1
00:00:01,010 --> 00:00:05,570
Hoy vamos a ver cómo se trabaja con las potencias

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00:00:05,570 --> 00:00:11,929
y para ello vamos a definir primero, o mejor dicho, conceptuar un poco

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00:00:11,929 --> 00:00:19,910
qué es esto de las potencias, en particular la potencia de exponente entero.

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00:00:20,949 --> 00:00:25,649
Bueno, pues cuando multiplicamos muchas veces un mismo número,

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00:00:25,649 --> 00:00:39,350
Por ejemplo, si tenemos multiplicado el 3 cinco veces, esto sería muy engorroso de desarrollar los problemas.

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00:00:39,509 --> 00:00:49,750
Así que la potencia no es ni más ni menos que un recurso matemático que nos permite simplificar la expresión que estamos poniendo aquí.

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00:00:49,750 --> 00:01:04,989
Estas potencias se basan en un número, que es la base, y un exponente, que es el número de veces que se repite esta base.

8
00:01:04,989 --> 00:01:16,489
O sea, las potencias tenemos a elevado a n, siendo a la base y n el exponente.

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00:01:20,650 --> 00:01:29,790
Entonces, este exponente se refiere al número de veces que se está multiplicando ese mismo número.

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00:01:29,790 --> 00:01:54,750
Y la base es el número que se repite esa cantidad de veces. Esto es sencillo, no tiene mayor complicación. La cuestión la encontramos cuando tenemos que trabajar con las propiedades de las potencias.

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00:01:54,750 --> 00:02:34,050
¿Vale? Propiedades de las potencias. Bueno, nos encontramos con que hay determinadas operaciones que podemos hacer con las potencias y otras no. En particular podemos hacer las operaciones que aparecen aquí.

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00:02:34,050 --> 00:02:41,930
Es un producto de dos potencias, pero tienen que tener la misma base para poder operarlas.

13
00:02:42,770 --> 00:02:49,789
Bien, en este caso, cuando tenemos un producto de potencias, lo que se hace es, se pone la misma base y se suman los exponentes.

14
00:02:49,789 --> 00:03:02,889
O sea, si tenemos a elevado a m por a elevado a n, se pone la misma base, a, y se suman m y n.

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00:03:02,889 --> 00:03:31,060
Bien, ¿esto por qué? Pues mira, vamos a poner este caso que aparece por ejemplo aquí. Esto sería elevado a 5. Pone 55, pero realmente esto es error. Esto sería 5 elevado a 5.

16
00:03:31,060 --> 00:03:39,939
Por ejemplo, imaginamos que tenemos 5 al cubo por 5 al cuadrado

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00:03:39,939 --> 00:03:46,000
Realmente lo que tenemos es, del primer número tenemos 5 por 5 por 5 tres veces

18
00:03:46,000 --> 00:03:49,180
Y luego tenemos 5 por 5 del segundo número

19
00:03:49,180 --> 00:03:52,219
Tenemos 5 al cubo, que serían estos tres

20
00:03:52,219 --> 00:03:55,560
Y luego tenemos 5 al cuadrado, que serían estos dos

21
00:03:55,560 --> 00:03:58,759
Realmente si aplicamos lo que sabemos de las potencias

22
00:03:58,759 --> 00:04:19,220
Pues tenemos 5 elevado a 7, de tal forma que 5 al cubo por 5 al cuadrado ponemos 5, 3 más 2, que sería justo esto que hemos puesto aquí. Ese resultado que hemos obtenido del anterior.

23
00:04:19,220 --> 00:04:27,459
Bueno, esto no es difícil. Insisto que eso es 5 a la 5.

24
00:04:30,389 --> 00:04:44,040
Bien, tenemos el cociente de dos potencias, pero en la misma base nos falta el cociente de dos potencias.

25
00:04:44,040 --> 00:04:57,920
El cociente de dos potencias se da en la misma circunstancia que el anterior. Cociente de dos potencias, pero tienen que tener siempre la misma base. En este caso, lo que se hace es que se restan los exponentes.

26
00:04:57,920 --> 00:05:10,579
O sea, si tenemos a elevado a m entre a elevado a n, pues lo que tenemos es a elevado a m menos n.

27
00:05:11,360 --> 00:05:13,180
¿Por qué es esto así?

28
00:05:13,180 --> 00:05:34,850
Pues en el caso, por ejemplo, este caso de aquí, el caso verde, tenemos 3 elevado a 5, sería 3 por 3 por 3 por 3 por 3, 5 veces entre 3 elevado al cuadrado.

29
00:05:34,850 --> 00:05:58,370
Tendríamos 3 y 3. Pues se cancelan dos 3es de arriba con los de abajo y nos quedaría 3 elevado a 3. O sea, 3 elevado a 5 entre 3 elevado al cuadrado, pues sería 3 elevado a 5 menos 2.

30
00:05:58,370 --> 00:06:16,790
O sea, 3³. A veces conviene tener en cuenta que cuando hablamos de la división, este símbolo A entre B es lo mismo que A entre B.

31
00:06:16,790 --> 00:06:20,930
es lo mismo que A entre B. ¿Por qué comento esto?

32
00:06:21,110 --> 00:06:23,670
Comento esto porque muchas veces

33
00:06:23,670 --> 00:06:28,269
cuando no vemos clara la división, si lo ponemos de esta forma

34
00:06:28,269 --> 00:06:32,050
la cosa es mucho más ilustrativa

35
00:06:32,050 --> 00:06:36,170
y además hay que notar otra cosa

36
00:06:36,170 --> 00:06:40,449
y es que cuando está en el denominador, por ejemplo

37
00:06:40,449 --> 00:06:45,610
5 al cubo, 5 al cuadrado

38
00:06:45,610 --> 00:07:06,970
Fijaros que sería 5, 3, menos 2. O sea que sería como si esta subiera 5 a la menos 2. Me explico. Esto sería lo mismo que decir por 5 a la menos 2.

39
00:07:06,970 --> 00:07:23,290
O sea, lo que está en el denominador, la potencia pasa negativa al numerador. En este caso, fijaros, he transformado la división en una multiplicación y ahora operamos como lo hacíamos arriba.

40
00:07:23,290 --> 00:07:36,670
La suma, 5 más menos 2, o sea, 5, 3 menos 2, 5 al cubo.

41
00:07:37,649 --> 00:07:41,529
No sé si esto viene bien, esto viene bien que lo entendamos.

42
00:07:41,709 --> 00:07:48,449
Lo que vemos cómo pasa de estar multiplicando, de estar dividiendo a multiplicando.

43
00:07:48,449 --> 00:07:52,410
O sea, cómo pasa de el denominador al numerador.

44
00:07:52,410 --> 00:08:14,009
Pasa de forma negativa. Luego nos encontramos con el producto de dos potencias que tienen distinto exponente. Este es un caso muy particular en el que vamos a poder multiplicar dos potencias que tienen el mismo exponente.

45
00:08:14,009 --> 00:08:35,529
En este caso, lo que lo diferencia es las bases. Nótese que aquí aparece B, aparece A y aparece B como base. Vale. Entonces, en este caso, tendríamos A elevado a M por B elevado a M, nos quedaría A elevado a M.

46
00:08:36,509 --> 00:08:50,470
¿Por qué es esto? Pues mira, por ejemplo, en el caso que nos aparece aquí como ejemplo, tenemos 3 elevado a 5 sería 3 por 3 por 3 por 3 por 3, 5 veces.

47
00:08:51,029 --> 00:08:55,330
Y 2 elevado a 5 sería 2 por 2 por 2 por 2 por 2.

48
00:08:55,789 --> 00:09:04,190
Pues fijaros que el 3 por 2, este 3 por 2 que hacemos aquí, no es ni más ni menos una agrupación que hacemos un 3 de aquí con un 2 de aquí.

49
00:09:04,190 --> 00:09:07,529
otro 3 de aquí, con otro 2 de aquí

50
00:09:07,529 --> 00:09:11,950
y así haríamos grupos de 3 por 2

51
00:09:11,950 --> 00:09:15,049
aplicando una propiedad

52
00:09:15,049 --> 00:09:18,350
de la multiplicación

53
00:09:18,350 --> 00:09:23,889
podríamos hacer estos grupos, la propiedad asociativa

54
00:09:23,889 --> 00:09:27,809
o sea, yo puedo asociar en una multiplicación, puedo asociar los términos como quiera

55
00:09:27,809 --> 00:09:31,909
así que los voy agrupando de 2 de 2, este 3 con este 2

56
00:09:31,909 --> 00:09:43,990
este 3 con este 2 y este 3 con este 2. ¿Y cuántos grupos me han salido? Pues me han salido, en definitiva, habrán salido 5 grupos, porque tenía 3 3es y 2 2es.

57
00:09:45,230 --> 00:09:59,990
Entonces han salido los 5 grupos. Y sabemos que las potencias, pues ponemos como base esta base y como exponente el número de veces que se repite.

58
00:09:59,990 --> 00:10:09,809
Así que sería 3 por 2 elevado a 5. 3 por 2 son 6, 6 elevado a 5 como aparece aquí en este ejemplo.

59
00:10:12,129 --> 00:10:27,750
Para hacer el cociente de dos potencias que tienen la misma, distinta base pero el mismo exponente, en este caso dos potencias con el mismo exponente, pues sería lo mismo.

60
00:10:27,750 --> 00:10:46,309
A elevado a M entre B elevado a M, pues sería A partido B, o si queréis la expresión A entre B elevado a M.

61
00:10:46,309 --> 00:11:00,570
En el ejemplo que nos pone aquí sería 4 por 4 por 4 por 4 por 4, 5 veces, entre 2, 2, 2 y 2, 5 veces que está en el denominador.

62
00:11:01,090 --> 00:11:12,870
Así que podríamos hacer grupos 4 entre 2 por 4 entre 2 por 4 entre 2 por 4 entre 2 por 4 entre 2.

63
00:11:12,870 --> 00:11:15,830
fijaros que se ha repetido 5 veces

64
00:11:15,830 --> 00:11:19,049
entonces tendríamos los 4 medios

65
00:11:19,049 --> 00:11:22,470
elevado al número de veces que se repite

66
00:11:22,470 --> 00:11:26,049
o sea, como exponente ponemos 5 porque se ha repetido 5 veces

67
00:11:26,049 --> 00:11:42,539
y por último

68
00:11:42,539 --> 00:11:44,779
tenemos la

69
00:11:44,779 --> 00:11:52,799
tenemos la potencia de una potencia

70
00:11:52,799 --> 00:12:07,240
O sea, si le vamos a un número a una potencia y luego lo le vamos a otra potencia. Este sería el caso siguiente, por ejemplo. En este caso aplicamos primero la primera potencia.

71
00:12:07,240 --> 00:12:19,340
Nos dice que lo que hay dentro del paréntesis se repite dos veces, sería 4 al cubo por 4 al cubo, ¿vale?

72
00:12:19,500 --> 00:12:30,100
Perdón, dentro, es lo que tenemos dentro, o sea que sería, eso sería 4 al cubo por 4 al cubo.

73
00:12:30,100 --> 00:12:45,740
Y fijaos que en este caso, aplicando la propiedad que nos decía que dos potencias de la misma base se suman los exponentes, pues tendríamos 4 al cubo al cubo, que sería 4 a la sexta.

74
00:12:46,120 --> 00:12:51,879
Efectivamente, ese 4 a la sexta sale de multiplicar el 2 por 3.

75
00:12:51,879 --> 00:13:09,639
O sea, sería 4 a la sexta, 4 al cubo al cuadrado, sería multiplicando los exponentes 4 al cubo por 2, o sea, 4 a la sexta.

76
00:13:10,620 --> 00:13:12,259
¿Veis? Queda lo mismo.