1
00:00:06,769 --> 00:00:13,029
Hola, vamos a ver hoy las derivadas de algunas funciones elementales, como funciones polinómicas,

2
00:00:13,250 --> 00:00:20,750
racionales e irracionales. Comenzamos con una función polinómica, la derivada de cx cuadrado

3
00:00:20,750 --> 00:00:26,070
menos 2x menos 1. Bien, para hacer esta derivada vamos a tener que utilizar el hecho de que

4
00:00:26,070 --> 00:00:32,570
la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas. La derivada

5
00:00:32,570 --> 00:00:37,409
de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

6
00:00:38,009 --> 00:00:45,789
La derivada de una constante es 0, la derivada de x elevado a n es n por x elevado a n menos 1

7
00:00:45,789 --> 00:00:51,409
y la derivada de x, bueno, esta es consecuencia de la anterior, por la derivada de igual a x, pues es 1.

8
00:00:51,869 --> 00:00:57,549
Bien, entonces, bueno, esta función se puede poner como la suma o diferencia de tres funciones.

9
00:00:57,549 --> 00:01:11,450
Por un lado sería igual a 3x cuadrado, su derivada y prima, pues es la constante que es 3, por la derivada de x cuadrado que es 2 por x elevado a una unidad menos.

10
00:01:12,189 --> 00:01:13,549
Esto es igual a 6x.

11
00:01:14,469 --> 00:01:25,769
Si es igual a menos 2x, pues su derivada y prima es menos 2, la constante, por la derivada de x que es 1, menos 2.

12
00:01:25,769 --> 00:01:32,709
Y si es igual a menos 1, pues su derivada y prima es 0.

13
00:01:33,790 --> 00:01:46,989
Bien, entonces la derivada de esta suma y diferencia de funciones, pues será igual, la derivada de f' de x será igual a 6x menos 2 a la suma de las derivadas.

14
00:01:47,609 --> 00:01:52,790
Esto también se puede hacer directamente, no es necesario que lo hagamos siempre paso a paso y podemos hacerlo así.

15
00:01:52,790 --> 00:02:08,770
Bueno, pues f' de x es igual a 3 por 2 elevado a una unidad menos, 2 por x elevado a una unidad menos, menos 2 por 1, que esto es igual a 6x menos 2.

16
00:02:09,669 --> 00:02:11,889
También podríamos haberlo hecho directamente.

17
00:02:13,509 --> 00:02:17,430
Bien, vamos a ver esta otra derivada de una función polinómica.

18
00:02:17,430 --> 00:02:36,000
Bueno, pues f' de x es igual a menos 2 por 4 por x elevado a una unidad menos, menos 3, que es la constante, por 2 por x elevado a una unidad menos, más 2 por 1.

19
00:02:36,960 --> 00:02:51,650
f' de x, f' de x, pues ya será igual a menos 8x al cubo, menos 6x, más 2.

20
00:02:52,830 --> 00:02:57,530
Bien, esto lo podríamos haber hecho también directamente, haber pasado directamente aquí.

21
00:02:58,389 --> 00:03:12,819
Sería menos 2 por 4, 8, por x elevado a 3, menos 3 por 2, por x elevado a 1, menos 2 por 1, más 2 por 1, más 2.

22
00:03:12,819 --> 00:03:18,110
Bien, vamos a ver ahora la derivada de un cociente.

23
00:03:18,110 --> 00:03:33,449
La derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar y partido por el denominador al cuadrado.

24
00:03:33,449 --> 00:03:59,219
Bien, pues lo hacemos, f' de x será igual a derivada del numerador, que es 3x menos 2, la derivada de 3x es 3, la derivada de menos 2 es 0, por el de abajo sin derivar, por x al cuadrado, menos la derivada del de abajo, que es 2x, por el de arriba sin derivar, y partido por el denominador al cuadrado.

25
00:03:59,219 --> 00:04:17,800
f' de x es igual a 3x cuadrado menos 6x cuadrado más 4x partido por x a la cuarta.

26
00:04:19,560 --> 00:04:29,860
Operando aquí nos quedaría menos 3x cuadrado más 4x partido por x a la cuarta.

27
00:04:29,860 --> 00:04:44,360
Aquí podemos simplificar sacando factor común una x, bueno, pues f' de x es igual a x por menos 3x más 4 partido por x a la cuarta.

28
00:04:45,079 --> 00:04:57,899
Quitamos una x de aquí con una x de aquí, nos queda x cubo, y bueno, pues f' de x es menos 3x más 4 partido por x al cubo.

29
00:04:57,899 --> 00:05:20,779
Bueno, esta expresión que tenemos aquí, pues es equivalente a la de arriba, bastaría, para que nos quedase igual, bastaría simplemente cambiar de signo todo el numerador, y lo podríamos dejar de esta forma, pues f' de x es igual a menos 3x menos 4 partido por x al cubo, ¿no?

30
00:05:20,779 --> 00:05:28,319
Lo único que hemos hecho ha sido cambiar de signo todo el numerador. Así valdría, ¿de acuerdo? Con esta expresión valdría.

31
00:05:28,319 --> 00:05:33,920
Bien, vemos el siguiente

32
00:05:33,920 --> 00:05:38,019
La derivada de un cociente, pues igual que antes, ¿no?

33
00:05:38,500 --> 00:05:44,379
f' de x será igual a la derivada del numerador

34
00:05:44,379 --> 00:05:50,279
Que es 3 menos 2x por el denominador sin derivar

35
00:05:50,279 --> 00:05:54,800
Menos la derivada del de abajo, de x menos 1, que es 1

36
00:05:54,800 --> 00:05:57,420
Por el numerador sin derivar

37
00:05:57,420 --> 00:06:03,069
Y partido por el denominador al cuadrado.

38
00:06:03,769 --> 00:06:18,930
Bien, operamos aquí. Pues f' de x es igual a 3x menos 3 menos 2x cuadrado más 2x, multiplicando ahí esos polinomios,

39
00:06:20,110 --> 00:06:29,560
menos 3x más x cuadrado, partido por x menos 1 al cuadrado.

40
00:06:29,560 --> 00:06:52,970
Si operamos y simplificamos, pues nos quedaría menos x al cuadrado, 3x menos 3x fuera, más 2x, menos 3, partido por x menos 1 al cuadrado.

41
00:06:53,769 --> 00:06:55,490
Bueno, y así valdría, ¿no?

42
00:06:56,430 --> 00:06:59,350
Bueno, si nos fijamos no es exactamente igual que lo que tenemos arriba,

43
00:06:59,490 --> 00:07:02,329
pero bueno, ahí lo único que hay que hacer es cambiar de signo todo el numerador.

44
00:07:02,870 --> 00:07:05,430
Esto también se puede poner, es equivalente a la siguiente expresión,

45
00:07:05,430 --> 00:07:10,029
f' de x igual a menos, cambiamos de signo todo el numerador,

46
00:07:10,649 --> 00:07:19,269
nos queda x cuadrado menos 2x más 3 partido por x menos 1 al cuadrado, ¿no?

47
00:07:19,269 --> 00:07:20,670
Que es lo mismo que teníamos antes.

48
00:07:20,670 --> 00:07:23,790
y lo único que hemos hecho ha sido cambiar el signo todo el numerador.

49
00:07:24,410 --> 00:07:30,069
Bien, hemos visto ya las dos derivadas de un cociente de polinomios, de funciones racionales.

50
00:07:31,029 --> 00:07:37,290
Vamos a ver ahora la derivada de una función potencial, 3x menos 2 elevado al cubo.

51
00:07:38,870 --> 00:07:43,870
Bueno, la derivada de la función potencial, bueno aquí la tenemos, si es igual a x elevado a n,

52
00:07:44,009 --> 00:07:46,750
pues imprima es n por x elevado a n menos 1.

53
00:07:46,750 --> 00:07:58,470
Y si en vez de tener x tenemos la función f de x elevado a n, si f de x es elevado a n, su derivada es n por f de x elevado a una unidad menos por la derivada de la función, ¿no?

54
00:07:59,310 --> 00:08:00,589
Venga, pues vamos a hacerlo.

55
00:08:01,670 --> 00:08:14,110
f' de x puede ser igual a 3 por 3x menos 2 elevado a una unidad menos, a 2, por la derivada de lo de dentro, que es 3.

56
00:08:14,110 --> 00:08:25,589
Por lo tanto, f' de x será igual a 9 por 3x menos 2 elevado al cuadrado, ¿vale?

57
00:08:26,550 --> 00:08:27,990
Bueno, y así se quedaría.

58
00:08:29,350 --> 00:08:30,389
Vamos a ver otra.

59
00:08:32,049 --> 00:08:36,090
Fijaos, esta función la podríamos derivar como la derivada de un cociente,

60
00:08:36,870 --> 00:08:40,070
pero también la podemos poner como la derivada de una función potencial, fijaos.

61
00:08:40,350 --> 00:08:43,629
Como menos 3 es una constante, pues esto es igual a menos 3,

62
00:08:44,110 --> 00:08:47,690
por x cuadrado menos 2 elevado a menos 3.

63
00:08:48,350 --> 00:08:50,830
El exponente positivo que tenemos aquí en el denominador

64
00:08:50,830 --> 00:08:53,929
pasa al numerador con exponente negativo, ¿no?

65
00:08:55,009 --> 00:08:56,490
Bien, pues vamos a hacer la derivada.

66
00:08:57,850 --> 00:09:00,730
Como una función potencial, pero bueno, ya os digo que también se podría hacer

67
00:09:00,730 --> 00:09:02,029
como la derivada de un cociente.

68
00:09:02,929 --> 00:09:10,350
Bien, pues f' de x sería igual a menos 3, que es la constante,

69
00:09:10,350 --> 00:09:13,230
es la derivada de una constante por una función, ¿no?

70
00:09:13,230 --> 00:09:29,830
Pues es la constante por menos 3, que es el exponente, por x cuadrado menos 2 elevado a una unidad menos, menos 3, menos 1.

71
00:09:30,250 --> 00:09:35,649
Y por la derivada de la función, por la derivada de lo de dentro, 2x.

72
00:09:35,789 --> 00:09:38,889
Aquí lo que estamos haciendo es aplicando la regla de la cadena.

73
00:09:39,889 --> 00:09:48,350
Bien, f' de x es igual a menos 3 por menos 3, 9, por 2, 18.

74
00:09:49,870 --> 00:09:56,090
18x por x cuadrado menos 2 elevado a menos 4.

75
00:09:59,289 --> 00:10:08,750
Bien, y esto es igual a 18x partido por x cuadrado menos 2 elevado a 4.

76
00:10:08,750 --> 00:10:17,450
¿Vale? Bien, vamos a hacer ahora la derivada de una función irracional de una raíz cuadrada

77
00:10:17,450 --> 00:10:21,289
¿Vale? Se puede hacer con la derivada de una función potencial

78
00:10:21,289 --> 00:10:25,929
¿Vale? Porque esto sería lo mismo que x cuadrado menos 2x elevado a 1 medio

79
00:10:25,929 --> 00:10:29,110
Pero como las raíces cuadradas aparecen muy a menudo

80
00:10:29,110 --> 00:10:33,129
Pues sería conveniente que nos aprendiésemos esta regla

81
00:10:33,129 --> 00:10:38,629
Si es igual a la raíz de f de x, pues si prima es f prima de x partido por 2 veces

82
00:10:38,629 --> 00:10:43,289
la raíz de f de x, ¿vale? Pues lo vamos a hacer así, aunque también lo podríamos hacer

83
00:10:43,289 --> 00:10:51,889
como la derivada de una función potencial. Bien, pues f' de x será igual a derivada

84
00:10:51,889 --> 00:11:01,330
de la función de x cuadrado menos 2x, que es 2x menos 2, partido por dos veces la raíz

85
00:11:01,330 --> 00:11:06,889
raíz de x cuadrado menos 2x, la raíz de la función sin derivar.

86
00:11:08,149 --> 00:11:11,450
Esto podemos simplificarlo, podemos sacar un 2 factor común,

87
00:11:12,230 --> 00:11:19,789
2 por x menos 1 partido por 2 raíz de x cuadrado menos 2x.

88
00:11:20,230 --> 00:11:24,809
Simplificamos, 2 es f' de x, por tanto es igual a

89
00:11:24,809 --> 00:11:31,409
x menos 1 partido por la raíz de x cuadrado menos 2x.

90
00:11:31,669 --> 00:11:37,990
Recordad, solamente podemos simplificar si están multiplicando en el numerador y en el denominador.

91
00:11:43,090 --> 00:11:46,450
Bien, vamos a hacer ahora esta otra, la derivada de una función racional.

92
00:11:46,450 --> 00:11:53,149
Esta no se puede poner como una función potencial porque tenemos una función en el numerador y una función en el denominador.

93
00:11:53,370 --> 00:11:55,330
Entonces hay que aplicar la derivada del cociente.

94
00:11:55,330 --> 00:12:09,879
F' de x es igual a la derivada del primero, la derivada del numerador, 1, por el denominador sin derivar, menos la derivada del segundo.

95
00:12:10,559 --> 00:12:21,399
¿Cuál es la derivada de x menos 1 al cuadrado? Pues es 2 por x menos 1 elevado a una unidad menos, y por la derivada de lo de dentro, que es 1, y por el numerador sin derivar.

96
00:12:21,399 --> 00:12:32,539
y partido por x menos 1 elevado al cuadrado, x menos 1 elevado al cuadrado, elevado al cuadrado, elevado a 4.

97
00:12:35,340 --> 00:12:44,440
Bien, aquí arriba en el numerador podemos sacar factor 1x menos 1, que con el x menos 1 elevado a 4 la podemos poder simplificar.

98
00:12:44,440 --> 00:13:07,399
Entonces, f' de x es igual a x menos 1 por x menos 1, hemos sacado el factor común x menos 1, menos 2x, partido por x menos 1 elevado a 4.

99
00:13:08,179 --> 00:13:11,799
Quitamos un x menos 1, quitamos 1, nos quedan 3.

100
00:13:11,799 --> 00:13:27,220
Al final, ¿qué nos queda? Pues que f' de x es igual a x menos 1 menos 2x partido por x menos 1 elevado a 3.

101
00:13:27,220 --> 00:13:42,240
Entonces f' de x es igual a menos x menos x menos 1 partido por x menos 1 elevado al cubo.

102
00:13:43,039 --> 00:13:44,139
Así estaría bien.

103
00:13:44,779 --> 00:13:48,960
Si os fijáis no coincide con la solución que tenemos arriba, pero bueno, bastaría como siempre,

104
00:13:49,139 --> 00:13:54,259
pues simplemente cambiar el signo todo en numerador, pero bueno, así estaría perfectamente.

105
00:13:54,259 --> 00:14:04,679
f' de x es igual a menos, cambiamos todo de signo, x más 1 partido por x menos 1 al cubo.

106
00:14:04,820 --> 00:14:06,279
Pero vamos, así estaría bien.

107
00:14:07,279 --> 00:14:18,340
Bien, vamos a ver ahora la llevada de una función, bueno, es polinómica y aquí tenemos racionales.

108
00:14:18,779 --> 00:14:22,500
Para hacer la llevada de esta función, pues lo más sencillo es poner esto como si fuese un polinomio,

109
00:14:22,500 --> 00:14:29,740
No es realmente un polinomio porque las potenciales por ente negativo no son polinomios, pero bueno, vamos a ponerlo todo en forma de potencia.

110
00:14:30,600 --> 00:14:45,120
Bien, f de x, pues es igual a x cubo menos x cuadrado menos 1 más 2 por x elevado a menos 2 menos x elevado a menos 3, ¿vale?

111
00:14:45,539 --> 00:14:51,759
Hemos subido el x cuadrado arriba como x elevado a menos 2 y el x elevado al cubo lo hemos subido arriba como x elevado a menos 3.

112
00:14:51,759 --> 00:15:01,740
Y ahora derivamos aplicando esta regla de derivación, la derivada de una función potencial y la derivada de una constante por una función.

113
00:15:02,460 --> 00:15:11,080
Bien, pues f' de x es igual a 3x al cuadrado menos 2x elevado a una unidad menos.

114
00:15:11,080 --> 00:15:27,320
La igualdad de menos uno es cero. Menos dos por menos dos, menos cuatro, x elevado a una unidad menos, que es menos tres. Y menos por menos, más tres, x elevado a una unidad menos, que es menos cuatro.

115
00:15:27,320 --> 00:15:43,580
Por lo tanto, f' de x es igual a 3x cuadrado menos 2x menos 4 partido por x al cubo más 3 partido por x a la cuarta.

116
00:15:43,580 --> 00:16:05,139
¿Vale? No sé si veis lo que hemos hecho, ha sido 3 por 1, 3x cuadrado, menos 2 por 1, menos 2x, la derivada de menos 1 es 0, menos 2 por 2, menos 4, por x elevado a 1 unidad menos, menos 2 menos 1, menos 3, menos 3 por menos 1, más 3, por x elevado a 1 unidad menos, que es menos 4.

117
00:16:13,360 --> 00:16:17,559
Aquí tenemos nuevamente la derivada de un cociente, 1 partido por la raíz de x menos 1.

118
00:16:18,220 --> 00:16:23,620
Esto también se puede poner como la derivada de una función potencial, como x menos 1 elevado a menos 1 medio.

119
00:16:24,519 --> 00:16:28,779
Vamos a hacerlo en este caso de esta forma, como la derivada de una función potencial.

120
00:16:29,419 --> 00:16:42,470
Bien, pues la derivada f' de x, pues será igual a menos 1 medio, por x menos 1 elevado a una unidad menos,

121
00:16:42,470 --> 00:16:49,870
menos un medio, menos uno. Por la derivada de lo de dentro, la derivada de lo de dentro, pues es uno.

122
00:16:51,470 --> 00:17:03,690
Y al final, ¿qué nos queda? Pues f' de x es igual a menos un medio, por x menos uno elevado a menos un medio, menos uno, menos tres medios.

123
00:17:03,690 --> 00:17:27,460
Y bueno, pues esta potencia con exponente negativo la podemos poner de la siguiente forma, menos 1 partido por 2, un medio, y el x menos 1 elevado a menos 3 medios, pues como x menos 1 elevado a 3 medios positivo, ¿no?

124
00:17:27,460 --> 00:17:42,190
y esto pues se queda como menos 1 partido por 2 por la raíz cuadrada de x menos 1 elevado a 3, ¿vale?

125
00:17:42,670 --> 00:17:48,849
Y así se quedaría, esta expresión es equivalente a la que tenemos arriba, es equivalente a esta, ¿vale?

126
00:17:49,710 --> 00:17:57,319
Bien, bueno, pues ya hemos acabado.

127
00:17:58,319 --> 00:18:03,279
En el próximo vídeo pues veremos derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.