1
00:00:00,240 --> 00:00:14,199
Esta parte del tutorial presupone que ya conocéis las funciones elementales, seno, coseno, exponencial, etc. y las reglas elementales, producto, división y composición.

2
00:00:15,419 --> 00:00:23,460
Y lo que va a hacer es, de forma muy, muy, muy gradual, ir viendo cómo se combinan unas y otras para obtener derivadas.

3
00:00:23,739 --> 00:00:29,239
Es, por tanto, un tutorial pensado para la gente a quien le cuesta más este proceso.

4
00:00:29,239 --> 00:00:54,439
Una vez hecho esto, lo que nos queda es combinar los distintos métodos de integración. Por ejemplo, la regla de la cadena y el producto de funciones. En este caso, lo que tenemos es el coseno de una función.

5
00:00:54,439 --> 00:01:05,239
Esta vez la pongo con mayúsculas porque voy a emplear después, cuando he señalado esa función, las minúsculas para el producto de estas dos funciones.

6
00:01:06,859 --> 00:01:23,980
Bien, en general, cuando hacemos cálculos, lo primero que haríamos en este caso es calcular el 5x cuadrado, luego lo multiplicaríamos por el elevado de x, y una vez hecho eso, lo último que haríamos sería calcular el coseno de eso.

7
00:01:23,980 --> 00:01:30,260
Bueno, pues cuando derivamos vamos a efectuar siempre el orden contrario.

8
00:01:31,060 --> 00:01:33,260
Empezaríamos por lo último que hacemos en los cálculos.

9
00:01:33,560 --> 00:01:37,980
Empezaríamos por la función coseno de lo de adentro y después derivamos lo de adentro.

10
00:01:38,819 --> 00:01:40,260
Va a ser siempre así en todos los casos.

11
00:01:41,540 --> 00:01:42,659
Bueno, pues empezamos.

12
00:01:43,719 --> 00:01:45,739
Hemos localizado el coseno de la función.

13
00:01:46,459 --> 00:01:51,560
Su derivada es menos seno de f por f'.

14
00:01:51,560 --> 00:01:59,340
Pues nada, menos seno de 5x cuadrado elevado a x

15
00:01:59,340 --> 00:02:01,739
Y ahora ponemos la f prima

16
00:02:01,739 --> 00:02:06,200
Que es la derivada de todo lo de dentro

17
00:02:06,200 --> 00:02:08,219
Que es un producto

18
00:02:08,219 --> 00:02:10,500
Como tenemos un producto, va a haber una suma

19
00:02:10,500 --> 00:02:15,360
Entonces vamos a tener que coger un paréntesis para todo lo que hay con la suma

20
00:02:15,360 --> 00:02:16,939
Vamos a hacerlo

21
00:02:16,939 --> 00:02:19,020
pues tenemos

22
00:02:19,020 --> 00:02:21,340
como es un producto sería

23
00:02:21,340 --> 00:02:22,419
f' por g

24
00:02:22,419 --> 00:02:24,360
más f por g'

25
00:02:24,620 --> 00:02:26,759
pues sería

26
00:02:26,759 --> 00:02:27,719
f' que sería

27
00:02:27,719 --> 00:02:36,129
10x

28
00:02:36,129 --> 00:02:37,169
10x

29
00:02:37,169 --> 00:02:39,069
por g elevado a x

30
00:02:39,069 --> 00:02:42,129
más 5x cuadrado

31
00:02:42,129 --> 00:02:45,889
por g' que es elevado a x

32
00:02:45,889 --> 00:02:47,210
y ya esta es la derivada

33
00:02:47,210 --> 00:02:50,979
importante el paréntesis

34
00:02:50,979 --> 00:03:00,939
porque si no ponemos un paréntesis, si así este paréntesis no estuviera, lo que tendríamos es que

35
00:03:00,939 --> 00:03:08,830
esta función multiplica a esto y luego habría que sumarlo, lo cual sería incorrecto. Y si leemos

36
00:03:08,830 --> 00:03:13,050
esta derivada al cabo de un mes, la interpretaríamos mal. Ahora a lo mejor sabríamos lo que hay que

37
00:03:13,050 --> 00:03:18,789
hacer con la memoria, pero si no, al cabo de un mes, lo que podríamos mal. Bueno, borramos esto

38
00:03:18,789 --> 00:03:46,199
para no olvidar, y seguimos. Otro ejemplo más, por ejemplo, pues, elevado a raíz de x, tangente de x, menos 7, o por ejemplo, pues, coseno de x por e elevado a x, todo ello elevado a 4.

39
00:03:46,199 --> 00:04:05,620
Bien, vamos a hacer estas derivadas. Aquí tenemos elevado a una función cuya derivada es elevado a f por f'. Pues lo ponemos.

40
00:04:05,620 --> 00:04:08,300
elevado a dicha función

41
00:04:08,300 --> 00:04:14,240
y ahora

42
00:04:14,240 --> 00:04:15,960
hay que poner f'

43
00:04:16,220 --> 00:04:18,439
entonces cuando tenemos la derivada de f'

44
00:04:18,660 --> 00:04:21,019
que vamos a ver un paréntesis

45
00:04:21,019 --> 00:04:21,980
porque lo había un producto

46
00:04:21,980 --> 00:04:25,839
en la g' pues tenemos

47
00:04:25,839 --> 00:04:28,199
una resta de función

48
00:04:28,199 --> 00:04:29,680
la segunda es una constante

49
00:04:29,680 --> 00:04:32,839
entonces aquí tendríamos la f y la g

50
00:04:32,839 --> 00:04:34,560
pues tendríamos que hacer

51
00:04:34,560 --> 00:04:35,839
la derivada de un producto

52
00:04:35,839 --> 00:04:38,620
que es f' por g

53
00:04:38,620 --> 00:04:40,360
más f por g'

54
00:04:40,360 --> 00:04:54,779
f' es la derivada de raíz cuadrada de x, que es 1 partido de 2 raíz de x, por g, tangente de x, más f, raíz de x, por la derivada de g.

55
00:04:55,139 --> 00:05:00,439
Podemos coger cualquiera de ellas, por ejemplo, 1 más tangente cuadrado de x.

56
00:05:02,439 --> 00:05:03,199
Y ya hemos terminado.

57
00:05:03,199 --> 00:05:06,399
entonces siempre es así, localizamos una función

58
00:05:06,399 --> 00:05:09,899
aplicamos regla de la cadena

59
00:05:09,899 --> 00:05:11,540
y después de eso

60
00:05:11,540 --> 00:05:14,360
pues ya nos preocuparemos de derivarlo de dentro

61
00:05:14,360 --> 00:05:16,040
y ahí aplicamos la siguiente regla

62
00:05:16,040 --> 00:05:17,319
que en este caso es el producto

63
00:05:17,319 --> 00:05:20,680
en este caso vamos a hacer lo mismo

64
00:05:20,680 --> 00:05:24,420
tenemos una función elevada a 4

65
00:05:24,420 --> 00:05:27,439
cuya elevada es 4f cubo por f'

66
00:05:27,680 --> 00:05:30,560
pues ahora vamos a hacer eso

67
00:05:30,560 --> 00:05:41,879
Sería 4 veces el coseno de x por elevado a x, todo ello elevado al cubo, y ahora pondría el de lo de dentro.

68
00:05:42,600 --> 00:06:04,079
Como lo de dentro es un producto, en concreto es f por g, pues al poner la f' tendríamos f' por g más f por g'.

69
00:06:04,079 --> 00:06:16,250
Es decir, menos seno de x por elevado a x más f coseno de x g' que es elevado a x.

70
00:06:17,310 --> 00:06:22,069
Fijaos que hemos puesto paréntesis nuevamente, que no se olviden.

71
00:06:22,069 --> 00:06:45,519
Bueno, pues haced un par de ejercicios, por ejemplo, pues el seno de la raíz de x por e elevado a x y, bueno, tres ejercicios.

72
00:06:45,519 --> 00:07:26,089
e elevado a 5x cuadrado seno de x más 2 y por último pues una polinomial que sería una potencial, quiero decir, pues coseno de x por logaritmo de pi de x más 1, todo ello elevado al cuadrado derivada.

73
00:07:26,089 --> 00:07:39,639
Bueno, para ir a grabación y corregimos, antes de corregir voy a hacer un zoom a la parte de arriba para poder trabajar bien.

74
00:07:41,240 --> 00:07:54,699
Corregimos. Tenemos aquí el seno de la función, que es esta de aquí, cuya derivada es el coseno de f por f'.

75
00:07:54,699 --> 00:08:09,699
Ahora, pues lo ponemos, coseno de dicha función, y ahora ponemos f', pero f' es el producto de dos funciones, f y g.

76
00:08:09,699 --> 00:08:19,019
Y como es un producto, pues la derivada es f' por g más f por g'.

77
00:08:19,019 --> 00:08:36,809
Es decir, que sería f' 1 partido de 2 raíz de x por g más f por g', que es la derivada de elevado a x, que es elevado a x.

78
00:08:37,669 --> 00:08:39,850
Observemos que hemos puesto aquí un paréntesis.

79
00:08:39,850 --> 00:08:48,970
En la siguiente tendríamos e elevado a una función, que es esta.

80
00:08:51,590 --> 00:09:03,649
Nada, pues habría que poner e elevado a f por g', es decir, e elevado a 5x cuadrado seno de x más 2.

81
00:09:05,230 --> 00:09:08,610
Y ahora hay que derivar dicha función.

82
00:09:08,610 --> 00:09:12,450
y observamos que dentro de esta función

83
00:09:12,450 --> 00:09:15,009
tenemos un producto

84
00:09:15,009 --> 00:09:18,230
pues esta es f y esta es g

85
00:09:18,230 --> 00:09:21,730
pues nada, hagamos esa derivada

86
00:09:21,730 --> 00:09:24,330
con paréntesis porque va a haber sumas

87
00:09:24,330 --> 00:09:31,200
con esa f' por g

88
00:09:31,200 --> 00:09:33,360
más f por g'

89
00:09:33,659 --> 00:09:37,769
sería f' pues

90
00:09:37,769 --> 00:09:41,110
10x por g

91
00:09:41,110 --> 00:09:42,830
seno de x

92
00:09:42,830 --> 00:09:46,029
más f, 5x cuadrado

93
00:09:46,029 --> 00:09:50,200
por g prima

94
00:09:50,200 --> 00:09:52,659
coseno de x

95
00:09:52,659 --> 00:09:57,149
y luego nos quedaría acabar la función de arriba

96
00:09:57,149 --> 00:09:59,710
porque parece que como es una constante, pues el 2 desaparece

97
00:09:59,710 --> 00:10:02,350
y ya podemos cerrar el paréntesis

98
00:10:02,350 --> 00:10:05,529
y ya hemos terminado la derivada

99
00:10:05,529 --> 00:10:06,649
vamos con la última

100
00:10:06,649 --> 00:10:10,509
tenemos una función al cuadrado

101
00:10:10,509 --> 00:10:14,309
que es esta de aquí

102
00:10:14,309 --> 00:10:19,830
Pues nada, la derivada sería 2f por f'

103
00:10:20,110 --> 00:10:22,769
Pues nada, lo ponemos

104
00:10:22,769 --> 00:10:28,490
2 coseno de x logaritmo de pleno de x más 1

105
00:10:28,490 --> 00:10:30,470
Y ahora ponemos f'

106
00:10:30,730 --> 00:10:34,269
Que como hay un producto adentro va a haber que coger un paréntesis

107
00:10:34,269 --> 00:10:41,529
Dicho producto está formado por una función f y una función g

108
00:10:41,529 --> 00:10:47,009
cuyo derivado nuevamente es f' por g más f por g'.

109
00:10:47,009 --> 00:10:55,289
Con lo cual tendríamos f' que es menos seno de x por g,

110
00:10:55,289 --> 00:11:03,730
que es el logaritmo de periodo de x, más f coseno de x por la derivada de g, que es 1 partido por x.

111
00:11:04,529 --> 00:11:10,590
Como luego lo que tenemos es más 1, que es una porcentaje, y su derivada es 0,

112
00:11:10,590 --> 00:11:14,230
Pues ya esa parte la quitamos y ya hemos terminado

113
00:11:14,230 --> 00:11:17,250
Hagamos otros ejemplos

114
00:11:17,250 --> 00:11:19,870
Por ejemplo, ahora un producto de composiciones

115
00:11:19,870 --> 00:11:27,909
Tenemos, por ejemplo, x al cubo por e elevado a coseno de x

116
00:11:27,909 --> 00:11:46,190
O, por ejemplo, el logaritmo de x al cuadrado más 7 multiplicado por el seno de x al cuadrado más elevado a x menos 2.

117
00:11:47,590 --> 00:11:49,690
Bueno, pues vamos a hacer esas dos derivadas.

118
00:11:53,019 --> 00:11:55,519
Nuevamente, recordamos lo de antes.

119
00:11:56,080 --> 00:11:58,720
Si tuviéramos que hacer las funciones, ¿por dónde empezaríamos?

120
00:11:58,720 --> 00:12:07,059
Pues seguramente calcularíamos x al cubo, luego calcularíamos el coseno de x, después elevado a x y lo último este producto.

121
00:12:07,580 --> 00:12:11,340
Bueno, a la hora de derivar, ese producto será lo primero que haremos.

122
00:12:12,720 --> 00:12:23,559
Entonces tenemos aquí una función f, una función g, cuya derivada es f' por g más f por g'.

123
00:12:23,559 --> 00:12:26,320
Pues nada, es cuestión de poner eso.

124
00:12:26,320 --> 00:12:44,080
f' ¿cuál es? Pues 3x cuadrado por g elevado a coseno de x más fx al cubo por g' y ahora en g' tenemos que ver cómo se calcula esta derivada.

125
00:12:44,080 --> 00:12:51,659
Vemos que es elevado a una función cuya derivada es elevado a f por f'.

126
00:12:51,659 --> 00:12:54,899
Como el solo de productos, no hace falta poner paréntesis.

127
00:12:55,759 --> 00:13:03,659
Sería elevado a coseno de x por la derivada del coseno, que ponemos entre paréntesis porque hay un signo menos.

128
00:13:04,440 --> 00:13:04,860
Y ya está.

129
00:13:05,899 --> 00:13:09,000
Se puede dejar así, pero es mejor simplificar.

130
00:13:09,000 --> 00:13:22,440
Sería 3x cuadrado elevado a coseno de x menos x al cubo, por ejemplo, pues seno de x elevado a coseno de x.

131
00:13:23,419 --> 00:13:26,000
Y ya hemos terminado este ejercicio.

132
00:13:26,940 --> 00:13:28,899
Vamos con el siguiente, es un poco más complejo.

133
00:13:30,059 --> 00:13:35,480
Igualmente, pues si tuvieramos que calcular cosas, pues primero calcularíamos esto, luego esto y por último multiplicaríamos, ¿no?

134
00:13:35,480 --> 00:13:38,919
Pues el orden de derivación es el inverso.

135
00:13:39,000 --> 00:13:43,100
como antes. Entonces, pues esto es una función f,

136
00:13:43,259 --> 00:13:46,659
esto es una función g, y tenemos que hacer

137
00:13:46,659 --> 00:13:50,820
f' por g más f por g'.

138
00:13:50,820 --> 00:13:54,639
Ahora bien, f' ¿qué es?

139
00:13:56,000 --> 00:13:57,879
Una composición de funciones.

140
00:13:59,120 --> 00:14:01,940
Porque tenemos logaritmo de f.

141
00:14:03,000 --> 00:14:06,820
Pues entonces hay que tenerlo en cuenta. Entonces, a la hora de derivar la f,

142
00:14:06,820 --> 00:14:26,000
Ahora hay que poner el f' partido por f. Pues lo hacemos. f' partido por f, que es 2x entre x cuadrado más 7. Ahora ya podemos poner la g, que es seno de x cuadrado más elevado a x menos 2.

143
00:14:26,000 --> 00:14:37,679
Ahora, más f más logaritmo neperiano de x al cuadrado más 7 y ahora nos queda la g prima, g mayúscula.

144
00:14:38,240 --> 00:14:47,019
Pues nada, observamos que esta función g mayúscula es de la forma seno de una función.

145
00:14:48,600 --> 00:14:54,759
Por lo tanto, ¿qué habrá que poner aquí en la derivada de g? Pues el coseno de f por f prima.

146
00:14:54,759 --> 00:15:08,720
Pues lo ponemos. Sería por el coseno de x cuadrado más elevado a x menos 2 por la derivada de adendrón, 2x más elevado a x.

147
00:15:11,450 --> 00:15:22,309
Y ya está. Y en este caso, pues, no se puede simplificar más. En todo caso, puedes meter esto en el numerador, pero bueno, tampoco es imprescindible.

148
00:15:22,309 --> 00:15:45,019
Bueno, pues hace dos ejemplos. Por ejemplo, coseno de x elevado a x cuadrado más 2x menos 1, derivada, y una también un poco más compleja,

149
00:15:45,019 --> 00:16:06,840
seno de 7x cuadrado más 2 por el logaritmo neperiano de elevado a x menos 7.

150
00:16:07,299 --> 00:16:14,990
Derivada igual, parece la grabación y corregimos.

151
00:16:20,009 --> 00:16:22,730
Bien, corregimos, muevo un momento esto abajo.

152
00:16:22,730 --> 00:16:40,809
La derivada de la función es el producto de dos funciones f y g, de modo que la derivada sería f' por g más f por g'.

153
00:16:40,809 --> 00:16:56,090
Pues lo ponemos, f es el coseno de x, de modo que su derivada es menos el seno de x, y ahora g sería elevado a x cuadrado más 2x menos 1.

154
00:16:57,090 --> 00:17:01,990
Seguimos poniendo la f, que es el coseno de x, y ahora hay que poner g'.

155
00:17:01,990 --> 00:17:08,309
Pero observamos que g mayúscula es una composición de dos funciones.

156
00:17:08,309 --> 00:17:21,000
Es e elevado a la función f, cuya derivada sería e elevado a f por f'.

157
00:17:21,000 --> 00:17:30,579
Es decir, e elevado a x cuadrado más 2x menos 1 por la derivada que es 2x más 2.

158
00:17:32,500 --> 00:17:40,220
Sigamos. Ahora tendríamos aquí el producto de dos funciones, f y g.

159
00:17:40,759 --> 00:17:48,759
Recordamos, lo último que haríamos, que es multiplicar, después de haber calculado todo lo que está dentro del seno del logaritmo, es lo primero que derivamos.

160
00:17:48,759 --> 00:18:00,970
Entonces hacemos f y g, cuyo derivada es f' por g más f por g'.

161
00:18:00,970 --> 00:18:08,490
Y ahora pues nada, ya que nos piden f', tendríamos que derivar esto.

162
00:18:08,490 --> 00:18:11,230
y vemos que es de la forma seno de f

163
00:18:11,230 --> 00:18:18,789
y que la derivada de esto es seno de f por eje prima

164
00:18:18,789 --> 00:18:24,299
perdón, coseno de f por eje prima

165
00:18:24,299 --> 00:18:25,220
pues lo ponemos

166
00:18:25,220 --> 00:18:30,119
coseno de 7x cuadrado más 2

167
00:18:30,119 --> 00:18:32,680
por su derivada que es 14x

168
00:18:32,680 --> 00:18:35,420
ahora multiplicamos por g

169
00:18:35,420 --> 00:18:37,359
que es esta función

170
00:18:37,359 --> 00:18:42,859
logaritmo neperiano de elevado a x

171
00:18:42,859 --> 00:18:48,769
menos 7. Ahora ponemos la función f

172
00:18:48,769 --> 00:18:52,730
que es seno de

173
00:18:52,730 --> 00:18:57,269
7x cuadrado más 2 y multiplicamos

174
00:18:57,269 --> 00:18:59,089
por g prima, donde g prima

175
00:18:59,089 --> 00:19:05,109
es la derivada de esta función. Vemos que

176
00:19:05,109 --> 00:19:09,049
transforma logaritmo neperiano de una función f

177
00:19:09,049 --> 00:19:14,029
De modo que f' sería de la forma f' partido por f.

178
00:19:16,500 --> 00:19:18,420
Pues nada, ponemos ese f' partido por f.

179
00:19:19,000 --> 00:19:21,619
¿Cuál es f'? Pues elevado a x.

180
00:19:22,059 --> 00:19:25,039
¿Cuál es f? Elevado a x menos 7.

181
00:19:26,119 --> 00:19:27,420
Y ya habíamos hecho la derivada.

182
00:19:28,819 --> 00:19:32,819
Otra combinación de las reglas de derivación es el producto de tres funciones.

183
00:19:33,599 --> 00:19:40,019
Por ejemplo, x elevado a 5, elevado a x, seno de x.

184
00:19:40,740 --> 00:19:49,859
derivada. Hay dos formas de hacer esto. Una de ellas sería considerar esto como producto

185
00:19:49,859 --> 00:19:56,539
de dos funciones, por ejemplo, f y g, donde f, a su vez, es un producto de dos funciones,

186
00:19:57,880 --> 00:20:09,970
f y g, y aplicar así las reglas de derivación. En primer lugar, ponemos f' por g más f

187
00:20:09,970 --> 00:20:19,549
por g'. Y a su vez, cuando vayamos a derivar f', vamos a ver un producto que habrá que

188
00:20:19,549 --> 00:20:32,730
derivar, poniendo f' por g más f por g'. Pues hacemos eso. Cogemos f', que sería 5x4,

189
00:20:32,730 --> 00:20:46,220
por g, que es e elevado a x, más f, x5, por g', que es e elevado a x, y ponemos un paréntesis,

190
00:20:46,660 --> 00:20:53,299
porque se sumando y vamos a multiplicarlo ahora mismo, por g, que es seno de x. Ponemos la suma,

191
00:20:53,640 --> 00:21:02,920
ahora f, mayúscula, que es x5 e elevado a x, y ahora g', que es la derivada del seno, que es el coseno de x.

192
00:21:02,920 --> 00:21:06,640
y ahí se hace sin ninguna dificultad

193
00:21:06,640 --> 00:21:09,099
luego se puede quitar el paréntesis, etc.

194
00:21:09,680 --> 00:21:14,619
que quedaría 5x4 elevado a x seno de x

195
00:21:14,619 --> 00:21:18,259
más x5 elevado a x seno de x

196
00:21:18,259 --> 00:21:21,180
más x5 elevado a x coseno de x

197
00:21:21,180 --> 00:21:26,180
la otra forma sería utilizar una regla de derivación

198
00:21:26,180 --> 00:21:29,099
lo que pasa es que ya es algo más de memoria

199
00:21:29,099 --> 00:21:30,079
que hay que utilizar

200
00:21:30,079 --> 00:21:33,220
y es que si tenemos tres funciones

201
00:21:33,220 --> 00:21:40,819
pues tenemos F'GH más FG'H más FGH'.

202
00:21:40,819 --> 00:21:43,619
Siempre hay una que está derivando.

203
00:21:43,900 --> 00:21:45,140
Incluso con cuatro sale lo mismo.

204
00:21:47,559 --> 00:22:01,500
FGHI' sería FGHI con la prima aquí, más FG'HI, más FGH'I, más FGHI'.

205
00:22:01,500 --> 00:22:06,980
entonces de esta forma pues

206
00:22:06,980 --> 00:22:09,000
obtendríamos exactamente

207
00:22:09,000 --> 00:22:11,200
esto último

208
00:22:11,200 --> 00:22:13,599
f'gh

209
00:22:13,599 --> 00:22:14,559
pues f'

210
00:22:14,839 --> 00:22:17,079
por g por h

211
00:22:17,079 --> 00:22:19,400
más f, g' que es esta

212
00:22:19,400 --> 00:22:20,740
por h

213
00:22:20,740 --> 00:22:23,279
más f por g

214
00:22:23,279 --> 00:22:23,940
por h'

215
00:22:24,259 --> 00:22:26,420
y así lo tendríamos

216
00:22:26,420 --> 00:22:30,849
porque es que de hecho esto no es más

217
00:22:30,849 --> 00:22:31,650
que hacer

218
00:22:31,650 --> 00:22:34,009
f' por g

219
00:22:34,009 --> 00:22:36,470
más f por g'

220
00:22:36,470 --> 00:22:52,539
prima por h más fg h prima. Entonces estamos convirtiendo esto en f y esto en g, haciéndolo

221
00:22:52,539 --> 00:22:59,799
de antes. Bueno, pues hacemos otro ejemplo. Bueno, hacéis vosotros otro ejemplo, bien

222
00:22:59,799 --> 00:23:08,359
utilizando esto o bien utilizando esto de aquí y corregimos. El ejemplo que os propongo

223
00:23:08,359 --> 00:23:11,299
sería logaritmo de apelano de x

224
00:23:11,299 --> 00:23:16,519
por el seno de x

225
00:23:16,519 --> 00:23:19,609
5 por ejemplo

226
00:23:19,609 --> 00:23:23,809
por elevado a x

227
00:23:23,809 --> 00:23:24,430
derivada

228
00:23:24,430 --> 00:23:29,660
bueno, corrijo

229
00:23:29,660 --> 00:23:32,160
voy a utilizar ahora esta fórmula

230
00:23:32,160 --> 00:23:34,680
5 logaritmo de x

231
00:23:34,680 --> 00:23:36,859
pues sería 5 por 1 partido por x

232
00:23:36,859 --> 00:23:38,480
por

233
00:23:38,480 --> 00:23:39,799
o sea, cogeríamos

234
00:23:39,799 --> 00:23:41,160
fgh

235
00:23:41,160 --> 00:23:42,740
f'

236
00:23:42,740 --> 00:23:54,160
prima por g por h más f por g por y por h más f por g h prima. Pues nada, sería esto.

237
00:23:55,200 --> 00:24:04,579
Ahora cogeríamos la g que es seno de x y la h elevado a x más la f que es 5 logaritmo

238
00:24:04,579 --> 00:24:13,279
de x, por la derivada de g, que es el coseno de x, por h, que es elevado a x, más la f,

239
00:24:13,420 --> 00:24:21,039
que es 5 logaritmo de x, por el seno de x, por h' que es la derivada de x, que es elevado

240
00:24:21,039 --> 00:24:29,279
a x. Y ya está. Bueno, pasemos a otra cosa. Otra combinación de reglas de derivación

241
00:24:29,279 --> 00:24:36,599
podría ser cociente y composición de funciones. Vamos a hacerlo de dos maneras distintas, no vamos a extendernos demasiado

242
00:24:36,599 --> 00:24:45,240
porque ya lo hemos hecho con el producto y la composición. Tenemos, por ejemplo, un cociente de dos composiciones, por ejemplo,

243
00:24:45,240 --> 00:25:05,740
pues elevado a x cuadrado menos 6 entre, pues un polinomio normal, yo que sé, x5, x5 pues más el logaritmo de Periano de x cuadrado menos 3x, por ejemplo, derivada.

244
00:25:05,740 --> 00:25:24,630
Y aquí, pues, por ejemplo, elevado a x cuadrado más 3x entre x5 más 2, derivada.

245
00:25:25,930 --> 00:25:33,990
Bueno, pues en el primer caso, si tenemos que hacer cálculos, primero haríamos esto, luego esto y luego último el cociente, ¿no?

246
00:25:33,990 --> 00:25:35,829
Pues hacemos al revés

247
00:25:35,829 --> 00:25:40,099
Hacemos pues primero

248
00:25:40,099 --> 00:25:42,960
O sea, quiero decir

249
00:25:42,960 --> 00:25:44,960
Si lo último queremos es el cociente

250
00:25:44,960 --> 00:25:46,220
Empecemos derivando con el cociente

251
00:25:46,220 --> 00:25:48,420
Tenemos f entre g

252
00:25:48,420 --> 00:25:50,480
Y esto sería f' por g

253
00:25:50,480 --> 00:25:52,599
Menos f por g'

254
00:25:52,839 --> 00:25:56,700
Entre g cuadrado

255
00:25:56,700 --> 00:26:01,619
Empezamos con el denominador

256
00:26:01,619 --> 00:26:05,519
x5 más logaritmo de piano de x

257
00:26:05,519 --> 00:26:07,400
Cuadrado menos 3x

258
00:26:07,400 --> 00:26:09,339
todo ello al cuadrado

259
00:26:09,339 --> 00:26:11,599
y ahora llegamos con el numerador

260
00:26:11,599 --> 00:26:14,160
f' vemos que el numerador

261
00:26:14,160 --> 00:26:15,200
es una función

262
00:26:15,200 --> 00:26:17,960
de la forma e elevado a f

263
00:26:17,960 --> 00:26:20,200
cuya derivada es

264
00:26:20,200 --> 00:26:21,640
e elevado a f por f'

265
00:26:21,920 --> 00:26:23,880
pues lo ponemos

266
00:26:23,880 --> 00:26:26,579
tenemos e elevado a

267
00:26:26,579 --> 00:26:28,119
x cuadrado menos 6

268
00:26:28,119 --> 00:26:30,640
por su derivada que es 2x

269
00:26:30,640 --> 00:26:33,500
aquí no hace falta poner paréntesis

270
00:26:33,500 --> 00:26:36,099
y ahora multiplicamos por g

271
00:26:36,099 --> 00:27:03,200
que es el terminador, con un paréntesis, x5 más logaritmo de periano de x cuadrado menos 3x, cierro paréntesis, cierro paréntesis, el signo menos, ahora la función f, elevado a x cuadrado menos 6, y ahora g', que g' es un poco más complicado, abrimos un paréntesis, empezamos derivando esta parte de g', que es 5x4,

272
00:27:03,200 --> 00:27:14,480
Y ahora observamos que aquí tenemos el logaritmo de perinodo de una función cuya derivada era f' partido por f.

273
00:27:15,019 --> 00:27:29,279
Pues hacemos eso. Ponemos esta fracción y en el denominador la derivada que sería 2x menos 3 y en el denominador x cuadrado menos 3x.

274
00:27:30,299 --> 00:27:32,079
Y cerramos paréntesis y ya está hecho.

275
00:27:32,079 --> 00:27:39,700
Cojamos la siguiente, igual que antes, pues nosotros primero calcularíamos esto y después haríamos e elevado a eso

276
00:27:39,700 --> 00:27:43,039
Pues nada, vamos a hacerlo

277
00:27:43,039 --> 00:27:49,849
Con lo cual, con lo primero que diríamos es con la función e elevado a eso

278
00:27:49,849 --> 00:27:57,670
Entonces tenemos una función de la forma e elevado a f, cuya derivada es e elevado a f por f'

279
00:27:57,670 --> 00:28:12,299
prima. Empezamos con elevado a f, que sería elevado a x cuadrado más 3x entre x5 más 2.

280
00:28:13,160 --> 00:28:19,319
Ahora pongo, bueno, no hace falta un paréntesis, perdón. Ahora ponemos la derivada de f prima

281
00:28:19,319 --> 00:28:31,400
mayúscula, que es un cociente. Ya conocemos cómo son las derivadas. Sería un f prima por g menos f

282
00:28:31,400 --> 00:28:39,799
por g' entre g cuadrado. Ponemos ya la fracción del cociente. Podemos poner el g cuadrado

283
00:28:39,799 --> 00:28:47,539
de abajo ya, x5 más 2 todo y el cuadrado. Y ahora vamos con el numerador. f' que es

284
00:28:47,539 --> 00:29:04,660
esto? Pues 2x más 3 por g, x5 más 2, menos f, x cuadrado más 3x, por g prima, 5x4, y

285
00:29:04,660 --> 00:29:11,059
ya está. La única simplificación que se podría hacer aquí sería desarrollar algebricamente

286
00:29:11,059 --> 00:29:16,299
esto, pero como hemos dicho no vamos a hacer ahora simplificaciones. Bueno, pues os propongo

287
00:29:16,299 --> 00:29:23,710
un par de ejercicios. Por ejemplo, primero algo como éste y luego otro como el otro.

288
00:29:23,710 --> 00:29:43,259
Pues el seno de elevado a x más 4 entre x cuadrado menos 3x más 1, derivada de

289
00:29:43,259 --> 00:30:04,039
todo ello y abajo pues el seno de x cuadrado menos 7 entre pues el coseno de x cubo más

290
00:30:04,039 --> 00:30:14,559
elevado a x menos x5 más 2. Deriva de todo esto. Paráis la grabación, la realizáis

291
00:30:14,559 --> 00:30:25,740
Y corregimos. En el primer caso tenemos el seno de una función cuya derivada es el coseno de f por f'.

292
00:30:25,740 --> 00:30:34,079
Pues lo ponemos. Coseno de elevado a x más 4 entre x cuadrado menos 3x más 1.

293
00:30:36,980 --> 00:30:43,940
Ahora ponemos f' y observamos que es el cociente de dos funciones, f y g.

294
00:30:43,940 --> 00:30:56,119
con lo cual sería una fracción, cuyo numerador tendría f' por g menos f por g' y cuyo denominador tendría g cuadrado.

295
00:30:57,400 --> 00:31:03,900
Empezamos por el denominador, que es más sencillo, sería x cuadrado menos 3x más 1, todo ello al cuadrado.

296
00:31:03,900 --> 00:31:23,420
Y ahora vamos al numerador. Tendríamos f' elevado a x por g por x al cuadrado menos 3x más 1 menos f elevado a x más 4 por g' la derivada de esto que es 2x menos 3.

297
00:31:23,420 --> 00:31:41,690
Y ya está. Vamos con la siguiente. Aquí tenemos un cociente de dos funciones cuya derivada es una fracción de estructura f' por g menos f por g' entre g al cuadrado.

298
00:31:42,829 --> 00:31:54,130
Empezamos con el denominador, que sería el coseno de x al cubo más elevado a x menos x a la 5 menos 2, todo ello al cuadrado.

299
00:31:55,049 --> 00:32:19,509
Y ahora ya ponemos el numerador. f'. f' es el seno de la función y como la derivada de seno de f es el coseno de f por f', lo ponemos. Ponemos el coseno de x al cuadrado menos 7 por la derivada de lo de dentro que es 2x.

300
00:32:20,049 --> 00:32:25,450
Ahora multiplicamos por g, que como tiene unas sumas y restas, hay que ponerlo en un paréntesis.

301
00:32:26,109 --> 00:32:31,670
Coseno de x al cubo más elevado a x menos x a la 5 más 2.

302
00:32:32,910 --> 00:32:34,250
Ponemos el menos que está aquí.

303
00:32:36,720 --> 00:32:46,069
Ahora multiplicamos por f, después lo ponemos f, que se multiplica a g'.

304
00:32:46,069 --> 00:32:51,240
Ahora vamos al denominador, que tiene dos partes.

305
00:32:51,240 --> 00:32:59,680
un primer término, que es de la forma coseno de f, cuya derivada es menos seno de f por f'.

306
00:32:59,680 --> 00:33:08,079
Como hay un menos, ponemos un paréntesis, menos seno de x al cubo más elevado a x,

307
00:33:08,779 --> 00:33:14,619
por la derivada de lo dentro, que tiene otro paréntesis, que es 3x cuadrado más elevado a x.

308
00:33:14,619 --> 00:33:22,900
y podemos seguir

309
00:33:22,900 --> 00:33:28,970
vamos a ver con la derivada de esto que es

310
00:33:28,970 --> 00:33:32,549
menos 5x4 y cerramos paréntesis

311
00:33:32,549 --> 00:33:35,730
habría que poner un paréntesis igualmente

312
00:33:35,730 --> 00:33:41,049
no solo por esta suma que tenemos aquí, por esta resta

313
00:33:41,049 --> 00:33:43,769
y ya hemos terminado

314
00:33:43,769 --> 00:33:48,930
vamos a combinar ahora varias veces la regla de la cadena

315
00:33:48,930 --> 00:34:06,859
Por ejemplo, si tenemos elevado al coseno de x cuadrado menos el logaritmo de periano de x derivada.

316
00:34:06,859 --> 00:34:21,210
O por ejemplo, el seno de elevado a x menos el logaritmo de periano de x al cubo más 3 derivada.

317
00:34:21,210 --> 00:34:34,079
O por ejemplo, pues elevado a x menos el coseno de x al cubo, todo ello elevado a 4, derivada.

318
00:34:35,260 --> 00:34:37,719
Bien, pues ya hemos con cada una de ellas.

319
00:34:38,780 --> 00:34:44,699
Esta es una función de la forma elevado a f, cuyo derivada es elevado a f por f'.

320
00:34:44,699 --> 00:34:55,969
Es decir, elevado al coseno de x cuadrado menos el logaritmo de periodo de x.

321
00:34:56,789 --> 00:35:10,429
Ahora bien, f es esta función y f es de la forma coseno de otra función f minúscula, con lo cual al poner f' tendremos que poner menos seno de f por f',

322
00:35:10,429 --> 00:35:22,070
que sería, abriendo paréntesis, menos seno de x cuadrado logaritmo de pi uno de x, perdón, menos logaritmo de pi uno de x,

323
00:35:22,789 --> 00:35:29,969
por la derivada de lo de dentro, que sería el f' 2x menos 1 partido por x.

324
00:35:30,710 --> 00:35:31,809
Y ya hemos terminado.

325
00:35:31,809 --> 00:35:45,650
En la siguiente, pues se genera la función de la forma seno de f, cuya derivada es coseno de f por f', donde esta es la función f.

326
00:35:46,329 --> 00:35:57,130
Lo ponemos, esto es el coseno de e elevado a x menos logaritmo neperiano de x al cubo más 3, cerramos los paréntesis.

327
00:35:57,130 --> 00:36:28,869
Ahora, a la hora de poner la f', sería esta función más larga, empezamos derivándola, la derivada de elevado a x es elevado a x, menos, y ahora tenemos el logaritmo neperiano de una función, cuya derivada es f' partido por f, es decir, 3x entre x³ más 3.

328
00:36:29,150 --> 00:36:41,519
Aquí tenemos una función de la forma f elevada a 4, cuya derivada sería 4f al cubo.

329
00:36:42,519 --> 00:36:43,780
Pues lo ponemos.

330
00:36:46,260 --> 00:37:01,739
Tenemos 4 veces, por f' perdón, 4 veces elevado a x menos coseno de x al cubo, todo ello elevado al cubo.

331
00:37:01,739 --> 00:37:27,460
Ahora ponemos la f' empezamos con la derivada por aquí elevado a x menos y ahora tenemos el coseno de una función cuya derivada es el seno de f menos seno de f por f' sería menos el seno de x al cubo por 3x cuadrado.

332
00:37:27,460 --> 00:37:32,659
Cerramos paréntesis, que hemos cerrado este paréntesis, pues cerramos más paréntesis.

333
00:37:35,090 --> 00:37:43,449
Hay alguna cosa que nos podríamos haber ahorrado, como este signo menos doble, con más práctica, pero podemos hacerlo así ahora.

334
00:37:44,929 --> 00:37:48,250
Bien, vamos a hacer unos ejemplos después.

335
00:37:49,250 --> 00:37:52,230
Os pongo como ejercicio las siguientes derivadas.

336
00:37:52,230 --> 00:38:08,119
el seno de x al cubo menos el coseno de x al cuadrado derivada.

337
00:38:09,219 --> 00:38:22,429
Otra sería el seno al cuadrado de x al cubo menos elevado a x al cuadrado.

338
00:38:27,400 --> 00:38:30,639
Bueno, esa es un poco complicada además, vamos a quitar esto por ahora.

339
00:38:30,639 --> 00:38:34,719
y ahora sí que ponemos un último

340
00:38:34,719 --> 00:38:36,260
un poco más complicado incluyendo eso

341
00:38:36,260 --> 00:38:37,420
por ejemplo

342
00:38:37,420 --> 00:38:40,559
pues

343
00:38:40,559 --> 00:38:44,170
elevado a x

344
00:38:44,170 --> 00:38:45,369
más

345
00:38:45,369 --> 00:38:53,679
el coseno de

346
00:38:53,679 --> 00:38:56,699
elevado a x

347
00:38:56,699 --> 00:38:58,260
al cubo

348
00:38:58,260 --> 00:39:00,539
todo ello elevado a 5

349
00:39:00,539 --> 00:39:03,019
derivada

350
00:39:03,019 --> 00:39:04,519
esta es más complicada que las demás

351
00:39:04,519 --> 00:39:06,960
pues paráis la grabación

352
00:39:06,960 --> 00:39:10,239
y lo realizáis

353
00:39:10,239 --> 00:39:11,820
y luego corregimos

354
00:39:12,619 --> 00:39:21,380
Corregimos, tenemos aquí el seno de una función cuya derivada es el coseno de f por f'

355
00:39:21,619 --> 00:39:34,579
¿Dónde f es todo esto? Pues lo ponemos. Esto es el coseno de x al cubo menos el coseno de x al cuadrado

356
00:39:34,579 --> 00:39:45,690
por la derivada de f. Ahora bien, empezamos a derivar f, f sería todo esto, empieza con

357
00:39:45,690 --> 00:39:54,289
la derivada de x al cubo, que es, ahora paréntesis, porque hay una resta 3x cuadrado menos, y

358
00:39:54,289 --> 00:40:10,079
ahora tenemos el coseno de la función, coseno de f, cuya derivada es el seno de f por f

359
00:40:10,079 --> 00:40:26,590
prima, que sería, perdón, menos el seno, que quiere poner, menos el seno de x cuadrado

360
00:40:26,590 --> 00:40:33,030
por la derivada, que es 2x. Aquí lo natural habría sido ya, cuando vamos a poner el menos,

361
00:40:33,030 --> 00:40:41,650
si no debemos poner menos por menos más y ahorrarse, pues, un signo, ¿no? Sigamos.

362
00:40:41,650 --> 00:40:49,289
aquí tenemos una función de la forma seno de f pero está al cuadrado

363
00:40:49,289 --> 00:40:53,090
entonces la última función realmente es el cuadrado

364
00:40:53,090 --> 00:40:58,369
con lo cual lo que tenemos es una función al cuadrado

365
00:40:58,369 --> 00:41:04,000
cuya derivada es 2f por f'

366
00:41:04,300 --> 00:41:05,440
pues lo ponemos

367
00:41:05,440 --> 00:41:15,599
Sería dos veces el seno de x al cubo menos e elevado a x

368
00:41:15,599 --> 00:41:17,380
¿Y cuál es f prima?

369
00:41:18,860 --> 00:41:24,909
Pues la derivada de este seno quitando el cuadrado

370
00:41:27,969 --> 00:41:36,699
Tenemos seno de una función cuya derivada es coseno de f por f prima

371
00:41:36,699 --> 00:41:38,760
Pues pongamos ese coseno

372
00:41:38,760 --> 00:41:50,840
Sería el coseno de x al cubo menos elevado a x, y luego la derivada de lo de dentro es 3x cuadrado menos elevado a x.

373
00:41:51,340 --> 00:41:52,440
Y ya hemos terminado.

374
00:41:53,280 --> 00:41:54,699
Vayamos con lo más compleja.

375
00:41:57,449 --> 00:42:08,789
Primero tenemos una función elevada a 5, cuya derivada es 5f elevado a 4, por f' pues lo ponemos.

376
00:42:10,590 --> 00:42:30,679
Tenemos, pues, 5 por e elevado a x más el coseno de e elevado a x al cubo, todo ello elevado a 4.

377
00:42:30,679 --> 00:42:42,789
Ahora ponemos esta derivada, que sería e elevado a x más, y ahora de derivar esta parte de la función,

378
00:42:42,789 --> 00:42:49,349
vemos que de la forma coseno de f cuya derivada es menos seno de f por f'

379
00:42:49,349 --> 00:42:59,570
con lo cual ponemos menos el seno de elevado a x al cubo

380
00:42:59,570 --> 00:43:06,329
y ahora hay que poner f' pero observamos que f es de la forma elevado a una

381
00:43:06,329 --> 00:43:10,590
función vamos a poner otra vez la mayúscula por ejemplo cuya derivada es

382
00:43:10,590 --> 00:43:12,289
elevado a f por f'

383
00:43:12,550 --> 00:43:14,449
con lo cual

384
00:43:14,449 --> 00:43:16,170
tenemos que poner

385
00:43:16,170 --> 00:43:18,030
elevado a f

386
00:43:18,030 --> 00:43:20,010
que es elevado a x al cubo

387
00:43:20,010 --> 00:43:22,409
por f' que es 3x al cuadrado

388
00:43:22,409 --> 00:43:26,179
y ahora ya cerramos

389
00:43:26,179 --> 00:43:30,090
los dos paréntesis

390
00:43:30,090 --> 00:43:31,690
este y el otro

391
00:43:31,690 --> 00:43:37,659
y ya hemos terminado

392
00:43:37,659 --> 00:43:40,900
hay un caso particular de derivada

393
00:43:40,900 --> 00:43:42,380
que tiene un método distinto

394
00:43:42,380 --> 00:43:43,619
que es la de f elevado a g

395
00:43:43,619 --> 00:43:48,019
una opción

396
00:43:48,019 --> 00:43:51,219
es, sin aprenderse ya fórmulas nuevas

397
00:43:51,219 --> 00:44:00,840
hacer lo siguiente. Si yo tengo la función, por ejemplo, coseno de x, todo ello elevado a x al cuadrado más 3,

398
00:44:02,500 --> 00:44:12,920
entonces, y calculo su derivada, entonces el coseno de x es lo mismo que e elevado al logaritmo de periano del coseno de x.

399
00:44:12,920 --> 00:44:38,219
Y todo ello lo leamos a x cuadrado más 3. Esto es igual a e elevado al logaritmo del coseno de x por x cuadrado más 3, derivada.

400
00:44:38,739 --> 00:44:48,400
Y ahora aquí ya podemos utilizar las reglas de la derivación que conocemos. Esto es de la forma e elevado a f, cuya derivada es e elevado a f por f prima.

401
00:44:48,400 --> 00:44:59,639
Entonces serían e elevado a logaritmo de periódico del coseno de x por x cuadrado más 3

402
00:44:59,639 --> 00:45:04,679
A la hora de hacer la f' observamos que eso es un producto de funciones

403
00:45:04,679 --> 00:45:16,710
f y g cuya derivada es f' por g más f por g'

404
00:45:16,710 --> 00:45:28,989
A su vez, f', esta f, es de la forma logaritmo periano de una función cuya derivada es f' partido por f.

405
00:45:29,889 --> 00:45:39,750
Pues lo ponemos. Ponemos f', que sería menos seno de x, entre f que es coseno de x.

406
00:45:39,750 --> 00:45:51,139
Ahora multiplicamos por g y sumamos f multiplicando por g'.

407
00:45:51,139 --> 00:45:54,280
por último ponemos los paréntesis

408
00:45:54,280 --> 00:46:00,389
y ya está

409
00:46:00,389 --> 00:46:03,750
ahora bien, hay otra forma de resolver esto

410
00:46:03,750 --> 00:46:05,889
y es saber que esta

411
00:46:05,889 --> 00:46:09,110
función requiere

412
00:46:09,110 --> 00:46:12,090
tiene un método propio

413
00:46:12,090 --> 00:46:15,210
que es saber que es de la forma

414
00:46:15,210 --> 00:46:23,079
que esta derivada es

415
00:46:23,079 --> 00:46:27,960
g por f elevado a g menos 1

416
00:46:27,960 --> 00:46:29,599
por f'

417
00:46:29,599 --> 00:46:39,639
más el logaritmo negativo de f por f elevado a g por g'.

418
00:46:39,639 --> 00:46:48,099
Ahora bien, esta fórmula no pido que os la aprendáis, ni siquiera la he pedido en los ejercicios.

419
00:46:49,280 --> 00:46:54,079
Yo nunca he hecho un ejercicio con la fórmula, nunca.

420
00:46:54,360 --> 00:46:57,780
O sea que ni siquiera en los problemas, menos en la teoría.

421
00:46:57,780 --> 00:47:06,380
y de hecho ese truco es perfectamente válido y pues nada, aparece en otro tipo de ejercicios de la materia

422
00:47:06,380 --> 00:47:12,019
el truco de convertir esto en esto, por ejemplo en los límites del hospital.

423
00:47:15,659 --> 00:47:22,579
Bueno, calculemos la derivada de esta función teniendo en cuenta que esta es la función f y esta es la función g.

424
00:47:22,579 --> 00:47:27,340
Empezamos con la primera parte de la derivada

425
00:47:27,340 --> 00:47:31,840
Sería g, que es x cuadrado más 3

426
00:47:31,840 --> 00:47:34,820
Por f, coseno de x

427
00:47:34,820 --> 00:47:36,739
Y luego g menos 1

428
00:47:36,739 --> 00:47:40,340
Bueno, pues, si g es x cuadrado más 3

429
00:47:40,340 --> 00:47:44,280
g menos 1 es x cuadrado más 2

430
00:47:44,280 --> 00:47:49,780
Por f prima, que es menos seno de x

431
00:47:49,780 --> 00:47:51,760
más

432
00:47:51,760 --> 00:47:54,880
ahora vamos con la segunda parte de la función

433
00:47:54,880 --> 00:47:56,880
logaritmo neperiano de f

434
00:47:56,880 --> 00:47:59,440
pues el logaritmo neperiano del coseno de x

435
00:47:59,440 --> 00:48:01,059
por f elevado a g

436
00:48:01,059 --> 00:48:02,659
pues el coseno de x

437
00:48:02,659 --> 00:48:05,500
elevado a x cuadrado

438
00:48:05,500 --> 00:48:07,539
más 3

439
00:48:07,539 --> 00:48:08,780
por g prima

440
00:48:08,780 --> 00:48:10,880
pues por 2x y ya hemos terminado

441
00:48:10,880 --> 00:48:13,380
bueno, es un poco más elegante

442
00:48:13,380 --> 00:48:14,579
esta función

443
00:48:14,579 --> 00:48:16,719
que esta, todo hay que decirlo

444
00:48:16,719 --> 00:48:26,239
Una observación es que si cogemos la derivada de arriba, y es la suma de dos funciones,

445
00:48:26,239 --> 00:48:35,219
a la primera función se le llama parte potencial y a la segunda parte exponencial.

446
00:48:36,840 --> 00:48:39,260
Este nombre viene de la siguiente observación.

447
00:48:39,980 --> 00:48:49,719
Si cogemos la función potencial f elevado a n y derivamos, nos queda n por f elevado a n menos 1 por f'.

448
00:48:49,719 --> 00:48:56,519
Y podemos observar que es la misma función que esta, pero cambiando la n por la g.

449
00:48:58,780 --> 00:49:06,920
Por otra parte, si cogemos la función exponencial a elevado a g, cogemos la g porque es el exponente de la otra,

450
00:49:06,920 --> 00:49:16,079
Y derivamos, pues tenemos el logaritmo de Periano de a por a elevado a g por g'.

451
00:49:16,079 --> 00:49:23,440
Y es fácil comprobar que tenemos la misma función, solo que cambiando la a por la f.

452
00:49:23,780 --> 00:49:27,460
Y ahí el nombre. De hecho, ese es el truco para grandezas de fórmulas.

453
00:49:28,099 --> 00:49:32,460
Bueno, tiene su sentido, porque si consideráis que g es constante,

454
00:49:32,460 --> 00:49:37,960
entonces g' es igual a 0, esto desaparece y tenemos una potencial

455
00:49:37,960 --> 00:49:43,980
y si consideráis que f es constante entonces f' es 0 y tenemos una exponencial

456
00:49:43,980 --> 00:49:52,360
una observación rápida, hemos dicho que cuando cogemos en cálculo una función

457
00:49:52,360 --> 00:49:57,440
donde y puede tomar todos los valores reales, la x tiene que ser positiva

458
00:49:57,440 --> 00:50:04,480
bueno, pues eso quiere decir que estamos considerando esta función exponencial

459
00:50:04,480 --> 00:50:06,300
en los valores donde el coseno de x es positivo

460
00:50:06,300 --> 00:50:12,360
De hecho, fijaos que cogemos el logaritmo de coseno, que también solo está definido si el coseno es positivo.

461
00:50:13,679 --> 00:50:27,719
Bien, sigamos. Ahora propongo un ejercicio. Vamos a hacer, por ejemplo, el ejercicio x al cubo más x, todo y elevado al seno de x derivada.

462
00:50:28,539 --> 00:50:36,380
Paráis la grabación, lo realizáis, y ahora lo corregiremos, borramos métodos.

463
00:50:37,880 --> 00:50:45,840
Bien, corregimos con el primer método, pues observamos, lo voy a hacer con todos los pasos, ¿vale?

464
00:50:45,840 --> 00:50:58,380
pero lo suelo pasar directamente de aquí a aquí, que esto es elevado al logaritmo de

465
00:50:58,380 --> 00:51:04,840
periano de x cubo más x, todo ello elevado al seno de x, y esto es igual, que es a lo

466
00:51:04,840 --> 00:51:11,239
que uno tiene que acostumbrarse, al logaritmo de periano de x cubo más x por el seno de

467
00:51:11,239 --> 00:51:20,719
x. Y ahora pues nada, habría que derivar y derivar. Entonces tenemos e elevado a una

468
00:51:20,719 --> 00:51:28,800
función cuya derivada es e elevado a f por f' que ponemos e elevado al logaritmo de

469
00:51:28,800 --> 00:51:43,840
periano de x cubo más x por seno de x. Ahora, por f' pues f' sería un producto de dos

470
00:51:43,840 --> 00:51:54,920
funciones f y g. Por lo tanto, su derivada es f' por g más f por g'. A su vez, observamos

471
00:51:54,920 --> 00:52:02,199
que f, que es esta, es de la forma logaritmo de periodo de una función cuya derivada es

472
00:52:02,199 --> 00:52:17,710
f' partido por f. Pues lo ponemos. Ponemos f' que es 3x más 1 partido por f que es x

473
00:52:17,710 --> 00:52:24,050
al cubo más x. Ponemos un paréntesis porque vamos a tener luego una suma. Multiplicamos

474
00:52:24,050 --> 00:52:33,030
por g, que es el seno de x, sumamos f, que es el logaritmo de periano de x al cubo, más

475
00:52:33,030 --> 00:52:39,530
x, y multiplicamos por la derivada de g, que es el coseno de x. Por último cerramos el

476
00:52:39,530 --> 00:52:50,429
paréntesis. Vamos con la segunda forma de hacerlo. Esta es la función f, esta es la

477
00:52:50,429 --> 00:53:08,250
función g y empezamos a aplicar esta fórmula. g pues sería el seno de x por f elevado a

478
00:53:08,250 --> 00:53:20,030
g menos 1 pues al seno de x menos 1 por la derivada de f que sería 3x cuadrado más

479
00:53:20,030 --> 00:53:27,869
1. Ahora sumamos logaritmo de periano de f, pues el logaritmo de periano de x al cubo

480
00:53:27,869 --> 00:53:38,250
más x. Por f elevado a g, pues por x al cubo más x, todo y elevado al seno de x. Por la

481
00:53:38,250 --> 00:53:45,489
derivada de g, pues por coseno de x. Y tenemos dos fórmulas en apariencia distintas, pero

482
00:53:45,489 --> 00:53:49,150
si se calcula y se simplifica y se quitan estas cosas

483
00:53:49,150 --> 00:53:52,989
se puede ver que acaba siendo igual que

484
00:53:52,989 --> 00:54:01,000
esta de aquí abajo. Realicemos ahora otra combinación de reglas de derivación

485
00:54:01,000 --> 00:54:04,780
por ejemplo productos y cocientes. Por ejemplo

486
00:54:04,780 --> 00:54:07,960
si tenemos elevado a x, coseno de x

487
00:54:07,960 --> 00:54:12,960
entre x al cubo menos 2x

488
00:54:12,960 --> 00:54:16,179
derivada. Y por ejemplo pues

489
00:54:16,179 --> 00:54:19,559
x7 elevado a x

490
00:54:19,559 --> 00:54:26,570
entre x5 logaritmo de primero de x

491
00:54:26,570 --> 00:54:29,269
menos seno de x

492
00:54:29,269 --> 00:54:37,860
derivada. Bueno, pues esto es

493
00:54:37,860 --> 00:54:43,239
vamos a realizar la derivada de un cociente

494
00:54:43,239 --> 00:54:47,400
si tiramos los cálculos, ¿qué haríamos? Pues primero multiplicaríamos

495
00:54:47,400 --> 00:54:50,719
elevado a x por coseno de x, después

496
00:54:50,719 --> 00:54:55,940
Entonces haríamos esta resta, tx cubo menos esto, y por último dividiríamos.

497
00:54:56,800 --> 00:55:02,880
Entonces recordamos que lo último que tú haces cuando calculas es con lo primero que derivas, con lo cual vamos a empezar con ese cociente.

498
00:55:04,519 --> 00:55:19,059
Entonces el numerador es la función f, el denominador es la función g, y la derivada es f' por g menos f por g' en el numerador y g cuadrado en el denominador.

499
00:55:21,380 --> 00:55:26,320
Dibujamos la raíz de la fracción y podemos empezar con el denominador que es más sencillo.

500
00:55:26,320 --> 00:55:30,659
Podemos poner aquí x cubo menos 2x todo ello al cuadrado.

501
00:55:31,940 --> 00:55:40,699
Ahora empezamos con el numerador y observamos que aquí hay un producto de funciones f y g.

502
00:55:41,340 --> 00:55:47,159
Cuando haya que derivar f' pues tendríamos f' por g más f por g'

503
00:55:47,159 --> 00:56:02,460
que sería f' que es elevado a x, g coseno de x, más f que es elevado a x, por g' que es menos seno de x.

504
00:56:03,840 --> 00:56:10,559
Ahora ponemos un paréntesis, porque vamos a multiplicar por g, que es x cubo menos 2x.

505
00:56:11,559 --> 00:56:16,840
Ponemos la resta, ponemos la función f tal como la tenemos, elevado a x coseno de x,

506
00:56:16,840 --> 00:56:23,340
Y ahora multiplicamos por g', que es 3x al cuadrado menos 2.

507
00:56:25,869 --> 00:56:26,769
Y esa parte ya está.

508
00:56:27,889 --> 00:56:40,110
Igualmente aquí tenemos un cociente de funciones, f y g, cuya derivada es f' por g menos f por g', y g al cuadrado en el denominador.

509
00:56:44,179 --> 00:56:45,639
Podemos empezar con el denominador.

510
00:56:45,639 --> 00:56:49,760
x5 logaritmo de p no de x

511
00:56:49,760 --> 00:56:51,179
menos seno de x

512
00:56:51,179 --> 00:56:52,179
todo y al cuadrado

513
00:56:52,179 --> 00:56:53,880
bien

514
00:56:53,880 --> 00:56:56,840
ahora en el numerador pues ponemos

515
00:56:56,840 --> 00:57:02,570
el f' por g

516
00:57:02,570 --> 00:57:03,710
etcétera

517
00:57:03,710 --> 00:57:06,329
entonces os hagamos que aquí tenemos

518
00:57:06,329 --> 00:57:08,369
en el numerador un producto

519
00:57:08,369 --> 00:57:09,150
de dos funciones

520
00:57:09,150 --> 00:57:11,469
esta es la f y esta es la g

521
00:57:11,469 --> 00:57:12,449
su derivada sería

522
00:57:12,449 --> 00:57:15,809
f' por g más f por g'

523
00:57:16,050 --> 00:57:19,559
que sería

524
00:57:19,559 --> 00:57:22,139
7x6 elevado a x

525
00:57:22,139 --> 00:57:24,900
más x7 elevado a x

526
00:57:24,900 --> 00:57:28,559
ahora pues

527
00:57:28,559 --> 00:57:30,460
tenemos la g

528
00:57:30,460 --> 00:57:33,340
que sería todo el denominador

529
00:57:33,340 --> 00:57:35,659
x5 logaritmo de primero de x

530
00:57:35,659 --> 00:57:36,880
menos seno de x

531
00:57:36,880 --> 00:57:39,480
ahora estamos f

532
00:57:39,480 --> 00:57:42,159
que es x7 elevado a x

533
00:57:42,159 --> 00:57:43,320
y nos queda g'

534
00:57:43,320 --> 00:57:44,980
y aquí miramos

535
00:57:44,980 --> 00:57:47,619
como exactamente el denominador

536
00:57:47,619 --> 00:57:48,679
de cara a la derivación

537
00:57:48,679 --> 00:57:56,500
Tenemos una resta de las funciones, se deriva cada una y luego se resta, y aquí tenemos un producto que podemos poner como f por g.

538
00:57:57,360 --> 00:58:02,480
Entonces empezamos con ese producto, f' por g más f por g'.

539
00:58:02,480 --> 00:58:06,179
Podemos poner un paréntesis porque hay varias sumas.

540
00:58:07,760 --> 00:58:09,079
Empezamos con la primera.

541
00:58:10,380 --> 00:58:18,199
Tenemos f' pues 5x4 por g, logaritmo de p' de x.

542
00:58:18,679 --> 00:58:23,480
Más f, x5, por g, 1 partido por x.

543
00:58:24,480 --> 00:58:33,239
Y ahora pues tenemos lo que nos queda, que es menos la derivada de seno de x, que es menos coseno de x.

544
00:58:34,519 --> 00:58:38,659
Y ya estaría, bueno, eso se puede simplificar de varias maneras y tal.

545
00:58:39,400 --> 00:58:48,880
Por ejemplo, esta misma expresión vale x4, pero ahora estamos practicando ya de forma continua ya hacer derivadas complejas.

546
00:58:48,880 --> 00:58:52,380
me voy a olvidar por hablar de la simplificación

547
00:58:52,380 --> 00:58:56,059
salvo que haya que hacer algún comentario especial

548
00:58:56,059 --> 00:58:59,260
bueno, pues os pongo dos ejemplos

549
00:58:59,260 --> 00:59:01,460
por ejemplo, pues

550
00:59:01,460 --> 00:59:05,840
x9 coseno de x

551
00:59:05,840 --> 00:59:06,880
entre

552
00:59:06,880 --> 00:59:09,719
elevado a x

553
00:59:09,719 --> 00:59:13,760
menos x más 3

554
00:59:13,760 --> 00:59:14,760
derivada

555
00:59:14,760 --> 00:59:17,940
y otra pues

556
00:59:17,940 --> 00:59:21,840
x5 seno de x

557
00:59:21,840 --> 00:59:24,519
menos coseno de x

558
00:59:24,519 --> 00:59:31,860
entre x cuadrado logaritmo

559
00:59:31,860 --> 00:59:35,960
de x más raíz de x

560
00:59:35,960 --> 00:59:43,969
para ir a la grabación y después corregimos

561
00:59:43,969 --> 00:59:50,440
empezamos la corrección, nuevamente tenemos aquí un numerador f

562
00:59:50,440 --> 00:59:54,340
aquí un denominador g y tenemos

563
00:59:54,340 --> 01:00:09,380
f' por g menos f por g' y en el denominador un g cuadrado. Pues nada, empezamos. La g'

564
01:00:09,380 --> 01:00:18,610
en mayúscula a su vez es un producto de dos funciones, f y g, por lo tanto su derivada

565
01:00:18,610 --> 01:00:39,840
es f' por g más f por g' que sería 9x8 por el coseno de x más x9 por menos seno de x

566
01:00:39,840 --> 01:00:48,099
y cerramos la paréntesis. Ahora multiplicamos por g que es elevado a x menos x más 3 y

567
01:00:48,099 --> 01:00:56,519
ponemos el signo menos. Nos queda multiplicar por f, que es x9 coseno de x. Y ahora calcular

568
01:00:56,519 --> 01:01:02,119
g', abrimos paréntesis para ello porque hay una suma dentro, que es una resta dentro,

569
01:01:02,239 --> 01:01:08,920
que sería elevado a x menos 1 y el 3 que desaparece. Nos queda el denominador, que

570
01:01:08,920 --> 01:01:14,000
también podemos haber hecho al principio, que sería elevado a x menos x más 3, todo

571
01:01:14,000 --> 01:01:21,280
yo al cuadrado. Hacemos la siguiente. El numerador es la función g mayúscula, el denominador

572
01:01:21,280 --> 01:01:30,199
es la función g mayúscula. Igual que antes tenemos f' por g menos f por g' y un g cuadrado

573
01:01:30,199 --> 01:01:38,659
en el denominador. Podemos empezar con el denominador que sería x cuadrado logaritmo

574
01:01:38,659 --> 01:01:49,449
de piano de x más raíz de x todo yo al cuadrado. Y nada, pues hacemos lo de siempre. Cogemos

575
01:01:49,449 --> 01:01:56,809
numerador, que es todo esto, a la hora de derivar, observamos aquí un producto, f y g, y para ese

576
01:01:56,809 --> 01:02:10,239
producto inicial, pues tendríamos f' por g más f por g', que sería f' minúscula, pues 5x4 por g

577
01:02:10,239 --> 01:02:21,380
seno de x más fx5, g' coseno de x, y ahora ya continuamos con el numerador que hemos dejado a

578
01:02:21,380 --> 01:02:28,780
Y habría que restar aquí la derivada de coseno de x, que sería menos menos seno de x.

579
01:02:29,380 --> 01:02:32,559
Si tenéis práctica, lo normal es que pongáis directamente un más aquí.

580
01:02:36,360 --> 01:02:41,840
Ponemos un paréntesis, porque vamos a multiplicar por g mayúsculo, ya que acabamos de determinar esto,

581
01:02:43,989 --> 01:02:48,610
que sería x cuadrado logaritmo de peñano de x más raíz de x.

582
01:02:48,610 --> 01:03:12,929
Y ahora pues ponemos el signo menos, otra vez el numerador f mayúscula que sería x5 seno de x menos coseno de x y ahora calculamos g' que igual que antes empieza con un producto de dos funciones f y g.

583
01:03:12,929 --> 01:03:18,150
Pues por ese producto ponemos f' por g más f por g'.

584
01:03:18,150 --> 01:03:24,909
Bueno, yo pongo esas cosas y vosotros no tenéis por qué, salvo que sea imprescindible.

585
01:03:26,369 --> 01:03:28,690
Bien, para vosotros quiero decir.

586
01:03:30,070 --> 01:03:30,710
Seguimos.

587
01:03:30,710 --> 01:03:36,489
f' pues es 2x por g logaritmo independiente de x

588
01:03:36,489 --> 01:03:44,190
más f que es x cuadrado por g' que es 1 partido por x

589
01:03:44,190 --> 01:03:45,949
cerramos paréntesis

590
01:03:45,949 --> 01:03:48,469
bueno, perdón, seguimos

591
01:03:48,469 --> 01:03:51,429
y terminamos esta derivada

592
01:03:51,429 --> 01:03:56,510
que sería más 1 entre 2 raíz de x

593
01:03:56,510 --> 01:03:57,889
y terminamos