1
00:00:00,750 --> 00:00:03,109
Hola, vamos con el problema 76.

2
00:00:03,270 --> 00:00:07,110
Me piden calcular el ángulo que forman las diagonales AC y BD de un paralelogramo

3
00:00:07,650 --> 00:00:11,630
si tres vértices están en los puntos A, B y C, bueno, las coordenadas que me dan, ¿vale?

4
00:00:11,849 --> 00:00:17,030
Me falta el cuarto vértice y si os dais cuenta me están dando justamente el dibujito

5
00:00:17,030 --> 00:00:23,370
para que veamos que el vector OD, ¿vale?, que coincide con el punto D,

6
00:00:23,370 --> 00:00:33,850
es lo mismo que las coordenadas del punto D, es la suma del vector OA más el BC, ¿vale?

7
00:00:34,429 --> 00:00:38,229
Ya que la medida del BC y de la D es lo mismo.

8
00:00:39,049 --> 00:00:44,369
Entonces, esto sería el punto o el vector OA que coincide con las coordenadas del punto A,

9
00:00:44,369 --> 00:01:06,390
que es el 2, 1, 3, más las coordenadas del vector BC, el vector BC es C menos B, sería menos 3, menos 5, menos 8, 3, menos 2, 1, menos 3, menos menos 1,

10
00:01:06,390 --> 00:01:13,989
o sea, menos 3 más 1 menos 2, ¿vale? Por lo tanto, las coordenadas que estamos pidiendo es 2 menos 8 es menos 6,

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00:01:15,030 --> 00:01:24,090
1 más 1 son 2 y 3 menos 2, 1, ¿vale? Sería el punto menos 6, 2, 1. Ese es el vértice que nos falta.

12
00:01:25,129 --> 00:01:34,370
Y ahora para calcular el ángulo que forman dos vectores, pues lo único que hacemos es aplicar la fórmula del producto escalar, ¿vale?

13
00:01:34,370 --> 00:01:47,189
es decir, sabemos que el coseno del ángulo que forma, el coseno vamos a llamar alfa al ángulo que forma, sería el, bueno, sí, bueno, de hecho lo he llamado alfa, ¿vale?

14
00:01:47,189 --> 00:01:55,150
tenemos por un lado son el AC y el BC, pues sería el producto escalar del AC por el BD

15
00:01:55,150 --> 00:02:06,650
entre el módulo del vector AC por el módulo del vector BD, ¿vale?

16
00:02:07,030 --> 00:02:12,370
Bueno, pues vamos a ir calculando cositas, lo primero necesitamos el vector AC y el vector BD,

17
00:02:12,370 --> 00:02:31,449
Vamos a calcularlo. El vector AC, C menos A, es decir, menos 3 menos 2, menos 5, 3 menos 1, 2, menos 3 menos 3, menos 6.

18
00:02:31,449 --> 00:02:52,780
Y el vector BD tendrá de coordenadas, a ver, el D lo acabamos de calcular, menos 6 menos 5 menos 11, 2 menos 2, 0, 1 menos menos 1, 2.

19
00:02:52,780 --> 00:03:11,860
¿Vale? Calculamos también al lado sus módulos, el módulo de AC, que será la raíz cuadrada de 25 más 4, 29, 29 más 36, 65.

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00:03:11,860 --> 00:03:27,069
Y el módulo de BD será la raíz cuadrada de 121 más 4, 125.

21
00:03:28,990 --> 00:03:41,810
Por lo tanto, vamos aquí abajo y debajo tenemos raíz de 65 por la raíz de 125 he dicho.

22
00:03:41,810 --> 00:03:47,819
A ver, 121 más 4 es 125, sí.

23
00:03:48,539 --> 00:04:03,900
la raíz de 125, y arriba hacemos el producto escalar, menos 5 por menos 11, 55, 2 por 0, 0, y menos 6 por 2, menos 12.

24
00:04:06,259 --> 00:04:17,620
55 menos 12 serían 43, partido por la raíz de 65, por la raíz de 125.

25
00:04:18,540 --> 00:04:36,079
Voy a tirar de calculadora y obtenemos, sería 0,48 y si calculamos el ángulo, alfa es aproximadamente 61 grados.

26
00:04:36,899 --> 00:04:38,079
Y ya estaría el ejercicio.