1
00:00:00,620 --> 00:00:08,019
Vamos a trabajar las potencias de matrices, para eso vamos a hacer este ejercicio en el que nos piden calcular la potencia 86 de la matriz A.

2
00:00:08,619 --> 00:00:18,960
Cuando nos piden una potencia tan alta está claro que es o porque bien la matriz A tiene una recurrencia, vamos a encontrar una ley de formación, o porque la matriz A es cíclica.

3
00:00:20,239 --> 00:00:27,679
Pero para poder saber cuál de las dos opciones es, siempre tenemos que ir calculando las potencias en la cuadrada o a cubo hasta la que necesitemos.

4
00:00:27,679 --> 00:00:30,920
la matriz A es una matriz cuadrada 3x3

5
00:00:30,920 --> 00:00:32,820
por lo tanto se pueden calcular sus potencias

6
00:00:32,820 --> 00:00:35,399
ya que se pueden hacer los productos

7
00:00:35,399 --> 00:00:37,640
la potencia, el A cuadrado

8
00:00:37,640 --> 00:00:39,780
sabemos que esto es A por A

9
00:00:39,780 --> 00:00:43,659
no es elevar cada uno de los elementos al cuadrado

10
00:00:43,659 --> 00:00:45,340
con eso tener cuidado

11
00:00:45,340 --> 00:00:47,740
simplemente es multiplicar la matriz A por la matriz A

12
00:00:47,740 --> 00:00:50,399
la escribimos

13
00:00:50,399 --> 00:00:52,119
4, 5, menos 1

14
00:00:52,119 --> 00:00:55,759
menos 3, menos 4, 1

15
00:00:55,759 --> 00:01:00,060
menos 3, menos 4, 0

16
00:01:00,060 --> 00:01:05,900
volvemos a escribir la misma matriz

17
00:01:05,900 --> 00:01:08,879
4, 5, menos 1

18
00:01:08,879 --> 00:01:12,719
menos 3, menos 4, 1

19
00:01:12,719 --> 00:01:16,980
menos 3, menos 4, 0

20
00:01:16,980 --> 00:01:22,540
y nos ponemos a hacer el producto de matrices

21
00:01:22,540 --> 00:01:25,159
para multiplicar las matrices

22
00:01:25,159 --> 00:01:27,900
multiplicamos primera fila

23
00:01:27,900 --> 00:01:42,000
por primera columna. Empezamos 4 por 4, 16, más menos 3 por 5 es menos 15, así que hoy llevo 1, menos 3 por menos 1 es más 3,

24
00:01:42,439 --> 00:01:50,980
1 más 3, 4. Para el siguiente elemento multiplicamos otra vez la primera fila por la segunda columna.

25
00:01:50,980 --> 00:01:55,769
4 por 4, 16

26
00:01:55,769 --> 00:02:00,689
Uy, que estoy multiplicando otra vez por la primera fila, perdón, empezamos otra vez

27
00:02:00,689 --> 00:02:04,670
4 por menos 3, menos 12

28
00:02:04,670 --> 00:02:08,129
menos 3 por menos 4 es más 12, así que ya va a 0

29
00:02:08,129 --> 00:02:11,669
y menos 3 por 1, menos 3

30
00:02:11,669 --> 00:02:15,889
¿Vale? Y ahora multiplicamos por la tercera columna

31
00:02:15,889 --> 00:02:20,330
4 por menos 3, menos 12

32
00:02:20,330 --> 00:02:38,289
menos 3 por menos 4 más 12, 0, menos 3 por 0, 0, ¿vale?, cierro el paréntesis, y ahora vamos por la segunda columna, voy a cambiar de color para ver si así se ve un poco mejor,

33
00:02:38,289 --> 00:02:53,009
Ahora, segunda fila, primera columna, 5 por 4, 20, menos 4 por 5, menos 20, así que eso es 0, y menos 4 por menos 1 es más 4.

34
00:02:53,009 --> 00:03:14,009
La segunda fila por segunda columna es 5 por menos 3 menos 15, menos 4 por menos 4 es más 16, así que me queda 1, menos 4 por 1 es menos 4, 1 menos 4 es menos 3.

35
00:03:14,009 --> 00:03:25,110
y por último multiplicamos la segunda fila de la primera matriz por la tercera columna de la segunda matriz

36
00:03:25,110 --> 00:03:32,310
5 por menos 3 es menos 15, menos 4 por menos 4 es más 16

37
00:03:32,310 --> 00:03:38,750
o sea que me queda 1 y menos 4 por 0 es 0 así que aquí me queda 1

38
00:03:38,750 --> 00:03:56,169
Y ahora, para la última fila, multiplicamos primero por la primera columna, menos 1 por 4 es menos 4, 1 más 5 es 5, es decir, menos 4 más 5 es 1, y 0 menos 1 es 0.

39
00:03:56,169 --> 00:04:09,909
aquí me queda un 1. Tercera fila por la segunda columna, menos 1 por menos 3, más 3, 1 por menos 4 es menos 4,

40
00:04:10,750 --> 00:04:17,189
más 3 menos 4 ya llevamos menos 1, y 0 por 1 es 0, o sea que aquí me queda menos 1.

41
00:04:17,189 --> 00:04:38,230
Y ahora ya para el último elemento es la tercera fila por la tercera columna, menos 1 por menos 3 es 3, 1 por menos 4 es menos 4, 3 menos 4 es menos 1 y 0 con el 0 es 0, así que me queda menos 1.

42
00:04:38,230 --> 00:04:43,670
vale, nos fijamos en la A que acabamos de obtener con la primera

43
00:04:43,670 --> 00:04:46,430
y no vemos tampoco ninguna área de recurrencia

44
00:04:46,430 --> 00:04:50,329
hay algunos elementos que se mantienen pero los demás no sacamos nada

45
00:04:50,329 --> 00:04:54,350
así que vamos a calcular el A al cubo

46
00:04:54,350 --> 00:04:55,750
A al cubo

47
00:04:55,750 --> 00:05:00,329
que es A cuadrado por A o A por A cuadrado como lo queramos poner

48
00:05:00,329 --> 00:05:02,769
yo lo voy a poner como A cuadrado por A

49
00:05:02,769 --> 00:05:05,990
por lo tanto escribo primero la matriz A cuadrado

50
00:05:05,990 --> 00:05:17,949
que es 4, 4, 1, menos 3, menos 3, menos 1, 0, 1, menos 1.

51
00:05:18,509 --> 00:05:21,949
A ver, cuando he dicho que da lo mismo poner a cuadrado por a que a por a cuadrado,

52
00:05:22,470 --> 00:05:25,649
recordad que el producto de matrices no es conmutativo,

53
00:05:26,310 --> 00:05:28,089
pero en este caso es por asociatividad.

54
00:05:29,250 --> 00:05:31,350
a cubo es a por a por a, ¿vale?

55
00:05:31,350 --> 00:05:37,149
Por lo tanto, es decir, estoy diciendo que a cubo es a por a por a.

56
00:05:37,430 --> 00:05:45,170
Puedo asociar las dos primeras y sería a cuadrado por a, o podría asociar las dos últimas y sería a por a cuadrado, ¿vale?

57
00:05:45,250 --> 00:05:46,949
Eso sí que se verifica.

58
00:05:46,949 --> 00:06:01,329
Vale, escribimos la matriz a, 4, 5, menos 1, menos 3, menos 4, 1, menos 3, menos 4, 0.

59
00:06:01,350 --> 00:06:11,639
Hacemos otra vez el producto y empezamos primera fila por primera columna

60
00:06:11,639 --> 00:06:15,439
4 por 4 es 16

61
00:06:15,439 --> 00:06:20,600
Menos 3 por 5 es menos 15, ya me queda 1

62
00:06:20,600 --> 00:06:24,439
Y 0 por menos 1 es 0, así que el primer elemento es un 1

63
00:06:24,439 --> 00:06:28,279
Ahora multiplicamos la primera fila por la segunda columna

64
00:06:28,279 --> 00:06:31,480
4 por menos 3 es menos 12

65
00:06:31,480 --> 00:06:35,139
menos 3 por menos 4 es más 12

66
00:06:35,139 --> 00:06:36,199
por lo tanto es 0

67
00:06:36,199 --> 00:06:40,060
y 0 por 1 es 0

68
00:06:40,060 --> 00:06:43,000
esto ya tiene mejor pinta, ¿verdad?

69
00:06:43,600 --> 00:06:45,300
el siguiente elemento es multiplicar

70
00:06:45,300 --> 00:06:47,000
primera fila por tercera columna

71
00:06:47,000 --> 00:06:51,639
y me sale menos 4 por menos 3 es menos 12

72
00:06:51,639 --> 00:06:54,279
menos 3 por menos 4 es más 12

73
00:06:54,279 --> 00:06:57,240
0 por 0 es 0

74
00:06:57,240 --> 00:07:08,120
Vale, pues vamos ahora a hacer lo mismo con la segunda fila por la primera columna

75
00:07:08,120 --> 00:07:12,360
Tener cuidado cuando, si veis que lo digo al revés, que ya sabéis que con la dislexia se me va

76
00:07:12,360 --> 00:07:15,939
Pero mirad siempre los dibujitos, ¿vale? Ahí sí que están claros

77
00:07:15,939 --> 00:07:24,620
Vale, segunda fila, 4 por 4, 16, menos 3 más 5 es menos 15, por lo tanto me queda 1

78
00:07:24,620 --> 00:07:29,220
1 menos 1 es menos 1, 1 menos 1 es 0.

79
00:07:31,420 --> 00:07:47,240
Segunda fila, segunda columna, menos 4 por menos 3 es menos 12, menos 3 por menos 4 es más 12, por lo tanto menos 12 más 12 es 0, y 1 por 1 es 1.

80
00:07:48,740 --> 00:07:53,120
Y ahora la segunda fila por la tercera columna.

81
00:07:54,620 --> 00:08:02,339
4 por menos 3, menos 12, menos 3, por menos 4 es más 12, menos 12 más 12, 0.

82
00:08:03,160 --> 00:08:06,160
Y 1 por 0, 0.

83
00:08:06,939 --> 00:08:07,420
¿Vale?

84
00:08:07,759 --> 00:08:11,000
Luego ya tenemos la segunda fila también hecha.

85
00:08:11,439 --> 00:08:14,079
Y ya nos vamos haciendo una idea de lo que va a pasar, ¿verdad?

86
00:08:14,939 --> 00:08:18,279
Tercera fila, empezamos por la primera columna.

87
00:08:18,959 --> 00:08:23,860
Lo tenemos que calcular, tenemos que calcular todo y comprobar que lo que creemos que va a pasar es lo que va a pasar.

88
00:08:24,620 --> 00:08:36,220
1 por 4 es 4, menos 1 por 5 es menos 5, 4 menos 5 es menos 1, menos 1 por menos 1 es más 1, menos 1 más 1 es 0.

89
00:08:39,139 --> 00:08:42,039
Tercera fila, segunda columna.

90
00:08:42,039 --> 00:08:46,519
Menos 3, perdón, 1 por menos 3, menos 3

91
00:08:46,519 --> 00:08:51,419
Menos 1 por menos 4 es más 4, menos 3 más 4 es 1

92
00:08:51,419 --> 00:08:58,759
Y menos 1 por más 1 es menos 1, 1 menos 1, 0

93
00:08:58,759 --> 00:09:05,740
Y el último elemento, pues la tercera fila por la tercera columna

94
00:09:05,740 --> 00:09:08,659
1 por menos 3 es menos 3

95
00:09:08,659 --> 00:09:12,419
Menos 1 por menos 4 es más 4

96
00:09:12,419 --> 00:09:13,919
Menos 3 más 4 es 1

97
00:09:13,919 --> 00:09:15,659
Y menos 1 por 0 es 0

98
00:09:15,659 --> 00:09:17,440
Así que aquí me queda 1

99
00:09:17,440 --> 00:09:23,200
Vamos a cambiar otra vez al morado

100
00:09:23,200 --> 00:09:25,659
¿Qué hemos obtenido?

101
00:09:26,320 --> 00:09:29,539
Pues esta es la matriz identidad

102
00:09:29,539 --> 00:09:32,980
Luego ya tenemos el ejercicio resuelto, ¿verdad?

103
00:09:33,600 --> 00:09:35,620
¿Qué ha ocurrido?

104
00:09:35,740 --> 00:09:57,980
Lo que ha ocurrido es que la matriz, bueno, se ha puesto a salir un montón de cosas por ahí, hemos obtenido que la matriz 3, el a al cubo, es la identidad, por lo tanto es una matriz cíclica, a4 que sería la matriz a, porque sería la identidad por la matriz a, ¿vale?

105
00:09:57,980 --> 00:10:13,940
Por lo tanto, ¿qué es lo único que tenemos que hacer ahora? Pues dividir el exponente, 86, entre 3. 2 por 3, 6, al 8, 2, bajo 6, 3 por 8, 24, al 26, 2.

106
00:10:13,940 --> 00:10:28,259
Y entonces si hacemos todos los pasos, ¿qué me quedaría? Que a elevado a 86 lo puedo poner como a elevado a 3 por 86 más 2,

107
00:10:28,519 --> 00:10:35,940
esto es la propiedad de la división, producto del cociente por el divisor más el resto, por las propiedades de las potencias,

108
00:10:35,940 --> 00:10:45,559
Esto es a al cubo elevado a 86, ya que tengo un producto, por a al cuadrado, ya que tenemos una suma.

109
00:10:46,399 --> 00:10:50,860
¿Y qué ocurre? Que a al cubo es la identidad, por lo tanto todo esto es la identidad,

110
00:10:51,399 --> 00:10:57,600
y que me quedaría aquí i por a al cuadrado, es decir, a al cuadrado.

111
00:10:57,600 --> 00:11:10,120
¿Vale? Que es lo que también sabíamos, porque en el fondo el resto de la división es justamente el exponente resultante.

112
00:11:10,919 --> 00:11:18,200
¿Vale? Por lo tanto, a a la 86 es exactamente a cuadrado.

113
00:11:18,200 --> 00:11:45,740
A ver, de acuerdo, o sea, lo podemos escribir aquí abajo, a a la 86 es igual a a al cuadrado, que si queréis lo único que tendríamos que hacer es escribir, pues, la matriz al cuadrado, que es esta, por no estar moviendo más cosas, no lo escribo, pero vosotros en el examen, vaya, me lo ha hecho como un pentágono, vosotros en el examen es mejor que lo escribáis, ¿vale?

114
00:11:45,740 --> 00:11:53,019
Espero que lo hayáis visto, no es muy complicado de hacer, simplemente tenéis que tener cuidado a la hora de multiplicar.