1 00:00:00,000 --> 00:00:07,120 ¿Qué tal? ¿Cómo estamos? Bueno, en este vídeo, en el vídeo de hoy, lo que vamos a ver va a ser 2 00:00:07,120 --> 00:00:13,200 ejercicios de ebau, como siempre, ejercicios de ebau tipo, que se suelen repetir, y en este caso 3 00:00:13,200 --> 00:00:18,720 es un ejercicio relacionado con la parte de análisis, concretamente con el teorema de 4 00:00:18,720 --> 00:00:27,600 Bolzano y de Roll, ¿vale? Este vídeo se centra principalmente en el teorema de Bolzano. El de 5 00:00:27,600 --> 00:00:33,480 Roll, damos una pincelada para luego, en próximos vídeos, rematar también con el teorema de Roll, 6 00:00:33,480 --> 00:00:38,480 pero principalmente el vídeo está destinado a entender y saber cómo aplicar el teorema de 7 00:00:38,480 --> 00:00:46,440 Bolzano. Bien, este es un ejercicio de junio 2013. Ok, vamos a recordar lo que nos dice el 8 00:00:46,440 --> 00:00:52,680 teorema de Bolzano, ¿bien? El teorema de Bolzano nos habla de raíces o de puntos de corte con el 9 00:00:52,680 --> 00:00:59,840 eje x en un intervalo, y te dice que si una función f de x es continua, importante esta 10 00:00:59,840 --> 00:01:07,920 condición de discontinuidad, perdón, importante que sea continua en un intervalo, en un intervalo 11 00:01:07,920 --> 00:01:25,200 cerrado a b, si se cumple que f de a es positiva y f de b es negativa, o al contrario f de a negativa 12 00:01:25,200 --> 00:01:31,200 y f de b positiva, es decir, tienen que tener símbolos contrarios las imágenes de los extremos 13 00:01:31,200 --> 00:01:42,240 del intervalo, entonces existe un valor c que pertenece al intervalo a b, tal que f de c es cero. 14 00:01:42,240 --> 00:01:49,280 Esto, escrito así en lenguaje matemático, que puede resultar un poquito difícil de entender, 15 00:01:49,280 --> 00:01:55,720 explicado y visualizado gráficamente, no lo es tanto. Bien, imaginaos que nosotros 16 00:01:55,720 --> 00:02:04,440 tenemos nuestros ejes de coordenadas y tenemos esta función. Esta función podemos ver a simple 17 00:02:04,440 --> 00:02:10,400 vista que no es continua, en general en todo R no es continua, aquí tenemos una discontinuidad, 18 00:02:10,400 --> 00:02:16,920 imaginaos que queremos nosotros aplicar Bolzano solo en esta parte, vale, solo en este intervalo 19 00:02:16,920 --> 00:02:34,080 que es de a a b. Bien, que f de a y f de b tengan signo opuesto, uno positivo y otro negativo, 20 00:02:34,080 --> 00:02:39,760 o al revés, uno negativo y otro positivo, quiere decir que la imagen de a, es decir, f de a que es 21 00:02:39,760 --> 00:02:47,840 esta, esté por debajo y f de b que es esta, esté por encima, o al revés, es decir, o que esté por 22 00:02:47,840 --> 00:02:54,320 aquí y aquí, vale, simplemente lo que quiere decir que f de a y f de b tengan signo opuesto es que 23 00:02:54,320 --> 00:03:00,800 una está por debajo y la otra por encima, por debajo o por encima de este eje x, o una por encima y 24 00:03:00,800 --> 00:03:06,160 otra por debajo, es lo único que quiere decir. Bien, pero resulta obvio pensar que si una está 25 00:03:06,160 --> 00:03:12,280 por debajo, en este caso concreto, y la otra por encima, o al revés, debajo y encima, resulta 26 00:03:12,280 --> 00:03:20,800 visual ver que hay un punto aquí que es el que corta, es decir, es el que hace pasar de abajo 27 00:03:20,800 --> 00:03:30,200 arriba, o de arriba, si viniera por aquí, abajo, es decir, hay un punto en el que pasamos el eje x y 28 00:03:30,200 --> 00:03:34,520 pasamos de estar abajo a estar arriba, o pasamos de estar arriba a estar abajo. Bien, pues ese punto, 29 00:03:34,520 --> 00:03:42,640 ese punto que digo yo, que dice Bolzano que existe, es el punto c, es que existe c perteneciente al 30 00:03:42,640 --> 00:03:52,080 intervalo abierto a b, está claro que si a y b estará aquí dentro, tal que f de c es cero. Pero 31 00:03:52,080 --> 00:03:57,920 qué quiere decir que f de c sea cero? Bueno, quiere decir que el punto c se encuentra justo en el eje 32 00:03:57,920 --> 00:04:05,640 x, efectivamente, porque este punto será de coordenadas c,0. ¿Por qué? Porque está sobre el mismo eje x. 33 00:04:05,640 --> 00:04:11,160 Eso es simplemente la interpretación geométrica de Bolzano que yo creo que nos hace entenderla 34 00:04:11,160 --> 00:04:17,520 mucho mejor, más allá de su enunciado puramente matemático, que sí que queda ciertamente complejo 35 00:04:17,520 --> 00:04:24,960 si no tienes cierto manejo de este lenguaje matemático. Bien, pues entendiendo un poquito 36 00:04:24,960 --> 00:04:33,120 qué nos dice Bolzano y hacia dónde vamos con Bolzano, vamos a resolver este ejercicio. Siempre 37 00:04:33,120 --> 00:04:39,080 los ejercicios de Bolzano, siempre los ejercicios de Bolzano son iguales. Demostrar que una ecuación 38 00:04:39,080 --> 00:04:47,240 o que una función tiene al menos una solución real. Aquí nos enuncian una única solución, 39 00:04:48,240 --> 00:04:56,120 única solución. Bien, el hecho de una única solución nos va a llevar a Roll, pero de momento 40 00:04:56,120 --> 00:05:01,680 nosotros sólo vamos a demostrar que al menos hay una solución. Bien, los escribimos aquí. Los 41 00:05:01,680 --> 00:05:13,400 ejercicios de Bolzano. Bolzano. Siempre son iguales. Demostrar 42 00:05:13,400 --> 00:05:17,720 demostrar al menos 43 00:05:20,960 --> 00:05:22,040 una solución 44 00:05:26,640 --> 00:05:27,640 de una ecuación 45 00:05:31,640 --> 00:05:34,440 en un intervalo. 46 00:05:34,440 --> 00:05:44,360 Bien, vamos a nuestro caso concreto. Tenemos esta f de x definida en el enunciado y en uno 47 00:05:44,360 --> 00:05:50,040 de los apartados nos dice f de x igual a cero. Bien, vamos a copiarla. Recordamos que f de x es 48 00:05:50,040 --> 00:06:06,360 esto, e elevado a menos x, menos x. Nos pide raíz de f de x igual a cero. Vamos a ver en qué 49 00:06:06,360 --> 00:06:12,920 intervalo nos pide calcularlo. Bien, nosotros leyendo el enunciado, usar los teoremas de 50 00:06:12,920 --> 00:06:18,800 Bolzano y de Roll para demostrar que la ecuación tal tiene una solución única real. Bien, al 51 00:06:18,800 --> 00:06:27,160 decirnos que es real y no especificarnos ningún intervalo, nosotros tenemos que entender lo 52 00:06:27,160 --> 00:06:40,400 siguiente. Nosotros tenemos que entender que hay que aplicar Bolzano en menos infinito más infinito, 53 00:06:40,400 --> 00:06:49,080 es decir, en todo R. Hay que aplicar Bolzano justo aquí, en todo R, en toda la recta real, 54 00:06:49,080 --> 00:06:55,040 en todo el dominio de R habrá al menos un punto de intersección. Vamos a aplicar Bolzano. La 55 00:06:55,040 --> 00:07:07,360 primera condición de Bolzano, importantísimo, f de x continúa en el intervalo. Pero claro, 56 00:07:07,360 --> 00:07:12,480 en este caso, en este ejemplo concreto, no es continuo en el intervalo, es continuo en todo R, 57 00:07:12,480 --> 00:07:16,520 porque el intervalo es todo R. Pues lo que hay que comprobar es que f de x es continua 58 00:07:19,160 --> 00:07:28,480 menos infinito más infinito. Y recuerdo que esto es R. Esta función, que es f de x, 59 00:07:28,480 --> 00:07:35,280 que y es de la cual hay que estudiar su continuidad, es una exponencial y un monomio. Bien, 60 00:07:35,280 --> 00:07:38,800 esta función exponencial, por definición de exponencial, siempre es continua, es continua 61 00:07:38,800 --> 00:07:47,360 en todo R. Y como esto es un monomio, se cumple que f de x es continuo en todo R. F de x es 62 00:07:47,360 --> 00:08:09,600 combinación de función exponencial con esta parte, esto es la función exponencial, y polinómica. 63 00:08:09,600 --> 00:08:20,600 Y polinómica es con esta parte, esta parte es la polinómica. En este caso, además, como el 64 00:08:20,600 --> 00:08:25,480 exponente de la función exponencial también es continuo, porque es x, no tiene denominadores, 65 00:08:25,480 --> 00:08:29,280 no tenemos raíces, no tenemos logaritmo, no tenemos nada raro, todo es continuo, 66 00:08:29,280 --> 00:08:34,800 todo es continuo, por lo tanto, se cumple la primera condición de Bolzano. F es continua 67 00:08:34,800 --> 00:08:40,200 en el intervalo. Perfecto. Volvemos al enunciado de Bolzano y te dice que si f es continua en este 68 00:08:40,200 --> 00:08:45,080 intervalo, que en este caso, este a, b, en este caso concreto, porque no nos determinan números 69 00:08:45,080 --> 00:08:50,760 y nos dicen que es una solución real, es menos infinito más infinito. Ahora, lo que hay que ver 70 00:08:50,760 --> 00:08:58,040 es que las imágenes en los extremos sean de signo opuesto, es decir, que en menos infinito sea positiva 71 00:08:58,040 --> 00:09:02,040 y en más infinito sea negativa o al revés. Vamos al lío. 72 00:09:14,920 --> 00:09:24,840 2. f de más infinito positivo y f de menos infinito negativo o al revés. 73 00:09:25,000 --> 00:09:33,960 Bien, primero calculamos f de más infinito. Para calcular f de más infinito calculamos el límite, 74 00:09:33,960 --> 00:09:41,440 límite cuando x tiende a más infinito de f de x. De la misma manera, para calcular f de menos infinito 75 00:09:41,440 --> 00:09:49,520 calcularemos el límite cuando x tiende a menos infinito de f de x. Vamos a calcular el límite 76 00:09:49,520 --> 00:09:58,000 cuando x tiende a más infinito. Límite cuando x tiende a más infinito de f de x, que recordamos que 77 00:09:58,000 --> 00:10:06,080 f de x era e elevado a menos x menos x, e elevado a menos x menos x. Bien, pues nada, metemos en la 78 00:10:06,080 --> 00:10:14,440 expresión nuestro más infinito y nos queda esto. Donde vea una x meto más infinito. Vamos a verlo 79 00:10:14,440 --> 00:10:24,880 más claro así. Por lo tanto, e elevado a menos más infinito menos más infinito. Pero esto es menos por más 80 00:10:24,880 --> 00:10:33,120 menos, elevado a menos infinito, menos por más menos. Esto lo puedo expresar como e elevado a infinito. 81 00:10:33,120 --> 00:10:44,720 Me sigue quedando el menos infinito. Esto se me va a cero porque es 1 partido de infinito, que es cero. Por lo 82 00:10:44,720 --> 00:10:54,040 tanto, esto es cero menos infinito, que es menos infinito. De aquí puedo concluir que f de más 83 00:10:54,040 --> 00:11:06,760 infinito es menos infinito. Por lo tanto, en un extremo en el más infinito es negativo, menor que cero. Muy bien, pues 84 00:11:06,760 --> 00:11:12,680 vamos a hacer exactamente lo mismo que hemos hecho aquí, pero con el menos infinito. Límite cuando x 85 00:11:13,200 --> 00:11:23,600 menos infinito de elevado a menos x menos x. Esto es e elevado a menos infinito menos menos 86 00:11:23,600 --> 00:11:30,840 infinito. Esto es el elevado a más infinito menos por menos más menos por menos más más infinito. Esto es infinito 87 00:11:30,840 --> 00:11:38,800 más infinito. Esto es infinito. Por lo tanto, puedo concluir que f de menos infinito es más infinito, y esto me 88 00:11:38,800 --> 00:11:50,040 implica que f de menos infinito es positivo. Pues justo lo que me pedía Bolzano, en un extremo negativo, en otro 89 00:11:50,040 --> 00:12:05,200 extremo positivo, eso quiere decir gráficamente, gráficamente quiere decir lo siguiente. Yo estoy aquí, me quiere 90 00:12:05,200 --> 00:12:13,520 decir que en f de menos infinito estoy positivo, es decir, que muy a la izquierda estoy por aquí, en f de más infinito 91 00:12:13,520 --> 00:12:23,520 estoy abajo, bien. Eso quiere decir que en algún momento la función que va por aquí corta, corta. Es justo lo que me 92 00:12:23,520 --> 00:12:32,680 dice Bolzano, y es justo lo que me pide el ejercicio. Demuestra por los teoremas de Bolzano que tiene al menos una 93 00:12:32,680 --> 00:12:42,200 solución real. Eso quiere decir que al menos corta una vez, que al menos corta una vez, bien. ¿Qué puede pasar? Puede pasar, y por eso nos 94 00:12:42,200 --> 00:12:58,120 hablan de Rol, que la función vaya así. Perfecto, sí, puede pasar. Y Bolzano me asegura que al menos, al menos, al menos existe c 95 00:12:58,680 --> 00:13:09,360 perteneciente en este caso a menos infinito, más infinito, tal que f de c es cero. Cierto, pero es que concretamente en este ejemplo que 96 00:13:09,360 --> 00:13:23,960 acabo de pintar yo, esto es una c, esto sería otra, esto sería otra, esto sería otra, y esto sería otra. Eso Bolzano no nos dice nada en 97 00:13:23,960 --> 00:13:32,520 referencia a eso. Bolzano dice que al menos existe una c, que existen 5, genial, que existe una, fenomenal, que existen 14, también bien. Lo que nos va a 98 00:13:32,520 --> 00:13:42,920 permitir demostrar que existe exactamente solo una es luego la aplicación del teorema de Rol, y eso tendrá que ver con la derivada. Es decir, por un lado 99 00:13:42,920 --> 00:13:49,520 aplicaremos la función como hemos aplicado en Bolzano, y luego derivaremos y haremos algo con esa derivada que es lo que me va a permitir verificar 100 00:13:49,520 --> 00:13:59,560 que esa solución que yo he dicho es única. Pero de momento solo Bolzano. Bolzano que sea continua y en los intervalos signo opuesto, listo. Cuando no me 101 00:13:59,560 --> 00:14:07,440 especifica el intervalo, como en este ejercicio, los signos, perdón, los extremos de intervalo serán menos infinito, más infinito, y lo que hacemos es 102 00:14:07,440 --> 00:14:16,480 simplemente buscar las imágenes en los extremos y ya está. Bien, hasta aquí una manera de que nos pregunten Bolzano a través de límites.