1
00:00:00,620 --> 00:00:04,700
Buenas tardes, esta es la clase del día 1 de abril de matemáticas.

2
00:00:05,419 --> 00:00:10,160
Hoy comenzamos tema nuevo de esta última evaluación

3
00:00:10,160 --> 00:00:14,580
y este tema es el tema de progresiones y sucesiones.

4
00:00:15,199 --> 00:00:22,320
Lo que vamos a ver en este tema van a ser las sucesiones aritméticas y geométricas

5
00:00:22,320 --> 00:00:30,780
y luego veremos aplicaciones de ellas, como la intercalación de números en una serie

6
00:00:30,780 --> 00:00:34,340
o cómo se calcula el interés compuesto

7
00:00:34,340 --> 00:00:36,479
que sería una progresión geométrica

8
00:00:36,479 --> 00:00:39,899
y su aplicación luego finalmente a problemas

9
00:00:39,899 --> 00:00:42,960
vamos a comenzar

10
00:00:42,960 --> 00:00:46,679
viendo qué es una sucesión

11
00:00:46,679 --> 00:00:48,079
hay una pequeña introducción aquí

12
00:00:48,079 --> 00:00:50,600
con juegos que nos encontramos muchas veces

13
00:00:50,600 --> 00:00:55,799
en las oposiciones de cualquier tipo

14
00:00:55,799 --> 00:00:58,960
el ser capaz de seguir unas series

15
00:00:58,960 --> 00:01:03,079
numéricas, o en este caso, como ponía aquí en el dibujito

16
00:01:03,079 --> 00:01:05,719
pues, serie de fichas de dominó

17
00:01:05,719 --> 00:01:09,299
Bueno, pues vamos a ver un poco cómo funciona esto

18
00:01:09,299 --> 00:01:13,439
cuando estemos hablando de sucesiones aritméticas

19
00:01:13,439 --> 00:01:15,000
o progresiones geométricas

20
00:01:15,000 --> 00:01:18,379
Lo primero que vamos a ver es

21
00:01:18,379 --> 00:01:20,359
¿Qué es esto de una sucesión?

22
00:01:21,079 --> 00:01:23,799
Bueno, pues una sucesión, como nos dice aquí

23
00:01:23,799 --> 00:01:26,159
es un conjunto ordenado de números

24
00:01:26,159 --> 00:01:38,569
Para saber ese orden, la nomenclatura que utilizamos es estas aes con un subíndice que me indica en qué posición está ese número

25
00:01:38,569 --> 00:01:46,209
Pues a sub 1 porque sería el primero, a sub 2 sería el segundo, a sub 3 el tercero y así sucesivamente

26
00:01:46,209 --> 00:01:53,409
O sea, cada uno de estos numeritos que hay en la sucesión vamos a llamarles términos

27
00:01:53,409 --> 00:02:00,489
¿Vale? Y hemos dicho eso, que para localizar en qué posición está, nos fijaremos en el subíndice.

28
00:02:02,780 --> 00:02:10,599
Estos términos de la sucesión vamos a poder determinarlos a partir de ciertos criterios de formación de la sucesión,

29
00:02:11,099 --> 00:02:13,939
que es lo que llamaremos reglas de formación.

30
00:02:13,939 --> 00:02:24,080
¿Vale? Y llamaremos término general de una sucesión al término que ocupe cualquier posición n,

31
00:02:24,080 --> 00:02:27,159
¿vale? o sea, le llamaremos a su n

32
00:02:27,159 --> 00:02:32,680
y que hay veces que tendremos una formulita para encontrarle

33
00:02:32,680 --> 00:02:35,740
y otras utilizaremos lo que se llama una regla de recurrencia

34
00:02:35,740 --> 00:02:40,439
entonces, esas formulitas que me van a dar

35
00:02:40,439 --> 00:02:44,539
ese término general de la sucesión, tendrán asociada una expresión algebraica

36
00:02:44,539 --> 00:02:47,919
que es la que al resolverla poniendo

37
00:02:47,919 --> 00:02:52,280
la posición que quiero calcular, me dará que número

38
00:02:52,280 --> 00:02:58,280
se ocupa esa posición. O sea, que sabremos el número en función de la posición n que

39
00:02:58,280 --> 00:03:05,080
ocupe. Y en otros casos, los términos los sacaremos a través de los términos anteriores

40
00:03:05,080 --> 00:03:10,979
a ellos. Y en ese caso lo que hacemos es hacer unas reglas de recurrencia que se llaman

41
00:03:10,979 --> 00:03:15,840
esas. También son expresiones algebraicas que me dicen cuál va a ser el término n

42
00:03:15,840 --> 00:03:22,259
en función de los términos que hay anteriores a él. Vamos a ver un ejemplo de cada cosa.

43
00:03:22,280 --> 00:03:37,909
Lo tengo esta sucesión de números, el 4, el 7, el 10, el 13. ¿Qué te parece, Yolanda, que han hecho aquí para saltar de un numerito a otro? ¿Qué haces para pasar de 4 a 7?

44
00:03:40,710 --> 00:03:41,189
¿Sumar?

45
00:03:41,590 --> 00:03:43,150
¿Sumar? ¿Cuánto estás sumando?

46
00:03:44,849 --> 00:03:45,330
3.

47
00:03:45,530 --> 00:03:47,569
3. ¿Y para pasar de 7 a 10?

48
00:03:48,530 --> 00:03:49,409
Otros 3.

49
00:03:49,729 --> 00:03:51,210
¿Y para pasar de 10 a 13?

50
00:03:52,110 --> 00:03:52,590
3.

51
00:03:52,590 --> 00:04:15,449
O sea que te has dado cuenta de que estoy sumando y encima estoy sumando siempre el mismo número. Pues esta sería una progresión aritmética, porque lo que hago para pasar de un término a otro es sumar siempre una cantidad fija, que luego diremos que esta cantidad se le llama diferencia, cuando veamos cómo se calcula ese término general que hemos dicho, ¿vale?

52
00:04:15,449 --> 00:04:29,089
O sea, que cada término le obtengo sumando 3 a la anterior, ¿vale? En estos casos me tienen que dar dónde comienza la sucesión, me tienen que decir cuál es el primer término, porque si no, no puedo arrancar.

53
00:04:29,089 --> 00:04:39,629
Ahora, si me fijo en esta otra, digo 4, luego el 8, luego el 12, luego el 16. ¿Qué crees que está haciendo aquí?

54
00:04:40,610 --> 00:04:43,069
De 4, de 4 en 4.

55
00:04:43,069 --> 00:04:51,810
sumar 4, o también podríamos pensarlo como que está haciendo la tabla del 4, 4 por 1, 4 por 2, 4 por 3, 4 por 4,

56
00:04:52,329 --> 00:05:00,189
o sea que lo puedo pensar como una sucesión aritmética como antes, pensando que empiezo en el 4 y voy sumando de 4 en 4,

57
00:05:00,189 --> 00:05:08,410
o lo puedo pensar como una progresión geométrica diciendo que estoy multiplicando a cada posición,

58
00:05:08,410 --> 00:05:12,350
a la posición 1 por 4, a la posición 2 por 4

59
00:05:12,350 --> 00:05:16,389
a la posición 3 por 4, o sea que en definitiva en este caso estoy haciendo la tabla

60
00:05:16,389 --> 00:05:20,350
de multiplicar del 4, ¿vale? Pues estos serían

61
00:05:20,350 --> 00:05:24,529
dos casos de sucesiones en las que

62
00:05:24,529 --> 00:05:27,670
puedo encontrar su término general en uno

63
00:05:27,670 --> 00:05:32,209
como sucesión aritmética y en otro como progresión geométrica

64
00:05:32,209 --> 00:05:35,689
Bueno, en este tema que os he puesto esta vez

65
00:05:35,689 --> 00:05:54,970
Me ha gustado, lo he encontrado por ahí en internet y me ha gustado mucho porque trae ejercicios resueltos para que podáis ver varios ejemplos y luego trae ejercicios propuestos que tendremos que resolver, pero que al final del tema me dice las soluciones de esos ejercicios, el numerito final que me tiene que salir.

66
00:05:54,970 --> 00:06:19,250
En este caso la sucesión o el término que me estén mandando calcular, con lo cual podéis ver si los ejercicios os están saliendo bien. Entonces, creo que os puede ser más útil y más práctico a la hora de estudiar el poder ver estos ejercicios resueltos, practicar con ellos y luego ya hacer los propuestos, lo que yo os diga, de los del final.

67
00:06:19,250 --> 00:06:26,870
Bueno, pues tendríamos aquí varios tipos de ejercicios de estas dos sucesiones.

68
00:06:27,029 --> 00:06:31,610
Por ejemplo, me pueden pedir el ejercicio de otra manera, como este ejercicio 4.

69
00:06:31,810 --> 00:06:39,629
Me dicen, calcula los cuatro primeros términos de una sucesión donde me dicen cuál es la formulita del término general.

70
00:06:39,850 --> 00:06:46,269
Donde yo quiero que cada término a su n salga de dividir n entre n más 1.

71
00:06:47,009 --> 00:06:49,110
¿Qué hago si me lo preguntan así?

72
00:06:49,250 --> 00:06:57,029
Pues nada, ir cambiando la n por el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, hasta el término que me digan.

73
00:06:57,509 --> 00:07:01,829
Por ejemplo, el a sub 1, el primer término de esa sucesión, ¿quién va a ser?

74
00:07:02,430 --> 00:07:08,670
Pues 1 dividido entre 1 más 1, pues va a ser un medio, mi primer término.

75
00:07:09,110 --> 00:07:15,670
Mi segundo término, el a sub 2, pues será 2 dividido entre 1 más 2, pues la fracción 2 tercios.

76
00:07:15,670 --> 00:07:38,910
Mi tercer término, 3 dividido entre 1 más 3, 3 cuartos. O sea que voy aplicando la formulita que me han dicho para distintos valores de la n. Como en este caso me darían los 4 primeros términos, pues yo hago esa cuenta tomando índices de 1 hasta 4 para que me salgan esos 4 primeros términos.

77
00:07:38,910 --> 00:07:56,750
¿Vale? Otras veces la regla me la dan expresada con palabras, me dicen, en el ejercicio 5. Escribe 5 términos de una sucesión cuya regla de formación sea la siguiente. Que cada término sea la suma de los dos anteriores.

78
00:07:56,750 --> 00:08:03,910
Bueno, pues me dicen que los dos primeros términos son el 3 y el 7

79
00:08:03,910 --> 00:08:09,550
Lógicamente, si la regla depende de esos dos primeros términos, me los tienen que decir

80
00:08:09,550 --> 00:08:12,550
Porque no sé cómo averiguarlos yo solo

81
00:08:12,550 --> 00:08:17,970
Pero una vez que ya me los han dicho, yo hago la cuenta que me están diciendo

82
00:08:17,970 --> 00:08:20,149
Que es que los vaya sumando

83
00:08:20,149 --> 00:08:24,509
Bueno, pues entonces mi tercer término será sumar los dos anteriores

84
00:08:24,509 --> 00:08:43,370
Los anteriores eran 3 y 7. Pues al sumar 3 más 7 me da 10. Mi cuarto término, ¿cuál sería? Sumar el 10 que me salió en el tercer término más el 7 que me salió en el segundo término, que son los dos inmediatamente anteriores al término 4. Pues 7 más 10, 17.

85
00:08:43,370 --> 00:08:45,669
mi término 5, ¿qué será?

86
00:08:46,629 --> 00:08:47,110
Yolanda

87
00:08:47,110 --> 00:08:50,730
¿qué tendré que hacer para calcular el término 5?

88
00:08:52,370 --> 00:08:52,889
10

89
00:08:52,889 --> 00:08:54,509
7 más 10

90
00:08:54,509 --> 00:08:55,629
ah, no

91
00:08:55,629 --> 00:08:59,049
10 más 17

92
00:08:59,049 --> 00:09:00,889
más 10 del término tercero

93
00:09:00,889 --> 00:09:02,649
pues ya está, yo hago la cuenta

94
00:09:02,649 --> 00:09:03,629
que me están diciendo

95
00:09:03,629 --> 00:09:06,370
no hay más, ¿de acuerdo?

96
00:09:06,370 --> 00:09:08,149
entonces, hemos visto

97
00:09:08,149 --> 00:09:09,789
tres formas distintas

98
00:09:09,789 --> 00:09:12,409
de pedirme que construya

99
00:09:12,409 --> 00:09:15,090
esas sucesiones que vamos a querer estudiar.

100
00:09:16,129 --> 00:09:20,710
Dos, que eran las progresiones aritméticas o geométricas,

101
00:09:20,750 --> 00:09:24,509
en las que sumaba siempre lo mismo o multiplicaba siempre por el mismo número,

102
00:09:25,210 --> 00:09:30,370
y estas otras en las que me dan esa relación o razón de recurrencia

103
00:09:30,370 --> 00:09:37,649
en la que me están diciendo cómo se construye cada término en función de los anteriores.

104
00:09:37,649 --> 00:09:47,250
Bueno, nosotros principalmente nos vamos a centrar en esas progresiones aritméticas y geométricas

105
00:09:47,250 --> 00:09:51,029
En las sucesiones aritméticas y las progresiones geométricas

106
00:09:51,029 --> 00:09:54,610
Aunque parece que estoy diciendo distinto nombre, es lo mismo

107
00:09:54,610 --> 00:09:57,850
Nada más que cuando hablo de sumas le llamo sucesión

108
00:09:57,850 --> 00:10:00,570
Y cuando hablo de multiplicaciones le llamo progresión

109
00:10:00,570 --> 00:10:05,649
Para que así como que sepa en cada momento qué cuentas le voy a tener que hacer

110
00:10:05,649 --> 00:10:07,269
Si una suma o una multiplicación

111
00:10:07,269 --> 00:10:11,929
pero en realidad todas son en conjunto progresiones, ¿vale?

112
00:10:11,950 --> 00:10:12,970
que es como se llamaba el tema

113
00:10:12,970 --> 00:10:23,019
bueno, pues vamos a empezar con esas sucesiones o progresiones aritméticas

114
00:10:23,019 --> 00:10:26,200
vamos a ver cómo se construye

115
00:10:26,200 --> 00:10:29,100
voy a decir que tengo una progresión aritmética

116
00:10:29,100 --> 00:10:32,419
si tengo una sucesión de números

117
00:10:32,419 --> 00:10:36,860
en la cual cada término menos el primero

118
00:10:36,860 --> 00:10:38,639
que me lo van a tener que decir siempre

119
00:10:38,639 --> 00:10:42,620
se obtiene sumando al término anterior

120
00:10:42,620 --> 00:10:43,980
una cantidad fija.

121
00:10:45,019 --> 00:10:46,860
O sea, siempre voy a sumar el mismo número

122
00:10:46,860 --> 00:10:49,019
para saber

123
00:10:49,019 --> 00:10:53,340
y cuando me refiero a esa cantidad fija

124
00:10:53,340 --> 00:10:55,179
la vamos a llamar diferencia.

125
00:10:55,720 --> 00:10:57,320
¿Por qué la llamo diferencia?

126
00:10:57,879 --> 00:11:01,120
Porque sería el resultado de restar dos números consecutivos

127
00:11:01,120 --> 00:11:01,940
de esta sucesión.

128
00:11:02,559 --> 00:11:04,259
Si yo resto dos números consecutivos

129
00:11:04,259 --> 00:11:06,179
sé qué números es que está sumando

130
00:11:06,179 --> 00:11:07,379
para pasar de uno a otro.

131
00:11:07,379 --> 00:11:24,919
Es lo que has hecho en el primer ejemplo que te pregunté, ¿no? Entonces, tengo, por ejemplo, este 2, 4, 6, 8 que decíamos antes. ¿Cuál es la diferencia en esta sucesión? Pues 2, que sería la diferencia entre 4 menos 2, o entre 6 menos 2, menos 4, perdón, 8 menos 6.

132
00:11:24,919 --> 00:11:35,000
O sea, que ya me doy cuenta que como están a la misma distancia todos en esta sucesión, pues lo que estoy haciendo es sumar todo el rato 2.

133
00:11:36,480 --> 00:11:48,100
¿Qué más información me da esta diferencia, este numerito? Pues la información que me da es que si ese numerito es un número positivo, la sucesión va a ser creciente.

134
00:11:48,100 --> 00:12:06,700
Voy a ir aumentando. Cada número va a ser mayor que el anterior. En este caso, dos unidades mayor. Y si esa diferencia fue un número negativo, como en este caso, la sucesión va a ser decreciente. Voy a ir disminuyendo. Cada número va a ser más pequeño que el anterior.

135
00:12:06,700 --> 00:12:10,559
porque cuando la sucesión es decreciente y la diferencia es negativa

136
00:12:10,559 --> 00:12:14,019
pues la suma que hacíamos antes se convertía en una resta

137
00:12:14,019 --> 00:12:17,580
aquí para pasar del 7 al 5 hemos restado 2

138
00:12:17,580 --> 00:12:19,799
para pasar del 5 al 3 he restado 2

139
00:12:19,799 --> 00:12:22,179
para pasar del 3 al 1 he restado 2

140
00:12:22,179 --> 00:12:25,360
¿cuál sería el siguiente número que aparezca en esta sucesión?

141
00:12:25,840 --> 00:12:29,899
Yolanda, dándonos cuenta que lo que estoy haciendo es restar ese 2

142
00:12:29,899 --> 00:12:33,279
¿cuál sería el siguiente?

143
00:12:33,279 --> 00:12:33,620
menos 2 menos

144
00:12:33,620 --> 00:12:37,519
Si estoy en el 1 y le resto 2

145
00:12:37,519 --> 00:12:42,049
¿Cuál me saldría ahora a continuación?

146
00:12:42,409 --> 00:12:43,970
Si al 1 le restas 2

147
00:12:43,970 --> 00:12:44,409
Menos 2

148
00:12:44,409 --> 00:12:46,590
Menos 1

149
00:12:46,590 --> 00:12:49,730
Acuérdate que nos queda el 0 ahí entre medias

150
00:12:49,730 --> 00:12:50,590
Ah

151
00:12:50,590 --> 00:12:53,250
1, 0 y menos 1

152
00:12:53,250 --> 00:12:56,029
O sea que menos 1 sería mi siguiente

153
00:12:56,029 --> 00:12:57,450
Bueno

154
00:12:57,450 --> 00:13:00,549
Pues ya hemos visto que si estoy en la progresión

155
00:13:00,549 --> 00:13:01,490
Aritmética

156
00:13:01,490 --> 00:13:04,450
Lo que voy haciendo es siempre sumar

157
00:13:04,450 --> 00:13:05,389
O restar

158
00:13:05,389 --> 00:13:08,450
si es que la diferencia es negativa

159
00:13:08,450 --> 00:13:11,129
sumar o restar siempre el mismo número

160
00:13:11,129 --> 00:13:16,509
¿cómo podré encontrar esa formulita que decíamos antes

161
00:13:16,509 --> 00:13:18,470
que me calcula ese término general

162
00:13:18,470 --> 00:13:22,909
que es capaz de darme cualquier término

163
00:13:22,909 --> 00:13:25,009
el valor de cualquier término

164
00:13:25,009 --> 00:13:26,909
sabiendo la posición que ocupa

165
00:13:26,909 --> 00:13:28,730
pues vamos a verlo ahora mismo

166
00:13:28,730 --> 00:13:31,230
como en una progresión aritmética

167
00:13:31,230 --> 00:13:34,809
cada término viene de sumar a la anterior

168
00:13:34,809 --> 00:13:38,289
la diferencia, entonces el término 2 sería

169
00:13:38,289 --> 00:13:43,049
sumarle a A1 esa diferencia. Al término 3

170
00:13:43,049 --> 00:13:46,529
sería sumarle a A2 la diferencia, pero habíamos dicho que el A2

171
00:13:46,529 --> 00:13:50,549
era A1 más la diferencia, pues

172
00:13:50,549 --> 00:13:54,950
entonces en realidad el A3 le podría sacar de sumar al A1

173
00:13:54,950 --> 00:13:58,649
dos veces la diferencia, hacer dos saltitos en esta sucesión

174
00:13:58,649 --> 00:14:02,629
y el término 4 sería de sumar al A1 tres veces

175
00:14:02,629 --> 00:14:09,690
esa diferencia, o sea que es multiplicar la diferencia por el saltito que tengo desde

176
00:14:09,690 --> 00:14:15,889
ese primer término a la posición a la que quiero llegar. Por ejemplo, aquí mi primer

177
00:14:15,889 --> 00:14:20,990
término era el 3, la diferencia veo que es el 2, si yo quisiese saltar directamente

178
00:14:20,990 --> 00:14:28,470
hasta el 11, lo que diría es que a ese 3 le sumo 4 veces 2, que son los saltitos que

179
00:14:28,470 --> 00:14:38,570
doy 1, 2, 3 y 4 para llegar de esa posición 1 a esa posición 5, de ese a sub 1 a ese

180
00:14:38,570 --> 00:14:44,690
a sub 5. Bueno, pues eso me valdría para cualquier término esa misma regla. Entonces,

181
00:14:45,269 --> 00:14:52,590
si yo quiero llegar a un término general n saliendo del término 1, lo que hago es

182
00:14:52,590 --> 00:14:54,509
sumar n menos 1

183
00:14:54,509 --> 00:14:56,009
a veces, la diferencia

184
00:14:56,009 --> 00:14:58,750
o sea que lo que voy a dar

185
00:14:58,750 --> 00:15:00,490
es n menos 1

186
00:15:00,490 --> 00:15:02,830
saltitos, siempre un salto

187
00:15:02,830 --> 00:15:04,690
menos de la posición a la que quiero llegar

188
00:15:04,690 --> 00:15:06,710
porque como no estoy saliendo de 0

189
00:15:06,710 --> 00:15:08,269
sino que estoy saliendo de la posición 1

190
00:15:08,269 --> 00:15:10,889
pues los saltos que doy es 1 menos

191
00:15:10,889 --> 00:15:12,570
del número de la posición

192
00:15:12,570 --> 00:15:13,529
a la que quiero llegar

193
00:15:13,529 --> 00:15:15,570
con lo cual en este caso

194
00:15:15,570 --> 00:15:18,429
el 11 que era la posición 5

195
00:15:18,429 --> 00:15:19,929
pues saldría

196
00:15:19,929 --> 00:15:21,990
de a1 más

197
00:15:21,990 --> 00:15:24,629
5 menos 1, 4 veces

198
00:15:24,629 --> 00:15:26,809
la diferencia queda 2

199
00:15:26,809 --> 00:15:27,929
si yo a 3

200
00:15:27,929 --> 00:15:30,509
le somo esas 4 veces 2

201
00:15:30,509 --> 00:15:32,450
llego al 11 que queríamos

202
00:15:32,450 --> 00:15:34,529
¿se ve Yolanda?

203
00:15:36,029 --> 00:15:36,710
Sí

204
00:15:36,710 --> 00:15:38,889
o escribimos un ejemplo que me vayas

205
00:15:38,889 --> 00:15:40,169
diciendo tú que hago

206
00:15:40,169 --> 00:15:42,730
por favor

207
00:15:42,730 --> 00:15:44,669
es una pregunta trampa

208
00:15:44,669 --> 00:15:46,629
porque te estoy diciendo lo que te voy a mandar

209
00:15:46,629 --> 00:15:47,769
hacer ahora

210
00:15:47,769 --> 00:15:50,129
imagínate

211
00:15:50,129 --> 00:16:05,250
Que tengo esta sucesión, ¿vale? Que es tres, seis, nueve, doce, quince. ¿Qué te parece que estamos haciendo aquí?

212
00:16:06,710 --> 00:16:09,509
Sumando de tres en tres.

213
00:16:09,509 --> 00:16:17,470
Entonces tú dices, yo creo que aquí lo que estoy haciendo es una progresión aritmética

214
00:16:17,470 --> 00:16:28,480
donde esa diferencia que hemos dicho es el 3, porque estoy sumando de 3 en 3 todo el rato.

215
00:16:29,360 --> 00:16:36,460
Ahora, si mi primer término era el 3, o sea, si el a sub 1 vale 3,

216
00:16:36,460 --> 00:16:40,460
y yo te preguntase cuánto va a valer el a sub 7

217
00:16:40,460 --> 00:16:44,460
¿qué haríamos según la formulita del término general que hemos dicho?

218
00:16:45,240 --> 00:16:47,980
Pues diré, voy a coger el a sub 1

219
00:16:47,980 --> 00:16:52,019
más 7 menos 1 a veces

220
00:16:52,019 --> 00:16:54,759
esa diferencia

221
00:16:54,759 --> 00:17:00,240
o sea que el a sub 7 va a salir de sumarle a 3

222
00:17:00,240 --> 00:17:03,600
6 veces 3

223
00:17:03,600 --> 00:17:07,000
¿por qué? porque para llegar de la posición 1 a la 7

224
00:17:07,000 --> 00:17:09,440
doy 6 saltitos

225
00:17:09,440 --> 00:17:12,920
¿vale? puesto que el primero no le cuento nunca

226
00:17:12,920 --> 00:17:14,900
la primera posición ya la tengo

227
00:17:14,900 --> 00:17:17,839
tengo que hacer las otras 6 hasta llegar a 7

228
00:17:17,839 --> 00:17:20,059
¿vale? o sea que siempre va a ser

229
00:17:20,059 --> 00:17:24,980
un saltito menos que la posición a la que quiero llegar

230
00:17:24,980 --> 00:17:26,099
¿vale? ¿Yolanda?

231
00:17:26,859 --> 00:17:28,900
si yo hago esa cuenta

232
00:17:28,900 --> 00:17:32,339
el número que está en la posición 7 va a ser

233
00:17:32,339 --> 00:17:35,319
el 6 más 18

234
00:17:35,319 --> 00:17:37,240
el 21

235
00:17:37,240 --> 00:17:39,500
que podríamos comprobarlo

236
00:17:39,500 --> 00:17:41,420
fácilmente, digo, esta era

237
00:17:41,420 --> 00:17:42,680
el a sub 1

238
00:17:42,680 --> 00:17:44,500
este es el a sub 2

239
00:17:44,500 --> 00:17:47,579
este el 3, este el 4

240
00:17:47,579 --> 00:17:49,180
este el 5

241
00:17:49,180 --> 00:17:51,200
el a sub 6

242
00:17:51,200 --> 00:17:51,880
¿quién sería?

243
00:17:52,619 --> 00:17:54,740
si sigo sumando 3 sería el 18

244
00:17:54,740 --> 00:17:56,900
y el a sub 7 ¿quién sería?

245
00:17:57,500 --> 00:17:59,400
el 21 que acabamos de averiguar

246
00:17:59,400 --> 00:18:00,339
¿vale?

247
00:18:00,339 --> 00:18:25,619
Pero no me hace falta hacer toda la suficiencia entera. Si yo utilizo la formulita esta del término general, que me la tengo que aprender, diciendo que cualquier término que ocupe la posición n va a salir de que al primero que me dan le sume n-1 a veces la diferencia, pues puedo encontrar el término que a mí me dé la gana.

248
00:18:25,619 --> 00:18:28,039
¿Vale? Sin necesidad

249
00:18:28,039 --> 00:18:30,240
de saber los términos que hay entre medias

250
00:18:30,240 --> 00:18:31,940
ni ir sumando de uno en uno

251
00:18:31,940 --> 00:18:32,880
¿Vale?

252
00:18:34,339 --> 00:18:35,359
¿Entendido, Yolanda?

253
00:18:36,140 --> 00:18:38,019
Sí. Bueno, pues ahora yo te

254
00:18:38,019 --> 00:18:40,240
pregunto, ¿quién sería el término

255
00:18:40,240 --> 00:18:41,240
16

256
00:18:41,240 --> 00:18:43,559
de esta progresión aritmética?

257
00:18:46,720 --> 00:18:47,799
El término 16

258
00:18:47,799 --> 00:18:50,880
¿Qué harías para calcular el término 16?

259
00:18:55,279 --> 00:18:57,019
Para llegar al 16

260
00:18:57,019 --> 00:18:59,039
Fíjate que tenemos que aplicar esta fórmula, ¿vale?

261
00:18:59,039 --> 00:19:01,119
ahora la n es 16

262
00:19:01,119 --> 00:19:03,099
¿qué pongo en la primera

263
00:19:03,099 --> 00:19:04,420
como primer valor?

264
00:19:08,470 --> 00:19:10,210
ay, que nunca me acuerdo que no veis el puntero

265
00:19:10,210 --> 00:19:11,509
si no muevo yo con el ratón

266
00:19:11,509 --> 00:19:13,529
sí, sí, ahora sí se ve

267
00:19:13,529 --> 00:19:16,509
el término 16, ahora la n

268
00:19:16,509 --> 00:19:18,730
que quiero es un 16

269
00:19:18,730 --> 00:19:20,410
pues me vengo y aplico

270
00:19:20,410 --> 00:19:22,369
esta fórmula, digo ¿quién era

271
00:19:22,369 --> 00:19:24,430
el primer término? ¿quién era el

272
00:19:24,430 --> 00:19:25,349
término a1?

273
00:19:28,470 --> 00:19:29,569
el 3, ¿no?

274
00:19:29,869 --> 00:19:30,809
el 3, sí

275
00:19:30,809 --> 00:19:34,490
al 3, que era mi primer término

276
00:19:34,490 --> 00:19:35,369
le tengo que sumar

277
00:19:35,369 --> 00:19:36,490
¿qué?

278
00:19:37,549 --> 00:19:39,029
n menos 1 veces

279
00:19:39,029 --> 00:19:40,250
la diferencia

280
00:19:40,250 --> 00:19:42,869
más 16 menos 1

281
00:19:42,869 --> 00:19:43,890
efectivamente

282
00:19:43,890 --> 00:19:46,630
16 menos 1

283
00:19:46,630 --> 00:19:48,150
veces ¿qué?

284
00:19:48,349 --> 00:19:50,089
es lo que le sumaba 16 menos 1

285
00:19:50,089 --> 00:19:53,730
¿quién era la diferencia?

286
00:19:54,329 --> 00:19:56,049
¿qué número era el que usabas tú

287
00:19:56,049 --> 00:19:58,910
para saltar de una posición a otra?

288
00:19:59,569 --> 00:20:00,910
tengo que buscar

289
00:20:00,910 --> 00:20:02,190
el número que llega

290
00:20:02,190 --> 00:20:03,210
ya me tenías que buscar

291
00:20:03,210 --> 00:20:05,269
el 3

292
00:20:05,269 --> 00:20:16,029
El 3, porque dijiste que iba saltando de 3 en 3, ¿no? Pues entonces tengo que sumar el 3, esas 16 menos 1 a veces.

293
00:20:16,029 --> 00:20:28,049
Entonces, digamos, el 3 más 16 menos 1, que es 15, por el 3 ese que estoy sumando, pues tengo 3 más 3 por 5, 15.

294
00:20:28,049 --> 00:20:30,509
una es 3 y una 4

295
00:20:30,509 --> 00:20:32,349
3 más 45

296
00:20:32,349 --> 00:20:34,250
el número que estaría

297
00:20:34,250 --> 00:20:36,509
en la posición 16

298
00:20:36,509 --> 00:20:38,529
sería el 48

299
00:20:38,529 --> 00:20:40,750
y no me ha hecho falta

300
00:20:40,750 --> 00:20:41,930
saber los anteriores

301
00:20:41,930 --> 00:20:43,930
solo he tenido que utilizar

302
00:20:43,930 --> 00:20:46,089
esta regla de recurrencia

303
00:20:46,089 --> 00:20:47,630
que me da el término general

304
00:20:47,630 --> 00:20:49,529
de la progresión aritmética

305
00:20:49,529 --> 00:20:52,470
que siempre se va a cumplir

306
00:20:52,470 --> 00:20:52,769
¿vale?

307
00:20:53,809 --> 00:20:55,650
lo único que tendré que saber es

308
00:20:55,650 --> 00:20:57,789
¿qué diferencia

309
00:20:57,789 --> 00:20:59,349
es la que tengo que ir sumando

310
00:20:59,349 --> 00:21:01,869
y hasta qué número quiero llegar

311
00:21:01,869 --> 00:21:04,390
para saber cuántas veces tengo que sumar esa diferencia

312
00:21:04,390 --> 00:21:06,990
y el primer término que me le van a dar 100

313
00:21:06,990 --> 00:21:07,769
¿vale?

314
00:21:08,769 --> 00:21:09,089
sí

315
00:21:09,089 --> 00:21:10,289
¿entendido?

316
00:21:10,369 --> 00:21:11,710
estas son las versiones aritméticas

317
00:21:11,710 --> 00:21:13,309
¿eh?

318
00:21:14,410 --> 00:21:15,269
aquí sí

319
00:21:15,269 --> 00:21:16,230
aquí sí

320
00:21:16,230 --> 00:21:17,829
me tengo que aprender la fórmula

321
00:21:17,829 --> 00:21:19,670
sí, la fórmula te la tienes que saber

322
00:21:19,670 --> 00:21:22,250
o acordarte de hacer la relación esta

323
00:21:22,250 --> 00:21:25,089
que es la que te lleva a cómo sale la fórmula

324
00:21:25,089 --> 00:21:25,329
¿vale?

325
00:21:25,329 --> 00:21:27,509
esto es de los que

326
00:21:27,509 --> 00:21:29,710
es la fórmula muy facilita

327
00:21:29,710 --> 00:21:31,630
pero es que el razonamiento también es muy facilito

328
00:21:31,630 --> 00:21:33,069
por lo cual, pues

329
00:21:33,069 --> 00:21:35,130
si se te olvidan en un momento dado

330
00:21:35,130 --> 00:21:37,809
tú te construyes una sucesión con los números que a ti te

331
00:21:37,809 --> 00:21:39,349
de la gana, sabiendo

332
00:21:39,349 --> 00:21:41,369
qué suma estás haciendo para saltar de uno a otro

333
00:21:41,369 --> 00:21:43,390
y luego te calculas

334
00:21:43,390 --> 00:21:45,589
ese término general pensando que es lo que ha pasado

335
00:21:45,589 --> 00:21:47,029
¿vale? bueno

336
00:21:47,029 --> 00:21:49,089
otra formulita que te tienes que aprender

337
00:21:49,089 --> 00:21:51,049
porque te voy a enseñar el truco de

338
00:21:51,049 --> 00:21:52,990
de dónde sale, ¿vale? y es

339
00:21:52,990 --> 00:22:01,390
cómo se calcula la suma de los n primeros términos de esa progresión aritmética, ¿vale?

340
00:22:01,990 --> 00:22:10,569
Y mira, te voy a contar una historia que es real, que es de quién descubrió esta formulita y cómo lo hizo.

341
00:22:12,910 --> 00:22:19,789
Estaba un matemático que se llamaba Gauss en el cole, de pequeñito, tenía solo 10 años, ¿eh?

342
00:22:19,789 --> 00:22:23,529
Fíjate, si iba a ser fácil que lo descubriera un niño con 10 años.

343
00:22:24,210 --> 00:22:28,289
Y la profe, para que estuviesen los niños entretenidos y ya pudiesen hacer sus cosas,

344
00:22:29,410 --> 00:22:38,509
les iba poniendo deberes y le decía, venga, a ver, sumadme todos los números del 1 hasta el 10.

345
00:22:39,430 --> 00:22:46,609
Claro, los niños empezaban 1, más 2, 3, más 3, 6, más 4, 10.

346
00:22:46,609 --> 00:23:01,869
Y Gauss nada más de decir eso decía 55 señorita. Bueno, hacían la suma y efectivamente salía 55. Bueno, ahora sumadme todos los números del 1 al 20.

347
00:23:01,869 --> 00:23:26,529
Y los niños otra vez, uno más dos, tres, más tres, seis, más cuatro, diez, más cinco, quince, y tal. Y Gaul llegaba y decía, 210 señorita, pero sin copiar casi ni los números. Y la señorita pues estaba un poco alucinada, dijo, a ver, tú, niño repipi, ¿qué estás haciendo para hacerlo tan deprisa?

348
00:23:26,529 --> 00:23:29,170
Sabos que esto ya lo has hecho en tu casa con tus padres.

349
00:23:30,109 --> 00:23:35,750
Y el señorito este le dijo a su profe, no, mira, señorita, es muy fácil,

350
00:23:36,230 --> 00:23:46,130
porque si hacemos lo siguiente, que es que yo sume el primer término con el último,

351
00:23:46,130 --> 00:23:48,849
¿qué me va a dar? 11.

352
00:23:49,349 --> 00:23:56,289
Pero si sumo 2 con el penúltimo, que es el 9, ¿qué me va a dar? 11 también.

353
00:23:56,529 --> 00:24:02,950
Pero es que si sumo el 3 con el siguiente, con el 8, también me da 11.

354
00:24:03,490 --> 00:24:07,990
Y si sumo 4 con el 7, también me da 11.

355
00:24:08,509 --> 00:24:12,589
Y si sumo 5 con el 6, también me da 11.

356
00:24:12,670 --> 00:24:15,430
Entonces solo tengo que contar cuántos 11 me han salido.

357
00:24:16,470 --> 00:24:18,430
¿Qué te parece la idea de este buen hombre?

358
00:24:20,569 --> 00:24:21,349
Buenísima, ¿verdad?

359
00:24:21,950 --> 00:24:22,789
Sí, sí, sí.

360
00:24:22,789 --> 00:24:48,930
Pues entonces, lo que dijo es este señor, si al primer término, a la su1, en este ejemplo es el 2, le sumo el último, en este ejemplo es el 12, y lo divido entre 2, y lo que me salga lo multiplico por el número de términos que yo quería sumar, me sale el resultado de la suma de toda la serie entera, de toda la sucesión.

361
00:24:48,930 --> 00:24:51,769
pues una idea maravillosa

362
00:24:51,769 --> 00:24:53,289
porque funciona siempre

363
00:24:53,289 --> 00:24:55,829
y no tengo que ir sumando uno a uno

364
00:24:55,829 --> 00:24:57,589
solo tengo que hacer dos sumas

365
00:24:57,589 --> 00:24:59,490
y una división y una multiplicación

366
00:24:59,490 --> 00:25:03,089
porque como siempre van a sumar

367
00:25:03,089 --> 00:25:05,809
lo mismo, esas parejas que haga

368
00:25:05,809 --> 00:25:08,970
y el número de parejas que voy a poder hacer será

369
00:25:08,970 --> 00:25:12,430
la mitad de los números que tengo

370
00:25:12,430 --> 00:25:15,210
porque como cada dos se convierten en una pareja

371
00:25:15,210 --> 00:25:17,190
pues al final tengo que hacer

372
00:25:17,190 --> 00:25:20,269
n medios sumas, ¿vale?

373
00:25:20,829 --> 00:25:21,470
¿Lo ves?

374
00:25:23,349 --> 00:25:24,769
O así, así.

375
00:25:27,579 --> 00:25:30,460
Este, lo... Bueno, he entendido que

376
00:25:30,460 --> 00:25:33,980
hay que multiplicar por los

377
00:25:33,980 --> 00:25:35,359
términos que hay, ¿no?

378
00:25:35,779 --> 00:25:38,880
Por la mitad de los términos que hay.

379
00:25:39,680 --> 00:25:42,500
Tienes que sumar el primer término y el último

380
00:25:42,500 --> 00:25:46,200
y multiplicarlo por el número que te salga

381
00:25:46,200 --> 00:25:47,940
al hacer la mitad de los términos que tienes.

382
00:25:47,940 --> 00:25:52,119
porque cada dos términos forman una pareja

383
00:25:52,119 --> 00:25:55,599
entonces tendrás la mitad de parejas que de términos

384
00:25:55,599 --> 00:25:58,539
si tú en una fiesta tienes 40 personas

385
00:25:58,539 --> 00:26:01,119
¿cuántas parejas puedes hacer? 20

386
00:26:01,119 --> 00:26:03,940
si tienes 30 personas puedes hacer 15

387
00:26:03,940 --> 00:26:06,859
siempre la mitad de parejas que de personas

388
00:26:06,859 --> 00:26:09,859
la mitad de parejas que de números tenga la solución

389
00:26:09,859 --> 00:26:14,240
y esa mitad se la tienes que multiplicar

390
00:26:14,240 --> 00:26:17,079
a lo que te salga de sumar el primer término más el último

391
00:26:17,079 --> 00:26:18,759
siempre, ¿vale?

392
00:26:19,119 --> 00:26:20,779
O sea, que la formulita que nos queda es esta

393
00:26:20,779 --> 00:26:21,619
que te pone aquí.

394
00:26:22,640 --> 00:26:24,619
Aquí en vez de una S, a mí me gusta poner

395
00:26:24,619 --> 00:26:26,799
ese N para saber que estoy sumando los N

396
00:26:26,799 --> 00:26:28,799
en primeros términos. Pero bueno, solo es

397
00:26:28,799 --> 00:26:30,500
notación, o sea, como la pone aquí arriba, ¿vale?

398
00:26:31,140 --> 00:26:32,559
Con una N pequeñita debajo

399
00:26:32,559 --> 00:26:34,819
para saber que así estoy sumando del término

400
00:26:34,819 --> 00:26:36,180
1 hasta el N, ¿de acuerdo?

401
00:26:37,259 --> 00:26:38,700
Vale, vale. Vamos a ver

402
00:26:38,700 --> 00:26:40,740
un ejemplo para que veas que sí

403
00:26:40,740 --> 00:26:41,240
que lo sabes.

404
00:26:41,240 --> 00:27:05,319
Yo te digo, en nuestra sucesión de antes, tengo los siguientes números. Acuérdate que teníamos la sucesión que era 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ¿vale?

405
00:27:05,319 --> 00:27:22,079
Pues yo te digo, a ver, Yolanda, ¿cuál sería la suma de los siete primeros términos de esta sucesión?

406
00:27:23,059 --> 00:27:24,619
¿Qué me dirías tú?

407
00:27:24,880 --> 00:27:32,579
Bueno, pues es el primer término más el término siete, porque es hasta donde quiero llegar, ¿vale?

408
00:27:32,579 --> 00:27:37,339
dividido entre 2 y multiplicado por 7

409
00:27:37,339 --> 00:27:40,559
que es el término que quería llegar, la n a la que quiero llegar

410
00:27:40,559 --> 00:27:43,680
bueno, pues como el a sub 1 vale 3

411
00:27:43,680 --> 00:27:47,579
y el a sub 7 valía 21

412
00:27:47,579 --> 00:27:52,700
pues la suma de esos términos que me has dicho

413
00:27:52,700 --> 00:27:56,579
es 3 más 21, 24

414
00:27:56,579 --> 00:28:01,339
dividido entre 2 por 7, siguiendo el orden de las operaciones

415
00:28:01,339 --> 00:28:04,680
para poder hacer la división necesito saber qué número tengo

416
00:28:04,680 --> 00:28:07,440
en el numerador, ¿no? Tengo que hacer la suma primero

417
00:28:07,440 --> 00:28:10,819
y luego ya la división. Cuando ya he hecho esa suma

418
00:28:10,819 --> 00:28:13,779
puedo decir 24 entre 2

419
00:28:13,779 --> 00:28:16,859
es 12. O sea, que me está diciendo

420
00:28:16,859 --> 00:28:19,460
que tengo que

421
00:28:19,460 --> 00:28:21,839
sumar 7 veces ese 12

422
00:28:21,839 --> 00:28:24,200
que eran las 7 parejas que me

423
00:28:24,200 --> 00:28:27,480
las parejas que me salían, ¿vale? Pues digo

424
00:28:27,480 --> 00:28:29,940
7 por 12, ¿cuánto va a ser?

425
00:28:29,940 --> 00:28:31,539
84

426
00:28:31,539 --> 00:28:33,599
pero si yo viniese aquí a mi externo

427
00:28:33,599 --> 00:28:34,839
le digo 3 y 6, 9

428
00:28:34,839 --> 00:28:36,660
y 9, 18

429
00:28:36,660 --> 00:28:39,119
18

430
00:28:39,119 --> 00:28:40,960
y 12, 30

431
00:28:40,960 --> 00:28:43,400
y 15, 45

432
00:28:43,400 --> 00:28:44,700
45

433
00:28:44,700 --> 00:28:47,420
y 18, 55

434
00:28:47,420 --> 00:28:48,319
63

435
00:28:48,319 --> 00:28:51,359
63 y 21, 84

436
00:28:51,359 --> 00:28:53,400
pero ha sido mucho más fácil

437
00:28:53,400 --> 00:28:55,140
hacer la cuenta con la formulita, ¿no?

438
00:28:55,960 --> 00:28:57,700
Sí. Y ir sumando uno a uno

439
00:28:57,700 --> 00:28:59,240
porque imagínate que en vez de

440
00:28:59,240 --> 00:29:01,079
mandarte que sumes los 7 primeros términos

441
00:29:01,079 --> 00:29:03,519
te digo que sumes los 100 primeros

442
00:29:03,519 --> 00:29:05,240
pues como vayas sumando

443
00:29:05,240 --> 00:29:07,220
uno a uno, te quedas sin tiempo

444
00:29:07,220 --> 00:29:08,039
en el examen, ¿no?

445
00:29:08,619 --> 00:29:11,319
aunque te dejes la calculadora, te tiras 3 días ahí

446
00:29:11,319 --> 00:29:13,140
dándole a la tecla

447
00:29:13,140 --> 00:29:15,380
¿vale? mientras que así

448
00:29:15,380 --> 00:29:17,059
solo me quedo con que tengo que coger

449
00:29:17,059 --> 00:29:18,400
el primero y el último

450
00:29:18,400 --> 00:29:21,480
y luego el número de posiciones

451
00:29:21,480 --> 00:29:22,599
que me han mandado sumar

452
00:29:22,599 --> 00:29:24,460
y dividir entre 2

453
00:29:24,460 --> 00:29:26,619
a esa multiplicación y ya está

454
00:29:26,619 --> 00:29:28,779
¿vale? siempre lo mismo

455
00:29:28,779 --> 00:29:30,579
siempre esta

456
00:29:30,579 --> 00:29:32,160
formulita que hemos dicho antes

457
00:29:32,160 --> 00:29:33,799
¿de acuerdo?

458
00:29:34,980 --> 00:29:35,980
¿sí?

459
00:29:37,099 --> 00:29:37,960
sí, sí

460
00:29:37,960 --> 00:29:40,640
pues entonces

461
00:29:40,640 --> 00:29:42,599
las progresiones aritméticas

462
00:29:42,599 --> 00:29:44,079
las tenemos controladas

463
00:29:44,079 --> 00:29:46,380
somos ya capaces de encontrar

464
00:29:46,380 --> 00:29:48,299
ese término general

465
00:29:48,299 --> 00:29:49,839
que era esta formulita

466
00:29:49,839 --> 00:29:52,720
y ahora encima soy capaz de sumar

467
00:29:52,720 --> 00:29:54,539
los términos que me digan

468
00:29:54,539 --> 00:29:55,220
¿no?

469
00:29:56,319 --> 00:29:56,839
sí

470
00:29:56,839 --> 00:30:13,440
O sea, estas dos formulitas, como bien has dicho antes, no las tenemos que saber o tengo que saber razonarlas para volverlas a recordar, ¿vale? Bueno, pues con otras dos formulitas más vamos a tener el tema controlado, ¿vale?

471
00:30:13,440 --> 00:30:26,700
Entonces, todos estos ejercicios que hay aquí resueltos se referirían a distintas formas de preguntarme esto, del término general, la suma de términos, tal, tal, para que les puedas echar un ojito, ¿vale?

472
00:30:26,700 --> 00:30:45,299
Porque hoy te voy a contar toda la teoría de este tema para que luego de hoy al martes que viene pienses tú los ejercicios y el martes que viene le vamos a dedicar a hacer ejercicios, ¿vale? Pero que te hayas hecho por lo menos estos resueltos y si intentas hacer lo que proponga, pues mejor, ¿vale?

473
00:30:45,299 --> 00:30:49,779
que por cierto, se me ha ido la pinta y me parece que no os he puesto en el tema

474
00:30:49,779 --> 00:30:52,059
cuáles son las que tenéis que hacer

475
00:30:52,059 --> 00:30:55,720
a ver si no se me olvida luego, que antes cuando he entrado digo ahí va, si no los he escrito

476
00:30:55,720 --> 00:31:01,480
bueno, pues vamos a ver qué pasaría en las progresiones geométricas

477
00:31:01,480 --> 00:31:04,839
que va a ser una cosa pues bastante parecida a esta

478
00:31:04,839 --> 00:31:09,319
nada más que ahora en vez de con sumas voy a ir haciendo multiplicaciones

479
00:31:09,319 --> 00:31:13,980
¿vale? bueno, pues la definición de una progresión geométrica

480
00:31:13,980 --> 00:31:21,259
es que es una sucesión en la que cada término menos el primero, que me van a tener que dar,

481
00:31:22,079 --> 00:31:29,339
se va a obtener multiplicando el anterior por un número fijo siempre. Y a ese número

482
00:31:29,339 --> 00:31:35,319
fijo le vamos a llamar ahora razón de la progresión. En las progresiones aritméticas

483
00:31:35,319 --> 00:31:41,619
le llamábamos diferencia y aquí le llamamos razón. En las progresiones aritméticas le

484
00:31:41,619 --> 00:31:45,480
llamamos diferencia, porque para encontrar ese número lo que hacíamos era

485
00:31:45,480 --> 00:31:49,440
restar dos números consecutivos y aquí le llamamos razón

486
00:31:49,440 --> 00:31:53,920
porque para encontrar ese número, por lo que estoy multiplicando, lo que hago es dividir

487
00:31:53,920 --> 00:31:57,140
dos números consecutivos, ¿vale? Por eso

488
00:31:57,140 --> 00:32:01,619
cada uno de los nombres, porque me ayuda a saber qué operación es la que

489
00:32:01,619 --> 00:32:05,500
tengo que hacer para calcularlo. Bueno, pues tengo esta progresión

490
00:32:05,500 --> 00:32:09,839
que dice, tengo el primer número el 3, luego el 6

491
00:32:09,839 --> 00:32:11,880
luego el 12, luego el 24

492
00:32:11,880 --> 00:32:13,000
luego el 48

493
00:32:13,000 --> 00:32:15,119
¿qué está ocurriendo aquí?

494
00:32:15,259 --> 00:32:17,099
¿cómo salto de un número a otro, Yolanda?

495
00:32:19,750 --> 00:32:20,789
¿de 4 en 4?

496
00:32:21,329 --> 00:32:21,809
¿segura?

497
00:32:22,089 --> 00:32:24,230
de 3 a 6 no hay 4, hay 3

498
00:32:24,230 --> 00:32:26,569
y de 6 a 2 no hay 4, hay 6

499
00:32:26,569 --> 00:32:28,609
y de 12 a 24 hay 12

500
00:32:28,609 --> 00:32:31,490
o sea que no va con una cantidad

501
00:32:31,490 --> 00:32:32,710
sumada

502
00:32:32,710 --> 00:32:35,450
¿qué te parece si digo que

503
00:32:35,450 --> 00:32:37,849
si multiplico el 3 por 2

504
00:32:37,849 --> 00:32:39,029
me da 6

505
00:32:39,029 --> 00:32:55,029
Si multiplico el 6 por 2 me da 12. Si multiplico el 12 por 2 me da 24. El 24 por 2 me da 48. O sea que entonces me doy cuenta que ahora lo que estoy haciendo no es sumar, sino que lo que estoy haciendo es multiplicar.

506
00:32:55,029 --> 00:33:15,130
Y multiplico siempre por el mismo número. ¿Quién es ese número? ¿Quién es esa razón? Voy a dividir dos términos consecutivos. ¿Cuánto me da si divido 6 entre 3? 2. ¿Cuánto me daría si dividiese 12 entre 6? 2. ¿Cuánto me daría si dividiese 24 entre 12? 2.

507
00:33:15,130 --> 00:33:25,490
O sea, que estoy viendo que el número que yo quería es el 2, es el número por el que yo quiero ir multiplicando para que se vaya duplicando el resultado, ¿vale?

508
00:33:26,250 --> 00:33:26,769
Sí.

509
00:33:26,910 --> 00:33:36,309
Entonces, como ya sé que estoy multiplicando por 2, voy a ver si consigo averiguar cómo se calcularía el término general.

510
00:33:36,829 --> 00:33:42,549
¿Cómo conseguiría sacar ese término n sabiendo solo el primero y la razón?

511
00:33:42,549 --> 00:33:46,490
Bueno, el término primero me lo tienen que dar

512
00:33:46,490 --> 00:33:51,329
Y ahora el segundo sale de multiplicar al término primero por esa r

513
00:33:51,329 --> 00:33:56,849
El término tercero saldría de multiplicar al término segundo por esa r

514
00:33:56,849 --> 00:34:01,990
Pero como el término segundo era ya a su 1 por r

515
00:34:01,990 --> 00:34:04,049
¿Qué me queda? Mira, te lo voy a escribir

516
00:34:04,049 --> 00:34:05,369
Aquí mejor

517
00:34:05,369 --> 00:34:08,929
Que decírtelo porque si no es más difícil

518
00:34:09,909 --> 00:34:14,110
Digo, el primer término me le dan a sub 1.

519
00:34:14,690 --> 00:34:19,449
Ahora sé que el término 2 es multiplicar a sub 1 por r.

520
00:34:20,269 --> 00:34:25,510
Que el término 3 es multiplicar a sub 2 por r.

521
00:34:25,869 --> 00:34:31,550
Pero, si yo meto esto aquí, como a sub 2 era lo mismo que a sub 1 por r,

522
00:34:32,030 --> 00:34:34,909
si ahora multiplico por otra r, que sería esta,

523
00:34:34,909 --> 00:34:37,289
es lo mismo que si hubiese multiplicado

524
00:34:37,289 --> 00:34:40,650
al a sub 1 por r al cuadrado

525
00:34:40,650 --> 00:34:42,349
que es dos veces r

526
00:34:42,349 --> 00:34:46,750
el a sub 4 sería multiplicar

527
00:34:46,750 --> 00:34:48,650
a sub 3 por r

528
00:34:48,650 --> 00:34:52,230
pero es que a sub 3 era

529
00:34:52,230 --> 00:34:55,869
lo mismo que a sub 1 por r al cuadrado

530
00:34:55,869 --> 00:34:57,670
o sea que en vez de poner a sub 3 pongo

531
00:34:57,670 --> 00:35:00,670
a sub 1 por r al cuadrado

532
00:35:00,670 --> 00:35:02,949
y por esta otra r

533
00:35:02,949 --> 00:35:04,409
¿a qué me lleva?

534
00:35:05,190 --> 00:35:07,269
a que sería como si hubiese multiplicado al a sub 1

535
00:35:07,269 --> 00:35:09,090
por r al cubo

536
00:35:09,090 --> 00:35:10,530
¿lo ves?

537
00:35:11,590 --> 00:35:12,150
sí

538
00:35:12,150 --> 00:35:15,650
bueno, si yo siguiese ese razonamiento

539
00:35:15,650 --> 00:35:18,369
hasta el término n

540
00:35:18,369 --> 00:35:21,170
me diría que el término n

541
00:35:21,170 --> 00:35:23,269
sale de multiplicar al a sub 1

542
00:35:23,269 --> 00:35:26,789
por r elevado a n menos 1

543
00:35:26,789 --> 00:35:30,010
porque siempre he multiplicado por una r menos

544
00:35:30,010 --> 00:35:33,369
que la posición a la que quería llegar

545
00:35:33,369 --> 00:35:36,030
cuando quería llegar a la posición 4

546
00:35:36,030 --> 00:35:38,489
yo multiplicaba por r al cubo

547
00:35:38,489 --> 00:35:40,550
cuando quería llegar a la posición 3

548
00:35:40,550 --> 00:35:42,070
por r al cuadrado

549
00:35:42,070 --> 00:35:44,170
cuando quería llegar a la posición 2

550
00:35:44,170 --> 00:35:45,690
por r elevado a 1

551
00:35:45,690 --> 00:35:48,010
pues cuando quiera llegar a la posición r

552
00:35:48,010 --> 00:35:49,989
por r elevado a n-1

553
00:35:49,989 --> 00:35:53,610
pues esta formulita es mi término general

554
00:35:53,610 --> 00:35:55,489
es la que me está diciendo

555
00:35:55,489 --> 00:35:57,849
esa recurrencia que se cumple

556
00:35:57,849 --> 00:35:59,869
para encontrar cualquier término

557
00:35:59,869 --> 00:36:01,429
de esa progresión geométrica

558
00:36:01,429 --> 00:36:03,610
¿vale? ¿lo ves?

559
00:36:03,809 --> 00:36:05,210
sí, sí, sí

560
00:36:05,210 --> 00:36:07,409
entonces, en nuestro ejemplo

561
00:36:07,409 --> 00:36:08,369
para que lo veas con

562
00:36:08,369 --> 00:36:11,269
nuestro ejemplo me decía que teníamos

563
00:36:11,269 --> 00:36:12,769
a ver, era

564
00:36:12,769 --> 00:36:15,829
el 1, el 3

565
00:36:15,829 --> 00:36:16,869
el 9

566
00:36:16,869 --> 00:36:19,250
el 27

567
00:36:19,250 --> 00:36:21,090
el 81

568
00:36:21,090 --> 00:36:23,590
¿vale? ¿de acuerdo?

569
00:36:24,050 --> 00:36:25,969
en la que estoy viendo que estoy multiplicando

570
00:36:25,969 --> 00:36:27,750
por 3 todo el rato

571
00:36:27,750 --> 00:36:31,530
Pues digo, si quiero llegar al término 20

572
00:36:31,530 --> 00:36:34,210
¿Quién sería ese término 20?

573
00:36:35,010 --> 00:36:42,210
Pues sería el a1 por la razón elevado a n-1

574
00:36:42,210 --> 00:36:47,329
Pero ahora sé que el a1 es el 1

575
00:36:47,329 --> 00:36:50,389
Que es donde ha empezado mi progresión

576
00:36:50,389 --> 00:36:54,429
Y sé que la r es 3

577
00:36:54,429 --> 00:36:57,090
Porque es el número porque lo voy multiplicando todo el rato

578
00:36:57,090 --> 00:37:06,210
y sé que la posición en la que quiero llegar es la posición 20, pues si cambio todos esos valores por lo que tengo aquí en la fórmula,

579
00:37:06,889 --> 00:37:19,969
diríamos que tengo que el a sub 20 es 1, que valía ese a sub 1, por el 3 que vale la razón, elevado a 20 menos 1,

580
00:37:19,969 --> 00:37:21,909
pues sería

581
00:37:21,909 --> 00:37:24,030
1 por 3

582
00:37:24,030 --> 00:37:25,269
elevado a 19

583
00:37:25,269 --> 00:37:27,610
y 3 elevado a 19

584
00:37:27,610 --> 00:37:29,010
o con lo que me diga la calculadora

585
00:37:29,010 --> 00:37:31,550
pues haré un número gigantesco

586
00:37:31,550 --> 00:37:34,070
¿vale? ese ya le haría con la calculadora

587
00:37:34,070 --> 00:37:34,949
¿de acuerdo?

588
00:37:35,110 --> 00:37:36,630
pero no voy tecleando 1 a 1

589
00:37:36,630 --> 00:37:38,309
sino que en mi calculadora

590
00:37:38,309 --> 00:37:41,449
por ejemplo las que tenemos aquí que te las dejaré

591
00:37:41,449 --> 00:37:43,550
para hacer una potencia lo que hago es

592
00:37:43,550 --> 00:37:45,949
poner un simbolito así que se llama galón

593
00:37:45,949 --> 00:37:48,210
digo el número de la base

594
00:37:48,210 --> 00:37:49,630
pongo el galoncito

595
00:37:49,630 --> 00:37:50,929
y el número del exponente

596
00:37:50,929 --> 00:37:52,269
y a la calculadora me hace

597
00:37:52,269 --> 00:37:54,429
y me saca el número que quiero

598
00:37:54,429 --> 00:37:57,090
¿de acuerdo?

599
00:37:58,349 --> 00:37:59,809
hay otras calculadoras

600
00:37:59,809 --> 00:38:02,170
que te ponen x elevado a y

601
00:38:02,170 --> 00:38:03,570
y tienes que decir

602
00:38:03,570 --> 00:38:04,630
tienes la x

603
00:38:04,630 --> 00:38:07,469
dar a esa tecla de x elevado a y

604
00:38:07,469 --> 00:38:08,329
luego al 19

605
00:38:08,329 --> 00:38:11,349
ya te saca otras calculadoras

606
00:38:11,349 --> 00:38:12,630
que te ponen x

607
00:38:12,630 --> 00:38:14,730
y un cuadradito así en blanco

608
00:38:14,730 --> 00:38:16,250
pues tienes que hacer lo mismo

609
00:38:16,250 --> 00:38:18,769
3 por esa

610
00:38:18,769 --> 00:38:21,329
tecla de X con el cuadradito

611
00:38:21,329 --> 00:38:23,110
y el 19 y te saca ya

612
00:38:23,110 --> 00:38:24,210
el número que sea, ¿vale?

613
00:38:25,090 --> 00:38:27,469
El día del examen, como yo dejaré la calculadora,

614
00:38:27,610 --> 00:38:29,530
pues si no traes ninguna que sepas

615
00:38:29,530 --> 00:38:31,210
manejar, pues yo con una que te deje

616
00:38:31,210 --> 00:38:32,349
te diré cómo se hace, ¿vale?

617
00:38:33,369 --> 00:38:34,710
¿De acuerdo? ¿Sí?

618
00:38:35,489 --> 00:38:37,250
Lo que quiero ahora es que te aprendas

619
00:38:37,250 --> 00:38:39,269
esta formulita, ¿vale?

620
00:38:39,309 --> 00:38:41,510
El próximo día. O sea, que ya

621
00:38:41,510 --> 00:38:43,269
llevamos tres fórmulas que te tienes que sacar.

622
00:38:44,050 --> 00:38:45,409
Vamos a por una cuarta para

623
00:38:45,409 --> 00:38:47,429
redondear, que siempre es mejor

624
00:38:47,429 --> 00:38:48,590
dos parejas que una, ¿no?

625
00:38:48,769 --> 00:38:59,889
Bueno, pues voy a ver ahora, igual que hicimos antes, cómo puedo sumar n términos de una progresión geométrica.

626
00:38:59,889 --> 00:39:12,510
Ahora, ¿qué haría? Y aquí el razonamiento es uno que ya hicimos en cómo se calculaba la fracción generatriz de un número periódico puro, ¿vale?

627
00:39:12,510 --> 00:39:15,989
te voy a decirlo, porque aquí no he hecho el cálculo

628
00:39:15,989 --> 00:39:17,570
directamente poniendo las formulitas

629
00:39:17,570 --> 00:39:19,769
que me vale cualquiera de estas dos fórmulas

630
00:39:19,769 --> 00:39:22,130
¿vale? el a sub n por r menos 1

631
00:39:22,130 --> 00:39:23,570
entre r menos 1

632
00:39:23,570 --> 00:39:25,889
o a sub 1, que a mí me gusta más esta

633
00:39:25,889 --> 00:39:28,010
porque solo tengo que saber quién es el primer

634
00:39:28,010 --> 00:39:29,789
término, no me hace falta saber el último

635
00:39:29,789 --> 00:39:31,789
¿vale? pero te voy a decir

636
00:39:31,789 --> 00:39:33,449
cómo se calcula, luego

637
00:39:33,449 --> 00:39:35,469
para que no nos confundamos

638
00:39:35,469 --> 00:39:37,889
la suma de los infinitos términos, esta no hace

639
00:39:37,889 --> 00:39:40,010
falta que la sepas

640
00:39:40,010 --> 00:39:41,349
ni la del producto

641
00:39:41,349 --> 00:40:09,769
Solo quiero que sepáis, término general y suma de n términos, tanto en progresión aritmética como en geométrica. No os voy a poner ejercicios ni en los de los deberes ni en el examen distintos a eso, porque estas ya son más complicadas, se usan menos y en lo que pretendemos de los problemas de cálculo de interés compuesto y de interpolación de números no nos hacen falta ni esta ni esta de aquí abajo.

642
00:40:09,769 --> 00:40:18,409
Entonces, como son más complicadas de entender y encima no las vamos a usar, pues os las perdono, ¿vale?

643
00:40:19,289 --> 00:40:20,969
Sí, bueno.

644
00:40:21,909 --> 00:40:30,230
Bueno, pues ahora te voy a contar cómo se saca esta y con eso tendríamos la clase de hoy muy aprovechada, si lo has entendido todo, ¿vale?

645
00:40:31,170 --> 00:40:37,889
Y si no, como tiene los ejercicios eso para practicar, pues esta semana practica y la semana que viene le damos la propia a los ejercicios, ¿vale?

646
00:40:38,869 --> 00:40:40,389
Venga, vamos a por ello.

647
00:40:47,960 --> 00:40:59,619
Entonces, quiero hacer la suma de los n primeros términos en una progresión geométrica.

648
00:41:03,369 --> 00:41:05,590
Yo digo que mi término...

649
00:41:09,099 --> 00:41:10,599
A ver...

650
00:41:10,599 --> 00:41:14,530
Perdón, el borrador se me ha ido ahora.

651
00:41:19,269 --> 00:41:20,590
Imagínate, lo vamos a escribir así.

652
00:41:20,590 --> 00:41:30,030
Y si yo dijese que quiero sumar los n primeros términos, podría decir que sume el a sub 1 más el a sub 2 más el a sub 3, ¿no?

653
00:41:31,449 --> 00:41:33,489
Más a sub n, ¿sí o no?

654
00:41:34,349 --> 00:41:34,670
Sí.

655
00:41:35,289 --> 00:41:41,190
¿Vale? Pero imagínate que digo, bueno, y si a esa suma la multiplico por r, ¿qué pasa?

656
00:41:42,289 --> 00:41:49,269
Pues pasaría lo siguiente, que si yo al a sub 1 le multiplico por r, me da el a sub 2.

657
00:41:49,269 --> 00:41:52,429
porque decíamos que cada término

658
00:41:52,429 --> 00:41:54,210
era multiplicar el anterior por R, ¿no?

659
00:41:55,309 --> 00:41:55,909
¿Sí o no?

660
00:41:56,469 --> 00:41:59,289
Y si multiplico a la sub 2 por R

661
00:41:59,289 --> 00:42:01,349
me daría la sub 3, ¿no?

662
00:42:02,130 --> 00:42:04,130
Pues si hago eso sucesivamente

663
00:42:04,130 --> 00:42:06,489
resulta que cuando llego a la sub n

664
00:42:06,489 --> 00:42:07,730
y le multiplico por R

665
00:42:07,730 --> 00:42:11,630
me da el a sub n más 1, ¿vale?

666
00:42:12,849 --> 00:42:13,369
¿Sí?

667
00:42:14,130 --> 00:42:15,090
¿Ya me acuerdo conmigo?

668
00:42:15,949 --> 00:42:18,309
Bueno, acuérdate que esto lo hicimos ya

669
00:42:18,309 --> 00:42:25,610
en las progresiones, digo, en los términos generales de los números periódicos.

670
00:42:26,670 --> 00:42:36,190
Digo, bueno, si yo ahora cogiese y a este número, que es más grande que este,

671
00:42:36,809 --> 00:42:46,170
le quitase ese primero, si yo a r por sn le restase la suma de los n primeros términos,

672
00:42:46,170 --> 00:42:55,789
¿qué pasaría? Pues pasaría lo siguiente, que a este a sub 2 le estoy quitando ese a sub 2,

673
00:42:56,369 --> 00:43:01,730
a este a sub 3 le estaría quitando ese a sub 3, al a sub n que estaría por aquí le estaría

674
00:43:01,730 --> 00:43:07,809
quitando ese a sub n. ¿Quién me quedaría solo después de hacer esa resta? Pues me

675
00:43:07,809 --> 00:43:12,849
Me quedaría el a sub n más 1 menos el a sub 1.

676
00:43:13,469 --> 00:43:17,949
El término más grande menos el más chiquito de la primera suma.

677
00:43:18,889 --> 00:43:22,369
Bueno, pero es que yo no quería saber quién era esta resta.

678
00:43:22,510 --> 00:43:24,710
Yo lo que quería saber era quién era la sn sola.

679
00:43:25,369 --> 00:43:28,550
Bueno, pues si saco factor común aquí a sn,

680
00:43:31,110 --> 00:43:36,050
digo, si quito sn de este primer término, me quedaría solo la r.

681
00:43:36,050 --> 00:43:41,429
Y si quito ese n de este segundo término, me quedaría un menos 1.

682
00:43:42,610 --> 00:43:44,949
¿Vale? ¿Lo has visto esto?

683
00:43:45,690 --> 00:43:50,190
Y eso me quedaría que es igual a a sub n más 1 menos a sub 1.

684
00:43:50,769 --> 00:43:57,730
Bueno, pues entonces la sn que estoy buscando es todo esto que está multiplicando, me lo llevo al otro lado dividiendo.

685
00:43:57,730 --> 00:44:01,809
saldría de que al término n más 1

686
00:44:01,809 --> 00:44:05,530
le quite el primer término

687
00:44:05,530 --> 00:44:09,230
y lo que me quede de resultado lo divida entre r menos 1

688
00:44:09,230 --> 00:44:13,429
¿vale? pero, y esta sería mi primera

689
00:44:13,429 --> 00:44:17,570
fórmula, esta es mi primera forma de encontrar la suma

690
00:44:17,570 --> 00:44:21,150
de los n primeros términos, yo digo bueno, es que yo podría

691
00:44:21,150 --> 00:44:25,650
hacer esta fórmula pero solo utilizando el primer

692
00:44:25,650 --> 00:44:39,690
Término. Porque yo sé que el término a su n más 1, ¿vale? El término a su n más 1, dijimos aquí, que salía de a su n por r, ¿no?

693
00:44:40,730 --> 00:44:41,250
Sí.

694
00:44:41,250 --> 00:44:48,550
Yo puedo decir que eso es a su n por r, y menos a su 1 partido de r menos 1.

695
00:44:49,489 --> 00:45:00,630
Pero, además, yo sabía de la fórmula del término general que el término a su n era el a su 1 por r elevado a n menos 1 a veces.

696
00:45:01,710 --> 00:45:01,789
¿Sí?

697
00:45:03,230 --> 00:45:07,670
Esta era la fórmula del término general de una progresión geométrica.

698
00:45:07,670 --> 00:45:21,510
Si cambio ese a sub n por esto, ¿qué me queda? a sub 1 por r elevado a n menos 1 por otra r y menos a sub 1 entre r menos 1.

699
00:45:21,929 --> 00:45:35,630
Bueno, pero es que todavía puedo realizar más el rizo y simplificar cosas, porque este r menos 1, si lo multiplico por otra r, me da r elevado a n.

700
00:45:35,630 --> 00:45:44,750
O sea que me queda a sub 1 por r elevado a n menos a sub 1 entre r menos 1.

701
00:45:45,510 --> 00:45:47,929
Anda leche, pero es que todavía puedo hacer más.

702
00:45:48,590 --> 00:45:53,949
Porque visto así, podríamos hacerlo de antes, sacar factor común al a sub 1.

703
00:45:54,449 --> 00:45:57,909
Porque se está repitiendo en los dos términos del numerador.

704
00:45:59,429 --> 00:46:04,710
Saco factor común al a sub 1 y cuando quito a sub 1 de este primer término,

705
00:46:04,710 --> 00:46:13,010
que me queda r a la n, y cuando quito a su 1 del segundo término, que me queda un 1,

706
00:46:14,130 --> 00:46:22,130
pues tengo esta otra forma de ver la suma de los n primeros términos con esta otra fórmula, ¿vale?

707
00:46:22,369 --> 00:46:31,090
En la que solo tengo que conocer quién es el primer término, cuánto vale la razón y a qué término quiero llegar.

708
00:46:31,090 --> 00:46:34,750
en el fondo esa es la misma que esta otra

709
00:46:34,750 --> 00:46:38,010
pero aquí necesitaría saber el primer término

710
00:46:38,010 --> 00:46:40,230
el término de más uno y la razón

711
00:46:40,230 --> 00:46:43,869
o sea que dependiendo de la sucesión que tenga

712
00:46:43,869 --> 00:46:45,230
de los datos que me den

713
00:46:45,230 --> 00:46:48,329
pues uso una o uso la otra

714
00:46:48,329 --> 00:46:52,130
porque en el fondo son la misma pero de distinta manera

715
00:46:52,130 --> 00:46:53,010
¿vale?

716
00:46:54,409 --> 00:46:57,309
pues esas son las dos formulitas que me pone aquí

717
00:46:57,309 --> 00:47:01,010
la de a su n por r menos uno

718
00:47:01,010 --> 00:47:04,389
y a su 1 por la otra, ¿vale?

719
00:47:05,010 --> 00:47:09,090
¿De acuerdo? Esta está mal. Aquí no es un 1, aquí es un a su 1, ¿vale?

720
00:47:10,530 --> 00:47:12,789
Que aquí, ¿ves lo que te estoy diciendo?

721
00:47:12,889 --> 00:47:16,849
Mira, esta saldría de a su n

722
00:47:16,849 --> 00:47:20,489
por r menos a su 1. Y aquí han puesto

723
00:47:20,489 --> 00:47:23,690
a su n por r menos 1, en vez de menos a su 1.

724
00:47:24,210 --> 00:47:28,409
Por eso te decía que yo usaba mejor esta otra, porque se parece más

725
00:47:28,409 --> 00:47:32,369
en la suma de las progresiones aritméticas

726
00:47:32,369 --> 00:47:34,570
pues todo eso depende del primer término, ¿vale?

727
00:47:35,230 --> 00:47:37,610
porque encima aquí la han escrito mal

728
00:47:37,610 --> 00:47:41,130
¿vale? si la miras desde aquí

729
00:47:41,130 --> 00:47:43,650
luego lo corriges y te has imprimido esto

730
00:47:43,650 --> 00:47:46,989
pues acuérdate luego de cambiar eso

731
00:47:46,989 --> 00:47:50,030
en la fórmula, ¿vale? si vas a usar esta

732
00:47:50,030 --> 00:47:52,309
acuérdate que aquí hay una columna

733
00:47:52,309 --> 00:47:54,010
no es un 1 solo, ¿vale?

734
00:47:54,010 --> 00:47:58,909
o subrayarte esta otra

735
00:47:58,909 --> 00:48:01,730
y aprenderte esta otra sola, no las dos

736
00:48:01,730 --> 00:48:06,250
yo te aconsejaría eso, que aprendieses esta segunda

737
00:48:06,250 --> 00:48:09,469
y esta primera, no te olvides de ella, esta última

738
00:48:09,469 --> 00:48:13,610
es la que es más fácil de recordar, creo yo

739
00:48:13,610 --> 00:48:15,210
¿de acuerdo?

740
00:48:17,369 --> 00:48:21,489
muy bien, bueno pues hasta aquí hemos llegado

741
00:48:21,489 --> 00:48:23,309
hoy. Ahora te voy a poner

742
00:48:23,309 --> 00:48:25,269
qué ejercicios hay que hacer de los

743
00:48:25,269 --> 00:48:27,190
del final, pero prefiero

744
00:48:27,190 --> 00:48:29,110
que sí que te mires estos resueltos que

745
00:48:29,110 --> 00:48:30,829
vienen aquí en las zonas estas grises.

746
00:48:31,670 --> 00:48:33,309
¿De acuerdo? El próximo día

747
00:48:33,309 --> 00:48:35,050
veremos aplicaciones de ello

748
00:48:35,050 --> 00:48:37,150
y qué es esto de la interpolación interés

749
00:48:37,150 --> 00:48:39,269
compuesto, que tardaremos un segundo

750
00:48:39,269 --> 00:48:41,329
en verlo y luego ya nos dedicamos a los ejercicios

751
00:48:41,329 --> 00:48:43,190
y las dudas que tú quieras, porque este tema

752
00:48:43,190 --> 00:48:44,869
es muy cortito, ya, se acaba aquí.

753
00:48:45,530 --> 00:48:46,570
¿Vale? Bueno.

754
00:48:47,750 --> 00:48:49,170
Aquí vuelve a haber ejercicios

755
00:48:49,170 --> 00:48:51,150
mezclados ya de todo, todos los que

756
00:48:51,150 --> 00:48:53,550
tienen sombreado gris están resueltos

757
00:48:53,550 --> 00:48:54,989
los que os voy a poner ahora

758
00:48:54,989 --> 00:48:56,329
para que podáis practicar

759
00:48:56,329 --> 00:48:58,389
son estos que están en blanco

760
00:48:58,389 --> 00:48:59,630
que como te digo

761
00:48:59,630 --> 00:49:02,670
o como digo a todos los que luego estén

762
00:49:02,670 --> 00:49:05,429
vean, tenéis las soluciones

763
00:49:05,429 --> 00:49:06,150
aquí al final

764
00:49:06,150 --> 00:49:08,050
esto que viene aquí en gris

765
00:49:08,050 --> 00:49:11,210
serían las soluciones de los ejercicios que hay arriba en blanco

766
00:49:11,210 --> 00:49:13,449
de los que pone que son para practicar

767
00:49:13,449 --> 00:49:14,210
¿vale?

768
00:49:14,690 --> 00:49:17,050
y luego por último, en este tema

769
00:49:17,050 --> 00:49:18,590
trae una cosa también muy curiosa

770
00:49:18,590 --> 00:49:20,949
que es como una especie de samencillo

771
00:49:20,949 --> 00:49:23,369
para ver si más o menos me he enterado de las cosas

772
00:49:23,369 --> 00:49:25,489
pues también las soluciones

773
00:49:25,489 --> 00:49:26,329
de ese examen

774
00:49:26,329 --> 00:49:28,909
están al final del todo

775
00:49:28,909 --> 00:49:33,449
en lo que pone aquí soluciones de la autoevaluación

776
00:49:33,449 --> 00:49:35,250
aquí tenéis para

777
00:49:35,250 --> 00:49:37,550
practicar y poder comprobar si se ha salido

778
00:49:37,550 --> 00:49:38,949
bien un montón de ejercicios

779
00:49:38,949 --> 00:49:41,570
¿vale? ahora mismo

780
00:49:41,570 --> 00:49:42,869
lo que empiezo la siguiente clase

781
00:49:42,869 --> 00:49:43,949
voy a poner un segundo

782
00:49:43,949 --> 00:49:47,530
los que hay que hacer

783
00:49:47,530 --> 00:49:49,670
los que tiendan a entregar evaluación continua

784
00:49:49,670 --> 00:49:57,510
Si tú misma quieres hacer evaluación continua a esta evaluación, porque a veces te van saliendo y te da tiempo, pues los que tenéis que entregar, ¿vale?

785
00:49:58,429 --> 00:49:58,869
Bueno.

786
00:49:59,210 --> 00:49:59,690
¿De acuerdo?

787
00:50:00,349 --> 00:50:01,829
Bueno, pues aquí lo dejamos.

788
00:50:02,309 --> 00:50:10,369
Que tengas buena tarde, buen fin de semana y el lunes que viene un poquito más de química para rematar la temporada de química, ¿vale?

789
00:50:10,769 --> 00:50:12,190
Sí, muy bien.

790
00:50:12,309 --> 00:50:12,929
Buena tarde.

791
00:50:13,010 --> 00:50:14,530
Gracias, hasta luego.