,920 --> 00:03:19,360
Así que vamos a escoger la herramienta de recta y vamos a construir la primera mediana

32
00:03:19,360 --> 00:03:29,480
sobre el lado A, la segunda mediana sobre el lado B, la tercera mediana sobre el lado

33
00:03:29,480 --> 00:03:30,480
C.

34
00:03:30,480 --> 00:03:43,880
Vale, para no perder de vista el triángulo vamos a cambiar los colores de estos lados

35
00:03:43,880 --> 00:03:55,640
para verlo con más claridad y distinguir cuál es el triángulo y cuáles son las medianas.

36
00:03:55,640 --> 00:04:14,560
Las medianas las vamos a pintar de rojo y las vamos a renombrar con su nombre característico.

37
00:04:14,560 --> 00:04:23,800
Como son rectas las nombramos con una letra minúscula, la mediana sobre el lado B la

38
00:04:23,800 --> 00:04:36,280
vamos a denominar mediana sobre el lado o sobre el vértice B con la letra minúscula.

39
00:04:36,280 --> 00:04:42,680
Esta mediana es la que pasa por el vértice A, la voy a renombrar y la voy a llamar con

40
00:04:42,680 --> 00:04:49,840
letra minúscula porque es una recta, M de mediana, A porque pasa por el vértice A.

41
00:04:49,840 --> 00:04:59,280
Aquí está su etiqueta y esta que es la H la voy a renombrar y va a ser la mediana

42
00:04:59,280 --> 00:05:13,640
que pasa por el vértice C. De manera que tengo las medianas dibujadas.

43
00:05:13,640 --> 00:05:20,640
Y ahora si calculo la intersección de estas rectas 2 a 2, calculo la intersección, por

44
00:05:20,640 --> 00:05:30,000
ejemplo, de la primera mediana con otra de ellas, veo que esta intersección determina

45
00:05:30,000 --> 00:05:32,560
un punto y que las tres medianas pasan por ese punto.

46
00:05:32,560 --> 00:05:39,160
Bueno, pues ese punto D que lo voy a renombrar con la letra G que es la que sirve para nombrar

47
00:05:39,160 --> 00:05:45,440
el varicentro es el varicentro que estábamos buscando y lo vamos a pintar de color verde

48
00:05:45,440 --> 00:05:50,040
para que quede marcado.

49
00:05:50,040 --> 00:05:54,280
Una vez que tenemos dibujado el varicentro, vamos a recordar cuál es la propiedad fundamental

50
00:05:54,280 --> 00:05:55,280
del varicentro.

51
00:05:55,280 --> 00:06:00,080
La propiedad fundamental del varicentro lo que nos dice es que este varicentro divide

52
00:06:00,080 --> 00:06:04,360
a cada una de las medianas en dos partes, de tal manera que la distancia del varicentro

53
00:06:04,960 --> 00:06:10,640
a cada vértice es el doble de la distancia de ese mismo varicentro al punto medio del

54
00:06:10,640 --> 00:06:15,000
lado o lo que se llama también pie de la media.

55
00:06:15,000 --> 00:06:19,080
Entonces lo que vamos a hacer a continuación es calcular estas distancias del varicentro

56
00:06:19,080 --> 00:06:26,960
a cada uno de los vértices y a cada uno de los pies y ver cómo esas distancias son siempre

57
00:06:26,960 --> 00:06:31,920
el doble la distancia del varicentro al vértice que la del varicentro al pie.

58
00:06:31,920 --> 00:06:33,360
Comenzamos con el vértice A.

59
00:06:33,360 --> 00:06:38,600
En el vértice A vamos a dibujar un primer segmento, que es el que une el vértice A

60
00:06:38,600 --> 00:06:46,880
con el varicentro, ese sería el segmento F, y vamos a pintar un segundo segmento, que

61
00:06:46,880 --> 00:06:54,840
es el que une el varicentro con el pie de la media, que sería el segmento G.

62
00:06:54,840 --> 00:07:16,360
Y a continuación vamos a hacer una relación 1, que vamos a definir como F entre G, esa

63
00:07:16,360 --> 00:07:23,720
relación es 2, lo que nos quiere decir que F es el doble de G.

64
00:07:23,720 --> 00:07:32,080
Vamos a colocar aquí unas etiquetas, tenemos la medida de F, que vamos a colocar aquí,

65
00:07:32,080 --> 00:07:41,440
la medida del segmento G, que vamos a colocar aquí, y la medida de esta primera relación

66
00:07:41,440 --> 00:07:48,720
en la que vemos que F sería la distancia desde el varicentro al vértice, es el doble

67
00:07:48,720 --> 00:07:53,760
de la distancia desde el varicentro al pie de la mediana A.

68
00:07:53,760 --> 00:08:03,040
A continuación, repetimos esta misma operación con el vértice B, en el vértice B definimos

69
00:08:03,040 --> 00:08:10,400
la distancia desde B hasta el varicentro y la distancia desde el varicentro hasta el

70
00:08:10,400 --> 00:08:17,360
pie de la medida, son distancias H e I.

71
00:08:17,360 --> 00:08:29,240
Podemos ahora sacar esta etiqueta de la medida de H, podemos sacar esta etiqueta de la medida

72
00:08:29,240 --> 00:08:48,920
de I.

73
00:08:48,920 --> 00:08:56,960
Y a continuación podemos definir una segunda relación, que sería la relación 2, que

74
00:08:56,960 --> 00:09:10,120
la vamos a definir como el cociente de H entre I.

75
00:09:10,120 --> 00:09:19,400
Ese cociente debería darnos igualmente 2, lo que nos indica que en la mediana B también

76
00:09:19,400 --> 00:09:23,480
se cumple la propiedad del varicentro.

77
00:09:23,480 --> 00:09:30,440
Por último vamos a estudiar esa relación de la mediana C, definimos la distancia entre

78
00:09:30,440 --> 00:09:37,920
el varicentro y el vértice C, la distancia entre el pie de la mediana y el varicentro

79
00:09:37,920 --> 00:09:50,680
son las longitudes J y K, vamos a colocar la longitud J aquí para poder verla bien,

80
00:09:50,680 --> 00:09:57,440
vamos a comprobar aquí la longitud K para poder verla bien y nuevamente definimos una

81
00:09:57,440 --> 00:10:04,600
relación, en este caso va a ser la relación 3, que queda definida como J entre K y esa

82
00:10:04,600 --> 00:10:12,480
relación vuelve a ser 2.

83
00:10:12,480 --> 00:10:17,520
Entonces tenemos el varicentro y tenemos la propiedad del varicentro comprobada.

84
00:10:17,520 --> 00:10:18,640
¿Qué nos faltaría por ver?

85
00:10:18,640 --> 00:10:22,760
Nos faltaría por ver que la existencia de ese varicentro no depende de la forma del

86
00:10:22,760 --> 00:10:27,280
triángulo y que sea cual sea la forma del triángulo la propiedad del varicentro se

87
00:10:27,280 --> 00:10:35,000
cumple, es decir, que aunque estas longitudes F, G, H, I, J y K cambien, siempre la relación

88
00:10:35,000 --> 00:10:42,400
entre la distancia del varicentro al vértice con la distancia del varicentro al pie de

89
00:10:42,400 --> 00:10:49,440
la mediana siempre es la misma, es decir, una de las distancias es el doble de la otra.

90
00:10:49,440 --> 00:10:54,040
Bueno, a continuación entonces aprovechando la capacidad de geometría dinámica que tiene

91
00:10:54,040 --> 00:11:00,080
GeoGebra vamos a comprobar que moviendo los vértices de ese triángulo y cambiando su

92
00:11:00,080 --> 00:11:06,160
forma no cambia ni la existencia del varicentro ni su propiedad.

93
00:11:06,160 --> 00:11:16,680
Observo este vértice C y al moverlo observo por un lado que el varicentro siempre existe,

94
00:11:16,680 --> 00:11:24,120
esas tres rectas se cortan siempre en un punto y observo también que por mucho que yo cambie

95
00:11:24,120 --> 00:11:31,480
la forma del triángulo las longitudes de los segmentos F, G, H, I, J y K van cambiando

96
00:11:31,480 --> 00:11:37,320
pero siempre los segmentos que están en la parte de arriba tienen una longitud que es

97
00:11:37,320 --> 00:11:39,800
el doble a la que está en la parte de abajo.

98
00:11:39,800 --> 00:11:45,000
Recordamos que los segmentos que están en la parte de arriba F, H y J son estos segmentos

99
00:11:45,000 --> 00:11:55,560
de aquí que los podemos pintar en un color, por ejemplo, amarillo y los segmentos que

100
00:11:55,560 --> 00:12:05,400
están en la parte de abajo son estos segmentos de aquí que los voy a pintar en rosa y la

101
00:12:05,400 --> 00:12:11,800
idea es que siempre el segmento amarillo tiene una longitud que es el doble al segmento rosa

102
00:12:11,800 --> 00:12:12,800
correspondiente.

103
00:12:12,800 --> 00:12:20,600
Si volvemos a dejar el triángulo fijo, lo voy a fijar por ejemplo aquí, podemos observar

104
00:12:20,600 --> 00:12:31,320
una última propiedad del varicentro y es que cuando unimos los pies de esas tres medianas

105
00:12:31,320 --> 00:12:36,200
se genera en el interior del triángulo un nuevo triángulo que se llama triángulo mediano

106
00:12:36,200 --> 00:12:42,680
que es semejante al triángulo original y cuyo área es la cuarta parte del área del

107
00:12:42,680 --> 00:12:44,440
triángulo original.

108
00:12:44,440 --> 00:12:51,000
Finalmente si movemos el triángulo original observamos que ese triángulo mediano sigue

109
00:12:51,000 --> 00:12:54,080
existiendo y sigue cumpliendo la misma propiedad.

110
00:12:54,080 --> 00:12:57,840
Ambos triángulos, el triángulo original y el triángulo mediano comparten el mismo

111
00:12:57,840 --> 00:12:58,340
varicentro.